Kumpulan Soal Geometri

BAB II

TEMPAT KEDUDUKAN

Jarak Antara Dua Titik

1. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 4, B = 3, C = -2 a. Jarak antara titik AB

b. Jarak antara titik AC c. Jarak antara titik BC Jawab

Jarak antara titik pada garis = x1 −x2 a. AB = x1−x2 =4−3 =1

a. AC = x₁−x₂ = 4−( )−2 =6 c. BC = x1−x2 =3−( )−2 =5

2. Tentukan jarak antara kedua titik jika diketahui titik A = 2, B = 1, C = -2 a. Jarak antara titik AB

b. Jarak antara titik AC c. Jarak antara titik BC Jawab

Jarak antara titik pada garis = x1 −x2 a. AB =x1−x2 =2−1 =1

a. AC = x1−x2 = 2−( )−2 =4 c. BC = x1−x2 =1−( )−2 =3

1. Diketahui koordinat cartesius titik P=

(

5,− 11

)

tentukan koordinat kutib titik P?

Jawab :

Koordinat cartesius titik P =

(

5,− 11

)

maka x=5 dan y=− 11

(

11

)

25 11 36 6 52 2 2 2_{+ = + − = + = =} = x y r 66 , 0 5 11 − = − = = x y tg α 6 , 33 − =

α _{karena titik P berada dikuadran IV maka :} 4 , 326 6 , 33 360 − = = α

Jadi koordinat kutub titik P adalah

(

6,326,4ο

)

2. Diketahui koordinat kutub titik _A=

(

_5,210o

)

_{tentukan koordinat cartesius titik}

A ? Jawab

Koordinat kutub titik _A=

(

_5,210o

)

_{maka r=5 dan α =210}o 3 2 1 2 210 cos 5 cos = =− =_r o x α 2 1 2 210 sin 5 sin ₌ 0 ₌₋ =r α y

Jadi koordinat cartesius titik A adalah      _{− −} 2 1 2 , 3 2 1 2

Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain

1. Misalkan diketahui titik A=

( )

2,4 _dan B =

( )

8,8 _{dan titik T terletak pada ruas} garis AB dengan perbandingan AT :TB =3:2. Tentukan koordinat tikik T Jawab : 5 28 5 4 24 2 3 2 . 2 8 . 3 1 2 ₌ + ₌ + + = + + = n m nx mx x_T 5 32 5 8 24 2 3 4 . 2 8 . 3 1 2 ₌ + ₌ + + = + + = n m ny my y_T

Jadi koordinat titik       5 32 , 5 28 T

( ) ( ) ( ) ( ) 13 2 52 16 36 4 6 4 8 2 8 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 = = + = + = − + − = − + − = AB AB AB AB AB y y x x AB ( ) ( ) ( ) ( ) 17 16 1 4 1 7 3 5 6 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 = + = + = − + − = − + − = AB AB AB AB y y x x AB

2. Misalkan diketahui titik A=

( )

5,4 _dan B=

( )

2,4 _{dan titik T terletak pada ruas} garis AB dengan perbandingan AT :TB =4:2. Tentukan koordinat tikik T Jawab : 3 6 18 6 10 8 2 4 5 . 2 2 . 4 1 2 ₌ + _{= =} + + = + + = n m nx mx x_T 4 6 24 6 8 16 2 4 4 . 2 4 . 4 1 2 ₌ + _{= =} + + = + + = n m ny my y_T

Jadi koordinat titik T

( )

3,4

Jarak Antara Dua Titik

1. Diketahui dua buah titik A(2,4) dan B(8,8). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab : 2 8 4 8 A B

2. Diketahui dua buah titik A(5,7) dan B(6,3). Tentukan jarak antara kedua titik ? Jawab :

Tempat Kedudukan Titik pada ruang

1. Tentukan jarak dari titik pusat O ke titik P bila : a. P(4,3,2)

b. P(-2,3,6) Jawab :

Titik asal O =

(

0,0,0

) (

= x1,y1,z1

)

dan P =

(

x2,y2,z2

)

(

) (

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 y 0 z 0 x y z x O P= − + − + − = + + a. P(4,3,2) 29 2 3 42 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = = x y z OP b. P(-2,3,6)

( )

2 2 32 62 49 7 2 2 2 2 2 2 + + = − + + = = = x y z OP

2. Tentukan jarak titik A ke titik B bila : a. A(4,2,2) dan B(2,1,1)

b. A(1,2,0) dan B(2,1,0) Jawab :

