PEMODELAN HARGA OBLIGASI DENGAN BUNGA BERFLUKTUASI MENGGUNAKAN MODEL VASICEK JANGKA PENDEK

PEMODELAN HARGA OBLIGASI DENGAN BUNGA BERFLUKTUASI MENGGUNAKAN MODEL VASICEK JANGKA PENDEK

Diani Sarah Kamilia1, Deni Saepudin 2, Irma Palupi.3 1,2,3Prodi Ilmu Komputasi Telkom University, Bandung

1dianisarahkamilia@gmail.com, 2denisaepudin@telkomuniversity.ac.id, 3irmapalupi@gmail.com

Abstrak

Obligasi adalah surat utang yang diterbitkan oleh suatu lembaga tertentu. Pihak yang menerbitkan obligasi akan membayar imbalan berupa kupon bunga tetap pada periode tertentu dan melunasi pokok hutang kepada pihak pembeli obligasi tersebut. Zero coupon bond adalah obligasi yang tidak melakukan pembayaran kupon bunga secara periodik tetapi keuntungan secara keseluruhan dibayarkan saat obligasi jatuh tempo. Harga obligasi beserta kupon bunga sensitif terhadap fluktuasi tingkat suku bunga.

Oleh karena itu, untuk memprediksi harga obligasi diperlukan prediksi suku bunga. Model Vasicek adalah salah satu model yang digunakan untuk memprediksi tingkat suku bunga. Setelah diperoleh suku bunga dalam rentang waktu tertentu menggunakan model Vasicek, dilakukan perhitungan harga obligasi menggunakan suku bunga prediksi yang diperoleh dari model Vasicek sebelumnya.

Hasil suku bunga prediksi menggunakan model Vasicek tidak dapat menangkap fluktuasi data suku bunga dengan nilai parameter untuk kecepatan pergerakan suku bunga adalah 1 yang merupakan nilai parameter optimum dengan error kuadrat minimum terhadap data histori sebesar 0.0034. Model Vasicek dapat memprediksi suku bunga dengan error kuadrat sebesar 0.0135 dan maksimum selisih suku bunga prediksi dengan data validasi sebesar 0.00057. Hasil penelitian membuktikan bahwa hasil prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek lebih baik digunakan untuk waktu yang pendek.

Kata Kunci: harga obligasi, model suku bunga, model Vasicek, prediksi, Monte Carlo

1. Pendahuluan

Seiring dengan perkembangan zaman, berinvestasi telah menjadi salah satu pilihan masyarakat dalam berbisnis.

Terdapat berbagai jenis instrumen investasi, salah satunya yaitu obligasi. Obligasi adalah surat utang yang diterbitkan oleh suatu lembaga tertentu. Pihak yang menerbitkan obligasi akan membayar imbalan berupa kupon bunga yang tetap pada periode tertentu atau melunasi pokok hutang kepada pihak pembeli obligasi tersebut.

Harga obligasi sangatlah sensitif terhadap fluktuasi tingkat suku bunga. Hubungan antara harga obligasi dengan tingkat suku bunga adalah berbanding terbalik. Ketika tingkat buka naik maka harga obligasi turun, begitu juga sebaliknya ketika tingkat suku bunga turun maka harga obligasi naik.

Terdapat berbagai kondisi yang dapat meyebabkan hal tersebut. Salah satunya yaitu, misal suatu obligasi seharga Rp 1.000.000.000,- diterbitkan saat tingkat suku bunga sebesar 7%. Karena nilai kupon obligasi hampir sama ataupun sama besarnya dengan suku bunga, maka obligasi tersebut memberikan keuntungan sebesar 7% pula. Kemudian ketika suku bunga naik menjadi 8%, harga obligasi tersebut dapat turun karena saat bunga naik, deposito yang merupakan salah satu instrument keuangan yang resikonya lebih rendah dari obligasi dapat terlihat lebih menarik dibandingkan dengan obligasi.

