MAKALAH ALJABAR LINIER MAKALAH ALJABAR LINIER
APLIKASI ALJABAR LINIER DALAM BIDANG TEKNIK APLIKASI ALJABAR LINIER DALAM BIDANG TEKNIK
ELEKTRO & KEHIDUPAN SEHARI-HARI ELEKTRO & KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Oleh :
Oleh :
Muhammad Bahrudin Khoiron
Muhammad Bahrudin Khoiron
16524091
16524091
JURUSAN
JURUSAN TEKNIK
TEKNIK ELEKTRO
ELEKTRO
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
2016-2017
2016-2017
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai permasalahan yang berkaitan dengan Aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah mengangkat permasalahan- permasalahan Aljabar ke dalam berbagai bidang. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, Aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.
Banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi Aljabar. Mereka menganggap Aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini.Dari situlah, materi Aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap Aljabar.
Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan Aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.
B. Perumusan Masalah
Apakah pengertian dari Aljabar?
Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai Aljabar?
Apa saja aplikasi dari Aljbar linier dalam bidang teknik elektro & kehidupan sehari-hari? Bagaimana hubungan aljabar dengan ketuhanan?
C. Tujuan
Mengetahui pengertian
Mengetahui sejarah atau asal usul mengenai Aljabar.
Mengetahui aplikasi dari Aljabar linier dalam bidang teknik elektro & kehidupan sehari-hari
BAB 2
PEMBAHASAN
A. Definisi Aljabar Linear
Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang memiliki arti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan". Aljabar (Algebra) adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui. Sehingga bila A mempunyai x buku dan kemudian B mempunyai 3 buku lebih banyak daripada A, maka dalam aljabar, buku B dapat ditulis sebagai y = x + 3. Dengan menggunakan aljabar, kita dapat menyelidiki pola aturan aturan bilangan umumnya. Aljabar dapat diasumsikan dengan cara memandang benda dari atas, sehingga kita dapat menemukan pola umumnya.
Aljabar bersama-sama dengan Geometri, Analisis dan Teori Bilangan adalah cabang-cabang utama dalam Matematika. Aljabar Elementer merupakan bagian dari kurikulun dalam sekolah menengah dan menyediakan landasan bagi ide-ide dasar untuk Aljabar secara keseluruhan, meliputi sifat-sifat penambahan dan perkalian bilangan, konsep variabel, definisi polinom, faktorisasi dan menentukan akar pangkat. Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Aljabar linier merupakan cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Sekarang ini istilah Aljabar mempunyai makna lebih luas daripada sekedar Aljabar Elementer, yaitu meliputi Ajabar Abstrak, Aljabar Linier dan sebagainya. Seperti dijelaskan di atas dalam aljabar, kita tidak bekerja secara langsung dengan bilangan melainkan bekerja dengan menggunakan simbol, variabel dan elemen-elemen himpunan. Sebagai contoh Penambahan dan Perkalian dipandang sebagai operasi secara umum dan definisi ini menuju pada struktur bilangan seperti Grup, Ring, dan Medan (fields).
B. Sejarah Mengenai Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’, dan ‘The Nine Chapters on
the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis buku yang berjudul “Elements”. Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani kuno menuliskan permasalahan secara lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan- permasalahan tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa
Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.
Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslim keturunan Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran al-Khawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin perpustakaan khalifah.
Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi adalah karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.
- Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi.
- Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa
Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh al-Khawarizmi .
- Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting dalam sistem nombor pada zaman sekarang.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab “al- jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang berarti “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”), yang ditulis oleh Matematikawan
Persia Muhammad ibn Musa al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan (reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam ‘Arithmetica’, kar ya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah
keterkonstruksian (constructibility)
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
- Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol. Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10″). Hal ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi fungsional dari rumus -rumus matematika tersebut (sebagai contoh “Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3x – 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x – 10, dimana f adalah fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
- Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis;
- Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor (termasuk Matriks);
- Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
C. Aplikasi Aljabar Liniear dalam Kehidupan Sehari-hari 1. Aplikasi dalam bidang Teknik Elektro
Yaitu dalam Sistem Jaringan (Anton et al.,2000): Jaringan tersiri dari cabang-cabang dan titik-titik. Sebagai contoh yang paling mudah adalah jaringan jalan dan jaringan listrik. Akan ditunjukkan suatu masalah jaringan yang dapat dibawa ke model sistem persamaan linear seperti yang akan dikemukakan berikut ini.dalam elektronika sudah kita kenal hukum-hukum sebagai berikut:
Hukum Ohm : Voltage pada suatu resistor sama dengan hasil kali arus dan daya tahan yang dapat dinyatakan dalam rumus V=I.R.
- Hukum Kirchhoff Pertama: Jumlah arus listrik yang masuk pada suatu titik sama dengan jumlah arus yang keluar dari titik tersebut.
- Hukum Kirchhoff Kedua: Jumlah aljabar dari Voltage yang jatuh pada suatu loop tertutup sama dengan total voltage pada loop tersebut.
contoh pada jaringan arus listrik sebagai berikut
Dengan menggunakan Hukum Kirchhoff yang pertama pada titik B dan C diperoleh I1 = I2 + I3, dengan kata lain I1 - I2 -I3 =0. Dengan menggunakan Hukum Kirchhoff Kedua pada loop BDCB dan BCAB. Diperoleh -1011+1012=10 dan 2011+1012 =5. Sehingga diperoleh system persamaan linear:
Dan akan diperoleh I1=0.4, I2= -0.3 dan I2=0.7. mengingat I3 negatif, maka arus mengalir dari C ke B bukan B ke C. selain untuk menyelesaikan masalah jaringan jalan seperti diilustrasikan dalam contoh berikut. Diagram berikut
menggambarkan jaringan lalulintas. Arus lalu lintas yang mengalir pada blok suatu jalan digambarkan dengan diagram
2. Mencari Persamaan Garis Melalui Dua Buah Titik
Misalkan diberikan dua titik yang berlainan dalam bidang, maka ada secara unik sebuah garis yang melalui kedua titik tersebut. Misalkan saja kedua titik tersebut adalah (a,b) dan (c,d), maka kita memperoleh 3 sistem persamaan. Dimana persamaan pertama adalah persamaan garis secara umum, sehingga menurut teorema
haruslah determinan sistem adalah nol. Maka kita dapatkan Hasil persamaanya didapatkan dengan perhitungan determinan. Hal serupa bisa kamu terapkan untuk mencari persamaan lingkaran, tapi untuk mencari persamaan lingkaran kamu membutuhkan tiga titik yang iketahui.
3. Mencari Orbit Sebuah Asteroid
Berikut teorema dalam mata kuliah dasar aljabar linier yang digunakan untuk menentukan orbit dari subuah asteroid. Teorema : Sebuah sistem linier homogen yang terdiri dari sejumlah persamaan yang banyaknya sama dengan banyaknya bilangan yang tidak diketahui akan mempunyai pemecahan tak trivial jika dan hanya jika determinan dari sistem tersebut adalah nol.
Hubungan lintasan Asteroid dengan teorema diatas menurut hukum Kepler (tepatnya hukum pertama Kepler), lintasan asteroid berbentuk elips. Jika garis membutuhkan 2 titik untuk mendapatkan persamaannya, dan lingkaran membutuhkan 3 titik, sedangkan persamaan kerucut (parabola, hiperbola atau elips) dibutuhkan 5 titik untuk menemukan persamaannya.
