Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen,
dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi
dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus
Himmatul Mursyidah (1213 201 001)
Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S. Program Magister Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah
1 Bagaimana karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan
eigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabar max-plus?
2 Bagaimana karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan
eigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabar max-plus?
3 Bagaimana contoh penerapan hasil karakterisasi yang
diperoleh dalam masalah sistem transportasi dan antrian?
Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah
1 Karakter yang dibahas meliputi eksistensi, ketunggalan,
dan nilai dari ketiga komponen.
2 Sistem transportasi dan sistem antrian yang digunakan
sebagai contoh masing-masing memiliki matriks representasi berdimensi 3 × 3.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah
1 Mendapatkan hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen,
dan eigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabar max-plus, berupa analisa karakter dari ketiga komponen yang diberikan dalam bentuk teori dan contoh.
2 Mendapatkan hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen,
dan eigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabar max-plus, berupa analisa karakter dari ketiga komponen yang diberikan dalam bentuk teori dan contoh.
3 Memberikan contoh penerapan hasil karakterisasi yang
diperoleh dalam masalah sistem transportasi dan antrian.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah
1 Sebagai penerapan ilmu dari mata kuliah aljabar max-plus. 2 Sebagai tambahan wawasan dan referensi dalam
penerapan aljabar max-plus untuk menyelesaikan
permasalahan, terutama yang berkaitan dengan masalah penjadwalan.
3 Sebagai referensi untuk penelitian selanjutnya mengenai
nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dalam aljabar max-plus.
Kontribusi Hasil Penelitian
Kontribusi hasil penelitian ini terhadap pengembangan ilmu adalah sebagai referensi untuk penelitian lebih lanjut mengenai nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dalam aljabar
max-plus. Selain itu, hasil karakterisasi yang telah diperoleh dapat diterapkan dalam proses penjadwalan sistem
menggunakan aljabar max-plus.
Aljabar Max-Plus
Definisi (2.1.1)
Aljabar max-plus adalah suatu himpunan tidak kosong Rε
def
= R ∪ {ε} dengan R adalah himpunan bilangan real dan εdef= −∞, disertai dua operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut:
i. operasi biner ⊕, yaitu ∀x , y ∈ Rε berlaku
x ⊕ y def= max{x , y },
ii. operasi biner ⊗, yaitu ∀x , y ∈ Rε berlaku
Suatu matriks A ∈ Rn×m
max dinamakan reguler jika setiap
baris A memuat setidaknya satu elemen tidak sama dengan ε.
Matriks E (n, m) adalah matriks berukuran n × m dengan semua elemen sama dengan ε.
Matriks E (n, m) yaitu matriks berukuran n × m dengan
[E (n, m)]i ,j def
= e untuk i = j , ε untuk i 6= j ,
dengan e = 0. Jika m = n, maka E adalah matriks persegi dan dinamakan matriks identitas.
Vektor di Rn
max dengan seluruh elemen sama dengan e
disebut vektor satuan, dan dinotasikan dengan u.
Graf dalam Aljabar Max-Plus
Aplikasi aljabar max-plus erat kaitannya dengan graf berarah G = (N , D).
1 2
2 1
4
Gambar 2.1. Graf Komunikasi G(A)
Graf kritis dari G(A) dinotasikan Gc(A) = (Nc(A), Dc(A))
adalah graf yang terdiri dari himpunan titik dan arc yang berada pada sirkuit kritis dari graf G(A).
Misal diberikan graf G = (N , D), untuk i , j ∈ N
titik i dikatakan reachable dari titik j dinotasikan dengan j Ri , jika terdapat suatu path dari j ke i , titik i dikatakan communicate dengan titik j
dinotasikan dengan j Ci , jika dan hanya jika i = j atau j Ri dan i Rj .
Relasi C adalah relasi ekivalen pada N .
Dua jenis graf berdasarkan sifat keterhubungannya:
Graf strongly connected apabila seluruh titik pada graf tersebut saling communicate. Matriks representasi dari graf strongly connected disebut matriks tak tereduksi. Graf tidak strongly connected apabila tidak semua titik pada graf saling communicate satu sama lain. Matriks representasi dari graf tidak strongly connected disebut matriks tereduksi.
Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dalam
Aljabar Max-Plus
Definisi (2.3.1)
Diberikan A ∈ Rn×n
max suatu matriks persegi. Jika µ ∈ Rmax
adalah suatu skalar dan v ∈ Rn
max adalah suatu vektor yang
paling sedikit memuat satu elemen berhingga, sedemikian hingga
A ⊗ v = µ ⊗ v,
maka µ disebut nilai eigen dari A dan v adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen µ.
Dalam menyelesaikan masalah penjadwalan erat kaitannya dengan upaya untuk mendapatkan barisan {x(k) : k ∈ N} dari model persamaan linear
x(k + 1) = A ⊗ x(k), (1)
untuk k ≥ 0, dengan A ∈ Rn×n
max dan x(0) = x0 ∈ Rnmax adalah
kondisi awal. Dengan induksi, Persamaan (1) menjadi
x(k) = A⊗k ⊗ x0,
untuk setiap k ≥ 0.
Definisi (2.3.3)
Suatu pasangan vektor (η, v) ∈ Rn× Rn disebut eigenmode
tergeneralisasi dari matriks reguler A jika untuk setiap k ≥ 0 memenuhi
A ⊗ (k × η + v) = (k + 1) × η + v.
Algoritma untuk Menentukan Nilai Eigen, Vektor
Eigen, dan Eigenmode dalam Aljabar Max-Plus
Beberapa algoritma yang digunakan dalam proses penelitian adalah
Algoritma Power digunakan untuk mencari nilai eigen sekaligus vektor eigen dari matriks tak tereduksi maupun matriks tereduksi.
Algoritma Eigenmode Tergeneralisasi untuk Matriks Tereduksi Reguler.
Tahapan Penelitian
1 Menguraikan dasar teori.
2 Melakukan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan
eigenmode dari matriks tak tereduksi dalam aljabar max-plus.
3 Melakukan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan
eigenmode dari matriks tereduksi dalam aljabar max-plus.
4 Membuat contoh sistem dan menganalisa nilai eigen,
vektor eigen, serta eigenmode dari sistem tersebut.
Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan
Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dalam
Aljabar-Maxplus
Eksistensi Nilai Eigen dari Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.1)
Jika A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi, maka terdapat
sirkuit rata-rata maksimum berhingga λ yang merupakan nilai eigen dari matriks A.
Ketunggalan dan Nilai dari Nilai Eigen Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.2)
Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×n
max memiliki satu
dan hanya satu nilai eigen. Nilai eigen tersebut dinotasikan dengan λ(A), merupakan suatu nilai berhingga dan sama dengan sirkuit rata-rata maksimum pada G(A), yaitu
λ(A) = max γ∈C(A) |γ|w |γ|` . (Heidergott dkk, 2006)
Eksistensi Vektor Eigen dari Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.3)
Jika A ∈ Rn×n
max adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen
λ, maka vektor kolom [A∗λ].,η untuk setiap titik η ∈ Nc(A)
merupakan vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ.
Ketidaktunggalan Vektor Eigen dari Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.4)
Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki vektor
eigen tidak tunggal, yaitu jika v ∈ Rn
max adalah vektor eigen
yang bersesuaian dengan nilai eigen λ, maka α ⊗ v juga merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ untuk sebarang α ∈ R.
Ketidaktunggalan vektor eigen dari matriks tak tereduksi juga dapat diperoleh dari vektor-vektor eigen yang bukan
merupakan hasil operasi ⊗ sebarang skalar elemen bilangan real dengan suatu vektor eigen.
3 2 2 1 1 3 Gambar 4.4. Graf G(B)
Contoh 4.1.3. Matriks representasi dari graf G(B) adalah matriks tak tereduksi B = 3 1
2 3
. Matriks B jelas memiliki nilai eigen tunggal, yaitu:
λ(B) = 2 M k=1 tr(B⊗k) k = tr(B) 1 ⊕ tr(B⊗2) 2 = 3 1⊕ 6 2 = 3. 22 / 70
Graf kritis dari G(B) adalah 3 2 1 3 Gambar 4.5.Graf Gc(B)
Berikutnya, dihitung vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ(B) = 3. Pertama, dilakukan perhitungan Bλ
sebagai berikut: Bλ = −λ ⊗ B = −3 ⊗ 3 1 2 3 = 0 −2 −1 0
Selanjutnya, dihitung matriks Bλ+ Bλ+ = 2 M k=1 Bλ⊗k = 0 −2 −1 0 ⊕ 0 −2 −1 0 = 0 −2 −1 0 .