Berdasarkan masalah yang telah dipaparkan sebelumnya, diperlukan model yang tepat untuk memodelkan harga obligasi dengan bunga berfluktuasi. Terdapat beberapa model yang dapat digunakan diantaranya yaitu Model Vasicek, Model Hull White, Model Cox Ingersoll Ross (CIR), dan Model Dothan [2]. Pada kasus ini, model yang digunakan adalah Model Vasicek. Hal ini dikarenakan model Vasicek merupakan model yang paling sederhana. Model Vasicek digunakan untuk memprediksi tingkat suku bunga. Model Vasicek juga dapat digunakan untuk memodelkan pasar kredit. Kelebihan dari model ini adalah arbitrage free atau no- arbitrage, tidak ada harga obligasi yang dihasilkan model yang memiliki kemungkinan arbitrage [3].

Setelah diperoleh tingkat suku bunga dalam rentang waktu tertentu menggunakan model Vasicek, dilakukan perhitungan harga obligasi dengan menggunakan suku bunga yang diperoleh dari model Vasicek sebelumya.

Untuk itu, diperlukan alat bantu simulasi yang tepat untuk mempermudah investor untuk mengetahui harga dari suatu obligasi.

Simulasi prediksi suku bunga dan harga obligasi dilakukan untuk i=1,2, ,m dalam tahun. Pada kasus ini,

simulasi prediksi dilakukan untuk m=5.

Gambar 1 Ilustrasi contoh perhitungan waktu

dengan t adalah konversi waktu dari tahun ke bulan atau t =12 bulan maka M=m* t =5*12 bulan=60 bulan. Konversi dari tahun ke bulan dilakukan karena hasil simulasi prediksi suku bunga mengikuti perubahan suku bunga di Indonesia yang berubah tiap satu bulan sekali.

2. Dasar Teori 2.1 Obligasi

Obligasi merupakan salah satu instrumen keuangan yang termasuk surat berharga bersifat hutang. Obligasi merupakan surat berharga yang dikeluarkan oleh penerbit (emiten) kepada investor (pemegang obligasi), dimana penerbit akan memberikan suatu imbal hasil dan nilai pokok dari obligasi tersebut pada saat obligasi tersebut jatuh tempo.

Terdapat dua macam jenis obligasi berdasarkan pambayaran bunga, yaitu obligasi tanpa kupon (zero coupon bond) dan obligasi kupon (coupon bond). Pada kasus ini, obligasi yang digunakan adalah zero coupon bond. Zero coupon bond adalah obligasi yang tidak melakukan pembayaran bunga secara periodik.

Namun, keuntungan dan pokok dibayarkan sekaligus pada saat jatuh tempo.

2.2 Model Vasicek

Model Vasicek diperkenalkan oleh Oldrich Vasicek pada tahun 1977 [3]. Model ini merupakan model pertama untuk memodelkan harga obligasi dengan terlebih dahulu memodelkan tingkat suku bunga yang mengikuti persamaan diferensial stokastik, kemudian digabungkan dengan rumus harga obligasi. Model Vasicek mengikuti Ornstein- Uhlenbeck stochastic process. Model ini menjelaskan bahwa perubahan tingkat suku bunga mengikuti stochastic differential equation (SDE) [3], 𝑟 = (𝑏 − 𝑟 ) + (1).

dimana a, b, bernilai positif konstan,

: Proses Wiener, memodelkan faktor resiko pasar secara acak.

: Standar deviasi dari perubahan tingkat suku bunga per satuan waktu.

(𝑏 − 𝑟 ): Faktor ekspektasi perubahan pada suku bunga pada waktu tertentu.

𝑏 : Nilai tingkat suku bunga ketika mencapai equilibrium. Nilai parameter b diperoleh dengan menghitung mean atau rata-rata dari data suku bunga nyata.

a : kecepatan pergerakan suku bunga.

𝑟 = suku bunga aktual pada waktu t.

Dengan formula Ito [9], hasil dari persamaan (1) yaitu,

dimana adalah fungsi deterministik. Dapat dilihat dengan jelas bahwa ekspektasi 𝑟 atau [𝑟 ] = . Setelah dilakukan observasi lebih lanjut, 𝑟 adalah Gaussian random variable atau variabel acak yang berdistribusi normal seperti yang dijelaskan pada Three Ways to Solve for Bond Prices in the Vasicek Model [3]. [𝑟 ] juga dapat diperoleh tanpa harus menyelesaikan SDE diatas. Pertama, bentuk integral dari persamaan (1) yaitu,