Titik asal A=

(

x1,y1,z1

)

dan B =

(

x2,y2,z2

)

(

) (

) (

)

2 1 2 2 1 2 2 1 2 x y y z z x AB= − + − + − a. A(4,2,2) dan B(2,1,1) (2₋4)2 ₊(1₋2)2 ₊(1₋2)2 ₌ 4₊1₊1₌ 6 = AB b. A(1,2,0) dan B(2,1,0) (2₋1)2 ₊(1₋2) (2 ₊0₋0)2 ₌ 1₊1₊0 ₌ 2 = AB

Tempat Kedudukan Titik diantara Dua Titik Lain pada Ruang

1. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(1,2,0) dan B(5,-8,-1) dan C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC. Tentukan koordinat titik D.

A(1,2,0) C(1,3,1) B(5,-8,-1) D 2 117 (1₋1)2 ₊(3₋2)2 ₊(1₋0)2 ₌ 0₊1₊1₌ 2 = AC (5₋1)2₊(₋8₋2)2 ₊(₋1₋0)2 ₌ 16₊100 ₊1₌ 117 = AB

Berdasarkan dalil garis bagi maka : 2 : 117 : :CD =AB AC = BD

(

) (

)

_1,4625 2 117 5 . 2 1 . 117 2 117 2 117 = + + = + + = C B D x x x

(

) (

)

_1,728 2 117 ) 8 .( 2 3 . 117 2 117 2 117 = + − + = + + = C B D y y y

(

) (

)

_0,768 2 117 ) 1 .( 2 1 . 117 2 117 2 117 = + − + = + + = C B D z z y

Jadi koordinat titik D(1,4625;1,728;0,768)

2. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik A(3,6,9) dan B(4,8,12) dan C(1,3,1). Titik D merupakan titik potong garis bagi yang ditarik dari A ke sisi BC. Tentukan koordinat titik D.

(1−3) (2 + 3−6) (2+1−9)2 = 4+9+64 = 77 = AC (4−3) (2+ 8−6) (2 +12−9)2 = 1+4+9 = 14 = AB

Berdasarkan dalil garis bagi maka : 77 : 14 : :CD =AB AC = BD

(

) (

)

_3,1 77 14 4 . 77 1 . 14 77 14 77 14 = + + = + + = C B D x x x

(

) (

)

_6,5 77 14 ) 8 .( 77 3 . 14 77 14 77 14 = + + = + + = C B D y y y

(

) (

)

_5,9 77 14 ) 8 .( 77 1 . 14 77 14 77 14 = + + = + + = C B D z z y

Jadi koordinat titik D(3,1;6,5;5,9)

3. Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(3,4,1), B(7,-8,-2) dan C(2,4,1). Tentukan titik berat segitiga ABC ?

Jawab :       =       + + + − + + =       + + + + + + = 3 4 , 3 8 , 3 12 3 1 2 1 , 3 4 8 4 , 3 2 7 3 3 , 3 , 3 M M z z z y y y x x x M A B c A B c A B c

4. Tunjukan bahwa ketiga titik berikut segaris A(2,5,-4) B(1,4,-3) dan C(4,7,-6) Jawab : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4 1) (7 4) ( 6 3) 9 9 9 3 3 3 2 4 4 4 4 6 5 7 2 4 3 1 1 1 4 3 5 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + − + − + − = = + + = + − + − + − = = + + = + − + − + − = BC AC AB

Karena BC = AB + AC maka titik-titik tersebut segaris

BAB III

B C A D E M

GARIS PADA BIDANG

1. Misalkan diketahui persamaan garis :

0 2 3 0 2 2 2 2 1 = + − − = = + − = y x g y x g

Tentukan persamaan garis yang melalui titik pangkal O(0,0) dan titik potong garis g1, g2.

