SOLUSI NILAI EIGEN DAN HUBUNGAN DIAGONAL
MATRIKS BILANGAN KOMPLEKS DENGAN
MENGGUNAKAN MAPLE
Ekawati, S
1), Riskawati
2), Rahmah
3)1)2)3)Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Muslim Maros Jln. Dr. Ratulangi No 62, Maros
1)[email protected] 1)[email protected] 2)[email protected]
Abstract— Berdasarkan jurnal sebelumnya yang
berjudul “Hubungan Nilai Eigen terhadap Diagonal Matriks Kompleks”, mengatakan bahwa jika 𝑨 adalah matriks bujur sangkar bilangan
kompleks untuk 𝒏 ≤ 𝟒 yang memenuhi kondisi
tertentu dan 𝝀𝒊 adalah nilai eigen kiri dari A,
maka jumlah dari modulus nilai eigen yang dikurangkan dengan diagonal matriks sama dengan nol. Dalam penelitian ini akan ditunjukkan jika 𝑨 matriks bilangan kompleks
berordo 𝟓 × 𝟓 dan 𝝀𝟏, 𝝀𝟐, 𝝀𝟑, 𝝀𝟒, 𝝀𝟓 adalah nilai
eigen kiri dari 𝑨, maka |(𝝀𝟏− 𝒂) + (𝝀𝟐− 𝒆) + (𝝀𝟑− 𝒍) + (𝝀𝟒− 𝒒) + (𝝀𝟓− 𝒕)| = 𝟓|𝒂|.
Kata Kunci— Bilangan Kompleks, Determinan
Cayley, Nilai Eigen Kiri, Maple
I. PENDAHULUAN
bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan riil 𝑥 dan 𝑦, yang dinyatakan oleh (𝑥, 𝑦) dan dinotasikan 𝑧 = (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦𝒊 dengan 𝑥, 𝑦 bilangan riil dan 𝒊 imajiner dimana 𝒊2= −1. Jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝒊, maka bilangan kompleks sekawan dari 𝑧 ditulis 𝑧̅ dan didefinisikan sebagai 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑦𝒊. Modulus dari 𝑧 adalah |𝑧| = √𝑥2+ 𝑦2 merupakan bilangan riil yang lebih besar atau sama dengan nol dan arti geometrinya adalah jarak dari 𝑧 ke titik pangkal 𝑂 pada bidang kompleks 𝑧. (Sardi, 2014)
Ekawati (2019) mengatakan beberapa teorema. Pertama, jika 𝐴 = (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑) adalah matriks kompleks yang memenuhi kondisi tertentu dan 𝜆1, 𝜆2 adalah nilai eigen kiri dari 𝐴, maka |(𝜆1− 𝑎) + (𝜆2− 𝑑)| = 0. Kedua, Jika 𝐴 = (
𝑎 𝑏 𝑟
𝑐 𝑑 𝑝
𝑠 𝑞 𝑓
) adalah matriks kompleks yang memenuhi kondisi tertentu dan 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 adalah nilai eigen kiri dari 𝐴, maka |(𝜆1−
𝑎) + (𝜆2− 𝑑) + (𝜆3− 𝑓)| = 0. Dan ketiga, Jika 𝐴 = (
𝑎 𝑏 0 0
𝑐 𝑑 0 0
0 0 𝑝 𝑞
0 0 𝑟 𝑠
) adalah matriks kompleks yang memenuhi kondisi tertentu dan 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4 adalah nilai eigen kiri dari 𝐴, maka
|(𝜆1− 𝑎) + (𝜆2− 𝑑) + (𝜆3− 𝑝) + (𝜆4− 𝑠)| = 0. Telah diketahui bahwa jika 𝐴 = (𝑎𝑎1 𝑏1
2 𝑏2)
adalah matriks bilangan riil dengan ordo 2 × 2, maka determinan dari matriks 𝐴 adalah 𝑎1𝑏2− 𝑏1𝑎2 dan jika 𝐵 = (