𝑟 = 𝑟 ∫ (𝑏 𝑟 ) + ) 0 . Karena itu,

[𝑟 ] = 𝑟 ∫ (𝑏 [𝑟 ]) 0 . (2)

Dengan menggunakan faktor integral pada persamaan (2) diperoleh, [𝑟 ] = [𝑟0 + 𝑏( ] (3)

Kemudian,

𝑟[𝑟 ] = [( ∫ 0 )]

= 2 2 [∫ 2 0 ], [9]

= 2 2 ). (4) Oleh karena itu,

𝑟 ~ ( , 2) (5)

dengan rataan atau mean dan variansi hasil dari persamaan (3) dan (4) [3]. Hasil dari persamaan (5) yang merupakan hasil prediksi suku bunga yang digunakan pada langkah selanjutnya.

2.3 Selang Kepercayaan

Selang Kepercayaan merupakan selang suatu nilai 1 < < 2 dengan yang sudah diketahui sebelumnya.

Dalam penelitian ini, selang kepercayaan digunakan untuk mencari batas atas dan batas bawah dari nilai tingkat suku bunga prediksi (𝑟 ) yang diperoleh. Selang kepercayaan diperlukan karena hasil prediksi dari nilai tingkat suku bunga yang diperoleh menggunakan Model Vasicek merupakan nilai random yang menyebabkan dilakukan running, hasil dari tingkat suku bunga prediksi terus berubah walaupun dengan parameter yang sama.

Karena 𝑟 hasil dari simulasi berdistribusi normal, maka untuk mencari nilai selang kepercayaan berdistribusi normal baku berikut = 𝑟

𝑟 + (6)

Pada kasus ini, selang kepercayaan dihitung menggunakan dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%.

2.4 Monte Carlo

Monte Carlo berarti menggunakan bilangan acak atau random pada komputasi ilmiah. Pada kasus ini, Monte Carlo digunakan untuk memperoleh suku bunga prediksi yang merupakan bilangan acak berdistribusi normal.

Perhitungan Monte Carlo memiliki formula berikut [10]

= [𝑟( )]. (7)

Pada kasus ini, A adalah hasil ekspektasi dari r(t), r(t) adalah variabel acak yang bergantung pada t berdistribusi normal f. Dengan melakukan simulasi 𝑟 dengan , untuk i=1,….,N, formula Monte Carlo yang menjelaskan persamaan (7) yaitu [10]

= 1 Σ 𝑟( ) (8)

dimana 𝑟( ) i.i.d. (independent and identically distributed), [𝑟( )] = dan 𝑟[ ] = ∞ . The central limit theorem menegaskan bahwa, seiring terus bertambahnya nilai N, estimator standar ( )( √ ⁄

⁄konvergen ke normal baku [11], ( ) ⁄ (0,1) atau, ekuivalen dengan

√ | (0, 2) [11],.

atau, lim ∞ 𝑃 ( ⁄ Φ ) Φ merupakan fungsi distribusi normal kumulatif.

√ + √ (9).

Hasil dari persamaan (8) inilah kemudian digunakan sebagai hasil simulasi prediksi suku bunga yang digunakan pada perhitungan harga zero coupon bond. Hasil dari persamaan (9) adalah selang hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan 2 = 1 Σ 𝑟( )2 1=1 merupakan taksiran tidak bias untuk 2

2.

Pada kasus ini, hasil dari persamaan (9) dihitung dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%.

2.5 Least Square

Metode least square mengasumsikan bahwa kurva terbaik dari hasil simulasi tertentu adalah kurva yang memiliki nilai jumlah minimum deviasi kuadrat (error least square) dari himpunan data [11].

Misalkan suatu data (r1, y1), (r2, y1), …, (rt, yt) dimana ri variabel terikat dan y adalah variabel bebas. Misal f merupakan fungsi regresi yang menghampiri nilai y, f(rt) y. Kurva f(rt) memiliki deviasi (error) d untuk tiap data, contoh d1=y1-f(r1), d2=y2-f(r2),…, dn=yt-f(rt). Berdasarkan metode least square, kurva dari data terbaik memiliki [11]

Π 12 + Σ 2 Σ [ ( )]2 =1 . (10)

Pada kasus ini, deviasi kuadrat atau error kuadrat (di) akan dihitung antara f(rt) sebagai hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek terhadap data suku bunga nyata (yt).

