SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m n MEMPUNYAI SOLUSI ABSTRACT

SYARAT PERLU DAN CUKUP SISTEM PERSAMAAN LINEAR BERUKURAN m × n MEMPUNYAI SOLUSI

Aryan Zainuri^1∗, Syamsudhuha ², Asli Sirait²

1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika

2 Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗4rieyan.zainuri@gmail.com

ABSTRACT

This article discusses the necessary and sufficient condition for the system of linear equations Ax = b where A is an m × n matrix, with m < n and b is an n × 1 vector to have a solution. The discussion involves determining the number of single variables by looking at columns lowering rank and determining the value of the single variables.

Keywords: nonhomogeneous system of linear equations, consistency theorem, a nec- essary condition, sufficient conditions, matrix.

ABSTRAK

Artikel ini membahas syarat perlu dan cukup agar sistem persamaan linear beruku- ran Ax = b dengan A merupakan matriks berukuran m × n, dengan m < n dan b vektor berukuran n×1 mempunyai solusi. Pembahasan meliputi penentuan jumlah variabel tunggal dengan melihat kolom penurun rank dan penentuan nilai variabel tunggal itu sendiri.

Kata kunci: sistem persamaan linear nonhomogen, teorema kekonsistenan, syarat perlu, syarat cukup, matriks.

1. PENDAHULUAN

Persamaan linear adalah suatu persamaan dimana variabel yang terlibat berderajat paling tinggi satu, dan peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Sedangkan hinpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear itu disebut dengan sistem persamaan linear, dikenal dengan (SPL)[1].

Sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk

Ax= b, (1)

dengan, matriks Am×ndinamakan matriks koefisien, xn×1dinamakan matriks peubah, dan b_m×1 dinamakan matriks konstanta. Sistem persamaan linear yang terdiri dari variabel x1, x₂, . . . , x_n memiliki variabel tunggal dimisalkan dengan N , maka variabel sisanya (n − N ) memiliki nilai takhingga banyaknya, sehingga ini menimbulkan 3 pertanyaan berikut:

1. Apa syarat perlu dan cukup suatu variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear?

2. Berapa banyak variabel tunggal yang ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear?

3. Jika variabel tunggal dapat ditentukan oleh sebuah sistem persamaan linear, adakah formula eksplisit untuknya?

Ketiga masalah inilah yang menjadi pembahasan artikel ini, yang sekaligus memberikan review sebagian tulisan dari jurnal yang berjudul ”Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations” [4].

2. SYARAT PERLU DAN CUKUP UNTUK ADANYA SOLUSI Definisi 1 (Syarat Perlu)[2, h. 71] Syarat perlu merupakan salah satu yang harus dipenuhi untuk menyimpulkan suatu kebenaran, namun tidak menjamin hasilnya selalu benar.

Dengan kata lain, jika dikatakan ‘T merupakan syarat perlu dari Z’ artinya ‘Z bernilai benar hanya jika T benar’, atau dapat dinotasikan dengan Z ⇒ T .

Definisi 2 (Syarat Cukup)[2, h.72] Syarat cukup merupakan salah satu yang menjamin suatu pernyataan adalah benar. Pernyataan bernilai benar jika syaratnya tidak dipenuhi.

Dengan kata lain, jika dikatakan ‘T merupakan syarat cukup dari Z’ artinya ‘Z bernilai benar jika T benar’, atau dapat dinotasikan dengan T ⇒ Z.

Sistem persamaan (1) terdiri dari

A=











a₁₁ a₁₂ · · · a_j1 · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_j2 · · · a_2n a₃₁ a₃₂ · · · a_j3 · · · a_3n ... ... . .. ... . .. · · · a_m1

|{z}

C₁

a_m2

|{z}

C₂

· · · a_jn

|{z}

Cj

· · · a_mn

|{z}

Cn









 , x=







 x₁ x₂ x₃ ...

x_n







 , b=







 b₁ b₂ b₃ ...

b_m







 ,

misalkan C1, C₂, C₃,· · · , Cj,· · · , Cn adalah kolom-kolom dari matriks A.

Syarat perlu sistem persamaan linear Ax = b memiliki solusi adalah konsisten, dan syarat cukupnya adalah jika Ax = b konsisten maka rank A = rank [A|b] [1], dijelaskan pada teorema berikut.

Teorema 3 [1, h. 171] Sebuah sistem persamaan linear Ax = b akan konsisten jika dan hanya jika rank dari matriks koefisien A sama dengan rank dari matriks yang diperbesar [A|b] dimana

rank A= rank [A|b].

Bukti: dapat dilihat pada [1, h. 171].

Selanjutnya, ditunjukkan sistem persamaan linear berukuran m × n memiliki variabel tunggal.

