PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI

(1)

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI

MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN

PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV

MELIZA DITA UTAMI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Juli 2013 Meliza Dita Utami NIM G54090035

(4)

ABSTRAK

MELIZA DITA UTAMI. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dapat ditentukan dengan mencari polinomial karakteristiknya. Polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz ditunjukkan memiliki hubungan yang erat dengan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif Chebyshev. Ketika orde dari matriks tersebut ganjil, nilai eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dengan ketentuan dari akar Chebyshev dan vektor eigennya ditentukan dengan ketentuan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif tersebut. Untuk matriks berorde genap, situasinya lebih rumit. Permasalahan dari kasus ini adalah walaupun formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.

Kata kunci: matriks tridiagonal 2-Toeplitz, nilai eigen, polinomial Chebyshev, polinomial karakteristik, vektor eigen

ABSTRACT

MELIZA DITA UTAMI. Calculating the Eigenvalues and Eigenvectors of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix with Chebyshev Polynomial Approach. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

The eigenvalues and eigenvectors of a matrix can be determined by finding its characteristic polynomials. The characteristic polynomials of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix is shown to be closely connected to polynomials which satisfy the Chebyshev recurrence relationship. If the order of the matrix is odd, then the eigenvalues are found explicitly in terms of the Chebyshev zeros and the eigenvectors are found in terms of the polynomials satisfying the recurrence relationship. For even ordered matrices, the situation is more complicated. The problem in these cases is that although the Chebyshev recurrence formula is still applied, its initial values are not generating Chebyshev polynomials.

Keywords: characteristic polynomial, Chebyshev polynomial, eigenvalues, eigenvectors, tridiagonal 2-Toeplitz matrix

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI

MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN

PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV

MELIZA DITA UTAMI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2013

(6)

(7)

Judul Skripsi : Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev

Nama : Meliza Dita Utami NIM : G54090035

Disetujui oleh

Dra Nur Aliatiningtyas, MS Pembimbing I

Teduh Wulandari Mas’oed, MSi Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan Desember 2012 ini adalah matematika murni, yang berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitzdengan Pendekatan Polinomial Chebyshev.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi selaku dosen pembimbing, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, papa, kedua adik dan seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46, kakak dan adik kelas, sahabat SMA dan SMP, teman kos Wisma Gajah serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Juli 2013 Meliza Dita Utami

(9)

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 Matriks 2

Determinan dan Sifat-Sifatnya 3

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 4

Polinomial Chebyshev 4

HASIL DAN PEMBAHASAN 5

Nilai Eigen 5

Vektor Eigen 15

Contoh Aplikasi 24

SIMPULAN DAN SARAN 28

Simpulan 28

Saran 28

DAFTAR PUSTAKA 28

(10)

(11)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Istilah ”eigen” di dalam bahasa Jerman mempunyai arti ”asli”. Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli, nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.

Dalam aljabar linear, sering kali ditemukan persamaan Ax = λx dengan A merupakan suatu matriks dan jika persamaan tersebut mempunyai solusi taknol x, maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.

Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran n×n, dengan n merupakan suatu bilangan bulat. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal).

Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dibutuhkan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz. Polinomial karakteristik yang dimaksud adalah polinomial yang memenuhi suatu sifat dari formula rekursif Chebyshev setelah dilakukan beberapa tranformasi sederhana. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan MJC Gover (1994) yang berjudul The Eigenproblem of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix.

Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap dan ganjil dengan pendekatan polinomial Chebyshev untuk polinomial karakteristiknya.

(12)

2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti matriks, determinan dan sifat-sifatnya, nilai eigen dan vektor eigen, serta polinomial Chebyshev yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.

Matriks

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan contohnya, matriks tridiagonal r-Toeplitz dan contohnya, serta matriks tridiagonal 2-Toeplitz dan contohnya. Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang berukuran , dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks dengan entri-entri tij= 0

jika |i – j| > 1 seperti matriks (1) berikut ini.

Tn =

(1)

Contoh:

Berikut merupakan contoh untuk matriks tridiagonal dengan n = 3. T3 =

.

Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal (Kouachi 2006). Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal r-Toeplitz yang berukuran , dinotasikan sebagai Cn, adalah

matriks tridiagonal dengan entri-entri cij yang memenuhi ci+r, j+r = cijdengan i, j =

1, 2, ..., n - r seperti matriks (2) berikut ini.

Cn

=

(2)

(13)

3 Contoh:

Berikut ini akan dibahas contoh untuk r = 1, 2, dan 3 jika diberikan matriks tridiagonal dengan n = 5.

