Bab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.

Bab 2

Sistem Bilangan Real

2.1. Aksioma Bilangan Real

Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi ‘+’ dan ‘.’

dari × ke dan asumsikan memenuhi aksioma-aksioma berikut:

Aksioma Lapangan

Untuk semua bilangan real x, y, dan z berlaku:

A1. x + y = y + x

A2. (x + y) + z = x + (y + z)

A3. ∃0 ∈ sehingga x + 0 = x, untuk setiap x ∈ A4. ∀x ∈ , ∃! w ∈ sehingga x + w = 0

A5. xy = yx A6. (xy)z = x(yz)

A7. ∃1 ∈ sehingga 1 ≠ 0, dan x.1 = x ∀x ∈ A8. ∀x ∈ , x ≠ 0, ∃w ∈ sehingga xw = 1 A9. x(y + z) = xy + xz

Himpunan yang memenuhi aksioma di atas disebut lapangan (terhadap operasi + dan .).

Diperoleh dari A1 bahwa elemen 0 adalah tunggal. Elemen w pada A4 juga tunggal dan dinotasikan dengan ‘–x’. Elemen 1 pada A7 unik dan elemen w pada A8 juga unik dan dinotasikan dengan ‘x^–1’ Kemudian didefinisikan pengurangan dan pembagian sebagai berikut:

x – y = x + (–y) dan x ¹ y xy

= −

Aksioma Urutan

Misalkan P adalah himpunan bilangan real positif, P memenuhi aksioma berikut:

B1. x, y ∈ P ⇒ x + y ∈ B2. x, y ∈ P ⇒ x.y ∈

B3. x ∈ ⇒ (x = 0) atau (x ∈ P) atau (x ∈ P)

Suatu sistem yang memenuhi aksioma lapangan dan aksioma urutan disebut lapangan terurut (ordered field). Sehingga bilangan real adalah lapangan terurut. Begitu juga dengan himpunan bilangan rasional merupakan lapangan terurut.

Dalam lapangan terurut didefinisikan x < y yang berarti x – y ∈ P. Kita menuliskan ‘x ≤ y’ untuk

‘x < y’ atau ‘x = y’. Himpunan bilangan real dengan relasi < merupakan himpunan terurut linear.

Berdasarkan aksioma urutan diperoleh:

a. (x < y) & (z < w) ⇒ x + z < y + w b. (0 < x < y) & (0 < z < w) ⇒ xz < yw c. Tidak ada x sehingga x < x.

Bukti :

a. Untuk membuktikan x + z < y + w cukup dibuktikan (y + w) – (x + z) ∈ P.

Karena x < y maka y – x ∈ P Karena z < w maka w – z ∈ P

Karena y – x, w – z ∈ P maka berdasarkan aksioma B1 diperoleh y – x + w – z = y + w – x – z = (y + w) – (x + z) ∈ P.

b. Untuk membuktikan xz < yw cukup dibuktikan yw – xz Karena 0 < x < y maka y – x ∈ P dan x – 0 = x ∈ P Karena 0 < z < w maka w – z ∈ P dan w – 0 = w ∈ P

Karena y – x, y, w – z, dan w ∈ P maka berdasarkan B1 dan B2 diperoleh:

w(y – x) + x(w – z) = yw – wx + wx – xz = yw – xz ∈ P

c. Andaikan ada x sehingga x < x. Karena x < x maka x – x ∈ P. Akibatnya 0 ∈ P.

Kontradiksi dengan diketahui P himpunan bilangan positif. Jadi pengandaian salah yang benar tidak ada x sehingga x < x.

Definisi (Supremum dan Infimum) : Misalkan S ⊂ .

1. a^* batas atas S, jika x ≤ a^* untuk setiap x ∈ S 2. a batas atas terkecil dari S, jika

(i) a batas atas S

(ii) Jika b batas atas maka a ≤ b Notasi : a = sup(S) = sup

x S

x

∈ = sup{x | x ∈ S}

3. c^* batas bawah S, jika c^* ≤ x untuk setiap x ∈ S 4. c batas bawah terbesar dari S, jika

(i) c batas bawah S

(ii) Jika d batas bawah maka d ≤ c Notasi : c = inf(S) = inf

x Sx

∈ = inf{x | x ∈ S}

Perhatikan ilustrasi berikut:

Jika a batas atas terkecil, maka untuk setiap ε > 0 akan selalu ada x₀ sehingga x₀ > a – ε. Artinya, a – ε bukan batas atas karena ada x₀ yang nilainya lebih besar (atas) darinya.

Jika c batas bawah terbesar, maka untuk setiap ε > 0 akan selalu ada x₀ sehingga x₀ < c + ε.

Artinya c + ε bukan batas bawah karena ada x₀ yang nilainya lebih kecil (bawah) darinya.

