MAKALAH ALJABAR LINIER Transformasi Linier
Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, S.Pd.I, M.Pd
Disusun Oleh:
III A4 Kelompok 12
1. Ria Nanda Nurhidayah 14144100116 2. Yola Fitri Nuraini 14144100117 3. Rina Andriyani 14144100140
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2015
1 A. Diagonalisasi Matriks
Definisi:
Suatu matriks persegi dinamakan dapat didiagonalkan (dapat di diagonalisasi) jika ada suatu matriks yang invirtible sedemikian sehingga
adalah suatu matriks diagonal, matriks dikatakan mendiagonalkan (mendiagonalisasi) matriks Dengan kata lain, prosedur berikut merupakan tahapan untuk mendiagonalkan matriks yang berukuran
1. Tahap 1 yaitu carilah vektor eigen yang bebas linier dari matriks yang berukuran Misalnya
2. Tahap 2 yaitu bentuklah matriks yang memenuhi sebagai vektor-vektor kolomnya.
3. Tahap 3 yaitu matriks adalah matriks diagonal dengan sebagai unsur-unsur diagonal yang berurutan dan adalah nilai-nilai eigen yang bersesuaian dengan untuk .
Contoh:
Diketahui matriks [
] Apakah matriks dapat didiagonalisasi ? Penyelesaian:
Mencari vektor eigen dari matriks yang berukuran ( )
[ [
] [ ]]
[[ ] [ ]]
[
] [
] ( )( ) ( )( )
( )( )
2 Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks . ( ) [ ] [[ ] [
]] [ ] [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] ( ) Substitusikan dan ke dalam persamaan ( ) Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ]
[
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [ ] Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [ ]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
]
3 maka | |
[
]
( ) [
]
[
]
[
]
[ ]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[ ] [ ] [
]
[ ] [
]
[ ] [
]
[ ]
[
]
[ ]
4 B. Suku Banyak Karakteristik
Secara umum, suatu suku banyak dengan variabel dituliskan sebagai berikut:
( )
Misalkan matriks ( ) [
]
Maka ( )
Sehingga matriks karakteristik adalah:
[
] [
]
[
]
Suku banyak karakteristik dari adalah: ( ) | | Jika ( ) maka disebut nilai eigen.
Contoh:
Misal matriks [ ]
Maka untuk menentukan matriks karekteristik dan suku banyak karakteristik dari adalah:
[
] [ ] [ ] [ ] [
]
5 ( ) | |
( )( )
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks karakteristiknya adalah .
C. Teorema Cayley-Hamilton
Misalkan adalah suatu matriks persegi dengan ordo Polinomial karakteristiknya:
( ) ( ) ( ) Dimana:
peubah
jumlah ordo dari matriks jumlah matriks
Contoh:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
]
Penyelesaian:
Dikatahui [
]
Maka, ( ) ( ) Dimana:
( )
( )
[
] [
] [ ]
[( ) ( )] [( ) ( )] [ ] [( ) ] [( ) ] [ ]
6
| |
|
|
[( ) ( ) ( )] [( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
Sehingga:
( ) ( ) ( )
D. Suku Banyak minimal
Misalkan ( )
[
] maka suku banyak minimal
dari ( ) adalah suku banyak berderajat terkecil, yang habis membagi ( ) sehingga berlaku ( )
Contoh:
Misalkan ( ) ( ) ( ) maka suku banyak minimalnya kemungkinan terdiri dari:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
7 Contoh 1:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
]!
Penyelesaian:
1. Langkah pertama adalah mencari terlebih dahulu polinomial karakteristik dari matriks sehingga diperoleh:
| | | [
] [
]|
|[
] [
]|
|[
( ) ( )
( ) ]|
2. Langkah selanjutnya mencari suku banyak berderajat terkecil yang habis membagi ( ).
( )
( ) ( ) ( )
Sehingga, suku banyak yang mungkin adalah : ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
3. Dari kedua suku banyak yang mungkin, dipilih sehingga ( ) ( ) |( )( )|
|([
] [
]) ([
]
[
])|
8 |([
] [
]) ([
]
[
])|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
( ) ( ) ( ) |([
] [
]) ([
]
[
])|
|([
] [
]) ([
]
[
])|
|[
] [
]|
|([
] [
]) [
]|
|[
] [
]|
9 |[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
4. Maka, dipilih polinomial yang berderajat terkecil dari kedua polinomial yang mungkin tersebut.
Jadi, polinomial minimum dari matriks adalah ( −2)( −6).