Misalkan seorang ahli astronomi ingin menentukan lintasan asteroid di sekitar matahari. Dia perlu membangun sebuah sistem koordinat Cartesian di dalam lintasan tersebut dengan matahari berada di titik asal koordinat. Satuan-satuan digunakan sebagai ukuran sepanjang sumbu koordinat ( 1 astronomi = jarak rata-rata dari bumi ke matahari = 93 juta mil). Oleh karena itu dia membutuhkan 5 pengamatan dari asteroid yang ingin dicari lintasan tersebut, tentu pada 5 waktu yang berbeda. Misalkan dia mendapatkan 5 titik yakni: (8.025, 8.310), (10.170, 6.355), (11.202, 3.212), (10.736, 0.375), (9.092, -2.267). Seperti yang kita tahu persamaan elips seperti itu. Langsung saja kita akan mendapatkan determinan dari sistem liniernya sama dengan nol yang kemudian didapatkanlah persamaan lintasan (orbit) suatu asteroid itu.
4. SAP
SAP adalah salah satu program untuk menganalisa struktur konstruksi yang banyak digunakan. Penggunaannya cukup sederhana. Akan tetapi penggunaannya tetap harus diimbangi dengan pengetahuan dasar pemakain program dan pengetahuan teknik sipil.
Dalam program SAP menggunakan diagram kartesius dan bertiga dimensi X,Y,Z. serta menggunakan vektor untuk menggambarkan pembebanan-pembebanan serta desain-desainnya pun menggunakan vektor. Perhitungan-perhitungannya pun kerap menggunakan aljabar linier sebagai dasar dari program tersebut, jadi tidak dapat dipungkiri bahwa aljabar linier kerap hubungannya dengan keteknik sipilan. 5. Program AutoCAD
AutoCAD merupakan sebuah program yang biasa digunakan untuk tujuan tertentu dalam menggambar serta merancang dengan bantuan komputer dalam pembentukan model serta ukuran dua dan tiga dimensi atau lebih dikenali sebagai “Computer -aided drafting and design program” (CAD). Program ini dapat digunakan dalam semua bidang kerja terutama sekali dalam bidang-bidang yang memerlukan keterampilan khusus seperti bidang Mekanikal Engineering, Sipil, Arsitektur, Desain Grafik, dan semua bidang yang berkaitan dengan penggunaan CAD.
Program gambar AutoCAD adalah aplikasi dengan basis vektor, jadi materi gambar yang muncul pada dasarnya adalah susunan dari garis-garis lengkung dan lurus. AutoCAD memiliki program terukur yang ditampilkan dengan adanya sumbu
kartesius (X,Y), di mana sumbu X ke arah kanan, dan sumbu Y ke arah atas. Titik x dan y yang ditetapkan pada posisi (0,0) berada di sudut kiri bawah dari tampilan gambar. AutoCAD juga memiliki program terukur berkaitan dengan sudut putaran. Besaran sudut itu ditentukan dengan arah ke kanan dari titik pusat lingkaran menuju ke arah yang berlawanan dengan putaran jarum jam. Dengan demikian besar sudut 0 derajat ada di sisi kanan, 90 berajat ada di sisi atas, 180 derajat ada di sisi kiri dan 270 derajat ada di sisi bawah. AutoCAD juga memiliki satuan metrik untuk menentukan garis dengan nama ’unit’. Satuan ini bersifat relatif dan dapat dikonversikan dalam skala yang sesuai dengan keinginan. Satu unit di dalam AutoCAD dapat ditentukan dengan konversi ukuran meter, centimeter, kilometer dan seterusnya.
Tanda koma ’,’ dan tanda titik ’.’ di dalam AutoCAD berperan penting untuk membedakan angka desimal dan jenis sumbu kartesius. Tanda koma (,) digunakan untuk menetapkan sumbu kartesius berdasarkan posisi (X,Y), misalnya (10,7) akan dibaca dengan ketetapan 10 unit pada sumbu X dan 7 unit pada sumbu Y. Jika yang diinginkan dari penulisan angka ’10,7’ tersebut adalah 10 meter ditambah 7 cm, maka penulisannya dengan tanda titik (.) yaitu : 10.7 meter. Jadi ketika menginginkan adanya posisi 5 meter 4 cm pada sumbu X dan 8 meter 6 cm pada sumbu Y, maka penulisannya adalah (5.4,8.6). Semua program dalam autocad erat hubungannya dengan aljabar linier karena vektor masuk dalam aljabar linier dan apa-apa yang ada pada autocad berbasis vektor.