Dari dua ilustrasi di atas, maka definisi supremum dan infimum dapat dinyatakan dalam notasi matematis sebagai berikut:

1. a batas atas terkecil dari S, jika (i) ∀x ∈ S, x ≤ a

(ii) ∀ε > 0, ∃x₀ ∈ S, ∋ x₀ > a – ε 2. c batas bawah terbesar dari S, jika

(i) ∀x ∈ S, c ≤ x

(ii) ∀ε > 0, ∃x₀ ∈ S, ∋ x₀ < c + ε

a – ε x₀ a

c x₀ c + ε

Contoh Soal :

Misalkan A dan B terbatas. Buktikan bahwa sup(A + B) = sup(A) + sup(B)

dengan

A + B = {a + b | a ∈ A dan b ∈ B}

Jawab :

Misal p = sup(A) dan q = sup(B). Karena

0 0 2

. .

sup( ) ( ) , ( ) 0,

p A i p a a A

ii ε a A a p ^ε

= ⇔ ≥ ∀ ∈

∀ > ∃ ∈ ∋ > − dan

0 0 2

sup( ) ( ) , ( ) ,

. 0

.

q B iii q b b B

iv ε b B b q ^ε

= ⇔ ≥ ∀ ∈

∀ > ∃ ∈ ∋ > − Dari (i) dan (iii) diperoleh

p + q ≥ a + b, ∀a ∈ A dan b ∈ B. Jadi, p + q ≥ a + b, ∀a + b ∈ A + B ……….. (*) Jadi p + q batas atas dari A + B

Dari (ii) dan (iv) diperoleh

∀ε > 0, ∃a₀ ∈ A dan b₀ ∈ B sehingga a₀ + b₀ > (p + q) – ε ………. (**) Dari (*) dan (**) terbukti bahwa p + q = sup(A + B)

Aksioma Kelengkapan

Setiap himpunan bagian dari yang tidak kosong dan terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil (supremum).

Setiap himpunan bagian dari yang tidak kosong dan terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar (infimum).

2.2. Bilangan Real yang Diperluas

Untuk memperluas sistem bilangan real , maka ditambahkan elemen ∞ dan –∞. Himpunan baru ini disebut himpunan bilangan real yang diperluas ^*. Relasi < diperluas definisinya pada ^* menjadi –∞ < x < ∞ untuk setiap x ∈ . Kemudian didefinisikan ∀x ∈ .

x + ∞ = ∞, x – ∞ = –∞

x.∞ = ∞ jika x > 0 x.–∞ = –∞ jika x > 0 dan

∞ + ∞ = ∞, –∞ – ∞ = –∞

∞.(±∞) = ±∞, –∞.(±∞) = ∓ ∞

Sedangkan operasi ∞ – ∞ tidak didefinisikan. Tetapi, 0.∞ = 0.

Salah satu kegunaan ^* adalah untuk mendefinisikan sup(S) dan inf(S) untuk semua S himpunan himpunan bagian dari yang tidak kosong S.

Jika S tidak terbatas di atas, maka sup(S) = ∞ Jika S tidak terbatas di bawah, maka inf(S) = –∞

Jadi, didefinisikan sup(∅) = –∞.

2.3. Bilangan Asli dan Bilangan Rasional sebagai Subset dari Bilangan Real

Kita telah menggunakan simbol 1 bukan hanya untuk menyatakan bilangan asli pertama tetapi juga bilangan real ‘spesial’ seperti yang dituliskan dalam aksioma A7. Pertama, didefinisikan bilangan real 3 sebagai 1 + 1 + 1. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bilangan real yang berkorespondensi dengan sembarang bilangan asli.

Berdasarkan prinsip rekursif maka terdapat sebuah fungsi ϕ: → yang memetakan bilangan asli ke bilangan real dengan definisi sebagai berikut:

ϕ(1) = 1 ϕ(n + 1) = ϕ(n) + 1

(Catatan: 1 menyatakan bilangan real pada sisi kanan dan bilangan asli pada sisi kiri)

Kita harus menunjukkan bahwa fungsi ϕ adalah fungsi satu-satu. Untuk menunjukkannya cukup ditunjukkan bahwa fungsi ϕ monoton.

Bukti :

Akan dibuktikan ϕ monoton naik.

Artinya, jika p < q maka ϕ(p) < ϕ(q) dengan p q ∈ . , Karena p < q maka q = p + n untuk setiap n ∈

Akan dibuktikan bahwa ϕ(p) < ϕ(p + n) Bukti dengan induksi

Untuk n = 1, diperoleh

ϕ(p) < ϕ(p + 1) = ϕ(p) + 1 Jadi, pernyataan benar untuk n = 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu berlaku ϕ(p) < ϕ(p + k) Akan dibuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1, ϕ(p + (k + 1)) = ϕ((p + k) + 1)

= ϕ(p + k) + 1

> ϕ(p) + 1

> ϕ(p)

Jadi, ϕ(p) < ϕ(p + (k + 1)). Artinya pernyataan benar untuk n = k + 1.

Berdasarkan induksi di atas, terbukti ϕ monoton. Dengan kata lain, terbukti ϕ satu-satu.

Selanjutnya, juga dapat dibuktikan (dengan induksi matematika) bahwa ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q)

dan ϕ(pq) = ϕ(p) ϕ(q)

Bukti : Pertama:

Misalkan q = n , ∀ ∈n . Diperoleh

ϕ(p + n) = ϕ(p) + ϕ(n) Untuk n = 1

(p 1) ( ) 1p ( )p (1) ϕ + =ϕ + =ϕ +ϕ Jadi pernyataan benar untuk n = 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu

ϕ(p + k) = ϕ(p) + ϕ(k) Akan dibuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1, yaitu:

( ( 1)) (( ) 1)

( ) 1

( ) ( ) 1

( ) ( 1)

p k p k

p k

p k

p k

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ + = + +

= + +

= + +

= + +

Jadi pernyataan benar n = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa ϕ(p + q) = ϕ(p) + ϕ(q)

Kedua:

Misalkan q = n , ∀ ∈n . Diperoleh

ϕ(pn) = ϕ(p) ϕ(n)

Untuk n = 1

ϕ(p1) = ϕ(p) = ϕ(p)1 = ϕ(p)ϕ(1) Jadi pernyataan benar untuk n = 1.

Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:

ϕ(pk) = ϕ(p)ϕ(k) Akan dibuktikan pernyaaan berlaku untuk n = k + 1, yaitu:

( )

( ( 1)) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1)

p k pk p

pk p

p k p

p k p k

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ = +

= +

= +

= +

= +

Jadi pernyataan benar n = k + 1. Berdasarkan prinsip induksi, terbukti bahwa ϕ(pq) = ϕ(p) ϕ(q)

Sehingga ϕ memberikan korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan subset bilangan real. Artinya ada korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dengan himpunan bagian dari bilangan real yang mengawetkan operasi penjumlahan, perkalian, dan relasi <. Jadi dapat dipandang sebagai himpunan bagian dari .

Dengan mendefinisikan selisih bilangan-bilangan asli, maka diperoleh himpunan bilangan bulat yang merupakan subset dari . Kemudian mendefinisikan pembagian bilangan-bilangan bulat diperoleh himpunan bilangan rasional . Jadi himpunan bilangan real isomorf¹ dengan , , dan

.

Proposisi :

Setiap himpunan terurut isomorf dengan , , dan . Aksioma Archimedes :

Untuk setiap x ∈ , ada n ∈ sehingga x < n

(Setiap bilangan real yang disebutkan, pasti ada bilangan bulat yang lebih besar darinya) Bukti :

Jika x < 0, diambil n = 0.

Jika tidak demikian, didefinisikan himpunan

{ | }

S= ∈k k x≤ , x ≥ 0

Sehingga himpunan S mempunyai batas atas yaitu x. Dari definisi di atas, S tidak kosong karena paling tidak S memuat 1 elemen yaitu x. Karena S tidak kosong dan terbatas di atas maka S mempunyai supremum (aksioma kelengkapan). Misalkan

y = sup(S)

Karena y supremum, maka y − bukan batas atas. Oleh karena itu ada k ∈ S sehingga ¹₂

12

k> − y Jika kedua ruas ditambah 1, diperoleh

21

1

k+ > + > y y

Karena y supremum, maka k+ ∉ . Karena k + 1 bilangan bulat yang bukan elemen S, maka 1 S k + 1 > x

Jadi dipilih n = k + 1 ∈ . (cool!!) Akibat :

Terdapat suatu bilangan rasional diantara dua bilangan real sembarang Dengan kata lain, jika x < y maka r∃ ∈ sehingga x < r < y.

1 Ekuivalen, ada korespondensi 1-1

Konstruksi bukti :

Diketahui x < r < y, berarti dicari bilangan ,n q ∈ sehingga n

r = dengan q n

x < dan nq y q < . Didefinisikan² himpunan |n

S n y

q

⎧ + ⎫

=⎨ ∈ ≥ ⎬

⎩ ⎭. Dari sini jelas S memiliki batas bawah, yaitu y.

Karena S terbatas ke bawah dan S tidak kosong maka S memiliki batas bawah terbesar³, misalkan p = inf(S) dan p∈ ⁺. Karena p ∈ S maka p

q ≥ atau y p

y≤ . Selain itu p – 1∉ S. q Oleh karena itu p 1

q y

− < atau p 1

y q

> − .

Di lain pihak 1

( ) p ( ) p

x y y x y x y

q q

= − − < − − < − < . Jadi 1

( )

p p

q y x q

− − < − atau

1 1 1

( ) ( )

p p

y x y x q y x

q q q

− −

− < − ⇔ − > ⇔ > − . Bilangan q inilah yang diambil sebagai bilangan bulat yang lebih besar⁴ dari (y – x)^–1

Bukti :

Jika x ≥ 0, maka untuk setiap bilangan real (y – x)^–1 ada q ∈ sehingga ( ) 1

q> y x− ⁻ atau 1 1

y x y x

q q

− > ⇔ < − Misalkan

|n

S n y

q

⎧ + ⎫

=⎨ ∈ ≥ ⎬

⎩ ⎭

S ≠ ∅ karena paling tidak y ∈ S. Dari definisi S tersebut S terbatas ke bawah. Karena S ≠ ∅ dan terbatas ke bawah maka S memiliki infimum, misalkan p = inf(S). Karena p ∈ S maka

p y

q ≥ atau p y≤ q Karena p ∈ S maka p – 1∉ S. Oleh karena itu,

1

p y

q

− < atau p 1

y q

> − Sehingga

1

p p

q y q

− < ≤ dan 1 1

( ) p p

x y y x

q q q

= − − < − = − Jadi,

1 x p

q

< − dan p 1 q y

− < .

Dari sini dipilih p 1

r q

= − ∈ yang jelas terletak diantara x dan y.

Jika x < 0, diambil n ∈ sehingga n > –x atau n + x > 0. Jadi, menurut pembuktian di atas, ada r ∈ dengan n + x < r < y < y + n atau x < r – n < y. Jelas r – n bilangan rasional.

2 Pendefinisian ini didasarkan pada hipotesis bahwa y paling besar. Jadi, dibentuk himpunan dengan anggota-anggota bilangan rasional dan bernilai lebih besar dari y. Idenya adalah agar himpunan mempunyai infimum, misalkan p.

