• Tidak ada hasil yang ditemukan

Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, Dan Block Circulant

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Membagikan "Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, Dan Block Circulant"

Copied!
45
0
0

Teks penuh

(1)

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

MATRIKS

CIRCULANT

,

CIRCULANT

SIMETRIK, DAN

BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)
(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER

INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, April 2016

(4)

ABSTRAK

HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan RUHIYAT.

Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari vektor yang setiap entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua) diperoleh dari satu baris sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa sifatnya.

Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant, nilai eigen, vektor eigen.

ABSTRACT

HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT.

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

MATRIKS

CIRCULANT

,

CIRCULANT

SIMETRIK, DAN

BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)
(7)
(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan Februari 2015 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky, Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, April 2016

(9)

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 0

Latar Belakang 1

Tujuan Karya Ilmiah 1

TINJAUAN PUSTAKA 2

Matriks Circulant 2

Matriks Circulant Simetrik 2

Matriks Block Circulant 2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 3

Konjugat Kompleks 3

PEMBAHASAN 4

Matriks Circulant 4

Matriks Circulant Simetrik 15

Matriks Block Circulant 19

SIMPULAN 32

DAFTAR PUSTAKA 33

LAMPIRAN 34

(10)
(11)

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-19 ketika terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 2008).

Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran × yang dibentuk dari vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial.

Matriks circulant dari , , … , adalah circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Tee (2005) yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and Alternating Circulant Matrices.

Tujuan Karya Ilmiah

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah

1. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant,

(12)

2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.

Matriks Circulant

Matriks = , berukuran × dikatakan matriks circulant jika dan hanya jika , = , dengan − ≡ − (mod ) (Jones 2008).

= circ , , … , − ≝

(

− −

− −

− −

⋱ − −

− ) . (1)

Contoh matriks circulant dengan = adalah sebagai berikut:

= ) = .

Matriks Circulant Simetrik

Suatu matriks Circulant berukuran × dikatakan simetrik jika dan hanya jika = untuk = , , … , − . Dikatakan dalam Montaldi (2012) bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks circulant simetrik dengan = adalah sebagai berikut:

= .

Matriks Block Circulant

Dalam Davis (1979), suatu matriks block circulant yang berukuran × dinotasikan dengan , =circ , , … , dan = , ∈ ℝ × untuk = , , … , − . Contoh matriks block circulant dengan = dan =

(13)

3

, =

dengan

= =

dan

= = .

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan adalah suatu matriks segi berukuran × . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol , sehingga = λ . Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan = λ dapat dituliskan dalam bentuk

− λ = �. (2)

Persamaan (2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika − λ singular atau secara ekuivalen

det − λ = . (3)

Jika determinan pada persamaan (3) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat dalam peubah λ

� λ = det − λ .

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (3) disebut persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari (Leon 2001).

Konjugat Kompleks

Misalkan � = + i adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat kompleks (complex conjugate) dari � dinotasikan dengan simbol � dan didefinisikan sebagai

� = − i

(14)

4

PEMBAHASAN

Matriks Circulant

Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant pada persamaan (1) dan juga akan dibahas sifat-sifatnya. Diberikan

� ≝ . (4) Matriks circulant memiliki nilai eigen dan vektor eigen yang berbentuk

=

( − )

, λ = + + + + + − (5)

= , , , … , −

dengan = ei � / = ei � = cos � + i sin � (Tee 2005). (6) Contoh 1:

Diberikan matriks circulant berukuran × dengan

= ( ) ,

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

� = = ,

= cos + i sin = , dan = cos + i sin = − .

Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks sebagai berikut:

λ = +

= +

= + ,

λ = +

= + −

= − ,

= ( ) = , dan = ( ) = − .

(15)

5 Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks secara analitik seperti di bawah ini.

| − λ | =

| − λ − λ| =

− λ − =

λ − λ + − = .

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

λ − − λ − + =

λ = + ,

λ = − .

Jika λ = + disubstitusikan ke persamaan − λ = �, diperoleh

( − − − ) � =

(− − )� =

− � + � = − � = − � � = �

Misalkan � = dengan ∈ ℝ sembarang, maka � = , sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = + adalah = = . Jika λ = − disubstitusikan ke persamaan − λ = �, diperoleh

( − + + ) � =

( ) � =

� + � = � = − � � = −�

(16)

6

Contoh 2:

Diberikan matriks circulant berukuran × dengan

= ( ),

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

(17)

7 Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran × dapat diperoleh dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu + + . Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai , , dan

.

Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks secara analitik seperti di bawah ini.

| − λ | =

| − λ − λ

− λ| =

− λ + + − − λ =

λ − λ + λ − − − + − λ = .

Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh

λ = + + ,

λ = ( − − − √ √− + − )

= − − − √ √ − − +

= − − − √ √ − −

= − − − √ − i

= − − − √ i + √ i

= − − √ i − + √ i, dan

λ = ( − − + √ √− + − )

= − − + √ √ − − +

= − − + √ √ − −

= − − + √ − i

= − − + √ i − √ i

(18)

8

Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil

(19)

9 Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah

= , − + √ −

Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ adalah

= , (− +√ √− − ) , − + √ −

(20)

10

Dalam Davis (1979) dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real memiliki nilai eigen

λ = λ − , = , , … , − . (8)

Kemudian untuk nilai eigen λ dan λ dengan = ℎ genap selalu bernilai real. Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini.

Teorema 1: Diberikan matriks berukuran × . matriks circulant jika dan hanya jika

= (9)

dengan adalah matriks circulant berukuran × dalam bentuk sebagai berikut

=

Diketahui adalah circulant berukuran × dengan

(21)
(22)

12

Misalkan

= { , jika = , − ,selainnya dengan = , , … , .

Berdasarkan persamaan (10) diperoleh

= yang merupakan matriks circulant.

Teorema 2: Jika dan circulant, maka juga circulant.

maka diperoleh hasil sebagai berikut:

=

)

(23)

13

Contoh Aplikasi

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan pada Teorema 1 dan 2.

Diberikan matriks circulant berukuran × dengan

= ,

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

� = = = ,

= cos + i sin = , = cos + i sin = i,

= cos + i sin = − , dan

= cos + i sin = −i.

Nilai eigen dari matriks yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah

λ = + + + ,

sehingga diperoleh

λ = + + +

= + + +

= ,

λ = + + +

= + i + − + −i = − i,

λ = + + +

= + − + + −

= , dan

λ = + + +

= + −i + − + i = + i.

Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ = λ untuk = , , dan dengan = seperti berikut ini:

λ = − i,

(24)

14

Vektor eigen dari matriks yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah

=

(25)

15

Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema 1, berlaku = sebagai berikut:

= = ,

= = ,

maka diperoleh hasil = .

Untuk Teorema 2 jika diberikan dan adalah matriks-matriks circulant dengan

= dan = ,

maka diperoleh

= =

sehingga juga merupakan matriks circulant.

Matriks Circulant Simetrik

(26)

16

λ = λ − , = , , … , − .

Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen beserta aplikasi sifatnya.

Teorema 3: Jika matriks adalah circulant simetrik sehingga = maka

Akan dibuktikan persamaan (11).

Berdasarkan persamaan (6) yaitu = e �= cos � + i sin �, maka diperoleh

Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks .

Untuk = , , , … , − dari persamaan (5) diketahui nilai eigen

λ = + + + + + − − + − − . (13)

Berdasarkan persamaan (11) maka persamaan (13) dapat dituliskan menjadi

λ = + + + + + − ( + −

= + [ + ] + [ + ( ] +

+ ℎ− [ ℎ− + ( ℎ− ] + {

, jika = ℎ − ,

ℎ ℎ, jika = ℎ. (14) Selanjutnya persamaan (12) diperoleh sebagai berikut:

Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (14) menjadi λ = + ∑ �cos �� + { , jika = ℎ − ,

ℎ − , jika = ℎ. ℎ−

�=

(27)

17 Dengan mengganti dengan − , maka diperoleh

λ − = + ∑ �cos − �� + { , jika = ℎ − ,

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan pada Teorema 3.

Diberikan matriks circulant simetrik berukuran × seperti di bawah ini:

= ,

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

(28)

18

(29)

19

Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku = λ . Pada Teorema 3 berlaku untuk = , − = = ̅̅̅ = −i, − = = ̅̅̅ = − , = = ̅̅̅ = i dan nilai eigen λ = λ

− = λ = .