Jawab :

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik potong kedua garis g1

dan g2 gunakan persamaan berkas garis g1+λg2 =0

( ) ( ) (2 3 ) (2 ) (2 2 ) 0 .... (1) 0 2 2 2 3 2 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 = + + + − − = + + − − − = + − − + − = + − − + + − λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ y x y y x x y x y x y x y x

Merupakan persamaan garis yang melalui titik potong garis g1 dan g2,

karena garis yang diminta melalui titik pangkal O(0,0) maka

(

2+2λ

)

=0. Maka 1 2 2 0 2 2 − = − = = + λ λ λ

Substitusi λ ke persamaan (1) maka : ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) x y x y y x y x y x y x 5 5 0 5 0 0 5 0 2 2 1 2 3 2 0 1 2 2 1 2 1 3 2 = − = − = − = + − = − + − − + = − + + − + − − −

Jadi persamaan garis adalah y=5x

2. Misalkan diketahui titik A(4,1) dan garisg =9x+12y+8=0_{. Tentukan jarak} dari titik A ke garis g.

( )

( )

₄ 15 60 225 60 12 9 8 1 12 4 9 2 2 2 2 1 1 _{= = =} + + + = + + + = B A C By Ax d

3. Misalkan diketahui titik A(4,2) tentukan persamaan garis yang melalui titik A dan bersudut 450 _{dengan garis y =2x}

Jawab :

Misalkan persamaan garis yang dimaksud berbentuk y=ax+b Garis membentuk sudut 450 _berarti

3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 − = − = + + − = + − = a a a a a tg a a a a tg α α

Garis melalui titik A(4,2) berarti koordinat titik A memenuhi persamaan garis : ( ) 14 12 2 4 3 2 = + − = + − = + = b b b b ax y

Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah y =−3x+14

B. GARIS PADA RUANG

1. Diketahui dua buah titik A(3,4,1) dan B(1,7,2) tentukan persamaan garis melalui titik A dan B.

Jawab :

[

] [

]

[

]

[

] [

]

[

]

[

, ,

] [

3,4,1

]

[

2,3, 1

]

1 2 , 4 7 , 3 1 1 , 4 , 3 , , , , , , , , 1 1 1 2 1 2 1 2 1 − − + = − − − + = − − − + = λ λ λ z y x z y x z z y y x x x y x z y x 1 1 3 4 4 3 3 4 2 3 3 2 2 3 + − = → − = − = − = → + = + − = + − = → − = z z y y x x x x λ λ λ λ λ λ λ λ

1 1 3 4 2 3₌ − ₌− + + −x y z

[

]

    =     =       + + = 14 1 , 14 3 , 14 2 14 1 , 3 , 2 1 3 2 1 , 3 , 2 cos , cos , cos 2 2 2 γ β α γ β α cos cos cos 1 1 1 y y z z x x− ₌ − ₌ −

Maka persamaan garis AB melalui titik A adalah

14 1 1 14 3 4 14 2 3₌ − ₌− + + −x y z

Vector cosinus arah garis adalah

[

]

=_ _ = 14 1 , 14 3 , 14 2 cos , cos , cosα β γ AB BIDANG

1. Tentukan persamaan vektoris dan persamaan linier melalui titik A(3,2,1) dan B(-1,-2,6) dan C(1,7,2) Jawab :

[

] [

] [

]

[

]

[

] [

] [

]

[

]

[

3,2,1

] [

4, 4,5

]

[

2,5, 1

]

1 2 , 2 7 , 3 1 1 6 , 2 2 , 3 1 1 , 2 , 3 , , , , , , , , , , − − + − − + = − − − + − − − − − + = − − − + − − − + = µ λ µ λ µ λ z y x z z y y x x z z y y x x z y x z y x _{a a a b a b a b a c a c a c a} Persamaan parameter µ λ µ λ µ λ − + = + − = − − = 5 1 5 4 2 2 4 3 z y x

[

]

[

21, 14, 28

]

5 2 4 4 , 2 1 4 5 , 1 5 5 4 , , − − − =       − − − − − − − − = C B A Persamaan linier :

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

7

:

0

17

4

2

3

0

4

4

4

2

9

3

0

28

28

28

14

63

21

0

28

14

21

0

1 1 1 1 1 1

−

=

−

+

+

=

−

+

−

+

−

=

+

−

+

−

+

−

=

−

−

−

−

−

−

=

−

+

−

+

−

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

z

C

y

y

B

x

x

A

2. Tentukan persamaan bidang melalui ketiga titik (3,4,1) (-1,-2,5) dan (1,7,2) Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 : 0 31 12 2 9 0 12 12 8 2 27 9 0 24 24 16 4 54 18 0 1 24 4 4 3 18 0 3 2 6 4 1 1 2 4 4 4 1 3 4 6 3 0 1 3 2 4 6 4 1 4 3 0 1 2 4 7 3 1 1 5 4 2 3 1 1 4 3 0 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 − = − − − = − − + − − = + − − + + − = − − − + − − = − − − − + − − − + − − = − − − − − − = − − − − − − − − − − − = − − − − − − − − − z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x z z y y x x

