MODUL I STATISTIKA DESKRIPTIF DAN DASAR-DASAR PELUANG

MODUL I

STATISTIKA DESKRIPTIF DAN

DASAR-DASAR PELUANG

1. TUJUAN PRAKTIKUM

1. Mahasiswa mampu mengolah data tunggal menjadi data berkelompok 2. Mahasiswa mampu menentukan ukuran penyebaran data dan ukuran

pemusatan data.

3. Mahasiswa mampu menyajikan data dalam bentuk : - Tabel distribusi frekuensi

- Histogram, ogive, line chart, bar chart, box plot dan pie chart.

4. Mahasiswa mampu menginterpretasikan tabel dan grafik sehingga memudahkan dalam memahami informasi.

5. Mampu memahami konsep-konsep probabilitas dan dapat menentukan contoh dari probabilitas.

6. Mampu memahami perbedaan dari percobaan, kejadian, ruang sampel, dan titik sampel.

7. Mampu memahami kejadian di ruang sampel dari sebuah percobaan dan dapat menggunakan diagram venn serta mampu memahami perbedaan antara irisan dan komplemen.

8. Mampu memahami probabilitas dari sebuah kejadian.

9. Mampu memahami perbedaan antara permutasi dan kombinasi.

2. LANDASAN TEORI

Peneliti dalam melakukan percobaan, akan mendapatkan informasi- informasi dari kerja mereka. Data yang dapatkan tidak akan bermanfaat jika tidak bias mempresentasikan dan menganalisis data tersebut. Jadi, diperlukan metode ilmiah untuk memudahkan dalam memahami bentuk yang digunakan yang sering disebut dengan statistika.

2.1 Statistika

Secara umum, statistika adalah suatu metode ilmiah dalam

mengumpulkan, mengklasifikasikan, meringkas, menyajikan,

menginterpretasikan dan menganalisis data guna mendukung pengambilan

2.2 Populasi

Populasi adalah kumpulan dari keseluruhan pengukuran dan objek yang dikaji. Jadi, pengertian dari populasi dalam statistik tidak terbatas pada sekelompok / kumpulan orang-orang, namun mengacu pada seluruh ukuran, hitungan, ataupun kualitas yang menjadi fokus perhatian suatu kajian. Suatu pengamatan terhadap seluruh anggota populasi disebut dengan sensus.

2.3 Sampel

Sampel adalah bagian dari populasi. Populasi dapat berisi data yang besar sekali jumlahnya, yang mengakibatkan sulit dilakukan pengkajian terhadap seluruh data tersebut sehingga pengkajian dilakukan terhadap sampelnya saja.

2.4 Parameter dan Statistik

Parameter adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suatu populasi, sedangkan statistik adalah bilangan yang menggambarkan karakteristik suuatu sampel. Seringkali sebuah parameter dari suatu populasi tidak bisa/ sulit diketahui sehingga yang digunakan adalah statistik dari sampelnya.

2.5 Data

Data adalah kelompok dari informasi yang menunjukkan sifat kualitatif atau kuantitatif dari suatu variabel. Data (bentuk jamak dari "datum") adalah bentuk khas dari hasil pengukuran dan menjadi dasar dari grafik, gambar, atau pengamatan dari variabel. Data selalu digambarkan sebagai level terendah dari pemindahan informasi dan pengetahuan yang diperoleh.

Data adalah sesuatu yang belum mempunyai arti bagi penerimanya dan

masih memerlukan adanya suatu pengolahan. Data bisa berwujud suatu

keadaan, gambar, suara, huruf, angka, matematika, bahasa ataupun simbol-

simbol lainnya yang bisa kita gunakan sebagai bahan untuk melihat lingkungan, obyek, kejadian ataupun suatu konsep.

Klasifikasi Jenis Data:

 Sifat

 Sumber

 Cara Memperoleh

 Waktu Pengumpulan

Data menurut sifat terbagi sebagai berikut:

 Data takmetrik (nonmetric data)

 Data nominal (nominal data)

 Data ordinal (ordinal data)

 Data metrik (metric data)

 Data interval (interval data)

 Data rasio (ratio data)

Data terbagi atas 2 menurut cara memperolehnya : a. Data Primer

Data primer diperoleh dari sumber pertama. Contohnya sperti hasil wawancara.

b. Data Sekunder

Data sekunder adalah data primer yang didapatkan dari pihak lain dan dipersentasikan dari pengamat primer atau pihak lain.

