STRATEGI GENERALISASI POLA GEOMETRIS
CALON MAHASISWA BARU PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
MATEMATIKA STKIP PGRI PASURUAN
TAHUN AJARAN 2017/2018
Nur Qomaria
Dosen Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan
[email protected]
Abstrak: Penelitian ini bertujuan untuk mengeksplorasi strategi calon mahasiswa baru prodi Pendidikan
Matematika dalam menyelesaikan soal tentang generalisasi pola geometris. Tes diberikan kepada 44 peserta seleksi penerimaan mahasiswa baru prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan Tahun Ajaran 2017/2018. Jawaban subjek dikategorikan berdasarkan proses dan penalaran yang digunakan dalam gene-ralisasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa proses generalisasi yang dilakukan oleh subjek dapat dikate-gorikan menjadi 3 proses yaitu aktivitas prosedural, generalisasi lokal, dan generalisasi global. Adapun penalaran yang digunakan subjek dalam generalisasi pola geometris adalah penalaran figural dan penalaran numerik.
Kata Kunci: Pola Geometris, Generalisasi, Strategi
Aljabar dan semua cabang ilmu matematika adalah tentang generalisasi pola (Lee, 1996), Beberapa jenis pola dalam matematika adalah pola bilangan, pola geometris (pictorial growth pattern), pola dalam prosedur komputasi, pola linier dan kuadrat, dan pola berulang (Zazkis & Liljedahl, 2002). Penelitian ini berfokus pada pola geometris yaitu suatu barisan gambar yang berubah dari satu gambar ke gambar berikutnya, yang perubahannya dapat diprediksi (Billings, 2008 dalam Walkowiak, 2013). Pola geometris ini biasa digunakan oleh guru dalam mem-bantu siswa dalam memprediksi pola selanjutnya dan melakukan generalisasi. Pemahaman pola, relasi dan fungsi adalah tema yang yang terus ada dalam prinsip dan standar pembelajaran aljabar di sekolah pada semua jenjang (NCTM, 2000). Berikut ini contoh pola geometris.
Gambar 1 Contoh Pola Geometris (Sumber: Radford, 2006)
134
Generalisasi merupakan salah satu aktivitas fundamental dalam pembelajaran matematika. Perkembangan matematika bergantung pada pene-rapan generalisasi (Hashemi, dkk, 2013). Menurut Tall (2011) generalisasi dalam sudut pandang matematika adalah “mencari gambar yang lebih besar”, memperhatikan kelompok kecil untuk men-cari kelompok yang lebih besar, memperluas konsep dalam area yang lebih besar. Dalam bukunya, Tall (2002) juga menyebutkan bahwa strategi generalisasi digunakan dalam matematika untuk menunjukkan proses dalam konteks yang lebih luas dan membantu seseorang dalam mengetahui hasil dari suatu peme-cahan masalah. Generalisasi membantu seseorang menggabungkan pengalaman dan pengetahuan mereka untuk menyelesaikan masalah dalam kondisi baru. Tall (2012) mencoba mendorong siswa dalam generalisasi dengan menggunakan aplikasi masalah sehari-hari.
Beberapa hasil penelitian sebelumnya menun-jukkan bahwa siswa melakukan beragam strategi dalam memprediksi dan menggeneralisasi pola. Hasil penelitian yang dilakukan oleh Radford tahun 2006 menunjukkan beberapa strategi yang dilakukan siswa dalam menyelesaikan masalah pola yaitu strategi
strategi generalisasi dengan aritmetika, dan genera-lisasi dengan aljabar (faktual, konseptual, dan sim-bolik). Adapun hasil penelitian Walkowiak di tahun 2013 menunjukkan bahwa siswa menggunakan pena-laran figural dan penapena-laran numerik dalam mengana-lisis masalah pola. Generalisasi yang dilakukan siswa melibatkan notasi informal, kalimat deskriptif, dan notasi formal.