Terakhir, dihitung matriks Bλ∗ yaitu Bλ∗ = E ⊕ Bλ+ = 0 ε ε 0 ⊕ 0 −2 −1 0 = 0 −2 −1 0 . 24 / 70
Berdasarkan graf kritis Gc(B) diketahui bahwa titik 1 dan titik 2 merupakan elemen dari Nc(B), sehingga kolom ke-1 dan
kolom ke-2 dari matriks Bλ∗ merupakan vektor eigen dari matriks B yang bersesuaian dengan nilai eigen λ(B) = 3, yaitu [Bλ∗].,1 = 0 −1 dan [Bλ∗].,2 = −2 0 . Dapat dicermati bahwa vektor eigen [Bλ∗].,1 bukan merupakan hasil operasi ⊗
sebarang bilangan real dengan vektor eigen [Bλ∗].,2, begitu pula
Nilai dari Elemen Vektor Eigen Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.5)
Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax hanya memiliki
vektor-vektor eigen dengan elemen berhingga.
Eigenmode sebagai Perluasan Nilai eigen dan Vektor Eigen
Lemma (4.1.1)
Jika pasangan vektor (η, v) adalah eigenmode tergeneralisasi dari matriks reguler A, maka vektor η merupakan perluasan nilai eigen dari matriks A dan vektor v adalah vektor eigennya. Lebih lanjut, vektor η = lim
k→∞ x(k)
k .
Eksistensi Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.6)
Jika A ∈ Rn×n
max adalah matriks tak tereduksi dengan nilai eigen
λ dan vektor eigen v, maka terdapat pasangan vektor (η, v) yang merupakan eigenmode dari matriks tak tereduksi A.
Ketidaktunggalan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.7)
Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki
Nilai dari Elemen Vektor dalam Eigenmode Matriks Tak Tereduksi
Teorema (4.1.8)
Untuk setiap matriks tak tereduksi A ∈ Rn×n
max memiliki
eigenmode berupa pasangan vektor dengan semua elemen vektor berhingga.
Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan
Eigenmode dari Matriks Tereduksi dalam
Aljabar-Maxplus
Relasi C adalah relasi ekivalen pada N . Akibatnya, relasi C dapat mempartisi N ke dalam kelas ekivalen yang saling asing, misal N = N1∪ . . . ∪ Nq.
Matriks tereduksi A selalu dapat dijadikan suatu bentuk matriks blok segitiga atas sebagai berikut:
A1,1 A1,2 . . . A1,q E A2,2 . . . A2,q E E A3,3 ... .. . ... . .. ... ... , (2)
Matriks Ai ,i merupakan matriks tak tereduksi atau
Ai ,i = ε, untuk setiap i ∈ q.
Setiap elemen berhingga dari matriks As,r, 1 ≤ s < r ≤ q
merupakan bobot arc dari suatu titik elemen Nr ke suatu
titik elemen Ns.
Bentuk matriks blok segitiga atas tidak tunggal. Untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A ∈ Rn×n
max, algoritma dilakukan secara berulang
dari bentuk persamaan linear
x(k + 1) = A ⊗ x(k), k = 0, 1, 2, . . . . (3)
Eksistensi Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tereduksi
Teorema (4.2.1)
Jika untuk sebarang keadaan awal x(0) 6= ε sistem Persamaan (3) memenuhi x(p) = c ⊗ x(q) untuk beberapa bilangan bulat p dan q dengan p > q ≥ 0 dan beberapa bilangan real c, maka
lim k→∞ x(k) k = λ λ . . . λ T ,
dengan λ = p−qc . Selanjutnya, λ adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh
v =
p−q
M
i =1
Suatu matriks tereduksi belum tentu memiliki nilai eigen yang tunggal
Contoh 4.2.3. Diberikan matriks tereduksi representasi graf tidak strongly connected G(A) sebagai berikut:
A = 1 ε ε 3
.
Nilai eigen dari matriks A tidak tunggal. Hal tersebut tampak dari uraian berikut:
1 ε ε 3 ⊗ 0 ε = 1 ε = 1 ⊗ 0 ε , dan 1 ε ε 3 ⊗ ε 0 = ε 3 = 3 ⊗ ε 0 .