3. Tentukan sudut antara bidang 2x + 3y + 6z + 9 =0 dan bidang 3x + 2y + 2z – 8 = 0 Jawab : 74 , 33 17 7 24 2 2 3 . 6 3 2 2 . 6 2 . 3 3 . 2 . . . cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = + + + + + + = + + + + + + = = θ θ C B A C B A C C B B A A n n n n

4. Apakah empat titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) sebidang dan tentukan persamaan liniernya ?

Jawab :

Empat titik akan sebidang jika dan hanya jika :

0 1 4 1 4 1 4 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 = − − − − − − − − − z z y y x x z z y y x x z z y y x x Titik (4,2,1) (-1,-2,2) (0,4,-5) (½,½,0) maka 0 1 6 2 4 1 4 5 0 1 0 2 4 1 5 2 4 4 0 1 2 2 2 4 2 2 3 2 7 2 1 2 1 = − − − − − − − = − − − − − − − − − − − −

Karena determinannya nol maka keempet titik tersebut sebidang. Persamaan linier :

[

]

,

4

2

[

11

,

17

,

13

]

1

4

6

,

1

6

2

,

,

2 3 2 7 2 7 2 3



=

−











−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

C

B

A

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 13 17 11 0 1 13 4 17 5 11 0 1 1 1 = + + − = − + + + + − = − + − + − z y x z y x z z C y y B x x A

5. Tentukan persamaan linier bidang melalui (6,-4,8) dan tegak lurus garis

[

x,y,z

]

=λ

[

4,4,−6

]

Jawab :

Persamaan linier bidang rata :

( ) ( ) ( ) 0 40 6 4 4 0 48 6 16 4 24 4 0 8 6 4 4 6 4 = + − + = + − + + − = − − + + − z y x z y x z y x

6. Tentukan persamaan linier bidang : a. Melalui (3,-6,-8) yang horizontal

Jawab :

Maka

[

x,y,z

]

=λ

[

0,0,1

]

Persamaan liniernya adalah :

( ) ( ) ( ) 0 8 0 8 6 0 3 0 = + = + + + + − z z y x

b. Sejajar sumbu z memotong sumbu x positif sebesar 4, memotong sumbu y negative sebesar 6.

Jawab :

- bidang memotong sumbu x positif di (4,0,0) - bidang memotong sumbu y negarif di (0,-6,0) - bidang memotong sumbu z positif di (0,0,2)

12 6 6 2 3 1 2 6 4 1 x z y x z y x r z q y p x = + − = + − + = + +

c. Melalui (6,-4,8) tegak lurus

[

x,y,z

]

=λ

[

4,4,−6

]

Jawab :

Persamaan linier bidang : ( ) ( ) ( ) 0 40 6 4 4 0 8 6 4 4 6 4 = + − + = − − + + − z y x z y x

d. Melalui (-3,-6,-9) tegak lurus garis yang melalui (-6,6,12) dan (10,8,2) Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

3

)

(

6

)

(

9

)

0 0 1 1 1 = + + + + + = − + − + − z C y B x A z z C y y B x x A

Kemudian garis g menghubungkan (-6,6,12) dan (10,8,2)

[

] [

]

[

]

[

6,6,12

]

[

16,2, 10

]

12 2 , 6 8 , 6 10 12 , 6 , 6 , , : − + − = − − + + − = λ λ z y x g

Karena bidang w tegak lurus garis g maka

[

A,B,C

] [

=16,2,−10

]

sehingga persamaan bidang :

( ) ( ) ( ) 2 : 0 15 5 8 0 30 10 2 16 0 9 10 6 2 3 16 = − − + = − − + = + − + + + z y x z y x z y x

e. Tegak lurus potongsn garis P(-4,4,-6) dan Q(12,8,5) Jawab :

[

] [

]

[

]

[

] [

]

[

]

( ) ( ) ( ) 0 114 11 4 16 0 6 11 4 4 4 16 11 , 4 , 16 6 , 4 , 4 , , 6 5 , 4 8 , 4 12 6 , 4 , 4 , , = + + + = + + − + + + − − = + − + + − − = z y x z y x z y x z y x λ λ