Penggunaan beragam strategi dalam generalisasi pola, tentunya tidak terlepas dari pengalaman belajar siswa dan kemampuan matematisnya. Untuk itu, peneliti terdorong untuk mengeksplorasi strategi yang dilakukan calon mahasiswa baru program studi Pendidikan Matematika yang memiliki latar belakang pendidikan yang beragam. Latar belakang pendidik-an, seperti asal sekolah dan juruspendidik-an, mempengaruhi pengalaman belajar dan juga kemampuan matematis yang dimiliki calon mahasiswa baru. Dengan perbe-daan tersebut, peneliti ingin mengungkap strategi yang akan mereka gunakan. Strategi yang dimaksud dalam penelitian ini berfokus pada dua hal yaitu bagaimana proses generalisasi dan penalaran apa yang digunakan oleh calon mahasiswa dalam menye-lesaikan soal tentang pola geometris. Hasil penelitian ini nantinya dapat digunakan sebagai gambaran umum tentang pengetahuan dasar matematika maha-siswa baru prodi Pendidikan Matematika.
METODE
Berdasarkan jenis data dan tujuan penelitain, penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Subjek penelitian ini adalah 44 calon mahasiswa baru Pro-gram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan Tahun Ajaran 2017/2018 yang mengikuti seleksi gelombang pertama.
Penelitian ini dilakukan dengan memberikan tes pada subjek berupa masalah tentang pola geometris. Tes memberi kesempatan pada subjek dalam melaku-kan investigasi aritmetika, mengungkapmelaku-kan genera-lisasi dalam bahasa sehari-hari, dan menggunakan simbol aljabar standar dalam generalisasi. Adapun soal tes dapat dilihat pada gambar 2 berikut ini.
Gambar 2 Soal Tes Pola Geometris
Jawaban subjek akan dianalisis melalui proses kategorisasi yang berfokus pada bagaimana proses generalisasi yang dilakukan oleh subjek dan penalar-an apa ypenalar-ang mereka gunakpenalar-an. Hasil penalar-analisis disajikpenalar-an dalam kalimat deskriptif dilengkapi dengan beberapa cuplikan jawaban subjek.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Kategorisasi terhadap jawaban tes menghasilkan 3 proses generalisasi yang dilakukan oleh subjek. Adapun proses tersebut dijabarkan sebagai berikut.
Proses 1 Aktivitas Prosedural
Pada level ini, subjek menyadari akan adanya konsep iterasi pada pola yang diamati. Subjek menge-tahui karakteristik perulangan dari satu pola ke pola berikutnya. Subjek pada level ini dapat dikelompok-kan menjadi dua, yaitu kelompok yang menggunadikelompok-kan penalaran figural dan kelompok yang menggunakan penalaran numerik. Kelompok yang menggunakan penalaran figural, mampu menggambar pola 4 dengan memperhatikan struktur gambar, namun kesulitan menjawab pertanyaan tentang banyaknya kursi yang dibutuhkan jika terdapat 60 meja (pola 60) yang membutuhkan penalaran numerik. Berikut cuplikan jawaban subjek pada kelompok ini.
Gambar 3 Cuplikan Jawaban Proses 1 (a)
Kelompok dengan penalaran numerik, mampu menentukan pola 60 dengan menggunakan perhi-tungan satu per satu dari pola 1 sampai pola 60. Mereka belum mampu menggunakan hubungan antar pola, sehingga masih kesulitan dalam generalisasi pola geometris. Sesuai dengan pendapat Estyn (2014) bahwa seseorang dengan penalaran numerik mampu mengaplikasikan fakta numerik sederhana pada masalah sehari-hari. Dalam mencari solusi, sese-orang dengan penalaran numerik akan menjalankan prosedur numerik (Welsh Government, 2016). Berikut cuplikan jawaban subjek pada kelompok ini.
Gambar 4 Cuplikan Jawaban Proses 1 (b)
Subjek di atas mencoba menentukan pola 60 dengan prosedur numerik menggunakan konsep iterasi dari pola satu ke pola berikutnya. Subjek menggunakan karakteristik perubahan antar pola dan mengaplikasikannya melalui perhitungan. Dengan prosedur ini, subjek masih belum mampu menen-tukan aturan umum atau menggeneralisasi pola.
Proses 2 Generalisasi Lokal
Pada level ini, subjek mulai menentukan genera-lisasi lokal yakni generagenera-lisasi terhadap aturan spesi-fik untuk perhitungan. Aturan ini bisa memuat va-riabel maupun tidak (Cruz & Martinon, 1998). Dengan penalaran numerik, subjek dapat menentukan aturan untuk menghitung kasus khusus dari penen-tuan pola. Berikut beberapa cuplikan jawaban sub-jek.
