Mamin-3.4/4.4/ 12 /04

Di kelas XI dulu kalian sudah mempelajari tentang materi nilai stasioner fungsi aljabar Pengetahuan ini juga dipakai untuk menentukan nilai stasioner fungsi trigonometri.

Nilai stasioner fungsi dapat ditentukan dengan menggunakan uji turunan pertama dan uji turunan kedua.

A. Nilai stasioner fungsi ada 3 jenis, yaitu : 1. Nilai balik maksimum

2. Nilai balik minimum 3. Titik belok

Tergantung hasil uji tanda f’ (x) disekitar titik tersebut. Hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

Jika f’ (a) = 0, maka f (a) adalah nilai stasioner f pada x = a.

Nilai stasioner itu mungkin nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau titik belok horisontal pada grafik f

Secara umum :

Misanya x = a memberikan niai stasioner sebesar f(a) dari fungsi f dan jika f’ (x) ada, maka di sekitar x=a ada 4 kemungkinan grafik f

AKTIVITAS 4.2

Masih ingatkah dengan gradient/

kemiringan suatu garis ?

1. Jika suatu garis miring ke kanan maka gradiennya bertanda …..

2. Jika suatu garis miring ke kiri maka gradiennya bertanda …..

3. Jika suatu garis sejajar dengan sumbu x maka gradiennya bernilai …

4. Jika suatu garis sejajar dengan sumbu y maka gradiennya bernilai …..

Gunakan pengetahuan tersebut untuk menyelesaikan soal-soal berikut di buku tulis kalian

Contoh : 1.Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya fungsi f(x)=2 sin x untuk 0≤x≤2 𝜋 Jawab :

Cara 1 : f(x) = 2 sin x f’(x) = 2 cos x

Syarat nilai stasioner f’(x) = 0 2 cos x = 0

cos x = 0 maka x = ^𝜋

2 dan x = ^3𝜋

2

Untuk x = ^𝜋

2 maka f( ^𝜋

2) = 2 sin ^𝜋

2 = 2 Untuk x = ^3𝜋

2 maka f( ^3𝜋 ₂ ) = 2 sin ^3𝜋₂ = -2 Jadi nilai stasionernya 2 untuk x = ^𝜋

2 dan -2 untuk x = ^3𝜋

2 atau titik-titik stasionernya A (^𝜋

2 , 2) dan B (^3𝜋

2 , -2) x a- a a+

f’(x) - 0 +

x a- a a+

f’(x) + 0 -

f(a) merupakan nilai balik minimum f(a) merupakan nilai balik maksimum

x a- a a+

f’(x) + 0 +

x a- a a+

f’(x) - 0 -

- untuk x =

2 , f’ (

2) = 2 cos

2 = 0 - untuk x > ^𝜋

2 , misal x = ^2𝜋

3 maka f’ (^2𝜋

3) = 2 cos ^2𝜋

3 = 2(- ¹

2)=-1 < 0

f’(x) berganti tanda dari positif (+) melalui nol menjadi negatif (-) maka titik A (^𝜋

2 , 2) adalah titik balik maksimum

2)

titik stasioner di B (^3𝜋

2 , -2) - untuk x < ^3𝜋

2 , misal x = ^5𝜋

4 maka f’ (^5𝜋

4) = 2 cos ^5𝜋

4 = 2( −¹

2√2) = − √2 < 0 - untuk x = ^3𝜋

2 , f’ (^𝜋

2) = 2 cos ^3𝜋

2 = 0 - untuk x > ^3𝜋

2 , misal x = ^5𝜋

3 maka f’ (^5𝜋

3) = 2 cos ^5𝜋

3 = 2(¹

2)= 1 > 0

f’(x) berganti tanda dari negatif (-) positif (+) melalui nol menjadi positif (+) maka titik B (^3𝜋

2 , -2) adalah titik baik minimum

Dari gambar tampak untuk nilai stasioner di x = 𝜋 bahwa f’(x) tidak berganti tanda yaitu negatif melalui nol menjadi negatif. Maka titik (

𝜋 ,

0) adalah titik belok grafik fungsi y = 2 sin x.

Cara 2 : f(x) = 2 sin x f’(x) = 2 cos x

Syarat nilai stasioner f’(x) = 0 2 cos x = 0

cos x = 0 maka x = ^𝜋

2 dan x = ^3𝜋

2

Untuk x = ^𝜋

2 maka f( ^𝜋

2) = 2 sin ^𝜋

2 = 2 Untuk x = ^3𝜋

2 maka f( ^3𝜋 ₂ ) = 2 sin ^3𝜋₂ = -2 Jadi nilai stasionernya 2 untuk x = ^𝜋

2 dan -2 untuk x = ^3𝜋

2 atau titik-titik stasionernya A (^𝜋 , 2) dan B (^3𝜋 , -2)

Contoh : 2. Tentukan nilai-nilai stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x)=sin x(1+cos x) untuk 0^o ≤ x ≤ 360^o

Jawab :

Cara 1 : f (x) = sin x ( 1 + cos x )

f' (x) = cos x ( 1 + cos x ) + sin x ( - sin x) = cos x + cos² x – sin² x

= cos x + cos 2x

Nilai stasioner

didapat jika →

f' (x) = 0 cos x + cos 2x = 0

cos x + 2 cos² x – 1 = 0 2 cos² x + cos x – 1 = 0 (2 cos x – 1) ( cos x + 1) = 0 2 cos x – 1 = 0 atau cos x + 1 = 0 cos x = ¹