3 Berdasarkan Aksioma Kelengkapan

4 Berdasarkan Aksioma Archimedes

2.4. Barisan Bilangan Real

Barisan bilangan real <x_n> adalah suatu fungsi yang memetakan setiap bilangan asli n ke bilangan real x_n. Bilangan real l dikatakan limit barisan <x_n> jika untuk setiap ε positif terdapat bilangan N sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |x_n – l| < ε. Secara matematis,

( )( ) ( ) ( )

lim _n 0 _n

l = x ⇔ ∀ >ε ∃N ∋ n N≥ x − <l ε

Barisan bilangan real <x_n> disebut barisan Cauchy jika untuk setiap ε positif terdapat bilangan N sehingga untuk setiap n, m ≥ N berlaku |x_n – x_m| < ε. Jadi

( )( ) ( ) ( )

barisan Cauchy 0 ,

n n m

x ⇔ ∀ >ε ∃N ∋ n m N≥ x −x <ε

Kriteria Cauchy :

Barisan bilangan real <x_n> konvergen⁵ jika dan hanya jika <x_n> barisan Cauchy.

Notasi limit ini diperluas untuk memasukkan bilangan ∞ (pada ^*)sebagai berikut.

lim , jika 0, ,

lim , jika 0, ,

n n

n n

x N n N x

x N n N x

= ∞ ∀∆ > ∃ ∋ ∀ ≥ > ∆

= −∞ ∀∆ > ∃ ∋ ∀ ≥ < −∆

Misalkan S(l, ε) = {x ∈ : |x – l| < ε}, maka

l = lim x_n, jika ∀ε > 0, ∃N, ∋ x_n ∈ S(l, ε), ∀n ≥ N

Pada kasus ini l adalah titik limit (cluster point) dari <x_n>. Jadi titik l dikatakan titik limit (Cluster Point) dari barisan <x_n> jika ∀ε > 0, terdapat sedikitnya satu titik x_N sehingga |x_N – l| < ε. Bilamana konsep ini diperluas pada ^*, l = ∞ titik limit dari barisan <x_n>, jika ∀∆ > 0 terdapat paling sedikit satu titik x_N sehingga x_N ≥ ∆.

Jika <x_n> adalah suatu barisan, didefinisikan limit superior sebagai

1 2 2 3

lim lim sup_{n n} inf sup _k inf{sup{ , ,....},sup{ , ,...},...}

n k n

x x x x x x x

≥

= = = ⁶

Simbol lim dan lim sup keduanya digunakan untuk limit superior. Bilangan real l dikatakan limit superior dari barisan <x_n> jika dan hanya jika :

(i) ∀ε > 0, ∃n ∋ ∀k ≥ n, x_k < l + ε

(ii) ∀ε > 0 dan ∀n, ∃k ≥ n, x_k > l – ε (ada paling sedikit satu titik x_k sehingga x_k > l – ε

Untuk bilangan real yang diperluas ∞ adalah limit superior <x_n> jika dan hanya jika ∀∆ dan n terdapat k ≥ n sedemikian sehingga x_k ≥ ∆. Bilangan real –∞ adalah limit superior <x_n> jika dan hanya jika –∞ = lim x_n.

Limit inferior didefinisikan sebagai

1 2 2 3

lim lim inf_{n n} sup inf _k sup{inf{ , ,....}, inf{ , ,...},...}

n k n

x x x x x x x

= = ≥ =

Sifat-sifat:

1) ^{lim lim}

(

−xn

)

= − xn

2) lim lim x_n ≤ x_n

3) limx_n =l (pada ^*) ⇔ =l lim x_n =lim x_n 4) lim lim lim x_n + y_n ≤ (x_n + y_n) lim lim ≤ x_n + y_n

lim (x_n y_n) lim x_n lim y_n

≤ + ≤ +

2.5. Himpunan Terbuka dalam Bilangan Real

Selang buka (a, b) = {x | a < x < b}. Notasi B(x, δ) = {y | |x – y| < δ} = (x – δ, x + δ) menyatakan bola yang berpusat di x dan berjari-jari δ. Dalam bilangan real, B(x, δ) adalah selang buka.

5 Limitnya ada

6 Diantara supremum-supremum tersebut, manakah infimumnya?

Definisi :

Himpunan O dikatakan terbuka di jika

, 0 ( , )

x O δ B x δ O

∀ ∈ ∃ > ∋ ⊂

Dengan kata lain, ∀x ∈ O selalu terdapat selang buka I yang memuat x sehingga I ⊂ O.

Selang buka adalah contoh dari himpunan terbuka. Himpunan kosong dan juga contoh dari himpunan terbuka.

Proposisi :

Jika O₁ dan O₂ terbuka maka O₁ ∩ O₂ terbuka.

Bukti :

Diambil sebarang x ∈ O₁ ∩ O₂. Akan ditunjukkan ∃δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O₁ ∩ O₂.

Karena x ∈ O₁ ∩ O₂, maka x ∈ O₁ dan x ∈ O₂. Karena O₁ dan O₂ terbuka maka ∃δ₁, δ₂ > 0 sehingga B(x, δ₁) ⊂ O₁ dan B(x, δ₂) ⊂ O₂. Artinya

|t – x| < δ₁ dan

|t – x| < δ₂ Dengan mengambil δ = min(δ₁, δ₂), diperoleh

|t – x| < δ < δ₁ dan

|t – x| < δ < δ₂

Dengan kata lain, ∀t ∈ B(x, δ) berlaku t ∈ B(x, δ₁) dan t ∈ B(x, δ₂), dengan δ = min{δ₁, δ₂}.

Jadi B(x, δ) ⊂ O₁ dan B(x, δ) ⊂ O₂. Sehingga B(x, δ) ⊂ O₁ ∩ O₂. Akibat :

Irisan sejumlah berhingga himpunan terbuka adalah terbuka.

Bukti :

Misal O_i , i = 1, …, n himpunan terbuka. Akan dibuktikan

1 n

i i

O

∩

= terbuka. Maka,

1

, 1, ,

0 ( , ) , 1, , ( , ) ,

. .