7. Tentukan persamaan linier bidang :

a. melalui (-2,4,8) dan sejajar bidang rata 6x−9y−10z+12=0 Jawab : ( ) ( ) ( ) 0 128 10 9 6 0 8 10 4 9 2 6 = + − − = − − − − + z y x z y x

b. Sejajar bidang rata 3x−6y−2z−5=0 _{dan berjarak 2 dari titik asal} (0,0,0) Jawab : 0 11 2 6 3 5 2 6 3 14 49 5 2 6 3 2 4 6 3 5 2 6 3 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 = − − − − − − = − − − = + + − − − = + + + + + = z y x z y x z y x z y x C B A D Cz By Ax d

c. Sejajar bidang rata 4x−4y+7z−10 =0 _{dan berjarak 5 dari titik (5,2,-2)} Jawab 10 7 4 4 45 81 10 7 4 4 2 7 4 4 10 7 4 4 5 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 − + − = − + − = + + − + − = + + + + + = z y x z y x z y x C B A D Cz By Ax d Persamaan liniernya :

( ) ( ) ( ) 0 2 7 4 4 0 2 7 2 4 5 4 = + + − = + + − − − z y x z y x

8. Tentukan titik potong ketiga bidang berikut :

6 2 3 8 2 3 3 4 6 2 3 2 = + − = + − = − − z y x z y x z y x Jawab : ) 3 ...( 6 2 3 8 ) 2 ...( 2 3 3 4 ) 1 ...( 6 2 3 2 = + − = + − = − − z y x z y x z y x

Dari persamaan (1) dan (2) − = − − = + − = − − ) 4 ...( 4 5 2 2 3 3 4 6 2 3 2 z x z y x z y x

Dari persamaan 2 dan 3

− − = + − = + − = + − ) 5 ...( 4 4 6 2 3 8 2 3 3 4 z x z y x z y x

Dari persamaan 4 dan 5

) 6 ...( 11 12 12 11 4 4 8 10 4 1 2 4 4 4 5 2 − = = − − = + − = − − − = + − = − − z z z x z x x x z x z x

Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5)

) 7 ( ... 11 8 11 32 4 11 12 4 4 4 11 12 4 = − = − + − = − − = − − x x x x

33 26 11 26 3 11 40 6 3 6 3 11 40 6 11 24 3 11 16 6 11 12 2 3 11 8 2 − = = − − = − = − = + − =       − − −       y y y y y y

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 cm Jawab :

Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 5 mempunyai persamaan 25 5 2 2 2 2 2 = + = + y x y x

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 cm Jawab :

Lingkaran brpusat di (0,0) dan berjari-jari 12 mempunyai persamaan 144 12 2 2 2 2 2 = + = + y x y x

3. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran _x2 _+y2₋4_x+2_y−20₌0 Jawab : Persamaan lingkaran : _x2 _+y2_{+Ax+By+C =}0 Pusat lingkaran :

(

−

1₂

A

,

−

1₂

B

)

=

(

−

₂1

( ) ( )

−

4

,

−

1₂

2

)

=

( )

,2

−

1

Jari-jari lingkaran :

( ) ( )

(

( )

4

) ( )

2

( )

1₂

2

2

2 0

2 2

4 1 2 4 1 2 4 1

+

−

=

−

+

−

=

=

A

B

C

r

4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari-jari 4 Jawab :

(

) (

)

(

) (

)

(

3

) (

2

)

16 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − = − + − = − + − x x x x r b x a x

5. Tentukan persamaan bola yang berpusat di (4,6,-2) berjadi-jari 8 Jawab :

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

)

0 68 8 12 16 64 16 8 36 12 16 16 64 4 6 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + − + + + = + + + + − + + − = + + − + − = − + − + − z y x z y x z z y y x x z y x r c z b y a x

6. Tentukan persamaan bola yang mempunyai diameter ruas garis yang menghubungkan (2,1,-3) dan (2,-2,5)

Jawab :

Diameter bola D= (2−2) (2+1+2) (2+ −3−5)2 = 73 Jari-jari bola

r

=

₂1

D

=

₂1

7 3

Pusat bola merupakan titik tengah diameter AB, berarti koordinat titik pusat

bola adalah       − =       + + − − + _,1 2 1 , 2 2 5 3 , 2 ) 2 ( 1 , 2 2 2 Persamaan bola :