6. Penerapan Matriks dalam Kriptografi
Di dalam dunia spionase dan militer pesan-pesan yang dikirim seringkali ditulis dengan menggunakan kode-kode rahasia. Hanya penerima yang sah yang memiliki kuncinya sehingga dapat membuka sandi itu. Tulisan rahasia semacam ini biasa disebut kriptogram. Seandainya pesan tersebut jatuh ke tangan lawan, rahasia akan tetap terjamin jika lawan gagal mendapatkan kuncinya. Oleh sebab itu makin rumit kriptogram itu makin disukai penggunaannya. Pemakaian bilangan sebagai pengganti abjad kerap dijumpai dalam kriptografi. Salah satu cara penggunaannya adalah dalam bentuk matriks. Mengapa matriks? Matriks memiliki operasi perkalian yang melibatkan beberapa elemennya sekaligus, sehingga penyidikan terhadap kunci sandinya yang juga berbentuk matriks mustahil dilakukan. Berikut ini contoh pesan dalam bentuk matriks S yang dikirimkan oleh markas besar angkatan bersenjata kepada pasukannya di garis depan. Panglima pasukan di garis depan memiliki kunci sandinya berupa matriks K. Begitu diterima, pesan itu langsung diterjemahkan dengan mengalikannya dengan matriks kunci. Tentu saja perkalian dengan K ini harus dilakukan dari belakang karena matriks S berorde 5 3 sedangkan K berorde 3 3. Hasil kalinya adalah matriks P. Konversi bilangan ke abjad menggunakan cara yang sederhana sekali yaitu 1 = A sampai 6 = Z, tetapi masih menggunakan apa yang disebut sebagai modulus 29. Bilangan 47 pada baris 1 kolom 3 harus dikurangi 29 dulu sebelum dikonversikan ke abjad. Semua bilangan yang tidak berada dalam range 1-26 harus ditambah atau dikurangi dengan kelipatan 29.
Dari konteks kalimatnya 2 bilangan terakhir tidak perlu dikonversikan, lagipula bilangan 0 memang tidak dapat dikonversikan. Jadi pesan dari markas besar berbunyi : SERBU BESOK JAM 10.
Sekarang mari kita lihat bagaimana pesan abjad pada matriks P diubah ke dalam matriks S sebelum dikirimkan. Tentu saja di sini berlaku operasi matriks, P.K-1 = S.K.K-1, S = P.K-1
Matriks K-1adalah invers matriks K, matriks inilah yang dipakai si pengirim untuk membuat kriptogramnya. Jadi K dan K-1adalah sepasang matriks kunci yang memang diberikan kepada mereka yang berhak. Dengan mudah anda dapat mencari K-1.
Perkalian biasa antara P dan K-1 jelas akan menghasilkan bilangan yang besar- besar pada matriks hasil perkaliannya. Oleh sebab iu dipakai teknik modulus 29 di atas. Bagi si pengirim, semua bilangan pada P yang lebih besar daripada 15 terlebih dulu dikurangi dengan 29, P menjadi P’. Kemudian P’ ini yang dikalikan dengan K -1 menghasilkan S’. Bilangan besar - besar yang ada di S‘ sekali lagi dikenali modulus 29 supaya lebih enak dilihat, maka muncullah matriks S yang dikirimkan tadi. Terasa sekali bahwa aplikasi matriks dalam hal ini sangat efektif.