Jadi 1 dan 3 adalah nilai eigen dari matriks A.
Contoh 4.2.4. Diberikan matriks tereduksi representasi graf tidak strongly connected G(B) sebagai berikut:
B = 1 0 ε 0
.
Nilai eigen dari matriks B tunggal. Hal tersebut tampak dari uraian berikut: 1 0 ε 0 ⊗ 0 ε = 1 ε = 1 ⊗ 0 ε . Sedangkan untuk 1 0 ε 0 ⊗ a 0 = λ ⊗ a 0 , (4)
Dari Persamaan (4) didapatkan
max{1 + a, 0} = λ + a, (5)
dan
max{ε, 0} = λ. (6)
Dari Persamaan (6) diperoleh λ = 0, sehingga apabila λ = 0 disubstitusikan pada Persamaan (5) didapatkan
max{1 + a, 0} = a. (7)
Jadi tidak dapat ditemukan a yang memenuhi Persamaan (7).
Ketidaktunggalan Vektor Eigen dari Matriks Tereduksi
Teorema (4.2.2)
Untuk setiap matriks tereduksi A ∈ Rn×nmax yang memiliki nilai
eigen, mempunyai vektor eigen tidak tunggal. Jika v ∈ Rn max
adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ, maka α ⊗ v juga merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ untuk sebarang α ∈ R.
Nilai dari Nilai Eigen Matriks Tereduksi
Teorema (4.2.3)
Jika matriks tereduksi A ∈ Rn×nmax memiliki nilai eigen, maka
nilai eigen tersebut memiliki nilai berhingga elemen bilangan real.
Nilai dari Elemen Vektor Eigen Matriks Tereduksi Berdasarkan Contoh 4.2.3, dan Definisi 2.3.1 mengenai nilai eigen dan vektor eigen dalam aljabar max-plus, didapatkan vektor eigen dari matriks tereduksi memuat paling sedikit satu elemen berhingga.
Penyelesaian dari persamaan x = (A ⊗ x) ⊕ b
Teorema (4.2.4)
Misalkan A ∈ Rn×nmax dan b ∈ Rnmax. Jika bobot rata-rata sirkuit
graf G(A) kurang dari atau sama dengan 0, maka x = A∗⊗ b dengan A∗ def= E ⊕ A+=L∞
i =0
A⊗i adalah penyelesaian dari x = (A ⊗ x) ⊕ b. Lebih lanjut, jika bobot sirkuit dalam G(A) adalah negatif, maka penyelesaiannya tunggal.
Persamaan Rekurensi Nonhomogen
Teorema (4.2.5)
Perhatikan persamaan rekurensi nonhomogen berikut
x(k + 1) = A ⊗ x(k) ⊕
m
M
j =1
Bj ⊗ uj(k), (8)
dengan A ∈ Rn×nmax adalah matriks tak tereduksi yang memiliki
nilai eigen λ atau A = ε dengan λ = ε, matriks Bj ∈ R n×mj
max
dengan mj ≥ 1 memenuhi Bj 6= E, sedangkan uj(k) ∈ R mj max memenuhi uj(k) = τjk ⊗ wj(k), k ≥ 0 dengan wj ∈ R mj max dan τj ∈ R. Untuk suatu τ = L j ∈m
τj terdapat bilangan bulat K ≥ 0
dan vektor v ∈ Rn sedemikian hingga barisan x(k) = µ⊗k ⊗ v, dengan µ = λ ⊗ τ memenuhi persamaan rekurensi (8) untuk setiap k ≥ K . (K¨onigsberg, 2009)
Matriks tereduksi A dapat disajikan dalam bentuk matriks blok segitiga atas (2), dengan blok matriks Ai ,i adalah matriks tak
tereduksi sehingga λi = λ(Ai ,i) atau Ai ,i = ε sehingga λi = ε.
Selanjutnya, misal diambil vektor x(k) yang bersesuaian dengan matriks blok segitiga atas (2), yaitu
x(k) = x1(k) x2(k) .. . xq(k) .