Definisi 4 [4] Kolom ke-j yang dihapus dari matriks A dikatakan mempertahankan rank jika,

rank A^j = rank A, dan dikatakan menurunkan rank jika,

rank A^j = (rank A) − 1, dimana

A^j =









a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n a₃₁ a₃₂ · · · a_3n ... ... ... · · · a_m1 a_m2 · · · a_mn







 .

Teorema 5 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang didefinisikan oleh persamaan (1) adalah konsisten, maka variabel xj, dimana j = 1, 2, · · · , n, ditentukan secara tunggal jika dan hanya jika kolom ke-j di A menurunkan rank A.

Bukti: C1, C₂, C₃,· · · , Cj,· · · , Cn adalah kolom-kolom dari matriks A, dimana kolom Cj menurunkan rank, maka dengan Definisi 4 diperoleh rank A^j = (rank A) − 1. Kolom Cj bukan merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lainnya.

Ax= x1C₁+ x2C₂+ · · · + xjC_j + · · · + xnC_n = 0, Ax= 0,

dengan xj = 0, solusi dari persamaan (1) memiliki nilai yang sama untuk xj, maka xj merupakan variabel tunggal. Selanjutnya dengan menghapus kolom Cj

mempertahankan rank, maka rankA^j = rankA, dimana xj 6= 0 sehingga kolom C_j merupakan kombinasi linear dari kolom-kolom lain, dan solusi persamaan (1) memiliki nilai berbeda untuk xj maka xj merupakan variabel tidak tunggal.

Selanjutnya, akan diberikan teorema yang menjelaskan banyaknya variabel tunggal yang dapat ditentukan dari suatu sistem persamaan linear. 

Teorema 6 [4] Misalkan sistem linear pada persamaan (1) konsisten dan rankA = r. Maka jumlah variabel tunggal yang ditentukan oleh sistem persamaan linear adalah

nr− Xn

j=1

rank A^j. (2)

Bukti:

Misalkan matriks A apabila dihapus salah satu kolom misalkan Cj akan menurunkan rank, berdasarkan Teorema 6 dapat ditulis

rank A^j = r − 1, dengan

r− rank A^j =

(1, jika kolom Cj dari matriks A menurunkan rank, 0, jika kolom Cj dari matriks A mempertahankan rank.

Berdasarkan Teorema 6 misalkan N merupakan banyaknya variabel tunggal yang terdapat pada A maka

N = Xn

j=1

(r − rank A^j)

N =(r − rank A¹) + (r − rank A²) + (r − rank A³) + · · · + (r − rank Aⁿ)

N =nr − (rank A¹+ rank A²+ rank A³+ · · · + rank Aⁿ) N =nr −

Xn j=1

(rank A^j). 

Teorema 7 [4] Misalkan bahwa sistem linear yang terdefinisi pada persamaan (1) adalah konsisten, dan m = r = rank A . Misalkan Ai, dimana i = 1, 2, . . . , m menyatakan baris ke-i di A. Bilangan bulat k₁. . . , k_n−r dengan

1 ≤ k1 < k₂ <· · · < kn−r ≤ n, (3) dapat dipilih sehingga

span(A1, . . . , A_r, E_k1, . . . , E_kn−r) = Fⁿ.

Misalkan matriks A^{(k1,...,kn−r)} ∈ Mr,r(F) dibentuk dari A dengan menghapus kolom k₁, . . . , k_n−r. Misalkan j ∈ 1, 2, . . . , n sedemikian hingga xj merupakan variabel yang bernilai tetap pada persamaan (1). Misalkan A^{k1,...,kn−r}(j, b) ∈ Mr,r(F) dibentuk dari A dengan mengganti kolom ke-j dengan b dan menghapus kolom k1, . . . , k_n−r, maka

x_j = det(A^{(k1,...,kn−r)}(j, b))

det(A^{(k1,...,kn−r)}) . (4)

Bukti:

Karena {E₁, . . . , E_n} span Fⁿ dan A₁, . . . , A_r bebas linear pada F, maka r pada E₁, . . . , E_n dapat diganti oleh A1, . . . , A_r sehingga

span(A1, . . . , A_r, E_k1, . . . , E_kn−r) = Fⁿ,

dimana berlaku persamaan (3). Perhatikan bahwa dengan xj ditentukan secara tunggal, Ej termasuk keruang baris A sehingga j 6= k1, . . . kn−r. Misalkan A^∗ ∈ M_n,n(F) dibentuk dari matriks A dengan mengadjoin E^kn−r sebagai baris r+1, . . . , n maka himpunan

{A1, ..., A_r, E_k1, ..., E_kn−r},

merupakan basis untuk Fⁿkarena detA^∗ 6= 0. A^∗yang diperbesar dengan baris n−r, diperoleh

detA^∗ = (−1)(r+1)+···+n+k1+···+kn−r det A^{(k1,...,kn−r)}, maka

detA^{k1,...,kn−r} 6= 0. (5)