Gambar 5 Cuplikan Jawaban Proses 2 (a)
Gambar 6 Cuplikan Jawaban Proses 2 (b)
Gambar 7 Cuplikan Jawaban Proses 2 (c)
Transisi level aktivitas prosedural ke genera-lisasi lokal dapat terlihat dari bagaimana subjek sudah mulai bisa menentukan aturan spesifik untuk menentukan pola 60. Subjek tidak lagi mengitung satu per satu tetapi sudah menggunakan perhitungan yang memuat aturan perubahan dari satu pola ke pola berikutnya. Aturan tersebut disajikan dalam ben-tuk operasi bilangan maupun dalam benben-tuk kalimat deskriptif. Terlihat pada gambar cuplikan jawaban, subjek sudah mampu menentukan aturan untuk menghitung pola 60. Bahkan dari gambar 7, tampak bahwa subjek mengenali aturan perubahan pola sebagai suatu barisan aritmetika dengan suku awal 4 dan beda 2, sehingga mereka menggunakan rumus suku ke- untuk barisan aritmetika dalam menentukan banyaknya kursi pada pola 60.
Subjek pada level ini, masih belum mampu mela-kukan generalisasi pola lebih luas. Beberapa subjek, mampu mengungkapkan generalisasi dengan kalimat deskriptif, namun masih terbatas pada kasus spesifik, belum pada kasus umum. Berikut contoh pernyataan subjek tentang aturan umum pola geometris pada level ini.
Gambar 8 Cuplikan Jawaban Proses 2 (d) Proses 3 Generalisasi Global
Subjek pada level ini telah mampu menentukan aturan spesifik dan membawanya pada aturan yang lebih luas. Peneliti menemukan satu kasus menarik dimana subjek sudah mampu menentukan pola 60 dengan penalaran numerik, namun pada saat menen-tukan aturan umum, subjek hanya melakukan pena-laran figural dengan menjelaskan aturan umum mela-lui kalimat deskriptif yang tidak melibatkan unsur numerik maupun variabel. Tampak pada gambar 9 bahwa subjek berfokus pada posisi kursi dalam menjelaskan aturan umum.
Cuplikan jawaban yang mengarah pada gene-ralisasi yang lebih tepat disajikan pada gambar 10.
Gambar 10 Cuplikan Jawaban Proses 3 (b)
Pada gambar 10 terlihat bahwa subjek menge-nali pola geometris yang tersusun mengarah pada barisan aritmetika. Penalaran numerik yang dila-kukan subjek berfokus pada banyaknya kursi pada setiap pola yang bertambah secara konstan dari pola satu ke pola berikutnya. Berdasarkan hal tersebut, subjek membuat generalisasi dengan menggunakan rumus menentukan suku ke- pada barisan aritmetika, dengan beda 2. Generalisasi akan lebih lengkap jika subjek mampu menjelaskan makna semua variabel yang terdapat pada rumus yang mereka yang sajikan berdasarkan konteks masalah pada soal tes.
Gambar 11 Cuplikan Jawaban Proses 3 (c)
Jawaban subjek pada gambar 11 mengindikasi bahwa subjek menyadari perubahan banyaknya meja berpengaruh terhadap perubahan banyak kursi pada setiap pola. Subjek mampu menuliskan hubungan tersebut dalam suatu persamaan yang memuat va-riabel sebagai pengganti banyaknya meja.
Berdasarkan hasil kategorisasi yang telah dija-barkan, peneliti menemukan bahwa seseorang akan dapat membuat generalisasi pola geometris dengan mengkombinasikan penalaran figural dan numerik. Temuan ini sejalan dengan hasil penelitian yang dila-kukan Walkowiak (2013) yaitu seseorang mampu melakukan generalisasi pola dengan melihat fitur spasial dari pola geometris yang diberikan dan mene-rapkan pengetahuan mereka tentang bilangan.
Dengan penalaran figural saja, seseorang akan sulit menyelesaikan masalah yang lebih luas dan kesulitan melakukan generalisasi yang tepat. Dengan pena-laran numerik saja, seseorang akan kesulitan menyu-sun hubungan antar pola sehingga generalisasi akan sulit dilakukan. Generalisasi pola dapat dijelaskan dengan kalimat deskriptif maupun dengan notasi. Namun untuk menyelesaikan masalah yang lebih luas, penggunaan notasi lebih diharapkan.
Gambaran kerangka kerja dalam generalisasi pola geometris dapat dilihat pada bagan berikut ini.