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

4 5 2 2 2 2 4 5 2 2 2 2 4 2 1 4 7 3 2 2 2 4 7 3 4 2 1 2 2 2 4 7 3 2 4 1 2 2 4 7 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2

2

4

2

4

2

4

2

4

1

2

4

4

1

2

=

−

+

−

+

+

=

−

+

+

+

−

−

=

−

+

+

+

−

=

+

−

+

+

+

−

=

+

−

+

+

+

+

+

−

=

−

+

+

+

−

=

−

+

−

+

−

z

y

x

z

y

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

y

x

r

c

z

b

y

a

x

7. Tentukan persamaan bola yang berpusat (-4,4,6) melalui titik (6,8,-2) Jawab :

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 68 12 8 8 6 4 4 r z y x z y x r z y x r c z b y a x = + − − + + + = − + − + + = − + − + − Melalui titik (6,8,-2)

2 2 183 68 24 64 48 4 64 36 r r = = + + − + + + Persamaan bola 115 12 8 8 183 68 12 8 8 2 2 2 2 2 2 = − − + + + = + − − + + + z y x z y x z y x z y x

8. Tentukan persamaan bola melalui empat titik A(1,1,1) B(1,2,1) C(1,1,2) D(2,1,1) Jawab : Persamaan bola 0 2 2 2_{+y +z +Ax+By+Cz +D=} x Melalui titik (1,1,1) ) 1 ...( 3 0 1 1 1+ + +A+B+C+D= →A+B+C+D=− Melalui titik (1,2,1) ) 2 ...( 6 2 0 2 1 4 1+ + +A+ B+C+D= →A+ B+C+D=− Melalui titik (1,1,2) ) 3 ...( 6 2 0 2 4 1 1+ + +A+B+ C+D= →A+B+ C+D=− Melalui titik (2,1,1) ) 4 ...( 6 2 0 2 1 1 4+ + + A+B+C+D= →A+ B+C+D=−

Eliminasi Persamaan (1) dan (2)

) 5 ...( 3 3 6 2 − = − = + + + − = + + + B D C B A D C B A

Eliminasi Persamaan (2) dan (3)

) 6 ( ... 0 6 2 6 2 = + − − = + + + − = + + + C B D C B A D C B A Substitusi persamaan (5) ke (6) 3 0 3 − = = + C C

Eliminasi persamaan (3) dan (4) 3 0 6 2 6 2 − = = = − − = + + + − = + + + A C A C A D C B A D C B A

Substitusi nilai A,B, C ke persamaan (1)

6 3 3 3 3 3 = − = + − − − − = + + + D D D C B A

Maka persamaan bola adalah : 0 6 3 3 3 2 2 2_{+y +z − x− y− z+ =} x

9. Tentukan koordinat pusat dan jari-jari bola _x2_+y2 _+z2₊4_x−6_y+8_z+29₌0 Jawab : 0 29 8 6 4 2 2 2_{+y +z + x− y+ z+ =} x A = 4, B = -6, C = 8, D = 29 Pusat bola

(

−

1₂

A

,

−

₂1

B

,

−

1₂

C

)

=

(

−

₂1

( ) ( )

4

,

−

1₂

−

6

,

−

₂1

(

)8

)

=

(

−

2

3,

4,

)

Jari-jari bola

( ) ( ) ( )

0 29 16 9 4 2 4 1 2 4 1 2 4 1 = − + + = − + + = A B C D r

8. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran _x2 _+y2 ₌36 _{yang tegak} lurus garis x+2y+4=0 Jawab : 0 4 2 + = + y x _maka 2 1 1 =− m

2 1 2 1 . 1 . ₁ = − =      − − = g g g m m m m

Persamaan garis singgung :

5 6 2 4 1 6 2 1 2 + = + + = + + = x y x y m r mx y

9. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran _x2 _+y2 ₌36 a. mempunyai gradient 3

b. membentuk sudut 60o _{terhadap sumbu X}

c. sejajar dengan garis 3x – 4y + 10 = 0 Jawab :

a. mempunyai gradien 3 maka persamaan garis singgung :

10 4 3 9 1 4 3 1 2 + = + + = + + = x y x y m r mx y

b. membentuk sudut 60o _maka

3 60 tan =

= o

m

Persamaan garis singgung :

8 3 4 4 3 3 1 4 3 1 2 + = + = + + = + + = x y x y x y m r mx y c. sejajar garis 3x -4y +10 =0 4 : 4 10 4 3 10 3 4 0 10 4 3 + = + = = + − x y x y y x 4 3 = m