2 atau cos x = -1 x = 60^o , 300^o atau x = 180^o

x = 60^o

→

^{f (60o) = sin 60o} ( 1 + cos 60^o )

=

¹

2

√3 (1 +

¹

2

)

= ³

4√3

x = 180^o

→

^{f (180o}) = sin 180^o ( 1 + cos 180^o ) = 0

x = 300^o

→

^{f (300o}) = sin 300^o ( 1 + cos 300^o )

= −

¹

2

√3 (1 +

¹₂

)

= −³₄√3

1) Nilai stasioner di A(60^o, ³

4√3)

• Untuk x < 60^o

→

misal x = 30^o f' (30^o) = cos 30^o - cos 60^o

= ¹

2

√3 −

¹₂

> 0

• Untuk x = 60^o

f' (60^o) = cos 60^o + cos 120^o = ¹

2

−

¹

2

= 0

• Untuk x > 60^o

→

misal x = 90^o f' (90^o) = cos 90^o + cos 180^o

=

0 – 1 = -1< 0

f' (x) berganti tanda dari positif (+) melalui nol (0) menjadi negatif (-) maka titik A(60^o, ³₄√3) adalah titik balik maksimum.

2) Nilai stasioner di B(180^o,0)

• Untuk x < 180^o

→

misal x = 120^o f' (120^o) = cos 120^o - cos 120^o

=

−

¹

2

−

¹

2

= -1 < 0

• Untuk x = 180^o

f' (180^o) = cos 180^o + cos 360^o = -1 + 1

= 0

• Untuk x > 180^o

→

misal x = 240^o f' (240^o) = cos 240^o + cos 480^o

=

−

¹

2

−

¹

2

= -1 < 0

f' (x) berganti tanda dari negatif (-) melalui nol (0) menjadi negatif (-) maka titik B(180^o,0) adalah titik belok.

3) Nilai stasioner di C(300^o,− ³

4√3)

• Untuk x < 300^o

→

misal x = 270^o f' (270^o) = cos 270^o + cos 540^o

= 0 – 1

= -1 < 0

• Untuk x = 300^o

f' (300^o) = cos 300^o + cos 600^o

1 2

−

¹

2

= 0

• Untuk x > 300^o

→

misal x = 330^o f' (330^o) = cos 330^o + cos 660^o

= ¹

2

√3 −

¹

2

= -1 > 0

f' (x) berganti tanda dari negatif (-) melalui nol (0) menjadi positif (+) maka titik C(300^o,− ³

4√3)adalah titik balik minimum.

Cara 2 : f (x) = sin x ( 1 + cos x )

f' (x) = cos x ( 1 + cos x ) + sin x ( - sin x) = cos x + cos² x – sin² x

= cos x + cos 2x

Nilai stasioner

didapat jika →

f' (x) = 0 cos x + cos 2x = 0

cos x + 2 cos² x – 1 = 0 2 cos² x + cos x – 1 = 0 (2 cos x – 1) ( cos x + 1) = 0 2 cos x – 1 = 0 atau cos x + 1 = 0 cos x = ¹

2 atau cos x = -1 x = 60^o , 300^o atau x = 180^o

x = 60^o

→

^{f (60o) = sin 60o} ( 1 + cos 60^o )

=

¹

2

√3 (1 +

¹

2

)

= ³

4√3

x = 180^o

→

^{f (180o}) = sin 180^o ( 1 + cos 180^o ) = 0

x = 300^o

→

^{f (300o}) = sin 300^o ( 1 + cos 300^o )

= −

¹

2

√3 (1 +

¹₂

)

= −³₄√3 Jadi nilai-nilai stasioner adalah ³

4√3 untuk x = 60^o 0 untuk x = 180^o

− ³

4√3) untuk x = 300^o Atau titik-titik stasioner adalah A(60^o, ³

4√3) ,B(180^o, 0) dan C(300^o,− ³

4√3)

- Untuk melengkapi pemahaman kalian, bacalah buku Konsep dan Penerapan Matematika kelas XII karya Sutrisno Slamet Waluyo halaman 67-71

- Kalian sudah mempelajari konsep nilai stasioner fungsi dengan uji turunan pertama

Untuk mengecek pemahaman kalian, kerjakan soal berikut pada COBALAH berikut ini di buku tulis kalian.

Tentukan niai-niai stasiner dan jenisnya dari fungsi berikut : 1. f(x) = sin x + cos x dalam interval 0^o ≤ x ≤ 360^o

2. f(x) = x + cos 2x dalam interval 0^o ≤ x ≤ 2𝜋

Untuk meningkatkan ketrampilan dalam mengerjakan soal , maka kerjakan soal tantangan berikut ,

SIAP TANTANGAN

SOAL TANTANGAN:

Tuliskan jawabannya pada buku tugas kalian !

Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut dalam interval 0^o ≤ x ≤ 360^o f(x) = 2 cos (2x-60^o) - 1

Setelah melakukan serangkaian kegiatan pada Aktivitas 4.2, susunlah simpulan yang terkait dengan nilai stasioner fungsi trigonometri

Untuk memperkuat ketrampilan hitung kalian dan pemahaman kalian latihlah dengan mengerjakan soal berikut :

………

……….

………

………

………

………

Buku paket Konsep dan Penerapan Matematika kelas XII karya Sutrisno Slamet Waluyo latihan 4.1 halaman 71 no : 2, 5, 9 , 13