Pada kasus ini, metode least square digunakan untuk meminimumkan error kuadrat antara hasil simulasi prediksi suku bunga dengan data suku bunga nyata untuk memperoleh nilai parameter a yang optimum.

Berikut alur dalam memperoleh nilai parameter a optimum.

Gambar 2 Flowchart pilih nilai a optimum 2.6 Formula Zero Coupon Bond dengan Model Vasicek

Formula yang digunakan untuk menghitung zero coupon bond atau obligasi tanpa kupon yaitu [10]:

( , )= 𝑟( ) (11)

( , ) = Harga obligasi pada saat t dan jatuh tempo pada T.

r = Suku bunga.

Persamaan (11) kemudian akan digunakan untuk menghitung harga zero coupon bond dengan model Vasicek dan menggunakan suku bunga dari hasil simulasi prediksi.

Dengan menggunakan risk- neutral valuation [3] dan menggabungkan persamaan (11) dengan persamaan (5), menghitung harga zero coupon bond menggunakan suku bunga hasil prediksi dari model Vasicek dengan jatuh tempo T pada waktu t yaitu

( , )= [ ∫𝑟 | )]. (12)

Dengan yang merupakan fungsi kepadatan peluang. Jika, ( )=𝑟 𝑏 (13)

( ) merupakan solusi dari persamaan Ornstein Uhlenbeck (O-U) [13], yang diterapkan pada persamaan (1), sehingga

( ( )+ (14)

Dengan (0)=𝑟 𝑏. Dengan menerapkan Lemma Ito [9], proses ( ) yaitu ( )= ( ∫ 0) (15)

Dengan ( ) yang mengikuti proses Gaussian. Jika ( ) adalah proses Gaussian maka ∫ ( ) 0 juga merupakan proses Gaussian [3]. Menggunakan persamaan (13), diperoleh

[ ( )]= (0) . (16) Sehingga,

[∫ ( ) 0]= (0) ). (17) Begitu juga,

[ ( ), ( )]

= 2 ( + ) [∫ ∫ 0]

= 22 ( + )( 2 ( ^ . Maka dari itu,

𝑟[∫ ( ) 0]= [∫ ( ) 0 ∫ ( ) 0 ]

= [ ∫ ( ) 0 [∫ ( ) 0 ] ∫ ( ) 0 [∫ ( ) 0 ])]

= 22 3(2 3+4 2 ). (18) Dari persamaan (12), diperoleh

[ ∫𝑟 0]= [ ∫ ( )+𝑏) 0]. (19)

Kemudian subtitusikan persamaan (15) dengan (19), diperoleh [ ∫𝑟 ]=𝑟 𝑏 ( 𝑏( )

Selanjutnya dari persamaan (16), 𝑟[ ∫𝑟 ]= 𝑟[∫ ( ) ]

= 22 3(2 ( 4 ( 2 ( )).

Maka,

( , )= [ ∫𝑟 |𝑟 )]

= [ ∫𝑟 (𝑟 ) )]

dimana 𝑟 adalah fungsi dari 𝑟 .

Kemudian subtitusikan persamaan (18) dan (19), harga obligasi yang berdistribusi lognormal menghasilkan ( , ,𝑟 )= ( [ ∫𝑟 (𝑟 ) ]+12 𝑟[ ∫𝑟 (𝑟 ) ])

= [ ( ) )𝑟 𝑏 ( ) ( ))

22 ( ) )+ 22 2( )

24 ( )+ 2 ( ) 2)] = [ ( , )𝑟 +𝑏 ( , 𝑏( ) 22 2 ( , )+ 22 2( 24 ( , )2

= = ( , )𝑟 + ( , )) (19) dimana

( , ( ) dan

( , )=(𝑏 22 2)[ ( , )].

2 ( , )24 .

3. Rancangan Sistem 3.1 Deskripsi Sistem

Pada penelitian ini, akan dirancang sebuah simulasi untuk memprediksi harga obligasi tanpa kupon atau biasa disebut zero coupon bond. Untuk menghitung harga obligasi tersebut digunakan model Vasicek. Model Vasicek digunakan untuk memprediksi tingkat suku bunga terlebih dahulu kemudian hasil prediksi suku bunga tersebut akan digunakan pada perhitungan harga obligasi. Data input pada simulasi adalah data tingkat suku bunga Indonesia yang diperoleh dari website resmi Bank Indonesia. Output yang diharapkan dari sistem yaitu hasil prediksi suku bunga dengan nilai parameter optimum yang memiliki error kuadrat minimum dan prediksi harga obligasi.