5 3 5 3 4 5 4 3 4 3 1 4 4 3 1 2 2 − = + =       + =       + + = + + = x y atau x y x y x y m r mx y

10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran _x2 _+y2 ₊₋2_x+4_y−4₌0 _yang sejajar dengan garis 5x−12y+15 =0

Jawab : ( ) ( ) ( 2) ( 2) 9 4 4 2 1 2 0 4 4 2 2 2 2 2 2 2 = + + − = − + + − − = − + − + + y x y x y x y x

Lingkaran berpusat di (1,-2) dan jari-jari 3.

12

:

12

5

12

15

12

5

15

5

12

0

15

12

5

=

+

=

+

=

=

+

−

m

x

y

x

y

y

x

Persaman garis singgung :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 39 29 12 5 39 5 5 24 12 12 39 1 12 5 2 12 5 1 3 1 12 5 2 1 2 2 = + − − + − = + + − = +       + + − = + + + − = − y x x y x y x y m r a x m b y 0 10 12 5 0 68 12 5 = + − = − − y x atau y x

11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran _x2 _+y2 ₌5_{di titik (-2,1)} Jawab :

Persamaan garis singgung

( )

( )

0 5 2 5 1 2 2 1 1 = + − = + − = + y x y x r yy xx

12. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran _x2 _+y2 ₌8 _{di titik (2,2)} Jawab :

Persamaan garis singgung : ( ) ( ) 0 4 0 8 2 2 8 2 2 2 1 1 = − + = − + = + = + y x y x y x r yy xx

13. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

(

x−3

) (

2 + y+1

)

2 =25 di titik (7,2)

Jawab :

Persamaan garis singgung :

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

0 34 3 4 0 25 1 3 21 2 7 2 0 25 1 9 7 3 ) 2 1 7 2 0 2 2 2 1 1 1 1 = − + = − + − − + + + = − + + + − + + + = − + + + − + − + y x x y x y x y x y r b a x x a y y b x x y y

14. Tentukan persamaan garis singgung bola _x2 _+y2_+z2 ₌36 _{di titik (2,2,2)} Jawab : ( ) ( ) 18 36 2 2 2 36 ) 2 ( 2 2 2 1 1 1 = + + = + + = + + = + + z y x z y x z y x r zz yy xx

15. Tentukan persamaan garis singgung bola

(

x+4

) (

2 + y−4

) (

2 + z−6

)

2 =16 di titik (1,2,1)

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 55 7 2 3 16 42 7 8 2 3 3 16 ) 6 ( 7 ) 4 ( 2 ) 1 ( 3 16 ) 6 ))( 6 ( 1 ( ) 4 )( 4 2 ( ) 1 )( 4 1 ( 2 1 1 1 = − + − − = − + + − + − = − + − − − − = − − − + − − + − − = − − + − − + − − z y x z y x z y x z y x r c z c z b y b y a x a x

16. Tentukan persamaan garis singgung bola 0 115 12 8 8 2 2 2 _{+y +z + x+ y+ z+ =} x di titik (1,1,1) Jawab :

(

)

(

)

(

)

( )(

) ( )(

) ( )(

)

(

) (

) (

)

0 127 7 5 5 0 127 6 4 4 0 115 6 6 4 4 4 4 0 115 1 6 1 4 1 4 0 115 1 12 1 8 1 8 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 = − + + = + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x D z z C y y B x x A zz yy xx

17. Tentukan persamaan bidang kutub bola _x2 _+y2 _+z2 ₊8_x+8_y+12_z+115 ₌0 dengan titik kutub (1,1,1)

Jawab :

(

)

(

)

(

)

( )(

) ( )(

) ( )(

)

(

) (

) (

)

0 127 7 5 5 0 127 6 4 4 0 115 6 6 4 4 4 4 0 115 1 6 1 4 1 4 0 115 1 12 1 8 1 8 0 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 = − + + = + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + = + + + + + + + + + z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x D z z C y y B x x A zz yy xx

18. Tentukan kuasa titik P(3,2,1) terhadap bola _x2_+y2 _+z2₊4_x−6_y+8_z+29₌0 Jawab :

Kuasa P(3,2,1) terhadap bola _x2_+y2_+z2₊4_x−6_y+8_z+29₌0

(

)