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎3 𝑏3 𝑐3
) adalah matriks bilangan riil dengan ordo 3 × 3, maka determinan dari matriks 𝐵 adalah 𝑎1𝑏2𝑐3+ 𝑏1𝑐2𝑎3+ 𝑐1𝑎2𝑏3− 𝑏1𝑎2𝑐3− 𝑎1𝑐2𝑏3− 𝑐1𝑏2𝑎3. Sedangkan berdasarkan definisi determinan Cayley, jika 𝐴 = (𝑎1 𝑏1
𝑎2 𝑏2) adalah matriks bilangan kompleks dengan ordo 2 × 2, maka determinan dari matriks 𝐴 adalah 𝑎1𝑏2− 𝑎2𝑏1 dan jika 𝐵 = (
𝑎1 𝑏1 𝑐1 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑎3 𝑏3 𝑐3
) adalah matriks bilangan kompleks dengan ordo 3 × 3, maka determinan dari matriks 𝐵 adalah 𝑎1(𝑏2𝑐3− 𝑏3𝑐2) − 𝑎2(𝑏1𝑐3− 𝑏3𝑐1) + 𝑎3(𝑏1𝑐2− 𝑏2𝑐1). (Aslaksen, 1991)
Misalkan 𝐴 ∈ ℍ𝑛×𝑛
, 𝜆 ∈ ℍdisebut nilai eigen kiri dari 𝐴 jika 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 untuk beberapa 𝑥 ∈ ℍ𝑛yang tak nol atau ekuivalen dengan matriks (𝐴 − 𝜆𝐼)yang tidak memiliki invers, sehingga (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0. Kemudian jika misalkan 𝐴 ∈ ℍ𝑛×𝑛
, 𝜆 ∈ ℍ disebut nilai eigen kanan dari 𝐴 jika 𝐴𝑥 = 𝑥𝜆 untuk beberapa 𝑥 ∈ ℍ𝑛yang tak nol. (Zhang, 2017)
Dalam penelitian ini, akan digunakan aplikasi Maple untuk mencari solusi dari nilai eigen kiri matriks bilangan kompleks. Maple adalah suatu program interaktif yang mengintegrasikan kemampuan komputasi baik numerik ataupun
simbolik, visualisasi (grafik), dan pemrograman. (Arif, 2016)
Dari uraian di atas, peneliti bermaksud melakukan penelitian untuk menyelidiki bagaimana solusi nilai eigen dan hubungan diagonal matriks bilangan kompleks dengan menggunakan maple.
II. METODE PENELITIAN
A. Tahap Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan dengan mencari referensi yang menunjang penelitian. Pemahaman mengenai masalah determinan dan nilai eigen kiri pada matriks kompleks sangat membantu dalam penyelesaian masalah tersebut.
B. Tahap Rancangan Penelitian
Penentuan hubungan nilai eigen kiri terhadap diagonal matriks kompleks dilakukan dengan mencari determinan dari matriks kompleks dengan menggunakan definisi Cayley sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya. Dari persamaan karakteristik, diperoleh nilai eigen kiri dan vektor eigen dengan menggunakan Maple. Selanjutnya dianalisis solusi nilai eigen dan hubungan diagonal matriks bilangan kompleks dengan menggunakan maple.
C. Tahap Kesimpulan
Pada tahap ini kesimpulan ditarik dari nilai eigen kiri sehingga diperoleh solusi nilai eigen dan hubungan diagonal matriks bilangan kompleks dengan menggunakan maple.