Matriks blok segitiga atas dari matriks tereduksi A memenuhi Persamaan rekurensi (8), yaitu:
xi(k + 1) = Ai ,i⊗ xi(k) ⊕ q
M
Teorema (4.2.6)
Jika dalam Persamaan (9) matriks Aq,q adalah matriks tak
tereduksi, dan untuk i ∈ q − 1 matriks Ai ,i adalah matriks tak
tereduksi atau Ai ,i = ε, maka terdapat skalar
ξ1, ξ2, . . . , ξq ∈ R dan vektor v1, v2, . . . , vq dengan seluruh
elemen vektor berhingga sedemikian hingga
xi(k) = ξi⊗k⊗ vi, i ∈ q
memenuhi Persamaan rekurensi (9) untuk setiap k ≥ 0. Skalar ξ1, ξ2, . . . , ξq ditentukan dengan
ξi =
M
j ∈Hi
ξj ⊕ λi,
dengan Hi = {j ∈ q : j > i , Ai ,j 6= E}. (K¨onigsberg, 2009)
Eksistensi Eigenmode dari Matriks Tereduksi
Akibat (4.2.1)
Jika A ∈ Rn×n
max adalah matriks tereduksi reguler, maka terdapat
pasangan vektor (η, v) ∈ Rn× Rn yang merupakan eigenmode
tergeneralisasi dari matriks A, sedemikian hingga untuk setiap k ≥ 0:
A ⊗ (k × η + v) = (k + 1) × η + v.
Ketidaktunggalan Eigenmode dari Matriks Tereduksi
Teorema (4.2.7)
Untuk setiap matriks tereduksi reguler A ∈ Rn×n
max memiliki
eigenmode yang tidak tunggal, yaitu jika (η, v) adalah eigenmode dari matriks A, maka (η, α ⊗ v) dengan α ∈ R juga merupakan eigenmode dari matriks A.
Nilai dari Elemen Vektor dalam Eigenmode Matriks Tereduksi
Teorema (4.2.8)
Untuk setiap matriks tereduksi reguler A ∈ Rn×n
max memiliki
eigenmode berupa pasangan vektor dengan semua elemen vektor berhingga.
Contoh Penerapan Hasil Karakterisasi dalam
Masalah Sistem Transportasi dan Antrian
Contoh 4.3.1 Sinkronisasi jadwal keberangkatan sistem transportasi umum busway transjakarta.
Tabel 4.1. Waktu Tempuh Tiga Halte Busway Transjakarta dari Dua Koridor.
Sumber: Winarni, 2009
Graf rute busway berdasarkan data Tabel 4.1 diberikan sebagai berikut:
1
2
3
Gambar 4.8. Graf Rute Busway Transjakarta dari Dua Koridor dan Tiga Halte.
Proses sinkronisasi jadwal membutuhkan nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dari matriks representasi graf. Oleh karena itu, terlebih dahulu dilakukan analisa ketiga komponen tersebut.
Tahapan analisa diawali dengan identifikasi jenis graf, misal graf rute busway diberi nama graf G(A), maka graf G(A) adalah graf strongly connected.
Matriks representasi dari graf G(A) adalah
A = ε 8, 63 ε 10, 31 ε 43, 14 ε 52, 81 ε ,
yang merupakan matriks tak tereduksi.
Nilai Eigen dari Matriks A
Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, diketahui bahwa matriks tak tereduksi memiliki nilai eigen tunggal berhingga, sehingga jelas pada contoh kasus ini didapatkan nilai eigen tunggal berhingga, yaitu
Vektor Eigen dari Matriks A
Berdasarkan karakterisasi vektor eigen, diketahui bahwa matriks tak tereduksi memiliki vektor eigen yang tidak tunggal dengan semua elemen berhingga untuk setiap vektor eigen tersebut. Dalam contoh kasus ini, didapatkan vektor eigen yang tidak tunggal, yaitu
α ⊗ v = α ⊗ −39, 345 e 4, 835 ,
untuk setiap α ∈ R. Karena setiap entri vektor eigen adalah elemen R, sehingga jelas semua elemen vektor eigen berhingga.
Eigenmode dari Matriks A
Eigenmode dari matriks tak tereduksi juga tidak tunggal dengan semua elemen vektor dalam eigenmode berhingga, sehingga dalam kasus ini eigenmode yang diperoleh adalah tidak tunggal, yaitu
(η, α ⊗ v) = 47, 975 47, 975 47, 975 , α ⊗ −39, 345 e 4, 835 , untuk setiap α ∈ R.