 Jika r = 1, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini

C5 =

C5 = (3)

C5 =

Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran , dinotasikan sebagai Bn, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri

bijyang memenuhi bi+2, j+2 = bijdengan i, j = 1, 2, ..., n -2seperti matriks (4) berikut

ini. Bn = (4)

Contoh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan n = 5 sama seperti pada matriks (3).

Determinan dan Sifat-Sifatnya

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari determinan dan sifat-sifatnya. Determinan dari suatu matriks A berorde n×n, dinotasikan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:

det(A) =

dengan A1j = (-1)1 + j det (M1j), j = 1, ..., n adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari Adan M1j menyatakan

(14)

4

matriks yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung . Determinan dari M1j disebut minor dari (Leon 2001).

Operasi Baris

I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan.

II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar tersebut.

III. Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan (Leon 2001).

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari nilai eigen, vektor eigen, persamaan karakteristik dan polinomial karakteristik dari suatu matriks.

Misalkan A adalah suatu matriks . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk

(A – λI)x = 0. (5)

Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A – λI singular atau secara ekivalen

det(A – λI) x = 0. (6) Jika determinan pada persamaan (6) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ

p(λ) = det(A – λI).

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari A (Leon 2001).

Polinomial Chebyshev

Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh dari polinomial Chebyshev dan akarnya. Dalam (Gover 1994), polinomial Chebyshev merupakan suatu polinomial yang memenuhi formula rekursif =

.Akar dari polinomial Chebyshev pn(µ) dengan polinomial awal

dan = adalah

, r = 1, 2, ..., n.

Contoh:

(15)

5 = , = , dan = = = .

Akar dari ialah sebagai berikut:  r = 1, maka = = = 2 = ,  r = 2, maka = = = 0,  r = 3, maka = = = 2 = .

HASIL DAN PEMBAHASAN

Nilai Eigen

Misalkan diberikan matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde n×n dalam bentuk sebagai berikut:

Bn =

, (7)

sehingga untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde genap dapat dituliskan seperti di bawah ini

B2m = (8)

(16)

6

B2m+1= . (9)

Salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil tersebut adalah λ = seperti yang dinyatakan dalam Lema 1 berikut ini.

Lema 1

Jika n = 2m + 1, matriks Bn pada (7) mempunyai nilai eigen yaitu λ = . Bukti:

Akan dibuktikan λ = merupakan nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil. Untuk membuktikannya,cukup dibuktikan bahwa | Bn -

I | = | B2m+1 - I | = 0. | B2m+1 - I | = = – =

Selanjutnya akan dilakukan operasi:

baris(2i + 1) – c baris(2i - 1), untuk i = 1, 2, ..., m secara berurutan pada baris terbaru, dengan

c = . (10)

(17)

7 baris(3) – baris(1) = .

 Untuk i = 2, maka baris(5) akan menjadi

baris(5) – baris(3) = .  Untuk i = 3, maka baris(7) akan menjadi

baris(7) – baris(5) = .

Operasi tersebut hanya dilakukan pada baris ganjil dan akan berakhir pada baris terakhir yaitu baris 2m + 1, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:

| B2m+1 - I | =

Karena semua elemen pada baris terakhir bernilai nol, maka terbukti bahwa | B2m+1 - I | = 0. Hal tersebut membuktikan bahwa merupakan salah satu nilai

eigen dari B2m+1. ■

Hasil dari Lema 1 di atas menunjukkan bahwa merupakan faktor dari | B2m+1 - I |. Untuk menentukan nilai eigen selanjutnya dari matriks B2m+1 pada (9) dan nilai eigen dari matriks Bnpada (8), maka akan dicari terlebih dahulu

polinomial karakteristik untuk kedua matriks tersebut. Polinomial karakteristik untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz akan dibahas pada Teorema 1 berikut ini. Sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu

, (11)

sehingga akan diperoleh hasil berikut ini. Teorema 1

Jika diberikan matriks Bn seperti pada (7) dan v pada (11), maka untuk

setiap m∈ , berlaku

dengan dan adalah polinomial berderajat m yang memenuhi formula rekursif

(14) dan

, (15) dengan polinomial awal dan , serta c seperti yang didefinisikan pada (10) dan

(18)

8 Bukti:

 Orde genap

Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari Bn adalah .

| B2m - I | = = = = ( = ( | B2m-1 - I | = ( | B2m-1 - I | | B2m-2 - I |

(19)

9 | B2m - I | = ( | B2m-1 - I | | B2m-2 - I | = . Basis Induksi : Untuk m = 1, berlaku | B2 - I | =

= ( –

= –

= .

Hipotesis Induksi :Anggap benar | B2m-1 - I | = dan | B2m-2 - I | = , untuk m 2. Langkah Induksi : | B2m– I | = ( | B2m-1– I | - | B2m-2– I | = ( = = = = .

Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap adalah .

 Orde ganjil

Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B2m+1 adalah .

| B2m+1 - I |

=

(20)

10 = – = = ( = ( | B2m - I | - = ( | B2m - I | - | B2m-1 - I |

Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan | B2m+1 - I | = ( | B2m - I | - | B2m-1 - I | = . Basis Induksi : Untuk m = 0, berlaku | B1 - I | = = . Hipotesis Induksi : Anggap benar | B2m-1 - I |=

untuk m 1.

Langkah Induksi :

| B2m+1 - I | = ( | B2m - I | - | B2m-1 - I |

(21)

11 = ( = ( ( = ( ( = ( ( = =

Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz

berorde ganjil adalah ■

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dan pada (15) dan (14) memenuhi formula rekursif baru setelah dilakukan transformasi sederhana untuk kedua persamaan tersebut yang akan ditunjukkan oleh Teorema 2 berikut.

Teorema 2

Jika dan memenuhi (15) dan (14) secara berturut-turut, dengan dan , maka

, (17) , (18) dan , (19) dengan c dan d seperti yang didefinisikan pada (10) dan (16).

Bukti:

Akan dibuktikan persamaan (17), (18), dan (19).  Bukti persamaan (17)

Diketahui persamaan (15) yaitu , maka akan diperoleh

. (20) Substitusikan persamaan di atas ke (14), sehingga

= = = = . (21) Dari (20) diperoleh = .

Selanjutnya persamaan di atas dapat disubstitusikan ke (21) dan diperoleh =

(22)

12

= = .  Bukti persamaan (18)

Diketahui persamaan (14) yaitu , maka =

= .

Dari persamaan di atas, diperoleh = .

Selanjutnya substitusikan dan ke (15) dan diperoleh = ₌ = = .  Bukti persamaan (19)

Untuk m = 1, maka dari (14) dan (15) akan diperoleh = = = 1 dan = = = = ■

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan melakukan beberapa substitusi, persamaan (17) dan (18) dapat direduksi menjadi formula rekursif Chebyshev yang disajikan dalam Lema 2 berikut ini.

Lema 2

Diberikan matriks Bn pada (7). Jika didefinisikan

(22)

dengan

(23)

dan

, , (24) maka persamaan (17) dan (18) berturut-turut menjadi

(25) dan

, (26) dengan polinomial awal sebagai berikut

(23)

13 Bukti:

Akan dibuktikan persamaan (25), (26), dan polinomial awal untuk dan seperti pada (27).

Persamaan dapat diubah dalam bentuk berikut ini

. (28)

Akibatnya, persamaan (24) untuk dapat dituliskan menjadi

, (29)

dan diperoleh pula persamaan untuk berikut .

Dengan menyubstitusikan persamaan (17) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh = = = = = = = .

Persamaan (24) untuk dapat dituliskan menjadi

, (30)

dan diperoleh pula persamaan untuk berikut .

Dengan menyubstitusikan persamaan (18) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh = = = = = = = .

Dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (29) dan (30), maka diperoleh hasil sebagai berikut:

(24)

14  = = 1,  = = = = = ,  = = 1, dan  = = = = = . ■

Berdasarkan polinomial awal di atas, jelas bahwa merupakan suatu polinomial Chebyshev, sedangkan bukan polinomial Chebyshev karena .

Karena merupakan suatu polinomial Chebyshev, maka akar dari adalah

, r = 1, 2, ..., m. (31) Dengan menyubstitusikan persamaan (31) di atas ke persamaan (28), maka akan diperoleh

, r = 1, 2, ..., m. (32) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (32) dapat ditentukan nilai eigen lainnya untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil yang akan dijelaskan oleh Teorema 3 di bawah ini.

Teorema 3

Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m + 1 pada (9) adalah dan solusi dari persamaan kuadratik berikut

(

,

r = 1, 2, ..., m. (33) Bukti:

(25)

15 = ( = ( = ( = ( = ( . ■ Sementara itu, karena bukan merupakan polinomial Chebyshev, maka dimisalkan bahwa akar dari adalah . Dengan merupakan suatu fungsi dari r. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (28), maka akan diperoleh

, r = 1, 2, ..., m. (34) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (34) dapat ditentukan nilai eigen untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yang akan dijelaskan oleh Teorema 4 di bawah ini.