Misalkan x^∗ ∈ Mr,1(F) adalah matriks kolom yang dibentuk dari x dengan menghapus xk₁, . . . , xk_n−r. Ditetapkan bahwa

b^∗ = b − xk₁A^k1 − · · · − xk_n−rA^k(n−r),

maka sistem persamaan linear yang didefinisi oleh (1) dapat ditulis kembali dengan

A^{k1,...,(kn−r)}x^∗ = b^∗. (6)

Dari persamaan (5) dan (6) terlihat bahwa seluruh xv dengan v 6= k1, . . . , k_n−r, ditentukan secara tunggal dari segi variabel bebas n−r yakni xk1, . . . , x_kn−r. Dengan demikian xj bebas linear terhadap pemilihan xk₁, . . . , x_kn−r dan karena dapat dipilih xk1 = · · · = xk_n−r = 0 pada persamaan (6) untuk menentukan xj. Bentuk matriks dari sistem persamaan linearnya menjadi

A^{k1,...,(kn−r)}x^∗ = b,

dengan menggunakan Teorema aturan Cramer [1] dihasilkan x_j = det^(A(k1,...,kn−r)(j,b))

det(A(k1,...,kn−r)) . 

3. CONTOH PENERAPAN Diberikan sistem persamaan linear

6x1 +12x2 +x3 +6x4 +x5 = 7, 5x1 +10x2 +x3 +5x4 +x5 = 6, 13x1 +26x2 +2x3 +13x4 +3x5 = 18,

(7)

persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk matriks





6 12 1 6 1 5 10 1 5 1 13 26 2 13 3











 x₁ x₂ x₃ x₄ x₅









=



 7 6 18



, (8)

dengan menggunakan Teorema 3 dan Definisi 4 diperoleh

rank A= rank A¹ = rank A² = rank A⁴ = 3, (9) dan

rank A³ = rank A⁵ = 2. (10)

Persamaan (9) menunjukan kolom ke-1, kolom ke-2 dan kolom ke-4 mempertahankan rank A, sedangkan persamaan (10) menunjukan bahwa kolom ke-3 dan kolom ke-5 menurunkan rank A. Berdasarkan Teorema 5, maka hanya x3 dan x5 yang merupakan variabel tunggal, sehingga

x_j = (3, 5). (11)

Baris dan kolom pada persamaan (8) yaitu m = 3 dan n = 5, dan diperoleh r = 3 = rank A dan n − r = 2, dengan menggunakan persamaan (3) dapat diambil kolom ke-1=k₁=1 dan kolom ke-2=k₂=2. Misalkan N adalah jumlah variabel tunggal pada A maka dengan menggunakan persamaan (2), diperoleh

N = 5 × 3 − (3 + 3 + 2 + 3 + 2) N = 15 − 13

N = 2.

Menentukan nilai variabel dari persamaan (11) dengan menggunakan persamaan (4), diperoleh x3

x₃ = det(A^(1,2)(3, b))

det(A^(1,2)) , (12)

persamaan (12) menjadi

x₃ =





7 6 1

6 5 1

18 13 3









1 6 1 1 5 1 2 13 3



 ,

atau

x₃ = 2

−1 x₃ = −2,

dan variabel x5

x₅ = det(A^(1,2)(5, b))

det(A^(1,2)) , (13)

maka persamaan (13) menjadi

x₅ =





1 6 7

1 5 6

2 13 18









1 6 1 1 5 1 2 13 3



 ,

atau

x₅ = −3

−1 x₅ = 3,

maka nilai variabel tunggal dari x3 = −2 dan x5 = 3.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan, dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu syarat perlu sistem persamaan linear berukuran m×n mempunyai sedikitnya satu solusi adalah jika Ax = b adalah konsisten, sedangkan syarat cukupnya adalah jika Ax = b mempunyai solusi maka rank A = rank [A|b]. Syarat sistem persamaan linear memiliki variabel tunggal adalah terdapat sedikitnya satu kolom pada matriks A misalkan kolom ke-j dimana akan menurunkan rank A.

Banyaknya variabel tunggal pada sistem persamaan linear dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan (2), yang diperoleh dari Teorema 6. Formula ekplisit untuk mencari banyaknya variabel bernilai tetap dalam sebuah sistem persamaan linear non homogen konsisten dengan menggunakan formula

x_j = det(A^{(k1,...,kn−r)}(j, b)) det(A^{(k1,...,kn−r)}) , yang dihasilkan dari Teorema 7.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, H. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. dari Elementery Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, P. & I. N. Susila. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[2] Houston, K. 2009. How to Think Like a Mathematician. Cambridge University Press, New York.

[3] Jacob, B. 1990. Linear Algebra. W. H. Freeman and Company, New York.

[4] Kardy, K. W & B K. Spearman. 2002. Uniquely Determined Unknowns in Sistems of Linear Equations. Mathematics Magazine. 75(1): 53-57.

[5] Nicholson, W.K. 2001. Elementary Linear Algebra, McGraw-Hill Ryerson, New York.