Sinkronisasi Jadwal Busway Transjakarta untuk 3
Halte dan 2 Koridor
Tabel 4.2. Jadwal Keberangkatan Awal Busway Transjakarta untuk Tiap Halte.
dengan keperiodikan sama dengan 47 menit 58,5 detik.
Contoh 4.3.2 Analisa sistem antrian pelayanan pergantian jenis tabungan customer pada satu petugas customer service.
Gambar 4.10. Petri Net Antrian Pelayanan Pergantian Jenis Tabungan pada Satu Petugas Customer Service.
Petri net terdiri dari 7 transisi: t1 : customer datang ke bank,
t2 : customer mengambil nomor antrian, t3 : costumer dilayani oleh customer service,
t4 : customer service membawa berkas customer pada (teller),
t5 : berkas customer selesai diproses teller,
t6 : customer selesai dilayani oleh customer service, t7 : customer meninggalkan bank,
Petri net terdiri dari 6 place:
p1 : customer yang sedang menunggu giliran mengambil nomor antrian,
p2 : customer yang sedang menunggu giliran dilayani customer service,
p3 : customer yang sedang dilayani customer service, p4 : customer yang sedang menunggu pemrosesan berkas
oleh teller,
p5 : Idle atau customer service sedang tidak sibuk, p6 : customer yang sudah selesai dilayani oleh customer
Model antrian pelayanan pergantian jenis tabungan bank pada satu petugas customer service:
t1(k) t5(k) t6(k) = vt1,k ε ε vt5,k⊗ vt2,k⊗ vt1,k vt5,k vt5,k vt6,k⊗ vt5,k⊗ vt2,k⊗ vt1,k vt6,k⊗ vt5,k vt6,k⊗ vt5,k ⊗ t1(k − 1) t5(k − 1) t6(k − 1) .
Lama masing-masing proses diberikan pada tabel berikut:
Tabel 4.3. Daftar Proses Pelayanan Pergantian Jenis Tabungan Bank.
Dengan data pada Tabel 4.3 diperoleh model antrian
pelayanan pergantian jenis tabungan bank pada satu petugas customer service sebagain berikut:
t1(k) t5(k) t6(k) = 8 ε ε 13, 5 5 5 33, 5 25 25 ⊗ t1(k − 1) t5(k − 1) t6(k − 1) .
Selanjutnya, akan dianalisa nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dari matriks tereduksi
B = 8 ε ε 13, 5 5 5 33, 5 25 25 .
matriks tereduksi belum tentu memiliki nilai eigen. Oleh karena itu, berikut akan dicari nilai eigen dari matriks tereduksi B dengan menggunakan Algoritma Power. Misal dengan
keadaan awal x(0) = 0 0 0
, diperoleh evolusi keadaan
0 0 0 , 8 13, 5 33, 5 , 16 38, 5 58, 5 , . . . .
Tidak dapat ditemukan bilangan bulat p > q ≥ 0 dan bilangan real c yang memenuhi x(p) = c ⊗ x(q). Jadi B tidak memiliki nilai eigen. Meskipun demikian, karena B adalah matriks tereduksi reguler maka dapat dicari eigenmode berupa pasangan vektor dengan semua elemen vektor berhingga.
Langkah untuk mendapatkan eigenmode dari matriks B: Ditentukan bentuk matriks blok segitiga atas dari matriks B, yaitu: A = 5 5 13, 5 25 25 33, 5 ε ε 8 .
Dihitung nilai eigen dari matriks A2,2, yaitu λ2 = 8,
sehingga dapat diambil ξ2 = λ2 = 8 dan misal diambil
v2 = 0.
Dihitung nilai eigen dari matriks A1,1 =
5 5 25 25 . Didapatkan λ1 = 25.
Karena λ1 > ξ2, maka ξ1 = λ1 = 25 dan dihitung vektor v1: ξ1⊗ v1 = (A1,1⊗ v1) ⊕ (A1,2⊗ v2) 25 ⊗ v1 v2 = 5 5 25 25 ⊗ v1 v2 ⊕ 13, 5 33, 5 ⊗ 0 .