Macam-Macam Data Berdasarkan Sumber Data :

a. Data Internal Data internal adalah data yang menggambarkan situasi dan kondisi pada suatu organisasi secara internal. Misal : data keuangan, data pegawai, data produksi, dsb.

b. Data Eksternal

Data eksternal adalah data yang menggambarkan situasi serta kondisi

yang ada di luarorganisasi. Contohnya adalah data jumlah penggunaan

suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya.

Jenis-jenis Data Menurut Waktu Pengumpulannya : a. Data Cross Section

Data cross-section adalah data yang menunjukkan titik waktu tertentu.

Contohnya laporan keuangan per 31 desember 2006, data pelanggan PT. Angin Ribut bulan mei 2004, dan lain sebagainya.

b. Data Time Series / Berkala

Data berkala adalah data yang datanya menggambarkan sesuatu dari waktu ke waktu atau periode secara historis. Contoh data time series adalah data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropa dari tahun 2004 sampai 2006, jumlah pengikut jamaah nurdin m.

top dan doktor azahari dari bulan ke bulan, dll.

c. Data dengan Variabel bebas dan variabel terikat :

Variabel bebas adalah data unit atau ukuran yang diubah dalam suatu pengamatan. Dalam hubungan sebab-akibat, variable terikat berperan sebagai sebab sementara variable bebas adalah akibat.

Data dengan variabel terikat adalah data unit atau ukuran yang berubah sesuai dengan berubahnya variable lain. Variabel terikat menjadi hal yang diperhatikan dalam suatu pengamatan.

Berdasarkan nilai, data diklasifikasikan menjadi data kualitatif dan data kuantitatif:

a. Pengertian kuantitatif adalah data yang berupa bilangan, nilainya bisa berubah-ubah atau bersifat variatif. Data bentuk kuantitatif terbagi atas 2 bagian, yaitu data cacahan kuantitatif dan data ukuran kuantitatif.

Berikut ini contoh data kuantitatif dari data cacahan kuantitatif dan data ukuran kuantitatif.

1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara

membilang. Contoh: Pegawai di perusahaan X terdiri atas 160 laki-laki

dan 70 perempuan, Guru yang berpendidikan sarjana di SMA Bina

Bangsa berjumlah 6 orang, Peserta SPMB pada tahun 2004 berjumlah 120.000 orang.

2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh: Panjang lintasan jalan tol X adalah 12,8 km, Suhu badan penderita penyakit demam berdarah itu 41°C, Kecepatan kereta api ekspres Bandung–Jakarta adalah 110 km/jam.

b. Pengertian kualitatif adalah data yang bukan merupakan bilangan, atau bisa diartikan juga kualitatif merupakan data berupa ciri-ciri, sifat-sifat, keadaan, atau gambaran dari kualitas objek yang diteliti. Golongan kualitatif data ini disebut atribut. Sebagai contoh data kualitatif adalah data bentuk kualitatif mengenai kualitas suatu produk, yaitu baik, sedang, dan kurang. Ukuran penilaian baik, sedang dan kurang inilah yang disebut dengan nilai kualitatif.

2.6 Klasifikasi dari Statistik

Berdasarkan defenisi dari statistika yang telah diterangkan sebelumnya, statistik dapat dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu:

1. Statistika Deskriptif

Statistika deskriptif digunakan untuk menggambarkan bentuk dasar dari data dalam suatu studi. Statistika deskriptif membentuk dasar dari hampir tiap analisis kuantitatif data.

2. Statistika Inferensial

Statistika deskriptif berbeda dengan statistika inferensial. Dengan

statistika inferensial, dapat ditarik kesimpulan yang melebihi data itu

sendiri.Dengan demikian, kita menggunakan statistika inferensial

untuk membuat kesimpulan dari data kita untuk kondisi yang lebih

umum.

Pengelompokan data tunggal menjadi data berkelompok :

1. Tentukan jumlah data, data maksimum dan minimum dari data 2. Hitung nilai range (R) = data maks – data min

3. Hitung banyak kelas interval (JK) = 1 + 3,3 log N dengan N adalah banyak data.

4. Hitung lebar kelas (LK) = R / JK dengan R adalah range data dan JK adalah banyak kelas interval.

Penyajian data terdiri dari data tabel dan data gambar. Data tabel berupa data tunggal dan data berkelompok, sedangkan data gambar terdiri piktogram, diagram batang, diagram lingkaran, dan diagram garis.

1. Bentuk Angka/Tabel

Biasanya, kita menggambarkan tiga atau lima karakteristik untuk masing-masing dari variabel dalam studi.

a. Ukuran Pemusatan

Ukuran pemusatan adalah suatu nilai dalam rangkaian data yang dapat mewakili rangkaian data tersebut. Dimana terdapat tiga tipe utama dari perkiraan dalam ukuran pemusatan :

 Mean 

Mean adalah jumlah nilai pada data dibagi dengan banyaknya data tersebut.

Data Tunggal :

 ^Xi

X 

^i1

n …(1)

Data Berkelompok :

 ^XiFi

X 

^i1

n …(2)

Keterangan:

x

i

= data ke-i

n = banyaknya data fi = frekuensi data ke-i

n

n

2

 Median 

Median adalah suatu nilai tengah yang telah diurutkan dari data terkecil ke data terbesar. Rumus yang digunakan untuk menghitung median adalah

Untuk n ganjil:

𝑀𝑒 = 𝑥 ¹ _(𝑛+1)

2

Untuk n genap

𝑥 𝑛 +𝑥 𝑛

…(3)

𝑀𝑒 = ² ₂ ²⁺¹ …(4)

Untuk data berkelompok

N ∑

( − (

Me = L 1 + c [ _F

f) ] …(5)

Keterangan:

𝑁 = Data pada urutan ke ^𝑛 setelah diurutkan.

2 2

L 1 = Batas kelas bawah dari kelas median.

N = Banyak data

(∑ f) = Jumlah frekuensi semua kelas yang lebih rendah dari kelas median

F = Frekuensi kelas median c = Panjang kelas

 Modus 

Modus adalah data yang nilai terjadinya sering muncul atau yang mempunyai frekuensi paling tinggi.

Mo = L 1 + [ ^{( ∆ 1 )}

∆ 1 +∆ 2

Keterangan :

L 1 = batas kelas bawah dari kelas modus.

∆ ₁ = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sebelumnya

∆ 2 = selisih frekuensi kelas modus dan frekuensi kelas sesudahnya

c = panjang kelas

] c …(6)

b. Dispersi

Dispersi merupakan penyebaran dari nilai di sekitar ukuran pemusatan. Dimana terdapat tiga ukuran dari dispersi, yaitu jangkauan antar kuartil, standar deviasi dan variansi.

 Jangkauan

Jangkauan antar kuartil adalah selisih dari nilai kuartil ketiga dan kuartil pertama.

H=Q 3 -Q 1 …(7)

Keterangan

Q 3 = Kurtil kelas ketiga Q 1 =Kuartil kelas pertama

 Standar deviasi

Standart deviasi adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi dengan banyaknya data.

𝒏 𝒊=𝟏

(𝒙𝒊−𝒙) 𝟐

𝒏 …(8)

Keterangan:.

S= Standar Deviasi X i = Nilai Tengah 𝑥= Rata-rata n=Banyak data

 Variansi

Variansi adalah nilai kuadrat dari deviasi standar.Rumus yang digunakan untuk menghitung varians adalah

s ² = ^𝑛 _𝑖=1 ^{(𝑥𝑖−𝑥)2}

𝑛 …(9)

Keterangan:

S ² = Varians X i = Nilai Tengah 𝑥= Rata-rata

N=Banyak data 𝐒 = √∑

∑

c. Fraktil

Fraktil adalah nilai-nilai data yang membagi seperangkat data yang telah diurutkan menjadi beberapa bagian yang sama.

1. Kuartil. Adalah fraktil yang membagi data menjadi empat bagian yang sama.Nilai-nilai kuartil diberi simbol Q1, Q2 (sama dengan Median) dan Q3.

2. Desil adalah Fraktil yang membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama, simbolnya adalah D1, D2, .., D9.