Teorema 4

Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m pada (8) adalah solusi dari persamaan kuadratik berikut

( ,

r = 1, 2, ..., m. (35) Bukti:

Dari persamaan (11) dan (34) diperoleh hasil berikut ini = ( = ( = ( = ( = ( . ■ Vektor Eigen

Pada Teorema 5 berikut ini akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen yang diperoleh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil.

Teorema 5

Vektor eigen dari matriks B2m+1 pada (9) yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah

(26)

16

x1 = .

Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang merupakan solusi dari persamaan kuadratik pada (33) adalah

x2 = , (36)

dengan s = dan Pr = 2 cos

yang merupakan akar dari . Bukti:

Untuk membuktikan Teorema 5 di atas sama halnya dengan membuktikan dan .  Akan dibuktikan  * .

Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari dua kasus berikut:

(i) Baris ganjil (1, 3, 5, ..., )

Untuk setiap baris ganjil dari , dari perkalian matriks tersebut jelas diperoleh hasil yang bernilai nol.

(ii) Baris genap (2, 4, 6, ..., m)

Untuk setiap baris genap dari , diperoleh hasil sebagai berikut:

₌ =

= 0

(27)

17  Akan dibuktikan  * .

Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:

(i) Baris 1

Akan dibuktikan baris pertama dari bernilai nol. Baris pertama dari adalah

= = Karena , maka diperoleh

.

Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari adalah nol. (ii) Baris

Akan dibuktikan setiap baris genap dari bernilai nol. Untuk setiap baris genap akan diperoleh:

= = = = (37) Karena , maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

=

(28)

18

Dari persamaan (24) diperoleh

dan

. (38) Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke

, sehingga diperoleh = = = = = =

Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (37), maka diperoleh: = = = = = = = = 0.

Jadi, terbukti setiap baris genap dari bernilai nol. (iii) Baris

Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari , kecuali pada baris terakhir akan bernilai nol.

Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh: =

=

(39) Dari persamaan (38), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi

(29)

19 = = = = = = = = . (40) Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (39), maka akan diperoleh hasil berikut ini

= = = = = = = = (41) Karena , maka . Akibatnya, persamaan (41) menjadi nol.

Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil, kecuali pada baris terakhir dari bernilai nol.

(iv) Baris

Akan dibuktikan baris terakhir dari bernilai nol.

Untuk baris atau baris terakhir dari akan diperoleh hasil sebagai berikut

=

(30)

20

=

(42) Dari persamaan (40) diperoleh

= .

Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (42), diperoleh hasil berikut = = = = = = (43)

Karena dan merupakan akar dari , maka hasil dari persamaan (43) adalah nol.

Jadi, terbukti bahwa baris terakhir dari bernilai nol. Akibatnya, semua baris dari adalah nol.

Karena setiap baris dari dan bernilai nol, maka terbukti bahwa merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen . ■

Selanjutnya untuk memperoleh vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap akan dibahas pada Teorema 6 berikut ini.

Teorema 6

Vektor eigen dari matriks B2m pada (8) yang bersesuaian dengan nilai eigen nilai eigen yang merupakan solusi dari (35) adalah

x = , (44)

(31)

21 dengan s = dan merupakan akar dari .

Bukti: Akan dibuktikan  * .

Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:

(i) Baris 1

Akan dibuktikan baris pertama dari bernilai nol. Baris pertama dari adalah

= = Karena , maka diperoleh

.

Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari adalah nol. (ii) Baris

Akan dibuktikan setiap baris genap, kecuali pada baris terakhir dari bernilai nol.

Untuk setiap baris genap, kecuali baris terakhir akan diperoleh: = = = = (45)

(32)

22

Karena , maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi =

. Dari persamaan (24) diperoleh

dan . (46) Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke

, sehingga diperoleh = = = = = =

Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (45), maka diperoleh: = = = = = = = = 0.

Jadi, terbukti setiap baris genap dari bernilai nol. (iii) Baris

Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari adalah nol. Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh:

=

(33)

23 Dari persamaan (46), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi

= = = = = = = = = . (48) Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (47), maka akan diperoleh hasil berikut ini

= = = = = = = = (49) Karena , maka . Akibatnya, persamaan (49) menjadi nol.

Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil dari bernilai nol. (iv) Baris 2m

Akan dibuktikan bahwa baris terakhir dari adalah nol. Untuk baris terakhir dari diperoleh hasil berikut ini

=

(34)

24 = = = (50)

Pada poin (ii) sebelumnya telah ditunjukkan bahwa , sehingga persamaan (3.47) menjadi = = ₍₅₁₎

Karena merupakan akar dari polinomial , maka persamaan (51) menjadi nol. Jadi, terbukti baris terakhir dari adalah nol. ■ Contoh Aplikasi Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yaitu nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan karakteristik dan yang diperoleh dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan. Misal diberikan matriks B3 dengan m = 1 berikut ini. B3 = . Terlebih dahulu akan dicari nilai eigen dari B3 dengan mencari solusi untuk λ dari seperti di bawah ini. = = 0  = 0  = 0  = 0  = 0  = 0 (52)  1 = 1 2 = 8 3 = -5 Selanjutnya akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen di atas yaitu mencari solusi untuk x dari . = = 0.

(35)

25  Untuk 1 = 1, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 1 adalah dengan

mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut: = 0

= 0

= 0,

dan diperoleh solusi yaitu .

 Untuk 2 = 8, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 2 adalah dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:

= 0 = 0 = 0,

 Untuk 3 = -5, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan 3 adalah dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:

= 0 = 0 = 0,

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibahas sebelumnya akan menghasilkan nilai eigen dan vektor eigen yang sama seperti di atas.

Berdasarkan Lema 1, salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil adalah λ = . Karena matriks B3 memiliki yaitu 1, maka salah satu nilai eigen untuk B3 adalah λ = 1.

Pada Teorema 1 dikatakan bahwa polinomial karakteristik untuk B2m+1 adalah , maka B3 akan memiliki polinomial karakteristik yaitu . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa polinomial karakteristik yang dihasilkan dengan menggunakan Teorema 1 sama dengan polinomial pada (52). = Karena , maka = = = ,

(36)

26 sehingga diperoleh = = = = = .

Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3, akan ditunjukkan nilai eigen lainnya untuk B3 merupakan solusi dari persamaan

( , dengan r = 1 akan menghasilkan nilai eigen yaitu 8 dan -5.

= 0 ( = 0 ( = 0 ( = 0 = 0 ( = 0

Akibatnya, diperoleh solusi untuk nilai eigen B3 dengan r = 1 yaitu 8 dan -5. Dengan menggunakan Teorema 5, akan diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dari Teorema 3 sebagai berikut. (i) Untuk nilai eigen dengan m = 1, vektor eigen yang bersesuaian dengannya adalah . Karena dan , maka . (ii) Untuk nilai eigen = 8, vektor eigen yang bersesuaian dengannyamenurut Teorema 5 adalah x = dengan , sehingga = 1, = = , = =

(37)

27 = = = = = 2.

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan = 8 adalah

x =

.

(iii) Untuk nilai eigen = -5, vektor eigen yang bersesuaian dengannya menurut Teorema 5 adalah

x = dengan , sehingga = 1, = = , = = = = = = = 2.

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan = -5 adalah

(38)

28

SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz sangat erat hubungannya dengan polinomial Chebyshev. Ketika matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil, maka nilai eigen dan vektor eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dari aturan akar polinomial Chebyshev. Untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap, kondisinya lebih kompleks. Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigennya, formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, walaupun nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.

Saran

Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yaitu dengan menemukan akar dari polinomial , membahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal r-Toeplitz, serta dapat pula membahas invers dari matriks Toeplitz.

DAFTAR PUSTAKA

Gover MJC. 1994. The eigenproblem of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix. Linear Algebra and Its Applications.198(1):63-78.doi:10.1016/0024-3795(94)90481-2.

Kouachi S. 2006. Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices. ELA. 15(1):115-133.doi:10.4064/am35-1-7.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York (US):

(39)

29

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 20 Mei 1991. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Asmitrial dan Ibu Netkornita. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 32 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).

Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2011 dan 2012. Selama dua tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai Bendahara Biro Kesekretariatan dan Bendahara Umum. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan, diantaranya menjadi salah satu anggota divisi konsumsi dari kegiatan Political Training tahun 2010, bendahara divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi (PDD) dari Sport and Art Competition on MIPA Faculty (SPIRIT) tahun 2011, anggota divisi Penanggung Jawab Keluarga (PJK) dari Masa Perkenalan Departemen Matematika (MPD) tahun 2011, anggota divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi (PDD) dari Masa Perkenalan Fakultas MIPA (MPF) tahun 2011, anggota divisi Dana Usaha (Danus) dari Matematika Ria yang merupakan bagian dari kegiatan Pesta Sains Nasional 2011, anggota divisi Acara Math Camp2011, anggota divisi Dekorasi dan Dokumentasi (DDD) dari Matematika Ria 2012.