Dari persamaan di atas didapatkan
25 + v1 = max{5 + v1, 5 + v2, 13, 5} 25 + v1 = 13, 5 v1 = −11, 5. dan 25 + v2 = max{25 + v1, 25 + v2, 33, 5} 25 + v2 = max{13, 5, 25 + v2, 33, 5} 25 + v2 = 33, 5 v2 = 8, 5. 60 / 70
Jadi, didapatkan v1 =
−11, 5
8, 5 . Oleh karena itu, pasangan vektor (η, v) dengan η = 25 25 8 T dan
v = −11, 5 8, 5 0 T
adalah eigenmode dari matriks A sebab untuk k = 0, memenuhi:
A ⊗ (0 × η + v) = 13, 5 33, 5 8 T = 1 × η + v,
untuk k = 1, memenuhi:
A ⊗ (1 × η + v) = 38, 5 58, 5 16 T
= 2 × η + v,
dan seterusnya, vektor η dan v untuk k = 0, 1, 2, . . . memenuhi
Dari hasil eigenmode, dapat diketahui waktu berakhirnya tiap proses pelayanan customer saat ke-k. Misal waktu paling awal terjadi pada pukul 08.00, maka untuk k sama dengan 0 dan 1 didapatkan hasil seperti pada Tabel 4.4.
Tabel 4.4. Waktu Proses Pelayanan Customer Pertama dan Kedua.
Kesimpulan
1. Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dari matriks tak tereduksi diperoleh:
a. Matriks tak tereduksi memiliki nilai eigen tunggal berupa suatu nilai berhingga.
b. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks tak tereduksi tidak tunggal dengan semua elemen berhingga.
c. Matriks tak tereduksi memiliki eigenmode yang tidak tunggal dengan semua elemen vektor dalam eigenmode berhingga.
2. Berdasarkan karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dari matriks tereduksi diperoleh:
a. Matriks tereduksi belum tentu memiliki nilai eigen. Jika matriks tereduksi memiliki nilai eigen, maka nilai eigen tersebut belum tentu tunggal dan memiliki nilai berhingga.
b. Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari matriks tereduksi tidak tunggal, dan vektor eigen paling sedikit memuat satu elemen berhingga.
c. Matriks tereduksi reguler memiliki eigenmode yang tidak tunggal dengan semua elemen vektor dalam eigenmode berhingga.
3. Hasil karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan
eigenmode dari matriks tak tereduksi maupun tereduksi dapat diterapkan dalam proses penyelesaian masalah sistem transportasi dan antrian.
Saran
Penelitian mengenai karakterisasi nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode baik dari matriks tak tereduksi maupun matriks tereduksi dapat dilanjutkan untuk mencari jumlah maupun pola dari ketiga komponen yang diketahui memiliki karakter tidak tunggal. Selain itu, penelitian nilai eigen, vektor eigen, dan eigenmode dapat dikembangkan untuk karakter-karakter lain selain eksistensi, ketunggalan, dan nilai dari ketiga komponen tersebut.
Daftar Pustaka
Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., dan Quadrat, J.P. (2001), Synchronization and Linearity, An Algebra for Discrete Event System, Wiley-Interscience, New York. Heidergott, B., Olsder, G. J., dan van der Woude, J. (2006), Max Plus at Work, Modelling and Analysis of Synchronized System: A Course on Max-Plus Algebra and Its Applications, Princeton University Press, United
Kingdom.
K¨onigsberg, Z.R. (2009), ”A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra”, Chinese Control and Decision Conference, Chines, hal. 5598-5603.
Shofianah, N. (2009), Analisis kedinamikan Sistem pada Penjadwalan Flow Shop Menggunakan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Subiono (2012), Aljabar Maxplus dan Terapannya, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Suyanto, Y.H. (2011), Penjadwalan Kegiatan Belajar Mengajar Di Sekolah Menengah Atas (SMAK) St. Louis 1 Surabaya Menggunakan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika, Institut Tekonologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Telehala, M.M. (2010), Model Penjadwalan Kegiatan Pembelajaran Sekolah pada Kelas Moving dengan Menggunakan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika, Institut Tekonologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Winarni (2009), Penjadwalan Jalur Bus Dalam Kota dengan Aljabar Max-Plus, Tesis Magister Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.
Zuliyanto, A., Siswanto, dan Muslich (2012), ”Algoritma Eigenmode Tergeneralisasi untuk Matriks Tereduksi Reguler Di Dalam Aljabar Max-Plus”, Prosiding Seminar Nasional Matematika 2012.