3. Persentil adalah Fraktil yang membagi data menjadi seratus bagian yang sama, simbolnya adalah P1, P2, …, P99.

d. Skewness (kemencengan)

Skewness (kemencengan) adalah derajat ketidaksimetrisan atau penyimpangan dari kesimetrisan suatu distribusi. Skewness terdiri dari kemencengan simetris, kemencengan negatif dan kemencengan positif.

Gambar 1.Skewness

Gambar 2.Skewness

e. Kurtosis

Kurtosis adalah derajat keruncingan dari suatu distribusi relatif terhadap distribusi normal.

Gambar 3. Kurtosis 2. Bentuk gambar

Dalam situasi umum, kita dapat menggambarkan 5 karakteristik untuk masing-masing dari variabel dalam studi.

a. Histogram

Dalam statistik, histogram adalah suatu gambar yang menampilkan tabel frekuensi, yang telah ditampilkan sebagai batang. Itu menggambarkan proporsi dari kasus pada tiap katagori.

Gambar 4. Histogram b. Ogive

Dalam statistik, ogive adalah grafik yang menggambarkan kurva

dari suatu fungsi distribusi kumulatif. Ogive dikategorikan menjadi

ogive positif dan ogive negatif.

Gambar 5.Ogive

c. Diagram batang daun

Data dapat digambarkan dalam suatu variasi pada gambar, grafik, dan tabel.Diagram batang daun adalah suatu tipe grafik yang similar dari histogram namu n menggambarkan informasi yang lebih.

Batang Daun

5 0 4 5 8 2 3 1 6 3 4 9 2 8 2 0 0 9 7 1 4 2 2 3 9 5 1 0 1

0 3 5

Gambar 6. Diagram Batang Daun

d. Diagram lingkaran

Diagram lingkaran adalah suatu gambar lingkaran yang dibagi dalam beberapa sektor. Tiap-tiap sektor menggambarkan persentase dari kelompok.

Gambar 7. Diagram Lingkaran

e. Box Plot

Boxplot adalah salah satu cara dalam statistik deskriptif untuk

menggambarkan secara grafik dari data numeris melalui lima

b) Kuartil terendah atau kuartil pertama (Q1), yang memotong 25% dari data terendah

c) Median (Q2) atau nilai pertengahan

d) Kuartil tertinggi atau kuartil ketiga (Q3), yang memotong 25 % dari data tertinggi

e) Nilai observasi terbesar.

Dalam boxplot juga ditunjukkan, jika ada, nilai outlier dari observasi. Boxplot dapat digunakan untuk menunjukkan perbedaan antara populasi tanpa menggunakan asumsi distribusi statistik yang mendasarinya. Karenanya, boxplot tergolong dalam statistik non-parametrik. Jarak antara bagian-bagian dari box menunjukkan derajat dispersi (penyebaran) dan skewness (kecondongan) dalam data.

Dalam penggambarannya, boxplot dapat digambarkan secara horizontal maupun vertikal.

Gambar 8. Box Plot

2.7 Teori Probabilitas

Probabilitas adalah suatu bilangan antara nol sampai satu yang menunjukkan kemungkinan dari suatu kejadian. Ruang sampel berarti seluruh kemungkinan hasil dari kejadian yang mungkin terjadi dalam suatu percobaan atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu experiment probabilitas.Kejadian atau event adalah setiap hasil percobaan yang telah dilakukan.

Suatu probabilitas dapat diformulasikan sebagai berikut:

P( A)  n( A)

n(S ) ; 0  P( A)  1 Contoh:

Percobaan : Sebuah dadu 6 sisi dilemparkan sekali. Tentukan ruang sampel dari percobaan? Tentukan probabilitas munculnya angka ganjil dan probabilitas munculnya angka genap?

Ruang sampel : Ruang sampel dari percobaan ini adalah 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.

Probabilitas : P(genap) =

P(ganjil) =

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 3 1

= = 𝑆𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑏𝑎𝑎𝑛 6 2

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 3 1

= = 𝑆𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑜𝑏𝑎𝑎𝑛 6 2

Kejadian terbagi atas dua bagian yaitu : 1. Kejadian Bebas

Merupakan suatu kejadian dimana antara yang satu dengan yang lainnya tidak saling mempengaruhi. Kejadian bebas dinamakan juga Mutually Exclusive.