7. Bidang Pendidikan
a. Meningkatkan minat baca. Percayakah anda bahwa mempelajari Aljabar Linear dapat meningkatkan minat baca? Baiklah sedikit penjelasan tentang itu, ketika kita mempelajari kalkulus maka secara alamiah kita akan mengalami banyak kesulitan-kesulitan, nah berangkat dari sinilah kalimat di atas muncul. Dengan kata lain bahwa kesulitan yang kita dapat akan memberikan makna tersendiri karena dengan itu semua maka rasa penasaran yang mendalam akan muncul. Oleh karena itu, ketika kita merasakan penasaran maka secara otomatis akan ada usaha dari dalam diri kita untuk melakukan hal-hal yang dapat membantu menghilangkan rasa penasaran itu dan salah satunya adalah banyak membaca buku kalkulus, jadi kita akan membaca terus buku itu sampai kita mengerti dan dapat menghilangkan rasa penasaran. Sehingga kerana kebiasaan membaca buku itulah jadi akan tertanam dalam diri kita hobi membaca itu.
b. Lebih Dewasa. Penjelasan untuk yang satu ini hampir sama dengan penjelasan dari segi keagamaan. Jadi ketika kita mempelajari Aljabar Linear kita selalu dituntut untuk dapat mancari cara terbaik untuk mengerjakan soal, karena jika salah cara dalam mengerjkannya, maka akan banyak kesulitan yang menghampiri kita. Sehingga berangkat dari hal itulah secara tidak langsung mempelajari Aljabar Linear dapat membuat kita lebih dewasa untuk memandang kehidupan karena jika kita salah jalan maka kita akan rugi sendiri. c. Meningkatkan gairah belajar. Dalam hal ini, sepertinya sudah sangatlah jelas
bahwa mempelajari Aljabar Linear dapat meningkatkan minta/gairah belajar pada diri seseorang. Sebagi penjelasan, ketika kita mempelajari kalkulus dan mendapatkan kesulitan yang secara lamiah muncul, jika kita menyadarinya (sadar) maka akan timbul dalam hati kita suatu kata hati “mengapa saya tidak bisa ya, padahal yang lain bisa”, sehingga dengan demikian akan muncul usaha
yang kita lakukan untuk lebih baik dan yang pastikan dengan selalu belajar (mempelajarinya).
d. Meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi. Dalam hal ini yang dimaksudkan meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi adalah lebih kepada sang pendidik. Dalam memberikan materi yang diajarkan dalam kalkulus seorang pendidik dituntut untuk lebih kreatif lagi dalam menyampaikan materi yang akan disampaikan hal ini dikarenakan tingkat kesulitan kalkulus yang menurut rata-rata pelajar adalah cukup tinggi sehingga seorang pendidik dalam menyampaikan diharuskan untuk dapat membuat suasana lebih mengasyikan dan salah satu caranya adalah seorang pendidik diharuskan memiliki keaktifan dalam komunikasi atau singkatnya seorang pendidik harus lebih kreatif dalam menyampaikan materi ajarnya.
e. Mempertajam daya imajinasi berpikir. Pembelajaran Aljabar Linear yang butuh waktu cukup banyak dalam berpikiir tentunya akan mempertajam imajinadsi kita dalam mencari alternatife solusi sebuah permasalahan. Dalam Aljabar Linear terkadang satu soal terdapat berbagai cara untuk mencari sebuah solusi, baik cara cepat maupun sistematis. Begitu juga dalam pemecahan nmasalah keseharian, terkadang kita harus memainkan imajinasi kita untuk berangan-angan mencari berbagai sulusi yang tepat dan efisien.
8. Bidang Sosial
Salah satu manfaat mempelajari Aljabar Linear dalam kehidupan sosial adalah mempererat silaturahmi antar individu. Di atas sudah dijelaskan bahwa ketika kita mempelajari Aljabar Linear maka sudah secara alamiah kita akan banyak mengalami kesulitan, sehingga dari hal ini pula (dengan ketidaktahuan) maka kita akan selalu bertanya kepada teman yang lebih tahu daripada kita, sehingga akan terjalin suatu komunikasi antara kita dengan teman yang kita tanya tadi sebagai proses keakraban. Dari sini sudah jelas akan terjalin suatu hubungan yang akrab dan dapat mempererat silaturahmi antar individu tersebut. Lalu manfaat lain Aljabar Linear dalam bidang sosial selain mempererat silahturahmi antar individu adalah dalam aplikasi lansung dalam masyarakat, misalkan penerapan dalam penghitungan warisan, zakat dan sebagainya.