. min{ }, 1, ,

n

i i

i

i i i

i i

x O x O i n

B x O i n

B x O i n

δ δ

δ δ δ

=

∈ ⇔ ∈ =

⇔ ∃ > ∋ ⊂ =

⇔ ⊂ = =

∩

Jadi,

1 n

i i

O

∩

= ^terbuka.

Another version (alternate soln) : Diambil sebarang

1 n

i i

x O

=

∈

∩

, maka x ∈ O_i dengan O_i terbuka ∀i.

Karena x ∈ O₁ dan O₁ terbuka, maka terdapat δ₁ > 0 sehingga B(x, δ₁) ⊂ O₁ Karena x ∈ O₂ dan O₂ terbuka, maka terdapat δ₂ > 0 sehingga B(x, δ₂) ⊂ O₂ Demikian seterusnya.

Karena x ∈ O_n dan O_n terbuka, maka terdapat δ_n > 0 sehingga B(x, δ_n) ⊂ O_n

Diambil δ = min{δ₁, δ₂, . . ., δ_n}, jelas bahwa δ > 0. Maka B(x, δ) ⊂ B(x, δ_i) ⊂ O_i, i = 1, 2, …, n yang berakibat bahwa

1

( , ) ⁿ _i

i

B x δ O

=

⊂

∩

. Jadi terbukti bahwa

1 n

i i

O

∩

= ^terbuka

Konvers dari proposisi di atas diberikan pada proposisi sebagai berikut

Proposisisi :

Setiap himpunan terbuka di merupakan gabungan terhitung dari selang-selang terbuka yang saling asing.

Bukti :

Misalkan O sebarang himpunan terbuka di .

Karena O terbuka, maka untuk setiap x ∈ O terdapat y > x sedemikian sehingga (x, y) ⊂ O.

Misalkan

b = sup {y | (x, y) ⊂ O}, dan a = inf {z | (z, x) ⊂ O}

maka a < x < b dan I_x = (a, b) adalah selang terbuka yang memuat x.

Klaim I_x ⊂ O. Diambil sebarang w ∈ I_x, sebut x < w < b, berdasarkan definisi b di atas, maka diperoleh bilangan y > w sehingga (x, y) ⊂ O. Jadi w ∈ O.

Klaim b ∉ O. Andaikan b ∈ O, maka ada ε > 0 sehingga (b – ε, b + ε) ⊂ O atau (x, b + ε) ⊂ O.

Kontradiksi dengan definisi b. Secara sama dapat dibuktikan bahwa a ∉ O.

Himpunan {I_x}, x ∈ O merupakan koleksi selang-selang buka.

Karena setiap x di O termuat di I_x dan setiap I_x termuat di O, diperoleh O=

∪

I_x ^.

Misalkan (a, b) dan (c, d) sebarang dua selang di O dengan beberapa titik yang sama. Maka haruslah c < b dan a < d.

Karena c ∉ O, maka c ∉ (a, b). Diperoleh c ≤ a.

Karena a ∉ O, maka c ∉ (c, d). Diperoleh a ≤ c.

Jadi a = c. Secara sama, diperoleh b = d. Akibatnya (a, b) = (c, d).

Sehingga setiap dua selang yang berbeda di {I_x} pasti saling asing. Jadi, O merupakan gabungan selang-selang buka yang saling asing. Terakhir tinggal ditunjukkan O terhitung.

Setiap selang buka memuat bilangan rasional⁷. Karena O gabungan selang-selang buka yang saling asing dan setiap interval buka memuat bilangan rasional maka terdapat korespondensi 1-1 antara O dengan himpunan bilangan rasional atau himpunan bagiannya. Jadi O terhitung.

Proposisi :

Jika C koleksi himpunan terbuka di , maka

O C

O

∪

∈ himpuan terbuka di . Bukti :

, untuk suatu

0 ( , ) , untuk suatu 0 (

. .

. , )

O C

O C

x O x O O C

B x O O C

B x O

δ δ

δ δ

∈

∈

∈ ⇔ ∈ ∈

⇔ ∃ > ∋ ⊂ ∈

⇔ ∃ > ∋ ⊂

∪

∪

Jadi,

O C

O

∪

∈ himpunan terbuka di . Another version (with countable revision) : Diambil sebarang

O C

x O

∈

∈

∪

, maka terdapat O ∈ C sehingga x ∈ O. Karena O terbuka maka terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O ⊂

O C

O

∪

∈ . Jadi terbukti bahwa untuk setiap

O C

x O

∈

∈

∪

terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂

O C

O

∪

∈ yang berarti

O C

O

∪

∈ ^terbuka.

7 Aksioma Archimedes

Perlu diperhatikan bahwa, jika C koleksi himpunan terbuka di maka

O C

O

∩

∈ ⁸ belum tentu himpunan terbuka di . Sebagai contoh, 1 1

n ,

O n n

⎛ ⎞

= −⎜⎝ ⎟⎠ selang terbuka, tetapi

1 n {0}

n

O

∞

=

∩

= ^bukan

himpunan hingga di . Proposisi (Lindelöf) :

Misalkan C koleksi himpunan terbuka di , maka terdapat {O_i} subkoleksi terhitung dari C sedemikian sehingga

1 i

O C i

O O

∞

∈ =

∪

=

∪

Bukti : Misal

{ | }

U =

∪

O O C∈

Diambil sebarang x ∈ U. Maka terdapat himpunan O ∈ C, dengan x ∈ O.