Dalam percobaan probabilitas tertentu tidak jarang didefinisikan dua kejadian A dan B yang tidak mungkin terjadi sekaligus. Ke dua kejadian A dan B seperti itu dinamakan saling meniadakan atau saling terpisah. A dan B bersifat Mutually Exclusive jika A gabung B sama dengan 0 (A ∩ B = { }). Hal ini terjadi karena P (A ∩ B) = n (A ∩ B)

n (s)

Dalam kejadian bebas terdapat peluang yang mungkin terjadi, peluang itu

dinamakan “Peluang kejadian bebas”, yang mana peluang tersebut akan terjadi

jika :

- P (A ∩ B) = P (A) * P (B) - P (B ∩ C) = P (B) * P (C) - P (A ∩ C) = P (A) * P(C)

- P (A ∩ B ∩ C) = P (A) * P (B) * P (C)

Peluang terjadinya A, B, C secara bersama – sama adalah : P (ABC) = P (A ∩ B ∩ C) = P (A) * P (B) * P (C)

2. Kejadian Tak Bebas

Kejadian tak bebas dinamakan juga peluang bersyarat atau Not Mutually Exclusive. P (A/B) merupakan peluang terjadi A dengan syarat B telah terjadi terlebih dahulu atau P (B/A) merupakan peluang terjadinya B dengan syarat A telah terjadi. Jika A dan B tak bebas, maka peluang A dan B terjadi secara bersama – sama adalah :

- P (AB) = P (A ∩ B) = P (A) * P (B/A) - P (BA) = P (A ∩ B) = P (B) * P (A/B)

Jika A dan B bebas, maka P (A/B) = P (A) dan P (B/A) = P (B).

Beberapa operasi kejadian yang mungkin terjadi atau digunakan dalam melakukan pengamatan atau percobaan, yaitu :

a. irisan dua kejadian, merupakan kejadian yang mengandung semua persekutuan kejadian A dan B

b. kejadian saling pisah, A dan B tidak memiliki persekutuan

c. paduan dua kejadian atau gabungan dua kejadian, kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B ataupun keduanya

Beberapa aturan yang bisa digunakan dalam mencari atau menentukan suatu probabilitas dari suatu kejadian adalah :

- aturan perkalian

bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka

P(A ∩ B) = P (A) * P (B/A), jadi peluang A dan B terjadi serentak sama

dengan peluang A terjadi dikalikan dengan peluang terjadinya B bila A

terjadi.

- aturan perkalian khusus

bila dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P (A ∩ B) = P (A) * P (B)

- aturan penjumlahan

apabila terjadi gabungan dari suatu kejadian, bila A dan B kejadian sembarang, maka P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)

- aturan penghapusan atau teorema jumlah

misalkan kejadian B1, B2,. ... ,Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (B1) tidak sama dengan nol untuk i = 1, 2,... , k, maka untuk setiap kejadian A anggota T adalah

k k

P (A) =  P(Bi  A)   P(Bi)P( A / Bi)

i 1

- aturan Bayes

i 1

misalkan kejadian B1, B2,...,Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel T dengan P (B1) tidak sama dengan nol untuk i = 1, 2,... , k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam T dengan P (A) tidak sama dengan nol maka :

P (Br/A) =

=

P(Br  A)

 _{i 1} ^{P(Bi  A)}

P(Br)P( A / Br)

 P(Bi)P( A / Bi)

i 1

Untuk r = 1, 2,... , k

Menghitung titik sampel, dapat digunakan beberapa metode yang dapat membantu untuk mencari nilai titik sampel, diantaranya adalah :

a) Permutasi

Permutasi ialah suatu susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya. Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n!.banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r

sekaligus adalah

k

k

nPr = n!

(n  r)!

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis ke dua,. ... ,nk berjenis k adalah

b) Kombinasi

n!

n1!n2! ... nk!

Merupakan banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbeda yang dirumus nCr = n!

r!(n  r)! . Suatu kombinasi sesungguhnya merupakan sekatan

dengan dua sel, sel pertama berisi r unsur yang dipilih sedangkan sel lain berisi

(n–r) sisanya.