BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS.

commit to user

i

BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS

ATAS ALJABAR MAX-PLUS

oleh

PUNDRA ANDRIYANTO

M0109057

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

commit to user

commit to user

iii

MOTO

1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6).

2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai

pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan

hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. Al-Israa’:36).

3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya

setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan.

Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan

Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan

barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena

wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju

commit to user

iv

PERSEMBAHAN

Tulisan ini kupersembahkan untuk

commit to user

v

ABSTRAK

Pundra Andriyanto, 2013. BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU

MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.

Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan ̅ yang

dilengkapi dengan dua operasi dan . Himpunan matriks berukuran atas

Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai ̅ . Penelitian ini bertujuan untuk

mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam

Aljabar Max-Plus. Misalkan ̅ , matriks disebut tak terreduksi jika

strongly connected. Jika matriks tak terreduksi maka mempunyai nilai eigen

tunggal, tetapi jika matriks terreduksi maka mempunyai nilai eigen sebanyak

. Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu

perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga

elemen-elemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak

terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks

untuk nilai eigen yang bersesuaian.

Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal

commit to user

vi

ABSTRACT

Pundra Andriyanto, 2013. BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR

MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and

Natural Sciences, Sebelas Maret University.

Max-Plus Algebra is a set ̅ equipped with two operation

and . The set of matrix over Max-Plus Algebra denoted as ̅ . The aim

of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space

in Max-Plus Algebra. Let ̅ , matrix is called irreducible if has a

strongly connected. If matrix is irreducible then has a unique eigenvalue, but

if matrix is reducible then has eigenvalues. To determine

eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal

Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square

submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix are determined by

theirs eigenvalues.

Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form

commit to user

vii

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim,

Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan

hidayahNya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis

juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam

penyusunan skripsi ini, khususnya kepada

1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik

Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan

kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis,

2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas,

3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat

penulis sebut satu per satu.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan.

Surakarta, Januari 2014

commit to user

viii

DAFTAR ISI

JUDUL ... i

PENGESAHAN ... ii

MOTO ... iii

PERSEMBAHAN ... iv

ABSTRAK ... v

ABSTRACT ... vi

KATA PENGANTAR ... vii

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR TABEL ... xi

DAFTAR NOTASI ... xii

I PENDAHULUAN ... 1

1.1.Latar Belakang Masalah ... 1

1.2.Perumusan Masalah ... 2

1.3.Batasan Masalah ... 3

1.4.Tujuan ... 3

1.5.Manfaat ... 3

II LANDASAN TEORI ... 4

2.1.Tinjauan Pustaka ... 4

3.1.1. Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa ... 4

3.1.2. Aljabar Max-Plus ... 4

3.1.3. Digraf ... 5

3.2.Kerangka Pemikiran ... 9

III METODE PENELITIAN ... 10

IV PEMBAHASAN ... 11

4.1. Nilai Eigen Utama ... 11

4.2. Menentukan Semua Nilai Eigen ... 23

4.3. Menentukan Semua Vektor Eigen ... 28

commit to user

ix

V PENUTUP ... 37

5.1. Kesimpulan ... 37

5.2. Saran ... 37

commit to user

x

DAFTAR GAMBAR

1 Contoh digraf ... 6

2 Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer ... 7

3 Digraf untuk Contoh 4.1.1 ... 16

4 Digraf untuk Contoh 4.1.2 ... 17

5 Digraf untuk Contoh 4.1.3 ... 22

6 Condensation digraph untuk matriks ... 26

7 Condensation digraph ... 28

commit to user

xi

DAFTAR TABEL

1 Cycle elementer dari Gambar 4.1 ... 16

2 Cycle elementer dari Gambar 4.2 ... 17

commit to user

xii

DAFTAR NOTASI

: himpunan bilangan real

̅ :

: operasi maksimum

_{: operasi penjumlahan}

:

_{: 0}

̅ _{: himpunan matriks aljabar max-plus berukuran}

_{: himpunan bilangan asli}

̅ : vektor yang semua elemennya

: matriks yang semua elemennya

_{: invers dari}

: himpunan peta dari

_{: invers dari matriks}

_{: matriks permutasi}

_{: himpunan node}

_{: himpunan arc}

( : entri matriks

_{: digraf}

_{: weight digraph}

_: path

: bobot path dari node ke node

_{: cycle}

: dapat dicapai dari

_{: associated weighted digraph dari}

_{: matriks metrik dari}

: panjang dari cycle

_{: bobot dari cycle pada}

commit to user

xiii

_{: nilai eigen matriks}

_{: matriks pangkat aljabar max-plus}

: himpunan vektor eigen dari yang bersesuaian dengan

_{: himpunan semua nilai eigen dari}

_{: himpunan semua vektor eigen dari yang bersesuaian}

dengan

_{: himpunan vektor eigen berhingga dari yang bersesuaian}

dengan

: himpunan semua vektor eigen berhingga dari yang

bersesuaian dengan

_{: himpunan eigen nodes atau critical nodes}

: critical digraph dari

_{: ekuivalen dengan}

_{: himpunan kosong}

: kelas ekuivalensi dari

_{: himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari}

_{: principal submatriks dari}

: subvektor dari vektor

_{: induced subdigraph dari}

: submatriks persegi yang tak terreduksi dari

_{: node untuk matriks}

: condensation digraph dari matriks yang FNF

_{: submatriks lain dari}

| | _{: kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks}

_{: himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks}

yang FNF dengan nilai eigen

_{: himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks}

dengan nilai eigen

_{: ekuivalen}