Karena O terbuka, maka terdapat selang buka I_x sehingga x ∈ I_x ⊂ O. Diperoleh⁹ bahwa terdapat selang buka J_x dengan titik akhir bilangan rasional sehingga x ∈ J_x ⊂ I_x. Karena koleksi semua selang buka dengan titik akhir bilangan rasional adalah terhitung, maka himpunan {J_x}, x

∈ U terhitung dan _x

x U

U J

∈

=

∪

^.

Untuk setiap selang di {J_x} pilih himpunan O di C yang memuat J_x. Diperoleh subset terhitung

{ }

^O_{i i}^∞₌₁ dari C, dan

1 i

O C i

U O O

∞

∈ =

=

∪

=

∪

2.6. Himpunan Tertutup

Penutup himpunan E dinotasikan E Definisi :

0, | |

x E∈ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∋ − <δ y E x y δ

Dengan kata lain, x E∈ , jika setiap selang buka yang memuat x juga memuat suatu titik di E¹⁰. Jadi, jelas E⊂E.

Contoh :

E = (0, 1]. Tentukan E. Apakah x = 0 ∈ E?

0, y E (0,1] |x y|

δ δ

∀ > ∃ ∈ = ∋ − <

Perhatikan bahwa

1 0

yn

= → n

∀δ > 0, ∃n₀ ∈ N, ∋ |y_n – 0| < δ, ∀n ≥ n₀ atau, ∀δ > 0, |y_n – 0| < δ

Pilih ₀

0

1 (0,1]

yn

=n ∈ . Karena 1

n → , maka ∀0 δ > 0, |y_n – 0| < δ. Sehingga x = 0 ∈ E. Jadi, E =[0,1].

8 Irisan tak berhingga himpunan-himpunan terbuka

9 Lihat proposisi : Jika x dan y bilangan real dan x < y maka terdapat bilangan rasional r sehingga x < r < y

10 |x – y| < δ, berarti y ∈ (x – δ, x + δ). Sehingga ∀δ > 0, y ∈ (x – δ, x + δ). Jadi, setiap selang terbuka yang memuat x, juga memuat suatu titik (yaitu y) di E.

Proposisi :

1. Jika A⊂ maka B A⊂B 2. A B A B∪ = ∪

Bukti :

1. Diambil sebarang δ > 0 dan x∈ . A

Karena x∈ , maka ∃y ∈ A ∋ |y – x| < A δ.

Karena A ⊂ B, maka y ∈ B ∋ |y – x| < δ. Menurut definisi, x B∈ . Jadi terbukti A⊂B. 2. Karena A ⊂ A ∪ B, berdasar 1) di atas maka A⊂ A B∪ .

Hal yang sama, karena B ⊂ A ∪ B maka B⊂ A B∪ . Jadi, A B∪ ⊂A B∪ .

Kemudian, akan dibuktikan bahwa A B∪ ⊂A B∪ . Disini dibuktikan kontraposisinya, yaitu jika x∉ ∪ maka A B x∉ ∪A B.

Karena x∉ ∪ , maka x AA B ∉ dan x B∉ .

1 1

2 2

0 tidak ada dengan | | 0 tidak ada dengan | |

x A y A x y

x B y B x y

δ δ

δ δ

∉ ⇒ ∃ > ∋ ∈ − <

∉ ⇒ ∃ > ∋ ∈ − <

Diambil δ = min{δ₁, δ₂}, maka tidak ada y ∈ A ∪ B dengan |y – x| < δ. Jadi, x∉ ∪A B.

Ini berarti, jika x∉ ∪ maka A B x∉ ∪A B. Bukti lain :

Diambil sebarang δ > 0 dan x∈ ∪A B.

0, | |

x∈ ∪ ⇒ ∀ > ∃ ∈ ∪ ∋ − < A B δ y A B y x δ Karena y ∈ A ∪ B, maka y ∈ A atau y ∈ B.

Untuk y ∈ A dengan |y – x| < δ diperoleh x∈ A Untuk y ∈ B dengan |y – x| < δ diperoleh x B∈ Jadi, x∈ ∪ . A B

Definisi :

Himpunan F disebut tertutup (closed) jika F =F

Menurut definisi F ⊂F , maka himpunan F disebut tertutup jika F ⊂F , yaitu jika F memuat semua titik-titik clusternya.

Contoh :

1) F = (0, 1] bukan himpunan tertutup, sebab F =[0,1]≠F 2) F = [0, 1] himpunan tertutup, sebab F =[0,1]=F 3) Selang [a, b] dan [1, ∞] adalah himpunan tertutup 4) adalah himpunan tertutup

5) F = ∅. Akan dibuktikan bahwa ∅ = ∅ Bukti :

Dari definisi, ∅ ⊂ ∅ . Jadi, tinggal dibuktikan ∅ ⊂ ∅ . .

.

0, , | |

0, , ( , )

.

x y y x

y y B x

x

δ δ

δ δ

∈∅ ⇔ ∀ > ∃ ∈∅ ∋ − <

⇔ ∀ > ∃ ∈∅ ∋ ∈

⇔ ∈∅

Jadi, ∅ ⊂ ∅ . Oleh karena itu terbukti bahwa ∅ ⊂ ∅ . Proposisi :

Penutup himpunan E adalah tertutup.

Bukti :

Akan dibuktikan E E= . Dari definisi, E⊂E. Jadi, tinggal dibuktikan E⊂E. Misalkan x E∈ .