3.2 Sistem Penelitian

Rancangan umum sistem penelitian

Gambar 3 Flowchart perancangan sistem penelitian

Langkah pertama yang dilakukan pada sistem penelitian ini yaitu melakukan input data pada sistem. Data input merupakan data suku bunga aktual yang terbagi menjadi dua, yaitu data histori dan data validasi. Setelah data dimasukkan, langkah selanjutnya yaitu hitung parameter b dan , kemudian pilih nilai parameter a optimum menggunakan metode Least Square.

Setelah diperoleh seluruh nilai parameter, dilakukan simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek.

Kemudian diterapkan metode Monte Carlo pada hasil prediksi suku bunga dengan melakukan simulasi sebanyak seribu kali kemudian dicari rata-rata dari hasil simulasi tersebut. Setelah diperoleh hasil simulasi menggunakan metode Monte Carlo, hitung selang kepercayaan dan selang Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%.

Rata-rata hasil simulasi prediksi suku bunga kemudian dianalisis dan dilakukan validasi terhadap data validasi.

Kemudian dilakukan simulasi harga obligasi menggunakan hasil suku bunga prediksi yang diperoleh sebelumnya.

4. Hasil dan Analisis

4.1 Pengujian Sistem

4.1.1 Tujuan Pengujian Sistem

a optimum yang memiliki error kuadrat paling minimum.

a optimum menggunakan model Vasicek.

Vasicek.

diperoleh dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%.

Mendapatkan hasil simulasi selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%.

bunga nyata.

an hasil simulasi prediksi harga zero coupon bond menggunakan formula zero coupon bond dengan model Vasicek.

4.2 Hasil dan Analisis

4.3.1 Tahap 1: Hitung Parameter b dan

Parameter b diperoleh dengan menghitung mean dari data histori diperoleh b=0.0819. Parameter diperoleh dengan menghitung standar deviasi dari return data histori tiap waktu. Berikut merupakan data histori yang digunakan

Tabel 1 Data Histori

Grafik data histori secara keseluruhan dapat dilihat pada gambar 4 berikut

Gambar 4 Grafik data histori

Dengan data histori tersebut sebagai inputan, kemudian dihitung return tiap waktu dari data histori. Setelah diperoleh hasil return suku bunga tiap waktu, dihitung standar deviasinya. Hasil standar deviasi kemudian digunakan sebagai nilai parameter . Nilai yang diperoleh yaitu = 0.0330.

4.3.2 Tahap 2: Memperoleh Nilai Parameter a Optimum

a. List Nilai Parameter a yang Mungkin

Pada langkah ini dibuat matriks sebesar n x 1 yang berisi nilai parameter a yang berada di range (0,1) kemudian dilakukan diskritisasi dengan panjang interval 0.01 sehingga diperoleh n=101. Tabel nilai parameter a yang mungkin dapat dilihat pada tabel berikut

Tabel 2 Tabel nilai parameter a dengan n=101

Dapat dilihat tabel 2 merupakan tabel nilai parameter a yang mungkin. Banyaknya n berpengaruh pada banyaknya simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek pada langkah selanjutnya.

b. Simulasi Suku Bunga Menggunakan Model Vasicek

Pada langkah ini, simulasi suku bunga menggunakan model Vasicek dilakukan menggunakan tiap nilai

parameter a yang mungkin. Simulasi prediksi suku bunga dilakukan sebanyak 101 kali sesuai dengan banyaknya nilai parameter a yang mungkin pada range (0,1) dengan panjang interval 0.01. Berikut merupakan hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek untuk nilai parameter a = 0, 0.01, 0.02, …, 1.

Tabel 3 Hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek dengan nilai parameter b=0.0819 dan =0.0330

c. Menentukan Nilai Parameter a Menggunakan Metode Least Square

Pada tahap ini dilakukan seribu kali simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek dengan simulasi Monte Carlo untuk tiap nilai parameter yang sama. Tujuan dilakukan simulasi Monte Carlo yaitu untuk memperoleh rata-rata dari hasil seribu simulasi prediksi suku bunga dari tiap nilai parameter yang sama. Sampel hasil rata-rata dari seribu kali running untuk nilai parameter a pada range (0,1) ditunjukan pada tabel berikut

Tabel 4 Hasil simulasi Monte Carlo yaitu rata-rata hasil seribu simulasi prediksi suku bunga

menggunakan model Vasicek dengan b=0.0819 dan = 0.0330

Rata-rata hasil simulasi Monte Carlo dari hasil prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek kemudian dianggap sebagai hasil simulasi prediksi suku bunga.

Setelah diperoleh hasil simulasi prediksi suku bunga, langkah selanjutnya yaitu menghitung jumlah error kuadrat dari hasil simulasi prediksi suku bunga terhadap data histori menggunakan metode least square. Berikut merupakan hasil perhitungan jumlah error kuadrat

Tabel 5 Hasil perhitungan error kuadrat

Grafik dari data keseluruhan jumlah error kuadrat hasil simulasi prediksi suku bunga terhadap data histori ditunjukkan pada gambar 5 berikut

Gambar 5 Jumlah Error kuadrat suku bunga prediksi dengan data histori

Gambar 5 menunjukkan grafik jumlah error kuadrat hasil simulasi prediksi suku bunga dengan data histori yang terus menurun hingga nilai parameter a terakhir 1. Dari tabel error kuadrat menggunakan metode least square, diperoleh error kuadrat minimum dari data histori sebesar 0.0034. Maka pada simulasi selanjutnya nilai parameter a optimum error kuadrat minimum yang digunakan untuk memprediksi suku bunga dan divalidasi terhadap data validasi adalah nilai parameter tersebut.

4.3.3 Tahap 3: Simulasi Prediksi Suku Bunga Menggunakan Model Vasicek

Setelah diperoleh nilai parameter a optimum, tahap selanjutnya yaitu melakukan simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek dengan nilai parameter berikut

Tabel 6 Parameter input simulasi prediksi suku bunga menggunaan model Vasicek

Nilai parameter a pada tabel 6 diperoleh dari hasil analisis pada tahap sebelumnya, nilai parameter b dan merupakan hasil perhitungan dari data histori yang sudah dijelaskan pada tahap sebelumnya, sedangkan nilai parameter r0 adalah tingkat suku bunga pada record ke-20 dari data histori. Setelah diperoleh seluruh parameter inputan, dilakukan running program untuk menghitung prediksi suku bunga dengan menggunakan Model Vasicek untuk memprediksi selama m = 5 (tahun) atau 60 bulan.

Simulasi Monte Carlo diterapkan dalam melakukan simulasi prediksi suku bunga yaitu dengan melakukan seribu kali simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek menggunakan parameter pada tabel 6, kemudian dihitung rata-rata hasil seribu simulasi prediksi suku bunga. Rata-rata tersebut kemudian menjadi hasil simulasi prediksi suku bunga yang akan digunakan pada tahap selanjutnya. Hasil simulasi prediksi suku bunga yang diperoleh ditunjukkan pada tabel berikut

Tabel 7 Hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek selama 60 bulan SukuBunga

Prediksi 0.06635057 0.06759681 0.06873108 0.06979347 0.07076859

0.08178258

Tabel 7 menunjukkan data hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek. Data hasil

prediksi suku bunga secara keseluruhan ditunjukkan pada gambar 6

Gambar 6 Grafik data keseluruhan hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek selama 60 bulan

Selanjutnya setelah diperoleh hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek, dihitung selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95% dan 99% dari hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek. Berikut merupakan sampel perhitungan dari selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95%

𝑟 + 𝑟 0.0664+1.96.0.0091 𝑟

Hasil perhitungan selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95% dan 99% secara berturut ditunjukkan pada tabel 8 dan 9 berikut

Tabel 8 Selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95% dari hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek

Tabel 9 Selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 99% dari hasil simulasi prediksi suku

bunga menggunakan model Vasicek

Keseluruhan hasil perhitungan selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%

ditunjukkan pada gambar 7 berikut

(a)

(b)

Gambar 7 Grafik selang kepercayaan dari hasil simulasi prediksi suku bunga; (a) dengan derajat kepercayaan 95%, (b) dengan derajat kepercayaan 99%.