43 29 ) 1 ( 8 ) 2 ( 6 ) 3 ( 4 1 2 3 1 , 2 , 3 = + + − + + + = = k S k

Karena k > 0 maka titik P(3,2,1) berada di luar bola S = 0 19. Tentukan titik kuasa empat bola berikut :

0 10 , 0 10 , 0 10 , 0 5 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 = − + + = = + + + = = − + + = = − + + = z z y x S y z y x S x z y x S z y x S

20. Tentukan persamaan bola S = 0 yang melalui lingkaran potong bola 0 10 5 , 25 2 2 2 2 2 2 2 1= x + y +z = S =x +y +z − x− =

S dan melalui titik

O(0,0,0) Jawab :

Persamaan bola S = 0 memenuhi persamaan perkas S1 +λS2 =0

Persamaan bola S = 0 adalah

(

_x2 _+y2_+z2₋25

) (

_{+λ x}2 _+y2 _+z2 ₋5_x+10

)

₌0 ...(_a)

Persamaan bola S = 0 melalui titik O(0,0,0) berarti titik tersebut memenuhi persamaan (a) sehingga diperoleh :

1025

0

10

25

−

=

=

−

−

λ

λ

Substitusi λ pada persamaan (a)

(

) (

)

0

1 0 0

5 0

3

3

3

0

5 0

0

1 0

5

2 5

2 2 2 2 2 5 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 10 25 2 2 2

=

−

+

−

−

−

=

−

+

−

−

−

=

+

−

+

+

−

−

+

+

x

z

y

x

x

z

y

x

x

z

y

x

z

y

x

21. Tentukan persamaan bola S = 0 melalui lingkaran potong bola 16

2 2 2

1= x +y +z =

S dan bidang 3x+3y+3z−6=0 _{dan melalui titik} P(1,1,1)

Jawab :

Persamaan berkas adalah S+λV =0

(

_x2_+y2 _+z2 ₋16

)

_+λ

(

3_x+3_y+3_z−6

)

₌0 ...(_a)

Bola S = 0 melalui titik (1,1,1) maka koordinat tiik P(1,1,1) memenuhi persamaan bola (a). substitusika koordinat titik P(1,1,1) pada persamaan (a) diperoleh harga

λ

=

−

1 3₃ pada persamaan (a) diperoleh

(

)

(

)

0 22 13 13 13 0 6 13 13 13 16 0 6 3 3 3 16 2 2 2 2 2 2 3 13 2 2 2 = − − − − + + = − − − − − + + = − + + − − + + z y x z y x z y x z y x z y x z y x

22. Tentukan titik limit dari berkas yang dibentuk oleh bola : 0 12 6 6 2 2 2 1 =x + y +z + x− y+ = S dan bola 0 12 12 12 2 2 2 2 =x +y +z − x− y+ = S Jawab :

Persamaan berkas adalah S₁+λ

(

S₁ −S₂

)

=0

( ) 0 12 ) 6 6 ( ) 18 6 ( 0 6 18 12 6 6 2 2 2 2 2 2 = + + − + + + + + = + + + − + + + y x z y x y x y x z y x λ λ λ

Koordinat titik pusat bola adalah

M

(

−

₂1

(

6

+

1 8

λ

) (

,

−

1₂

−

6

+

6

λ

)

0,

)

Jari-jari kuadrat bola adalah

r

2

=

₄1

(

6

+

1 8

λ

) (

2

+

1₄

−

6

+

6

λ

)

2

+

0

−

1 2

Karena bola berbentuk bola titik maka r = 0 atau

(

)

(

)

(

) (

)

6

:

1

12

15

0

6

72

90

0

12

9

18

9

81

54

9

0

12

36

72

36

324

216

36

0

12

6

6

18

6

2 2 2 2 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1

=

+

+

=

+

+

=

−

+

+

+

+

+

=

−

+

−

+

+

+

=

−

+

−

+

+

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Maka λ=−0,0944 atau λ=−0,7055 Untuk λ=−0,0944 maka

(

) (

)

(

)

(

2

,

15

;

3

,

28

;

0

)

0

,

6

6

,

18

6

₂1 2 1

M

M

−

+

λ

−

−

+

λ

Untuk λ=−0,7055 _maka

(

) (

)

(

)

(

3

,

3495

;

5

,

1165

;

0

)

0

,

6

6

,

18

6

₂1 2 1

M

M

−

+

λ

−

−

+

λ