9. Bidang Politik
Selain dari bidang- bidang di atas, ternyata mempelajari Aljabar Linear pun memberikan manfaat dalam bidang politik bagi yang mempelajarinya. Jika kita mendengar kata politik maka sudah tentu yang terbesit dalam hal yang kotor yang berbau siasat namun perlu kita pahami bahwa tak semuanya politik itu kotor. Untuk bidang politik yang akan kita ambil adalah manfaat Aljabar Linear dalam merencanakan suatu siasat. Dengan mempelajari Aljabar Linear maka kita diajarkan untuk dapat mensiasati soal-soal yang sulit untuk dikerjakan agar menjadi lebih mudah dalam pengerjaannya sehingga kita harus melakukan segala cara untuk bisa mensiasatinya. Jadi memang ada benarnya jika mempelajari Aljabar Linear maka kitapun akan mendapatkan manfaatnya dalam bidang politik.
Aljabar Linear adalah ilmu yang sangat berguna/bermanfaat, dengan mempelajari Aljabar Linear banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti
yang akan kita dapatkan. Oleh karena itu, sudah sepantasnya mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap Aljabar Linear. Kita ubah pandangan kita yang menganggap Aljabar Linear adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap Aljabar Linear adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan. Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari Aljabar Linear antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya seperti: meningkatkan kesabaran, istiqhamah. Oleh karena itu, Aljabar Linear itu asyik jadi jangan anggap Aljabar Linear itu seekor monster yang menyeramkan dan ganas.
D. Hubungan Aljabar Linier dengan Ketuhanan
Jika kita berbicara tentang Tuhan dan Ilmu (Aljabar linier). Ingatlah bahwa kita hanyalah makhluk yang lemah (dho’if) dihadapan-Nya. Aljabar linier yang kita anggap sangat sulit itu, hanyalah sebagian kecil dari ilmu yang Tuhan berikan kepada kita manusia ciptaan-Nya. Sebagian kecil itu saja kita tidak 100% dapat menguasainya dengan sempurna, apa lagi ilmu-ilmu tuhan yang lain.
Dalam aljabra linier, ketika kita menggambarkan suatu persamaan linier, kita menggambarkannya pada sumbu kartesius. Dimana ada seorang filsuf yang mengartikan makna dari vektor dua arah:
Arah x = berarti kita harus baik dalam hubungan sesama manusia. Arah y = berarti kita harus baik dalam hubungan kepada Tuhan.
BAB 3 PENUTUP A. Kesimpulan
Aljabar berasal dari Bahasa Arab "al-jabr" yang memiliki arti "pertemuan", "hubungan" atau "perampungan". Aljabar (Algebra) adalah cabang mat ematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah.
Aljabar Linear adalah ilmu yang sangat berguna/bermanfaat, dengan mempelajari Aljabar Linear banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan. Oleh karena itu, sudah sepantasnya mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap Aljabar Linear. Kita ubah pandangan kita yang menganggap Aljabar Linear adalah pelajaran yang sulit dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap
Aljabar Linear adalah pelajaran yang mengasyikan dan menyenangkan. Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan, manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari Aljabar Linear antara lain: menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa, mempererat silaturahmi antar
individu dan masih banyak lagi yang lainnya seperti: meningkatkan kesabaran,
istiqhamah. Oleh karena itu, Aljabar Linear itu asyik jadi jangan anggap Aljabar Linear itu seekor monster yang menyeramkan dan ganas.