Dapat dilihat grafik pada gambar 7, batas atas dan bawah selang kepercayaan dengan derajat kepercayaan 95%

dan 99% memiliki jarak yang lebar terhadap hasil simulasi prediksi suku bunga.

Setelah diperoleh hasil simulasi prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek dan selang kepercayaannya, kemudian dilakukan simulasi prediksi selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo. Simulasi prediksi selang suku bunga dengan metode Monte Carlo menggunakan derajat kepercayaan 95% dan 99%. Berikut merupakan sampel perhitungan selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95%

√ + √

√ √

Hasil perhitungan selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95% dan 99% secara berturut ditunjukkan pada tabel 10 dan 11

Tabel 10 Hasil perhitungan selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95%.

Tabel 11 Hasil perhitungan selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 99%

Hasil perhitungan selang suku bunga metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 95% dan 99%

ditunjukkan pada gambar 8 berikut

Gambar 8 Grafik data hasil perhitungan selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo;(a) dengan derajat kepercayaan 95%, (b) dengan derajat kepercayaan 99%

Dapat dilihat pada gambar 8, batas atas dan bawah selang suku bunga menggunakan metode Monte Carlo dengan derajat kepercayaan 99% memiliki jarak yang cukup rapat akan tetapi sedikit lebih lebar jaraknya dibandingkan selang suku bunga dengan derajat kepercayaan 95%. Pada data juga dapat dilihat bahwa dengan derajat kepercayaan 99%, jarak antara batas atas dan bawah sedikit lebih besar dibandingkan dengan menggunakan peluang 95%.

4.3.4 Tahap 4: Menganalisis Hasil Simulasi Prediksi Suku Bunga

Setelah diperoleh hasil simulasi prediksi suku bunga, dilakukan analisis hasil tersebut dengan

membandingkan dan melakukan validasi terhadap data validasi. Tabel 11 menunjukkan data validasi

yang digunakan

Tabel 12 Data validasi yang digunakan untuk analisis hasil suku bunga prediksi

Grafik perbandingan data validasi dengan hasil simulasi suku bunga prediksi dapat dilihat pada gambar 9.

Dari gambar 9 dapat dilihat grafik hasil prediksi suku bunga dengan data validasi memiliki yang cukup dekat dan semakin lama waktu prediksinya, semakin lebar jaraknya. Hal ini juga dikarenakan, model yang digunakan adalah model Vasicek jangka pendek atau short rate Vasicek Model, sehingga model ini dapat memprediksi suku bunga dengan baik untuk jangka waktu yang pendek. Hasil perhitungan selisih simulasi prediksi suku bunga dengan data validasi tiap waktu dapat dilihat pada tabel berikut

Data keseluruhan selisih hasil prediksi suku bunga dengan data validasi ditunjukkan pada gambar 10

berikut

Hasil perhitungan selisih antara hasil simulasi prediksi suku bunga dengan data validasi tiap waktu memiliki nilai maksimum sebesar 0.00057 dan error kuadrat sebesar 0.0135. Error kuadrat dari hasil simulasi prediksi suku bunga dengan data validasi memiliki nilai yang cukup besar jika dibandingkan dengan hasil error kuadrat terhadap data validasi. Hal ini disebabkan karena nilai parameter a optimum yang digunakan pada data simulasi prediksi suku bunga diperoleh dengan memilih nilai parameter a yang memiliki error kuadrat terhadap data histori.

4.3.5 Tahap 5: Simulasi Prediksi Harga Obligasi

Pada tahap ini, dilakukan simulasi prediksi harga obligasi. Harga obligasi yang akan disimulasikan yaitu harga zero coupon bond. Harga obligasi tersebut dihitung menggunakan formula zero coupon bond menggunakan model Vasicek dengan suku bunga acuan pada perhitungan harga obligasi yang digunakan adalah suku bunga hasil simulasi prediksi yang diperoleh sebelumnya. Berikut merupakan data hasil simulasi prediksi harga obligasi

Tabel 13 Hasil simulasi prediksi harga zero coupon bond

Tabel 13 menunjukkan data hasil simulasi prediksi harga obligasi. Data keseluruhan hasil prediksi

ditunjukkan pada gambar 11

Gambar 11 menunjukkan grafik data keseluruhan hasil prediksi harga obligasi selama 60 bulan. Dapat dilihat pada grafik tersebut harga obligasi terus naik hingga mencapai 1. Hal ini terjadi karena harga zero coupon bond selain bergantung pada suku bunga, harga zero coupon bond juga bergantung pada waktu.