Bagan 1 Kerangka kerja generalisasi pola geometris (Walkowiak, 2013)
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil kategorisasi jawaban subjek tentang pola geometris, disimpulkan bahwa terdapat tiga proses yang dilakuakn subjek dalam generalisasi yaitu aktivitas prosedural, generalisasi lokal, dan generalisasi global. Dalam setiap prosesnya, subjek menggunakan dua macam penalaran yaitu penalaran figural yang berfokus pada struktur gambar pada pola geometris dan penalaran numerik yang berfokus pada hubungan numerik antar pola. Generalisasi pola geometris dapat dilakukan dengan mengkombi-nasikan penalaran figural dan numerik.
Penelitian ini masih terbatas pada kategorisasi dan analisis ringan terhadap strategi yang dilakukan calon mahasiswa baru prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan dalam generalisasi pola geometris. Masih terbuka peluang untuk melakukan penelitian yang lebih luas dan mendalam yang ber-kaitan dengan generalisasi pola geometris. Peneliti menyarankan untuk penelitian selanjutnya dilakukan analisis yang lebih mendalam tentang strategi gene-ralisasi pola geometris, baik dari segi proses maupun penalaran yang dilakukan.
Numerical Reasoning Figural Reasoning Generalization Invented of Formal Notation Descriptive Words
DAFTAR RUJUKAN
Cruz, J.A & Martinon, A. 1998. Levels of Generaliza-tion in Linear Patterns. Proceeding of the 22nd
Conference of the International Group for Psychol-ogy of Mathematics Education, University of Stellenbosch, Vol 2, pp 329–336, (Online), https://
jagcruz.webs.ull.es/Articulos/pme98.pdf, diakses tanggal 5 Juli 2017.
Estyn. 2014. Numeracy in Key Stages 2 and 3: an
In-terim Report, (online). www.estyn.gov.uk, diakses
tanggal 7 Juli 2017.
Hashemi, N, et al. 2013. Generalization in the Learn-ing of Mathematics. ProceedLearn-ing ot the 2nd
Interna-tional Seminar on Quality and Affordable Educa-tion, (on lin e), h ttp://educ.utm.my/wp-HYPERLINK “http://educ.utm.my/wp-content/up-loads/2013/11/291.pdf”content/uploads/2013/11/ 291.pdf, diakses tanggal 5 Juli 2017.
Lee, L. 1996. An initiation into algebraic culture through generalization - Approaches to Algebra:
Perspec-tives for Research and Teaching. Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers. National Council of Teachers of
Mathematics. 2000. Principles and Standards for School
Mathematics, NCTM, Reston, VA.
Radford, L. 2006. Algebraic Thinking and Generaliza-tion of Patterns: A Semiotic Perspective.
Proceed-ings of the 28th Annual Meeting the International
Group for the Psychology of Mathematics Educa-tion Universidad Pedagógica Nacional, (online),
http://www.luisradford.ca/pub/60_pmena06.pdf, diakses tanggal 8 Juli 2017.
Tall, D. 2002. Advanced Mathematical Thinking (11 Ed.). London: Kluwer Academic Publisher. Tall, D. 2011. Looking for the Bigger Picture. For the
Learning of Mathematics. 31 (2): 17–18.
Tall, D. 2012. Making Sense of
Mathematical Reasoning and Proof. Plenary at
Math-ematics and MathMath-ematics Education: Searching for Common Ground: A Symposium in Honor of Ted Eisenberg. April 29-May 3, 2012, Ben-Gurion
University of the Negev, Beer Sheva, Israel. Walkowiak, T.A. 2013. Elementary and Middle School
Students’ Analysis of Pictorial Growth Patterns. The
Journal of Mathematical Behavior, (online), https:/
/www.journals.elsevier.com/the-journal-of-math-ematical-HYPERLINK “https://www.journals. elsevier.com/the-journal-of-mathematical-behav-ior” behavior, diakses tanggal 7 Juli 2017. Welsh Government. 2016. National Literacy and
Numeracy Programme - A Strategic Action Plan,
(on line), www.gov.wales/educationandskills, diakses tanggal 8 Juli 2017.
Zaskis, R. & Liljedahl, P. 2002. Generalization of
Pat-terns: the Tension between Algebraic Thinking and Algebraic Notation. Netherlands: Kluwer