0, , | | 2

x E∈ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∋ − <δ y E y x δ

Karena y E∈ maka untuk δ di atas, terdapat z ∈ E sehingga |z_{− <}y| δ 2_. Jadi, untuk δ di atas, terdapat z ∈ E sehingga

. . .

| | | |

| | | |

2 2

z x z y y x

z y y x

δ δ δ

− = − + −

< − + −

< + = Ini berarti x E∈ Proposisi :

Jika F₁ dan F₂ tertutup, maka F₁ ∪ F₂ tertutup.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa F₁∪F₂ =F₁∪ . F₂

Dari definisi, jelas bahwa F₁∪F₂⊂F₁∪F₂ sehingga cukup dibuktikan F₁∪F₂ ⊂F₁∪ F₂ Diambil sebarang x F∈ ∪₁ F₂. Akan dibuktikan bahwa x F∈ ∪ . Menurut proposisi ₁ F₂ sebelumnya, x F∈ ∪₁ F₂ =F₁∪F₂. Karena F₁ dan F₂ tertutup, maka x F∈ ∪ . ₁ F₂

Proposisi :

Irisan koleksi himpunan tertutup adalah tertutup Bukti :

Misalkan C koleksi himpunan-himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa

∩

{ |F F C∈ } tertutup, yaitu { |

∩

F F C∈ }=

∩

{ |F F C∈ }. Menurut definisi, cukup dibuktikan

{ |F F C∈ }⊂ { |F F C∈ }

∩ ∩

^.

Diambil sebarang x∈

∩

{ |F F C∈ }. Maka untuk setiap δ > 0 terdapat y∈

∩

{ |F F C∈ } sehingga |y – x| < δ.

Karena y∈

∩

{ |F F C∈ } maka y ∈ F untuk setiap F ∈ C dengan |y – x| < δ. Menurut definisi, diperoleh bahwa x F∈ untuk setiap F ∈ C.

Karena F ∈ C maka F tertutup. Karena F tertutup maka F =F akibatnya x ∈ F, untuk setiap F ∈ C. Dari sini maka, x∈

∩

{ |F F C∈ }^.

Jadi terbukti bahwa { |

∩

F F C∈ }⊂

∩

{ |F F C∈ }. Sehingga

∩

{ |F F C∈ } tertutup.

Proposisi :

1. Komplemen himpunan terbuka adalah tertutup 2. Komplemen himpunan tertutup adalah terbuka Bukti :

1. Misalkan O himpunan terbuka. Akan dibuktikan bahwa O^c =O^c. Dari definisi O^c ⊂O^c. Jadi cukup dibuktikan O^c ⊂O^c. Akan dibuktikan kontraposisinya.

Karena O terbuka, maka ∀x ∈ O, ∃δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ O.

Karena x ∈ O, maka x ∉ O^c.

Misalkan y ∈ B(x, δ). Karena B(x, δ) ⊂ O maka y ∈ O.

Sehingga, jika |y – x| < δ maka y ∈ O. Artinya, tidak ada y ∈ O^c sehingga |y – x| < δ. Sesuai definisi penutup, x O∉ ^c

2. Misalkan F himpunan tertutup. Akan dibuktikan bahwa F^c terbuka.

Diambil sebarang x ∈ F^c, akan dibuktikan bahwa terdapat δ > 0 sehingga B(x, δ) ⊂ F^c. Jika δ > 0 diambil sembarang, maka cukup dibuktikan B(x, δ) ⊂ F^c. Akan dibuktikan kontraposisinya.

Karena x ∈ F^c maka x ∉ F. Karena F tertutup, maka x F∉ = . Artinya, tidak ada F y F∈ sehingga untuk setiap δ > 0 yang diberikan berlaku |y – x| < δ. Sehingga, untuk setiap y ∈ F berlaku y ∉ B(x, δ). Jadi, untuk setiap y ∉ F^c maka y ∉ B(x, δ).

Koleksi himpunan C disebut selimut (covers) dari himpunan F jika

{ : }

F ⊂

∪

O O C∈

dalam hal ini koleksi himpunan C disebut menyelimuti (covering) F. Jika setiap O ∈ C terbuka, maka koleksi C disebut selimut terbuka (open covering) dari F. Jika C hanya memuat sejumlah berhingga himpunan-himpunan, maka koleksi C disebut selimut hingga (finite covering). Dalam hal ‘selimut terbuka’, kata sifat ‘terbuka’ tersebut menunjukkan sifat himpunan-himpunan dalam selimut dan tidak bermakna

‘diselimuti oleh himpunan terbuka’. Demikian juga dengan istilah ‘selimut hingga’ tidak menunjukkan bahwa selimutnya merupakan himpunan berhingga.

Teorema (Heine-Borel) :

Misalkan F tertutup dan terbatas pada . Maka setiap selimut terbuka dari F mempunyai selimut bagian yang berhingga.

Dengan kata lain, jika C adalah koleksi himpunan terbuka sehingga F ⊂

∪

{ :O O C∈ } maka ada koleksi berhingga {O₁, O₂, . . ., O_n} pada C sehingga

1 n

i i

F O

=

⊂

∪

^.

Bukti :

(see ‘Real Analysis’, 3^rd ed., H.L. Royden, page 45) 2.7. Fungsi Kontinu

Misalkan f fungsi bernilai real dengan domain E merupakan himpunan bilangan real. Berikut ini definisi-definisi kontinu di titik, kontinu pada E, dan kontinu seragam pada E¹¹.

Definisi :

Fungsi f dikatakan kontinu di titik (continuous at the point) x ∈ E jika ∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga ∀y

∈ E, dengan |y – x| < δ maka |f(x) – f(y)| < ε.

Fungsi f dikatakan kontinu pada (contiuous on) A subset dari E jika f kontinu di setiap titik dari A.

Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada (uniformly continuous on) E, jika ∀ε > 0, ∃δ > 0 sehingga

∀x, y ∈ E, dengan |y – x| < δ maka |f(x) – f(y)| < ε.