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Teorema : Jika 𝐴 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 𝑑 𝑒 𝑓 0 0 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑛 0 0 𝑝 𝑞 𝑟 0 0 𝑟 𝑠 𝑡 ) adalah
matriks bilangan kompleks dengan kondisi semua entri dalam matriks yang tidak nol bernilai sama dan 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4, 𝜆5 adalah nilai eigen kiri dari 𝐴, maka |(𝜆1− 𝑎) + (𝜆2− 𝑒) + (𝜆3− 𝑙) + (𝜆4− 𝑞) + (𝜆5− 𝑡)| = |𝑎|. Bukti Perhatikan bahwa 𝐴 = ( 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊) Det (𝜆𝐼 − 𝐴) = 0 | | 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 0 0 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 0 0 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 0 0 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 0 0 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝜆 − 𝑎 | | = 0 (𝜆 − 𝑎) | 𝜆 − 𝑎 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | − 𝑎 | 𝑎 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | + 𝑎 | 𝑎 𝑎 0 0 𝜆 − 𝑎 𝑎 0 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 0 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | (𝜆 − 𝑎) ((𝜆 − 𝑎) | 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | − 𝑎 | 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 |) − 𝑎 (𝑎 | 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | − 𝑎 | 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 |) + 𝑎 (𝑎 | 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 | − (𝜆 − 𝑎) | 𝑎 0 0 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 |) = 0 (𝜆 − 𝑎)2((𝜆 − 𝑎) |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| − 𝑎 | 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| + 𝑎 |𝜆 − 𝑎𝑎 𝑎𝑎|) − (𝜆 − 𝑎)𝑎 ∙ 𝑎 |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| − 𝑎 2((𝜆 − 𝑎) |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| − 𝑎 | 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| + 𝑎 | 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎 𝑎|) + 𝑎2∙ 𝑎 |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| + 𝑎 2∙ 𝑎 |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| − 𝑎(𝜆 − 𝑎)𝑎 |𝜆 − 𝑎 𝑎 𝑎 𝜆 − 𝑎| = 0 (𝜆 − 𝑎)3((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) − (𝜆 − 𝑎)2𝑎(𝑎(𝜆 − 𝑎) − 𝑎2) + (𝜆 − 𝑎)2𝑎(𝑎2− (𝜆 − 𝑎)𝑎) − (𝜆 − 𝑎)𝑎2((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) − 𝑎2(𝜆 − 𝑎)((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) + 𝑎3(𝑎(𝜆 − 𝑎) − 𝑎2) − 𝑎3(𝑎2− 𝑎(𝜆 − 𝑎)) + 𝑎3((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) + 𝑎3((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) − 𝑎2(𝜆 − 𝑎)((𝜆 − 𝑎)2− 𝑎2) = 0 (𝜆 − 𝑎)5− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2+ (𝜆 − 𝑎)2𝑎3+ (𝜆 − 𝑎)2𝑎3− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2+ (𝜆 − 𝑎)𝑎4− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2+ (𝜆 − 𝑎)𝑎4+ (𝜆 − 𝑎)𝑎4− 𝑎5− 𝑎5+ (𝜆 − 𝑎)𝑎4+ (𝜆 − 𝑎)2𝑎3− 𝑎5+ (𝜆 − 𝑎)2𝑎3− 𝑎5− (𝜆 − 𝑎)3𝑎2+ (𝜆 − 𝑎)𝑎4= 0 (𝜆 − 𝑎)5+ 5(𝜆 − 𝑎)𝑎4+ 4(𝜆 − 𝑎)2𝑎3− 6(𝜆 − 𝑎)3𝑎2− 4𝑎5= 0 𝜆5− 5𝜆4𝑎 + 10𝜆3𝑎2− 10𝜆2𝑎3+ 5𝜆𝑎4− 𝑎5+ 5𝜆𝑎4− 5𝑎5+ 4𝜆2𝑎3− 8𝜆𝑎4+ 4𝑎5− 6𝜆3𝑎2+ 18𝜆2𝑎3− 18𝜆𝑎4+ 6𝑎5− 4𝑎5= 0
𝜆5− 16𝜆𝑎4− 5𝜆4𝑎 + 4𝜆3𝑎2+ 12𝜆2𝑎3= 0 (𝜆0+ 𝜆1𝒊)5− 16(𝜆0+ 𝜆1𝒊)(𝑎0+ 𝑎1𝒊)4− 5(𝜆0+ 𝜆1𝒊)4(𝑎0+ 𝑎1𝒊)+4(𝜆0+ 𝜆1𝒊)3(𝑎0+ 𝑎1𝒊)2+ 12(𝜆0+ 𝜆1𝒊)2(𝑎0+ 𝑎1𝒊)3= 0 𝜆50+ 5𝜆0𝜆14− 10𝜆30𝜆12+ 𝜆15𝒊 + 5𝜆04𝜆1𝒊 − 10𝜆02𝜆13𝒊 − 16(𝑎04𝜆0+ 𝑎14𝜆0− 6𝑎02𝑎12𝜆0− 4𝑎03𝑎1𝜆1+ 4𝑎0𝑎13𝜆1) − 16(𝑎04𝜆1+ 𝑎14𝜆1− 6𝑎02𝑎12𝜆1+ 4𝑎03𝑎1𝜆0− 4𝑎0𝑎13𝜆0)𝒊 − 5(𝑎0𝜆04+ 𝑎0𝜆14− 6𝑎0𝜆02𝜆12− 4𝑎1𝜆30𝜆1+ 4𝑎1𝜆0𝜆13) − 5(𝑎1𝜆04+ 𝑎1𝜆14− 6𝑎1𝜆20𝜆12+ 4𝑎0𝜆30𝜆1− 4𝑎0𝜆0𝜆13)𝒊 + 4(𝑎02𝜆30− 3𝑎02𝜆0𝜆12− 𝑎12𝜆30+ 3𝑎12𝜆0𝜆12+ 2𝑎0𝑎1𝜆13− 6𝑎0𝑎1𝜆02𝜆1) + 4(−𝑎02𝜆13+ 3𝑎02𝜆02𝜆1+ 𝑎12𝜆13− 3𝑎12𝜆02𝜆1+ 2𝑎0𝑎1𝜆30− 6𝑎0𝑎1𝜆0𝜆12)𝒊 + 12(𝑎03𝜆02− 3𝑎0𝑎12𝜆02− 𝑎03𝜆12+ 3𝑎0𝑎12𝜆12+ 2𝑎13𝜆0𝜆1− 6𝑎02𝑎1𝜆0𝜆1) + 12(−𝑎13𝜆20+ 3𝑎02𝑎1𝜆02+ 𝑎13𝜆12− 3𝑎02𝑎1𝜆12+ 2𝑎03𝜆0𝜆1− 6𝑎0𝑎12𝜆0𝜆1)𝒊 = 0 Diperoleh persamaan 𝜆50+ 5𝜆0𝜆14− 10𝜆03𝜆12−
16
(𝑎
04𝜆
0+ 𝑎
14𝜆
0−
6𝑎
02𝑎
1 2𝜆
0− 4𝑎
03𝑎
1𝜆
1+ 4𝑎
0𝑎
13𝜆
1)−
5
(𝑎
0𝜆
04+ 𝑎
0𝜆
14− 6𝑎
0𝜆
02𝜆
12− 4𝑎
1𝜆
03𝜆
1+
4𝑎
1𝜆
0𝜆
13)+ 4
(𝑎
02𝜆
30− 3𝑎
02𝜆
0𝜆
12− 𝑎
12𝜆
03+
3𝑎
12𝜆
0𝜆
12+ 2𝑎
0𝑎
1𝜆
13− 6𝑎
0𝑎
1𝜆
02𝜆
1)+
12
(𝑎
03𝜆
02− 3𝑎
0𝑎
12𝜆
20− 𝑎
03𝜆
12+ 3𝑎
0𝑎
12𝜆
12+
2𝑎
13𝜆
0𝜆
1− 6𝑎
20𝑎
1𝜆
0𝜆
1) = 0 𝜆50+ 5𝜆04𝜆1− 10𝜆02𝜆31− 16
(𝑎
04𝜆
1+ 𝑎
14𝜆
1−
6𝑎
02𝑎
12𝜆
1+ 4𝑎
03𝑎
1𝜆
0− 4𝑎
0𝑎
13𝜆
0)−
5
(𝑎
1𝜆
04+ 𝑎
1𝜆
14− 6𝑎
1𝜆
02𝜆
12+ 4𝑎
0𝜆
03𝜆
1−
4𝑎
0𝜆
0𝜆
13)+ 4
(−𝑎
20𝜆
13+ 3𝑎
02𝜆
02𝜆
1+
𝑎
12𝜆
13− 3𝑎
12𝜆
20𝜆
1+ 2𝑎
0𝑎
1𝜆
03−
6𝑎
0𝑎
1𝜆
0𝜆
12)+ 12
(−𝑎
13𝜆
02+ 3𝑎
02𝑎
1𝜆
02+
𝑎
13𝜆
1 2− 3𝑎
0 2𝑎
1𝜆
12+ 2𝑎
03𝜆
0𝜆
1−
6𝑎
0𝑎
12𝜆
0𝜆
1) = 0Dari persamaan tersebut diperoleh nilai eigen 𝜆1= 0 𝜆2= 2𝑎0+ 2𝑎1𝒊 𝜆3= 0 𝜆4= 2𝑎0+ 2𝑎1𝒊 𝜆5= 0 (Perhatikan Lampiran)
dan vektor eigen : ( 𝑡 −𝑡 0 𝑡 −𝑡) dan ( 𝑡 𝑡 0 𝑡 𝑡) .
Dari uraian di atas diperoleh
𝐴𝑥 = ( 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊)( 𝑡 −𝑡 0 𝑡 −𝑡) 𝜆𝑥 = 0 ( 𝑡 −𝑡 0 𝑡 −𝑡)
Sehingga dengan mudah dapat dilihat bahwa 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥. 𝐴𝑥 = ( 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊)( 𝑡 −𝑡 0 𝑡 −𝑡) 𝐴𝑥 = ( 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎 + 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 0 0 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊 𝑎0+ 𝑎1𝒊)( 𝑡 𝑡 0 𝑡 𝑡) 𝜆𝑥 = 2𝑎0+ 2𝑎1𝒊 ( 𝑡 𝑡 0 𝑡 𝑡)
Sehingga dengan mudah dapat dilihat bahwa 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥.
Kemudian perhatikan bahwa (𝜆1− 𝑎) = 0 − (𝑎0+ 𝑎1𝒊) = −(𝑎0+ 𝑎1𝒊) (𝜆2− 𝑒) = (2𝑎0+ 2𝑎1𝒊) − (𝑎0+ 𝑎1𝒊) = (𝑎0+ 𝑎1𝒊) (𝜆3− 𝑙) = 0 − (𝑎0+ 𝑎1𝒊) = −(𝑎0+ 𝑎1𝒊) (𝜆4− 𝑞) = (2𝑎0+ 2𝑎1𝒊) − (𝑎0+ 𝑎1𝒊) = (𝑎0+ 𝑎1𝒊) (𝜆5− 𝑡) = 0 − (𝑎0+ 𝑎1𝒊) = −(𝑎0+ 𝑎1𝒊)
Sehingga jelas bahwa |(𝜆1− 𝑎) + (𝜆2− 𝑒) + (𝜆3− 𝑙) + (𝜆4− 𝑞) + (𝜆5− 𝑡)| = |𝑎|. IV. KESIMPULAN Jika 𝐴 = ( 𝑎 𝑏 𝑐 0 0 𝑑 𝑒 𝑓 0 0 𝑗 𝑘 𝑙 𝑚 𝑛 0 0 𝑝 𝑞 𝑟 0 0 𝑟 𝑠 𝑡 ) adalah matriks
bilangan kompleks dengan kondisi semua entri dalam matriks yang tidak nol bernilai sama dan 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, 𝜆4, 𝜆5 adalah nilai eigen kiri dari 𝐴, maka |(𝜆1− 𝑎) + (𝜆2− 𝑒) + (𝜆3− 𝑙) + (𝜆4− 𝑞) + (𝜆5− 𝑡)| = |𝑎|.
UCAPAN TERIMA KASIH
Kami ucapkan terima kasih pada semua tim peneliti yang telah memberi sumbangsih pengetahuan dan saran.
DAFTAR PUSTAKA
Arif, M. Siul dkk. 2016. Panduan Maple. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Jember.
Aslaksen, H. 1991. Kompleksic Determinants.
Mathematics Subject Classification,
Singapore.
Ekawati, Susi. 2019. Hubungan Nilai Eigen terhadap
Diagonal Matriks Quaternion, Vol 1 No 1.
Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Muslim Maros.
Sardi, Hidayat. 2014. Sistem Bilangan Kompleks. Modul 1 Mata Kuliah 4322. Universitas Terbuka Jakarta.
Zhang, F. 2007. Gersgorin type theorems for kompleksic matrices. Linear Algebra and its
Applications, 424 : 139-153.