Harga zero coupon bond ( , )=1 menandakan obligasi tersebut sudah mencapai waktu jatuh tempo pada waktu T.

5. Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan

Dari hasil pengujian, dapat disimpulkan bahwa:

1. Hasil simulasi suku bunga menggunakan model Vasicek tidak dapat menangkap fluktuasi data suku bunga.

2. Nilai parameter a =1 adalah nilai parameter optimum yang memiliki error kuadrat minimum terhadap data histori sebesar 0.0034

3. Model Vasicek dapat memprediksi suku bunga dengan error kuadrat sebesar 0.0135 dan maksimum selisih suku bunga prediksi dengan data validasi sebesar 0.00057.

4. Hasil penelitian membuktikan bahwa hasil prediksi suku bunga menggunakan model Vasicek lebih baik digunakan untuk waktu yang pendek.

5.2 Saran

1. Pada penelitian selanjutnya mungkin memprediksi suku bunga dapat diselesaikan dengan model lain selain menggunakan model Vasicek atau menambahkan fitur baru untuk menunjang model Vasicek agar hasil prediksi suku bunga yang dihasilkan dapat menangkap fluktuasi dari data.

2. Gunakan data nyata suku bunga per hari atau per minggu dan digunakan untuk memprediksi suku bunga jangka pendek agar hasil prediksi yang diperoleh lebih baik karena model Vasicek merupakan model jangka pendek atau short rate model.

3. Melakukan analisis dengan membandingkan dan melakukan validasi hasil prediksi harga obligasi terhadap data histori harga obligasi nyata.

Daftar Pustaka:

[1] W. F. A. Funds, "Relationship Between Bonds and Interest Rate," Wells Fargo & Company, 2013.

[Online]. Available:

http://www.wellsfargoadvantagefunds.com/wfweb/wf/education/choosing/bonds/rates.jsp. [Accessed 30 Desember 2013].

[2] M. N. Nazir, "Short rates and bond prices in one-factor models," Department of Mathematics Uppsala

University, 2009.

[3] R. S. Mamon, "Three Ways to Solve for Bond Prices in the Vasicek Model," Journal of Applied Mathematics and Desicion Sciences, pp. 3-6, 2004.

[4] PT.BEI, "Mengenal Pasar Modal," 2010. [Online]. Available: http://www.idx.co.id/id-

[5] S. Haryanto, "Pengertian Saham dan Jenis Saham," 11 May 2012. [Online]. Available:

http://ilmuakuntansi.web.id/pengertian-saham-dan-jenis-saham/.

[6] PT.BEI, "Obligasi," 2010. [Online]. Available: http://www.idx.co.id/id- id/beranda/informasi/bagiinvestor/obligasi.aspx.

[7] PT.BEI, "Reksadana," 2010. [Online]. Available: http://www.idx.co.id/id- id/beranda/informasi/bagiinvestor/reksadana.aspx. [Accessed 2013].

[8] J. C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives 7th Edition, Toronto: Pearson Prentice Hall, 2008, p.

259.

[9] B. Oksendal, "Ito Integrals," in Stochastic Differential Equation: An Introduction with Application, Norway, Springer, 2003, pp. 26-30.

[10] D. Bindel and J. Goodman, Principles of Scientific Computing Monte Carlo Methods, 2009.

[11] P. Glasserman, Monte Carlo Methods in Financial Engineering, New York: Springer, 2003.

[12] Adiwijaya, “Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor”. Graha Ilmu, 2014 [13] W. RESEARCH, "Least Square Method," efunda, [Online]. Available:

http://www.efunda.com/math/leastsquares/leastsquares.cfm. [Accessed 28 Juni 2014].

[14] M. Capinski and T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, London: Springer, 2003.

[15] O. Onalan, "Financial Modelling with Ornstein-Uhlenbeck Processes Driven by Levy Process," World

Congress on Engineering, vol. II, pp. 2-3, 2009.