Untuk selanjutnya, jika disebutkan f kontinu, maka yang dimaksud adalah f kontinu pada domainnya.

Proposisi :

Misalkan f fungsi bernilai real yang kontinu dan didefinisikan pada F. Jika F kontinu dan terbatas, maka f terbatas pada F dan mempunyai titik maksimum dan minimum pada F.

Artinya ada titik x₁ dan x₂ di dalam F sehingga f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂), ∀x ∈ F.

Bukti :

11 Pembedaan ini hanya terlihat dari bagaimana ketergantungan pemilihan δ terhadap yang lain (x, y, atau δ)

(see ‘Real Analysis’, 3^rd ed., H.L. Royden, page 47) Proposisi :

Misalkan f fungsi bernilai real yang didefinisikan pada . Fungsi f kontinu pada jika dan hanya jika f^–1(O) terbuka untuk setiap O himpunan terbuka di .

Bukti :

(see ‘Real Analysis’, 3^rd ed., H.L. Royden, page 47–48) Teorema (Teorema Nilai Antara) :

Misalkan f fungsi bernilai real dan kontinu pada [a, b]. Jika f(a) ≤ f(y) ≤ f(b) atau f(b) ≤ f(y) ≤ f(a) maka ada c ∈ [a, b] sedemikian sehingga f(c) = y.

Proposisi :

Jika f fungsi bernilai real dan kontinu pada himpunan tertutup dan terbatas F maka f kontinu seragam pada F.

Bukti :

(see ‘Real Analysis’, 3^rd ed., H.L. Royden, page 48) Definisi :

Misalkan <f_n> barisan fungsi pada E. Barisan <f_n> dikatakan konvergen titik demi titik (converge pointwise) pada E ke fungsi f, jika ∀x ∈ E dan ε > 0, ∃N¹² sehingga |f(x) – f_n(x)| < ε, ∀n ≥ N.

Barisan <f_n> dikatakan konvergen seragam (converge uniformly) pada E ke fungsi f, jika ∀ε > 0,

∃N¹³ sehingga ∀x ∈ E, |f(x) – f_n(x)| < ε, ∀n ≥ N.

2.8. Himpunan Borel

Walaupun irisan dari sebarang koleksi himpunan tertutup adalah tertutup dan gabungan dari koleksi berhingga dari himpunan tertutup juga tertutup, tetapi gabungan dari koleksi terhitung himpunan-himpunan tertutup tidak harus tertutup.

Sebagai contoh, himpunan bilangan rasional adalah gabungan dari koleksi terhitung himpunan- himpunan tertutup yang setiap himpunannya memuat tepat satu anggota.

Definisi :

Koleksi himpunan Borel B adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan-himpunan terbuka.

Eksistensi aljabar-σ ini dijamin oleh proposisi¹⁴ 3 di Bab I. Lebih lanjut, aljabar-σ terkecil ini juga memuat semua himpunan-himpunan tertutup dan memuat pula semua selang-selang buka.

Himpunan yang merupakan gabungan terhitung dari himpunan-himpunan tertutup disebut Fσ atau dikatakan memiliki tipe Fσ (F untuk tertutup, σ untuk jumlah). Sehingga, himpunan D dikatakan memiliki tipe Fσ jika dapat ditulis

1 n n

D F

∞

=

=

∪

untuk setiap himpunan tertutup F_n di R.

Jika F himpunan tertutup, maka F memiliki tipe Fσ sebab F dapat ditulis menjadi

1 n n

F F

∞

=

=

∪

dengan F₁ = F; F₂ = F₃ = F₄ = . . . = ∅ yang merupakan himpunan tutup. Juga, selang buka (a, b) memiliki tipe Fσ, sebab

12 Pemilihannya bergantung pada x

13 Pemilihannya tidak bergantung pada x

14 Proposisi : Misalkan C koleksi himpunan bagian dari X, maka terdapat aljabar-σ terkecil R yang memuat C.

1

1 1

( , ) ,

n

a b a b

n n

∞

=

⎡ ⎤

=

∪

⎢⎣ + − ⎥⎦

Dari sini diperoleh bahwa setiap himpunan terbuka memiliki tipe Fσ. Sebab, jika O buka maka :

1

1 1

,

n

O a b

n n

∞

=

⎡ ⎤

=

∪

⎢⎣ + − ⎥⎦ Dengan a = batas bawah O, dan b = batas atas O.

Irisan terhitung dari semua himpunan terbuka dikatakan memiliki tipe Gδ. Jadi, suatu himpunan dikatakan memiliki tipe Gδ jika himpunan tersebut merupakan irisan terhitung dari semua himpunan terbuka.

Jadi, komplemen dari himpunan yang memiliki tipe Fσ adalah himpunan yang memiliki tipe Gδ

dan demikian juga sebaliknya. Sebab,

( )

1 1 1

1

.

.

c c

c

n n n

n n n

c n n

F F F F F F

F

σ σ σ

∞ ∞ ∞

= = =

∞

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⇒⎜ = ⎟ ⇔ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

∪ ∪ ∪

∩

Karena F_n tertutup untuk setiap F_n di maka menurut proposisi, F_n^c terbuka. Terlihat (Fσ)^c merupakan irisan terhitung dari himpunan-himpunan terbuka. Jadi terbukti bahwa (Fσ)^c memiliki tipe Gδ. Bukti sebaliknya analog.

Himpunan yang memiliki tipe Fσ dan Gδ adalah contoh himpunan Borel, yaitu aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan terbuka dan tertutup.