Contoh 2:
Tentukan polinomial minimum ( ) dari [
] Penyelesaian:
1. Pertama-tama tentukan polinomial karakteristik ( ) dari . Dengan teorema Cayley-Hamilton, diperoleh:
( ) dan | | Maka:
( ) ( ) ( )
2. Sehingga, suku banyak yang mungkin adalah:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
3. Dari kedua suku banyak yang mungkin, dipilih sehingga ( ) ( ) ( )( )
|([
] [
]) ([
]
[
])|
10 |([
] [
]) ([
]
[
])|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
Untuk ( ) ( ) ( ), diperlakukan sama, yaitu:
( ) ( ) ( ) |([
] [
]) ([
]
[
])|
|([
] [
]) ([
]
[
])|
|[
] [
]|
|([
] [
]) [
]|
11 |[
] [
]|
|[
] [
]|
|[
]|
|[
]|
4. Maka, dipilih polinomial yang berderajat terkecil dari kedua polinomial yang mungkin tersebut.
Jadi, polinomial minimum dari matriks adalah ( −1)( −3).
12 Latihan Soal !
1. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat didiagonalisasikan?
2. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat didiagonalisasikan?
3. Diketahui matriks [
] apakah matriks dapat didiagonalisasikan?
4. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku banyak karakteristik dari matriks tersebut !
5. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku banyak karakteristik dari matriks tersebut !
6. Diketahui matriks [
] tentukan matriks karakteristik dan suku banyak karakteristik dari matriks tersebut !
Penyelesaian:
1. Diketahui matriks [
] Mencari faktor eigen dari matriks
( ) [ [
] [
]]
[[ ] [
]]
[
] [
] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
13
( )( )
Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks . ( ) [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [[
] [ ]] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] ( ) Substitusikan dan ke dalam persamaan ( ) Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[( )
( ) ] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [ ] . Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ]
[
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [ ]
14 Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
] Maka | |
[
]
( )[
]
[ ]
[ ]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[ ] [
] [
]
[ ] [
]
[ ] [
]
[
]
[
]
15 [ ]
2. Diketahui matriks [ ] Mencari faktor eigen dari matriks
( ) [ [
] [
]]
[[ ] [
]]
[
] [
] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
Maka didapat dan
Mencari vektor eigen dari matriks . ( ) [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] ( ) Substitusikan dan ke dalam persamaan ( ) Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ] [
] [ ] [ ]
16 [ ]
[ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [ ] . Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [ ]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[ ] Maka | |
[
]
[
]
[
]
[ ]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[ ] [
] [ ]
17 [
] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
3. Diketahui matriks [ ] Mencari faktor eigen dari matriks
( ) [ [
] [
]]
[[ ] [
]]
[
] [
] ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
Maka didapat dan
18 Mencari vektor eigen dari matriks .
( ) [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [[
] [
]] [ ] [ ] [
] [ ] [ ]
Substitusikan dan ke dalam persamaan ( ) Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ]
[
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapatkan vektor eigen ( ) [ ] . Untuk maka persamaan ( ) menjadi:
[
] [ ] [ ] [
] [ ] [ ] [ ] [ ]
Misalkan maka didapat vektor eigen ( ) [ ]
Jadi dan adalah vektor-vektor eigen dari yang termasuk dalam nilai eigen dan karena dan bebas linier, maka terbentuk basis di Oleh karena itu dapat didiagonalisasikan.
[
] Maka
| |
19
[
]
[
]
[
]
[ ]
Maka serupa dengan matriks diagonal.
[ ] [ ] [
]
[ ] [
]
[ ] [
]
[ ]
[
]
[ ]
4. Diketahui matriks [ ]
[ ] [ ]
20 [ ] [ ]
[ ]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks karakteristiknya adalah .
5. Diketahui matriks [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [
]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks karakteristiknya adalah
6. Diketahui matriks [
]
[ ] [
]
21 [ ] [
] [
]
( ) | |
( )( ) (( )( ))
Jadi, matriks karakteristiknya adalah |
| dan nilai dari matriks karakteristiknya adalah
22 DAFTAR PUSTAKA
Abdul Aziz Saefudin. 2015. Bahan Ajar Aljabar Linier. Yogyakarta: Universitas PGRI Yogyakarta.
Ririen Kusumawati. 2009. Aljabar Linier dan Matriks. Malang: UIN Malang Press.
Wikaria Gazali. 2005. Matriks dan Transformasi Linier. Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu.