Matriks Block Circulant

Diberikan , , … , matriks-matriks persegi berorder ≥ . Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block circulant , berukuran × yang dinotasikan sebagai berikut:

, = circ , , … , − =

Didefinisikan ℭ , adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan matriks , memiliki vektor eigen yang berbentuk

=

Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut: = λ

dengan adalah matriks persegi berorder dengan bentuk

= + + + + − − . (17)

Setiap vektor eigen dari yang bersesuaian dengan dapat memberikan vektor eigen dari matriks block circulant pada persamaan (15) dengan nilai eigen λ sehingga nilai eigen dari matriks adalah nilai eigen pada matriks block circulant

(30)

20

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini.

Teorema 4: Diketahui matriks ⨂ ∈ ℭ , beroder × yang dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:

(31)

21

Jika memenuhi persamaan (18) maka diperoleh

(32)

22

Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran ×

= ,

dengan dan adalah matriks segi berorder . Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

� = = = ,

= cos + i sin = , dan = cos + i sin = − .

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks pada persamaaan (17). Untuk = = diperoleh

(33)

23 Diberikan , matriks block circulant dengan = dan = sebagai berikut:

, = dengan = dan = .

Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

� = = = ,

= cos + i sin = , dan = cos + i sin = − .

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks , dengan mencari matriks terlebih dahulu pada persamaan (17).

Untuk = = diperoleh

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

λ − λ + =

Misalkan � = , maka � = sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian

(34)

24

(35)

25 bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (16) adalah sebagai berikut:

Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) dari matriks ,

λ = + + + ,

sehingga diperoleh

λ = + + +

(36)

26

(37)

27

(38)

28

Jika diberikan matriks block circulant berukuran × sebagai berikut:

, =

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks , sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

� = = = ,

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

− − λ + + + − − λ =

λ + λ + + − − λ =

(39)

29 Dengan menggunakan rumus abc diperoleh

λ , = − ± √ −

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

λ − λ + λ + = .

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ , = − ± √ −

= − ± √ −

(40)

30

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

( − − λ − − − − λ =

λ + λ + + − − λ =

λ + λ + − − λ = .

(41)

31

= (− − −

− )

| − − λ | =

| −− λ −− λ −

− − λ| =

− λ + + − − λ =

−λ + λ − λ + + − + λ =

−λ + λ + λ + =

λ − λ − λ − = .

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

λ − λ + λ + = .

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ , = − ± √ −

= − ± √ −

= − ± √−

= − ± i√ = − ± i√

maka nilai eigen dari matriks − yang diperoleh adalah λ = , λ = − + i√ , dan λ = − − i√ . Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari matriks , memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi +

(42)

32

SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai yang ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai juga bergantung pada (konjugat ). Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya bergantung pada nilai , sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant selain bergantung pada nilai juga bergantung pada vektor yaitu vektor eigen dari matriks .

Matriks circulant komutatif dengan matriks dan berlaku nilai eigen λ = λ − . Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant. Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ = λ . Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks ⨂ dan nilai eigen dari matriks block circulant adalah nilai eigen dari matriks + dan

(43)

33

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 2004. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra.

Davis PR. 1979. Circulant Matrices. New York (US): John Wiley. Jones AW. 2008. Circulants. Pennsylvania (US): Carlisle.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Montaldi J. 2012. Notes on circulant matrices. [terhubung berkala].

http://www.manchester.ac.uk/mims/eprints. [6 Januari 2016].

(44)

34

(45)

35

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 13 Oktober 1990. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Semplak 2 Bogor, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).

Referensi

Dokumen terkait

Telah dibahas juga tentang matriks dalam aljabar Max-Plus interval, graf dalam aljabar Max-Plus interval serta nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabar

Dalam subbab 7.1 telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(  ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor

Vektor-vektor eigen matriks

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan maka saran untuk penelitian selanjutnya adalah dapat dibahas kajian mengenai perilaku nilai eigen dan vektor eigen pada

perhitungan nilai eigen dari matriks A(  ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi. persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang

Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di

Sekarang kita perhatikan beberapa contoh, bahwa vektor-vektor eigen suatu matriks akan membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari

Dalam subbab 7.1 telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(  ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang