Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang

(1)

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL

DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN

BERULANG

IRESA APRILIANI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

ABSTRAK

IRESA APRILIANI. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan

TEDUH WULANDARI MAS’OED.

(3)

ABSTRACT

IRESA APRILIANI. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrix with Non Constant and Recurrent Diagonal Entries. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

(4)

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL

DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN

BERULANG

IRESA APRILIANI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul Skripsi : Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri

Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang

Nama

: Iresa Apriliani

NIM

: G54070036

Menyetujui,

Pembimbing I,

Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.

NIP. 19610104 198803 2 002

Pembimbing II,

Teduh Wulandari Mas’oed,

M.Si.

NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui:

Ketua Departemen Matematika,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

(6)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluargaku tercinta: Bapak dan Mamah (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan, dan kasih sayangnya), adikku (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang, dan motivasinya), serta keluarga besar baik dari Bapak maupun dari Mamah (terima kasih atas doanya).

2. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).

3. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya).

4. Dra. Farida Hanum, M.Si selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Donny, Pak Hadi, Pak Wayan,

Pak Prapto, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).

6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni, dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).

7. Muhamad Yakub (terima kasih atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya)

8. Kakak-kakak Matematika angkatan 41, 42, dan 43: Ka Sima, Ka Vino, Ka Bange, Ka Kabil, Ka Ocoy, Ka Aini, Ka Putri, Ka Apri, Ka Agung, Ka Vera, Ka Mira, Ka Tami, Ka Destya, Ka Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Cici, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Adi, Ka Amin, Ka Cumi, Ka Sapto, Ka Chopi, dan lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya).

9. Teman-teman Matematika angkatan 44: Ruhiyat, Wahyu, Ayum, Iam, Fikri, Wenti, Ririh, Sri, Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Ipul, Cita, Tanty, Arina, Deva, Yuyun, Lingga, Masay, Diana, Yogie, Lugina, Yanti, Selvie, Ucu, Pepi, Devi, Istiti, Sari, Anis, Aqil, Lilis, Imam, Aswin, Eka, Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Fani, Phunny, Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Endro, Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan, bantuan, dan kebersamaannya).

10. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas dukungan dan bantuannya). 11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Januari 2012

(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 April 1989 dari pasangan Maulana dan Ipah. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara.

Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB ).

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

I PENDAHULUAN ... 1

1.1Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI ... 1

2.1 Matriks ... 1

2.2 Determinan dan Sifat-Sifatnya ... 2

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 2

2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear ... 2

2.5 Bilangan Kompleks ... 3

2.6 Trigonometri ... 3

2.7Pemetaan ... 3

2.8 Matriks Blok ... 3

III PEMBAHASAN ... 4

3.1 Matriks Tridiagonal ... 4

3.1.1 Nilai Eigen ... 5

3.1.2 Vektor Eigen ... 8

IV SIMPULAN DAN SARAN ... 12

DAFTAR PUSTAKA ... 13

(9)

ix

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Bukti Teorema 1 ... 15

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri yang bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal).

Matriks tridiagonal muncul di sebagian besar cabang ilmu seperti matematika terapan, matematika modern, teknik, dan lain sebagainya.

Kata eigen berasal dari bahasa Jerman yang berarti sebenarnya atau karakteristik. Nilai eigen dapat dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik.

Nilai eigen dan vektor eigen akan dicari dengan menggunakan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal dengan entri diagonal utama tidak tetap. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari

tulisan Said Kouachi (2006) yang berjudul

Eigenvalues and eigenvectors of some tridiagonal matrices with non constant

diagonal entries.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Mencari nilai polinomial karakteristik 2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari

matriks tridiagonal yang entri diagonal utamanya tidak konstan dan berulang dengan beberapa kasus.

1.3 Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari matriks tridiagonal, nilai eigen dan vektor eigen. Bab ketiga berupa pembahasan bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan beberapa kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan definisi-definisi tentang karya ilmiah ini.

2.1 Matriks Definisi 1 (Matriks)

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

[Anton 1998]

Definisi 2 (Matriks segi berorde n)

Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom dinamakan matriks segi berorde n, dan entri-entri 11, 22, …, dikatakan berada pada diagonal utama dari A (lihat (2.1)).

A =

11 12

21 22

1

2

⋱

1 2

(2.1)

[Anton 1998]

Definisi 3 (Matriks Tridiagonal)

Suatu matriks tridiagonal yang berukuran

× , dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks dengan entri-entri tij = 0 jika − > 1 seperti

�_�=

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋱

0 0 0 0 0 0

⋱ ⋱ 0

0

(2.2)

[Zhang 1999]

Definisi 4

Entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal dan entri-entri tepat di bawah diagonal utama matriks tridiagonal disebut subdiagonal.

(11)

2

2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya

Definisi 5 (Determinan)

Misalkan A adalah matriks × dan Mij menyatakan matriks −1 × −1 yang diperoleh dari A dengan menghapus baris ke-i

dan kolom ke-j. Determinan dari suatu matriks

A berorde × , dinotasikan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:

det(A)= 11, = 1

11�12+ 12�12+ + 1 �1 , > 1

dengan

A1j = (-1)1+ jdet (M1j), j = 1,…, n

adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari A. [Leon 2001]

Teorema 1

Jika A adalah suatu matriks segitiga atas atau segitiga bawah yang berukuran × , maka determinan dari A sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dari A.

[Leon 2001]

Definisi 6 (Sifat-sifat Determinan) Operasi baris

1. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan.

2. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar tersebut. 3. Menjumlahkan perkalian dari suatu baris

atau kolom pada baris lain atau kolom lain tidak akan mengubah nilai dari determinan.

[Leon 2001]

Teorema 2 (Aturan Cramer)

Misalkan A adalah matriks taksingular berorde × dan misalkan b ∈ . Misalkan

Ai adalah matriks yang diperoleh dengan

mengganti kolom ke- i dari A dengan b. Jika x

adalah penyelesaian tunggal dari Ax = b, maka

= det (��)

det � untuk i = 1, 2, …, n. [Leon 2001]

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 7 (Nilai Eigen, Vektor Eigen, Persamaan Karakteristik dan Polinomial Karakteristik)

Misalkan A adalah suatu matriks × . Skalar disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen �.

Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk

− λ� �= 0. (2.3) Persamaan (2.3) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

− λ�singular atau secara ekuivalen

det − λ� = 0. (2.4) Jika determinan pada persamaan (2.4) diuraikan maka didapatkan suatu polinomial berderajat n dalam peubah

� λ = det − λ�

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (2.4) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A.

[Leon 2001]

Teorema 3

Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn.

Himpunan dari setiap nilai eigen yang berbeda dari matriks A adalah takkosong dan mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.

Bukti: lihat [Lancaster & Tismenetsky 1985].

Definisi 8

Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn. Jika A mempunyai n nilai eigen yang berbeda maka matriks A disebut sederhana.

[Lancaster & Tismenetsky 1985].

2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear Definisi 9 (Ruang Vektor)

(12)

3

perkalian dengan skalar. Dengan ini dapat diartikan bahwa untuk setiap pasang elemen-elemen x dan y di dalam V, dapat diasosiasikan dengan elemen x + y yang tunggal yang juga berada di V dan setiap skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen

x yang tunggal di dalam V. Himpunan V

bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut terpenuhi

a. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V.

b. (x + y) + z = x + (y + z)untuk setiap x, y, z di V.

c. Terdapat elemen 0 di V sehingga x+ 0 = x

untuk setiap x ∈V.

d. Untuk setiap x ∈V terdapat elemen −x∈V

sehingga x + (−x) = 0.

e. (x + y) = x + y untuk setiap skalar dan setiap x dan y di V.

f. ( + ) x = x + x untuk setiap skalar dan dan setiap x ∈V.

g. ( ) x = ( x) untuk setiap skalar dan dan setiap x ∈V.

h. 1.x = x untuk setiap x ∈V.

[Leon 2001]

Definisi 10 (Bergantung Linear)

Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar c1, c2, …, cn yang tidak semuanya nol sehingga

c1v1 + c2v2+ … + cnvn= 0.

Definisi 11 (Bebas Linear)

Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika

c1v1 + c2v2+ … + cnvn= 0.

mengakibatkan semua skalar-skalar c1, c2, …,

cn harus sama dengan 0.

[Leon 2001]

2.5 Bilangan Kompleks

Definisi 12 (Bilangan Kompleks)

Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari bilangan real yang dinyatakan dengan (a, b) atau a + bi dengan i = −1.

[Anton 1998]

2.6 Trigonometri

Definisi 13 (Kesamaan Trigonometri)

Kesamaan trigonometri adalah hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri, yaitu 1. sin2�+ cos2�= 1

2. sin (−�) = −sin�

3. sin ( + ) = sin cos + cos sin 4. sin ( − ) = sin cos − cos sin 5. cos ( − ) = cos cos + sin sin 6. cos ( + ) = cos cos − sin sin 7. sin 2x = 2 sin x cos x

8. cos 2x = cos2 x–sin 2 x

9. cos 2x = 2cos2 x–1 10. cos 2x = 1–2sin 2 x

[Stewart 2001]

2.7 Pemetaan Definisi 14

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Pemetaan f dari A ke B biasa juga disebut bahwa f memetakan A ke B (atau pemetaan A

ke B) dan ditulis f : A B.

[Goldberg 1976]

Definisi 15 (Pemetaan Identitas)

Misalkan A adalah suatu himpunan. Pemetaan

A ke A disebut pemetaan identitas, dinotasikan

IA, jika a anggota dari A maka IA(a) = a atau

dapat ditulis IA : A A.

[Kurtz 1992]

2.8 Matriks Blok (Matriks Terpartisi) Definisi 16 (Matriks Blok)

Misalkan A, B, C dan D adalah suatu matriks dengan A adalah matriks berorde n dan D

adalah matriks berorde m. Matriks M disebut matriks blok jika �= .

(13)

4

III PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal.

3.1 Matriks Tridiagonal

Misalkan diberikan matriks tridiagonal dalam bentuk sebagai berikut

An=

− + 1 1

1 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 3 ⋱ ⋱ … 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 … 0 … ⋱ ⋱ ⋱ ₋1 0 0 −1 − + (3.1) dengan dan , = 1, 2,…, −1 adalah bilangan kompleks, dan adalah bilangan kompleks. Misalkan bahwa

= 2, = 1, 2,… , −1 (3.2)

= 1, jika ganjil

2, jika genap

, = 1,2,…, −1 (3.3)

dengan d, b1 dan b2 adalah bilangan kompleks

dengan d ≠0.

Jika adalah pemetaan dari himpunan bilangan bulat 1 sampai n-1 ke dalam himpunan bilangan bulat yang lebih besar dari n-1 maka matriks An menjadi σ

− + 1 1

1 0 0 0 2 2 0 0 0 0 ₂ 3 ⋱ ⋱ … 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 … 0 … ⋱ ⋱ ⋱ ₋₁ 0 0 −1 − + (3.4)

dan ∆ = σ − λ� adalah

polinomial karakteristiknya.

Jika = dengan adalah pemetaan identitas, maka An(i) dan ∆ dinotasikan berturut-turut dengan An dan ∆ .

Contoh

Misalkan diberikan

1= 6 7= 4

2= 2 12= 1

3=−9 17=−3

4= 5− 11 22= 4−2 5

5= 2 27=−6 dan

1= 6 7= 9

2= 18 12= 36

3=−4 17= 12

4= 5 + 11 22= 4 + 2 5

5=−18 27=−6 dengan

= 36, = 1, 2,…, 5

= 5, jika ganjil 3, jika genap = 4 3 = 3 3

Dapat dibentuk matriks tridiagonal:

�6=

5−4 3 6 0 0 0 0 6 3 2 0 0 0 0 18 5 −9 0 0 0 0 −4 3 5− 11

0

0 0 0 5 + 11

5 2 0 0 0 0 −18

3−3 3

Jika ada pemetaan :

: 1 7 2 12 3 17 4 22 5 27

Maka

1 = 7= 4

2 = 12= 1

3 = 17=−3

4 = 22= 4−2 5

5 = 27=−6

1 = 7= 9

(14)

5

3= 17= 12

4= 22= 4 + 2 5

5 = 27=−6

Dan matriks tridiagonal �6 menjadi

�6( ) =

5−4 3 4 0 0 0 0 9 3 1 0 0 0 0 36 5 −3 0 0 0 0 12 3 4−2 5

0

0 0 0 4 + 2 5

5 −6 0 0 0 0 −6 3−3 3

Selanjutnya akan dibahas nilai eigen dari matriks tridiagonal untuk = = 0 dan

= 2_.

Nilai Eigen

Dalam kasus = = 0, matriks σ dan polinomial karakteristiknya ∆ dinotasikan berturut-turut 0 σ dan ∆0 sedangkan dalam kasus ≠0 dan β ≠0

matriks dan polinomial karakteristiknya dinotasikan dengan An dan ∆ . Untuk mencari nilai eigen dari matriks tridiagonal digunakan persamaan berikut yang telah diberikan di [Kouachi, in press], yaitu

�1�2= 4 2cos2� (3.5) dengan

�1= 1− dan �2= 2− (3.6)

Oleh karena itu, akan dibahas mengenai polinomial karakteristik untuk = = 0

pada Teorema 1.

Teorema 1

Jika = = 0 maka nilai eigen dari matriks

σ tidak bergantung pada ( , , = 1,…, −1) dan pemetaan memperlihatkan kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi dengan polinomial karakteristiknya

Jika = 2 + 1 maka

∆0₌ 2 �1sin 2 + 2 �

sin 2� 3.7

Jika = 2

∆0₌ 2 sin 2 + 1 �

sin� 3.8

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 1 bagian C)

Jika ≠0 dan ≠0 maka nilai ∆ menjadi

∆ =∆0₋

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −1 0 0 −1 �1 − �1 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 + �2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 (3.9)

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 1 bagian A)

Semua entri subdiagonal dan superdiagonal memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3) maka

polinomial karakteristik jika ≠0 dan β ≠0

dan diperoleh.

Jika = 2 + 1

∆ = 2

[�1−( + )] sin 2 + 2 �+ 2�2− + sin 2 �

(15)

6

dan jika = 2

∆ = 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2+ �1− − 2 sin 2 �+ sin 2 −2 �

sin 2� 3.11

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 1 bagian B)

Untuk = 2 , jika = 2 polinomial karakteristiknya menjadi

∆ = 2 −2 �1�2− �2− �1 sin 2 �

sin 2�

(3.12)

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 1 bagian D) Dari persamaan (3.11) dapat diperoleh Proposisi 1 yaitu dimana nilai eigen dari matriks tridiagonal lain yaitu matriks tridiagonal dengan menukar bilangan

, , 1 dan 2.

Proposisi 1

Misalkan σ adalah suatu matriks tridiagonal yang diperoleh dari matriks tridiagonal σ pada (3.4) dengan menukar bilangan dengan , dengan , 1 dengan

2, dan 2 dengan 1.

Jika ukuran suatu matriks tridiagonal adalah n yang bernilai genap maka nilai eigen

dari matriks tridiagonal σ sama dengan nilai eigen dari matriks tridiagonal σ .

Bukti:

Akan dibuktikan nilai eigen dari matriks tridiagonal σ dan σ sama.

Untuk membuktikan bahwa nilai eigen kedua matriks tridiagonal tersebut sama, cukup membuktikan polinomial karakteristik kedua matriks tridiagonal tersebut sama karena nilai eigen bergantung pada polinomial karakteristiknya. Telah didapatkan polinomial karakteristik untuk n genap sebagai berikut.

Untuk n genap Diberikan matriks

σ =

− + 1 1

1 0 0

0

2

2 0

0

0 0 ₂

1

⋱ ⋱ …

0 ⋱ ⋱ ⋱ 0

… 0

… ⋱ ⋱ ⋱ ₋₁

0

−1

− + 2

Maka matriks

σ =

− + ₂ ₁

1 0 0

0

1

2 0

0

0 0 ₂

2

⋱ ⋱ …

0 ⋱ ⋱ ⋱ 0

… 0

… ⋱ ⋱ ⋱ ₋₁

0

−1

− + 1

Untuk σ

∆ = 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2+ �1− − 2 sin 2 �+ sin 2 −2 �

(16)

7

Sedangkan untuk σ

�1( σ ) = 1− = 2− =�2( σ )

�2( σ ) = 2− = 1− =�1( σ )

∆ = 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

1+ �2− − 2 sin 2 �+ sin 2 −2 �

sin 2�

= 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2+ �1− − 2 sin 2 �+ sin 2 −2 �

sin 2�

Karena polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal σ dan σ sama, maka nilai eigen dari matriks tridiagonal

σ dan σ sama.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks tridiagonal dengan = = 0.

Teorema 2

Jika = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi maka nilai eigen dari matriks tridiagonal σ adalah berikut ini.

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…,

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = + 1,…, 2

1 , =

(3.13) dengan jika n ganjil

� = 2 + 2

, = 1,…,

( − )

2 + 2 , = + 1,…, 2

dan jika n genap

� = 2 + 1

, = 1,…,

( − )

2 + 1 , = + 1,…, 2

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 2)

Setelah dalam Teorema 2 dibahas tentang nilai eigen dari matriks tridiagonal dengan = = 0. Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks tridiagonal untuk n

genap dan = 2.

Teorema 3

(17)

8

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…, −1

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = ,…, 2 −2

1+ 2− − − ( 1− 2)2+ ( + )2−2 1− 2 ( − )

2 , = −1

1+ 2− − + ( 1− 2)2+ ( + )2−2 1− 2 ( − )

2 , =

(3.14)

� = 2

, = 1,…, −1

( − + 1)

2 , = ,…, 2 −2

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 3)

Dari Teorema 1, 2 dan 3 maka menghasilkan adanya Akibat 1 yaitu

Akibat 1

Setiap entri dalam subdiagonal dan superdiagonal dari matriks tridiagonal dan

σ memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3).

Vektor Eigen

Selanjutnya akan dibahas vektor eigen dari matriks tridiagonal σ . Misalkan komponen dari vektor eigen � , = 1,… , yang berhubungan dengan nilai eigen

, = 1,…, , dinotasikan dengan �( ), =

1,…, adalah solusi dari persamaan linear

− +�1

_�

1

₊ 1�2

( )

= 0

1�1 +�2 ( )

�2 ( )

+ ₂�₃( )= 0

−1� −1

+ − +� � = 0

(3.15)

dengan

�( )

=�( )= − = 1− , ganjil

2− , genap

= 1, 2,… , −1 , = 1, 2,…, (3.16) memenuhi persamaan (3.5) dan � , k =1, …, n

adalah solusi dari persamaan berikut ini.

Jika = 2 + 1

�1 − + sin 2 + 2 � + [ 2�2 −( + )] sin 2 � = 0 (3.17)

dan jika = 2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2

+ �₁ − − 2 sin 2 � + sin 2 −2 � = 0 (3.18)

Karena persamaan (3.15) adalah bergantung linear maka dengan mengeliminasi persamaan pertama atau baris pertama diperoleh

1�1 ₊_�

2 ( )

�2 ( )

+ ₂�₃( )= 0

2�2

₊_�

3 ( )

�3 ( )

+ ₃�₄( )= 0

−1� −1

+ − +� � = 0

(18)

9

�2 ( ) 2 0 0 2 �3 ( ) ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ ⋱ −1 0 0 −1 (− +�( )) �2 ( ) �3 ( ) �( ) =

− 1�1

( )

0

(3.19)

Vektor eigen �( ), , = 1,… , , pada sistem persamaan (3.21) dapat dicari dengan Aturan Cramer, yaitu

� = j

k

(σ) ∆ ₋1

( ) , , = 1,…,

(3.20) dengan

₌

�₂( ) ₂ 0

2 �3 ( )

⋱ 0 ⋱ ⋱

… − ₁�₁( ) 0 … 0

⋱ 0 0 …

₋₂

0 0 ₋₂ ⋱ 0 … ⋱ … …

�( )₋₁ 0 0 …

−1 0 ⋱

⋱ ⋱ 0 �+1 ( ) ₊₁ 0 ⋱ ⋱ −1 0 −2 − +�( )

Kolom ke j-1 Untuk = 2,…, , = 1,…,

Persamaan n (k)

pada (3.21) ditentukan dari persamaan (3.10) dan (3.11) dengan = 0

dan n diganti dengan −1 sehingga diperoleh persamaan berikut ini.

Jika = 2 + 1

∆ −1 ( )

= 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2 − 2 sin 2 �

sin 2 �

(3.21) dan jika = 2

∆ −1 ( )

= 2 −2 �2

₋

sin 2 � − sin⁡(2 −2)� sin 2 �

(3.22) Untuk setiap = 1,…,

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 4 bagian A)

Pertukaran kolom ke- −2 dengan kolom ke- −1 dari , menghasilkan

� = −1 −2Λ

∆ −1

, = 2,…,

(3.23) dengan Λ adalah determinan dari matriks blok berikut ini.

� = −1

_{( )} ₀

0 ₋( ) ,

dengan

−1

=

− 1�1 ( ) �2 ( ) 0 0 2 ⋱ 0 0 ₂ 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 … 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 … 0 … ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 −2

�₋1 ( )

−1

adalah matriks dengan order −1 dengan

(19)

10

− = �+1 ( ) +1 +1 0 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0 … ⋱ ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ ⋱ −1 0 0 ₋₁ (− +�+1

)

adalah matriks tridiagonal dengan order − yang memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3) karena ₋₁( ) memiliki invers maka

� = ₋₁ ₋ =− ₁… ₋₁�₁( )∆( )₋

(3.24) Untuk setiap = 2,…, , = 1,…, , dengan

∆( )₋

diberikan oleh persamaan (3.10) dan (3.11) untuk = 0 dan mengganti n dengan

− sehingga diperoleh persamaan berikut ini.

Jika ganjil

∆( )₋

=

− −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2

₋ 2 _sin( ₋ ₎_�

sin 2� , jika ganjil

− −1 �1 − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

sin 2� , jika genap

(3.25) dan jika genap

∆( )₋

=

− −1 �2 − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

− −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1

₋ 2 _sin( ₋ ₎_�

(3.26) Untuk setiap = 2,…, , = 1,…,

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 4 bagian B) Dengan menyubstitusi persamaan (3.24) dengan (3.25) didapatkan

� = (−1)−2₋

1… ₋1�1

( )∆ − ( )

∆ ₋1 ( )

= (−1) −1

1… �1

( )∆ − ( )

∆ ₋1 ( )

(3.27)

= 2,…, dan = 1,…,

Dengan menyubstitusi persamaan (3.22), (3.23), (3.26) dan (3.27) dengan persamaan (3.28) didapatkan persamaan berikut.

Jika n ganjil

� = �₁( )

1− 2sin − + 2 � − �2 − 2 sin( − )�

2_sin _{+ 1} � − �

2

₋ 2 _sin( −₁₎� , jika ganjil

2− �1

₋

sin( − + 1)� − sin( − −1)�

2_sin _{+ 1}_{� − �}

2

₋ 2 _sin( ₋₁₎_� , jika genap

(3.28) dan jika n genap

� = �₁( )

1− �2

₋_sin( ₋ _{+ 1)}_{� −} _sin( _{− −}₁₎_�

�2

₋_sin _{� −} _sin( ₋₂₎_� , jika ganjil

− 2sin − + 2 � − �1 − 2 sin( − )�

�2

₋_sin _{� −} _sin( ₋₂₎_� , jika genap

(3.29) dengan

= (−1)1−

(20)

11

Untuk setiap = 2,…, , = 1,…,

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 4 bagian C)

Maka dapat diperoleh vektor eigen untuk matriks tridiagonal σ dalam teorema berikut ini.

Teorema 4

Vektor eigen � , = 1,… , dari matriks tridiagonal σ yaitu

Dipilih

�1 ( )

= (− ) −1

2_sin _{+ 1}_{� − �}

2

₋ 2 _sin( ₋₁₎_� _{, jika ganjil}

�2

₋_sin _{� −} _sin₋₂_�

, jika genap

(3.30)

dan

= (− ) − ₁… ₋₁ , = 2,…,

maka,

Jika n ganjil

� =

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2

₋ 2 _sin_{− �} _{, jika ganjil}

�1

₋

sin − + 1 � − sin − −1 � , jika genap (3.31)

Jika n genap

� =

�2 − sin − + 1 � − sin − −1 � , jika ganjil

sin − + 2 � − �1

− sin − � , jika genap (3.32)

dengan

, = 2,…, dan � ,�1

_dan_�

2

_, _{= 1,2,}_…_{. ,}

dari persamaan (3.5), (3.17) dan (3.18)

(Bukti dapatdilihat di Lampiran 4 bagian D)

Contoh

�6 =

5−4 3 4 0 0 0 0

9 3 1 0 0 0

0 36

5

−3

0 0

0 0 12 3 4−2 5

0

0 0 0 4 + 2 5

5 −6

0 0 0 0

−6

3−3 3

Nilai eigen yang diperoleh dari matriks di atas dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah

1= 4−

1

2 4 + 16 36 cos

2

6 = 4− 109

2= 4−

1

2 4 + 16 36 cos

2

3 = 4− 37

3= 4 +

1

2 4 + 16 36 cos

2

6 = 4 + 109

4= 4 +

1

2 4 + 16 36 cos

2

3 = 4 + 37

5= 4− 2 +

3 2 3−

1

2 (5−3)

(21)

12

= 4− 2 +3 2 3−

1

2 161−4 3 = 4− 7 2 3−

1

2 161−4 3

6= 4− 2 +

3 2 3 +

1

2 (5−3)

2_{+ (4} _{3 + 3} ₃₎2₋₂ ₅₋₃ ₍₄ _{3 + 3} ₃₎

= 4− 2 +3 2 3 +

1

2 161−4 3 = 4− 7 2 3 +

1

2 161−4 3

Untuk 1= 4− 109 vektor eigennya

 _�₁1

= −6 5₋9 2

= 69984

2 = 34992

 _�₂1

= −6 4 ₄_{6 sin} ₋3 35−4+ 109 −36

6 sin

2 3

= 432(−9−9 109 + 36 3)

 �3

1

= −6 3 ₁₃₋_{4 +} ₁₀₉₋₃ ₃ _sin2

3 −3 3 sin3

= −6 3 −1

2 3 + 1

2 3 109−9

 _�₄1

= −6 2₋₃_{6 sin}2 3 −

3 35−4+ 109 −36

6 sin3

= 3 −3 36 3−9−9 109 + 36

 _�₅1

= (−6) 4−2 5 3−4 + 109−3 3 sin

3−3 3 sin 0 = −3 4−2 5 − 3 + 3 109−9

 _�₆1

= −6 0₋₆_{6 sin} 3−

3 35−4+ 109 −36

6 sin 0

=−18 3

Jadi vektor eigen untuk 1 yaitu

34992

432(−9−9 109 + 36 3)

−6 3₋1

2 3 + 1

2 3 109−9

3 −3 36 3−9−9 109 + 36

−3 4−2 5 − 3 + 3 109−9

−18 3

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut:

1. Matriks tridiagonal yang berukuran ganjil dan genap mempunyai rumusan polinomial karakteristik yang berbeda sehingga nilai eigen dan vektor eigen mempunyai rumusan yang berbeda juga. 2. Jika n genap maka nilai eigen dari matriks

tridiagonal σ , yaitu matriks tridiagonal yang diperoleh dari matriks

tridiagonal σ dengan menukar bilangan dengan , dengan , 1 dengan 2, dan 2 dengan 1 sama dengan nilai eigen dari matriks tridiagonal σ .

4.2 Saran

(22)

13

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 1998. Aljabar Linear Elementer. Ed ke-5. Silaban P, Susila IN, penerjemah; Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Elementary Linear Algebra.

Goldberg RR. 1976. Methods of Real

Analysis. Ed ke-2. New York: John Wiley

& Sons, Inc.

Kouachi S. 2006. Eigenvalues and Eigenvectors of some tridiagonal matrices with non constant diagonal entries. ELA,

In press.

Kurtz DC, Luhrs M, Wallis R, editor. 1992.

Foundations of Abstract Mathematics.

New York: McGraw-Hill, Inc.

Lancaster P, Tismenetsky M. 1985. The

Theory of Matrices with Applications. Ed

ke-2. San Diego: Academic Press, Inc

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan

Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,

penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.

Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed ke-4, jilid 1. Gunawan H & Susila IN, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:

Calculus.

Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Result

and Techniques. New York: Springer

(23)

14

(24)

15

Lampiran 1 Bukti Teorema 1

A. Bukti persamaan (3.9)

∆1= �1 − �1

= (− + 1)− (1)

= (− + 1− )

= (− ) + ( 1− )

= �₁−

Jika ∆10 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka

∆1=∆10−

∆2= �2 − �2

= − + 1 1

1 − + 2 −

0 0

= �1− 1

1 �2−

= �1− �2− − 1 1

=�1�2− �1− �2+ − 2

=�₁�₂− 2_{− �}

2− �1+

Jika ∆20 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka

∆2=∆20− �2 − �1 +

∆3= �3 − �3

=

− + 1 1 0

1 2 2

0 2 − + 1

− 0 0 00

0 0

=

�1− 1 0

1 �2 2

0 2 �1−

= �1− �2 2

2 �1− − 1

1 2

0 �1−

= �₁− �₂ �₁− − 2₋

1( 1 �1− )

= �1− �2 �1− − �1− 2− 2 �1−

=�2 �12− �1− �1+ − 2�1+ 2 − 2�1+ 2

=�₁2�₂− �₁�₂− �₁�₂+ �₂− 2_�

1− 2 − 2�1+ 2

=�12�2−2 2�1− �1�2 + − 2 + + �2

=�12�2−2 2�1− �1�2− 2 − �1�2− 2 + �2 Jika ∆30 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka

∆3=∆30− �1 2

2 �2 − �

1 1

1 �2

+ �₂

∆4= �4 − �4

=

− + 1 1 0 0 1 2 2 0

0 0

2

0

1

3

− + ₂

−

0 0 0

0 0

0 0 0

0

=

�1− 1 0 0 1 �2 2 0

0 0

2

0 �1

3

(25)

16

= (�1− )

�2 2 0

2 �1 3

0 ₃ �₂−

− 1

1 2 0

0 �1 3

0 3 �2−

= (�1− ) �2 �1 �2− − 2 − 2 2 �2− − 1[ 1 �1 �2− − 2 ]

= (�1− ) �2 �1�2− �1− 2 − 2 �2− − 2[�1 �2− − 2]

= (�1− ) �1�22− �1�2− 2�2− 2�2+ 2 − 2[�1�2− �1− 2]

=�₁2�₂2− �₁2�₂− 2_�

1�2− 2�1�2+ 2�1 − �1�22+ �1�2+ 2 �2+ 2 �2

− 2 − 2�1�2+ 2 �1+ ( 2)2

=�₁2�₂2−3 2_�

1�2+ ( 2)2− �1�22−2 2�2 − �12�2−2 2�1 + (�1�2− 2) Jika ∆40 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka

∆4=∆40−

�2 2 0

2 �1 3

0 3 �2

− �1 1

0

1 �2 2

0 2 �1

+ �2 2

2 �1

∆5= �5 − �5

=

− + 1

1 0 0 0 1 2 2 0 0 0 2 3 3 0 0 0 3 4 4 0 0 0 4

− + 2

− 00

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = �1−

1 0 0 0 1 �2 2 0 0 0 2 �1 3 0 0 0 3 �2 4 0 0 0 4

�1−

= �1−

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 �2 4 0 0 4

�1−

− 1 1 0 0 0 2 �1 3 0 0 3 �2 4 0 0 4

�1−

= �1− �1

�1 3 0

3 �2 4

0 4 �1−

− 2

2 3 0

0 �2 4

0 4 �1−

− 1 1

�1 3 0

3 �2 4

0 4 �1−

−

2

0 3 0

0 �2 0

0 4 �1−

= �1− �2(�1 �2 �1− − 2 )− 2( 3 �1− ) − 2 2(�2 �1− − 2) −

1[ 1 �1 �2 �1− − 2 − 3 3 �1− ]

= �1− �2 �1 �1�2− �2− 2 − 2 �1− − 2 �1�2− �2− 2 − 1[ 1[�1 �1�2− �2− 2 − 2 �1− ]]

= �1− �12�22− �1�22− 2�22− 2�1�2+ 2�2 − 2�1�2+ 2�2 − 2 2 −

2[�13�2− �1�2− 2− 2�1− 2 ]

=�₁3_�

22− �1�22− 2�1�22− 2�12�2+ 2 �12− 2�12�2+ 2 �1�2+ 2 2�1 − �12�22+ �1�2+ 2 �22− 2 �2+ 2 �1�2− 2 �2− 2 2 − 2�1�22

+ 2 _�

1�2+ 2 2+ 2 2�1− 2 2

=�13�22−3 2�12�2+ 2 2 2�1+ 2 2− �12�22− 2�22−2 2�1�2+ 2 2

− �12�22− 2�12−2 2�1�2+ 2 2 + �1�2−2 2�2− 2 Jika ∆50 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka

∆5=∆50−

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 �2 4 0 0 4 �1 − �1 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 �2 +

�2 2 0

2 �1 3

(26)

17

Jadi, didapatkan bentuk umum Jika ≠0 dan ≠0

∆ =∆0₋

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −1 0 0 −1 �1 − �1 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 + �2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 (3.9)

B. Bukti persamaan (3.10) dan (3.11)

Jika = 2 + 1 ganjil

�1− 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2

�2−

∆ =∆0₋

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −1 0 0 −1 �1 − �1 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 + �2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2

∆ = 2 �1sin(2 + 2)�

sin 2� − +

2 sin 2 + 1 �

sin� +

2 −2�2sin 2 �

sin 2�

= 2 �1

sin 2 + 2 � −2 + cos�sin 2 + 1 �+ ₂�2sin 2 �

2 sin�cos�

= 2 �1sin 2 + 2 � − + sin 2 �+�+� + sin(2 �+� − �) + 2�2sin 2 �

sin 2�

= 2 �1

sin 2 + 2 � − + sin 2 + 2 �+ sin 2 � + ₂�2sin 2 �

sin 2�

= 2

�1− + sin 2 + 2 �+ 2�2− + sin 2 �

sin 2�

Jika = 2 genap

�1− 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2

�2−

∆ =∆0₋

�2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −1 0 0 −1 �1 − �1 1 0 0 1 �2 2 0 0 2 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2 + �2 2 0 0 2 �1 3 0 0 3 ⋱ ⋱ 0 ⋱ ⋱ −2 0 0 −2 �2

∆ = 2 sin(2 + 1)�

sin� −

2 −2�2sin 2 �

sin 2� −

2 −2�1sin 2 �

sin 2�

+ 2 −2sin(2 −1)� sin�

= 2 −22

2_sin ₂ _{+ 1}_�_cos_{� − �}

2+ �1 sin 2 �+ 2 sin(2 −1)�cos�

2 sin�cos�

= 2 −22

2_sin ₂ _{+ 1}_�_cos_{� − �}

2+ �1 sin 2 �+ 2 sin(2 −1)�cos�

sin 2�

= 2 −2

2_[sin ₂ _{+ 2}_�_{+ sin 2} _�_]_{− �}

2+ �1 sin 2 �+ [sin 2 �+ sin(2 −2)�

(27)

18

= 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2+ �1− − 2 sin 2 �+ sin(2 −2)�

sin 2�

Jadi persamaan (3.10) dan (3.11) terbukti

C. Bukti persamaan (3.12)

Jika = 2 untuk n genap

∆ = 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2+ �1− 2− 2 sin 2 �+ 2sin(2 −2)�

sin 2�

= 2 −2

2_[sin ₂ _{+ 2}_�_{+ sin(2} ₋₂₎_�_]_{− �}

2+ �1−2 2 sin 2 �

sin 2�

= 2 −2

2_{[2sin 2} _�_{cos 2}_�_]_{− �}

2+ �1−2 2 sin 2 �

sin 2�

= 2 −22

2_{sin 2} _�_{cos 2}_{� − �}

2+ �1−2 2 sin 2 �

sin 2�

= 2 −2[2

2_{cos 2}_{� − �}

2− �1+ 2 2] sin 2 �

sin 2�

= 2 −2[2

2_(2cos2_{� −}₁₎_{− �}

2− �1+ 2 2] sin 2 �

sin 2�

= 2 −2[4

2_cos2_{� −}₂ 2_{− �}

2− �1+ 2 2] sin 2 �

sin 2�

= 2 −2 �1�2− �2− �1 sin 2 � sin 2�

Jadi persamaan (3.12) terbukti

C. Bukti persamaan (3.7) dan (3.8)

Sebelumnya akan dikonstruksi kembali persamaan (3.7) dan (3.8) yang berkaitan dengan ∆0₋1 dan ∆0₋2, diperoleh

Jika = 2 + 1 ganjil

∆0−1= 2

sin 2 + 1 � sin� ∆0−2= 2 −2�1

sin 2 � sin 2�

∆0₌ 2 �1sin 2 + 2 �

sin 2�

=�1 2

sin 2 + 2 � sin 2� +�1

2 sin 2 �

sin 2� − �1

2 sin 2 �

sin 2�

=�1 2

sin 2 + 2 �+ sin 2 � sin 2� − �1

2 2

2sin 2 �

sin 2�

=�1 2

sin 2 + 1 � sin� −

2_� 1 2 −2

sin 2 � sin 2� =�1∆0−1− 2∆0−2

(L1.1) Serta diperoleh juga persamaan dengan menggunakan persamaan (L1.1), yaitu

∆20 +1=�1∆20 − 2∆20 −1 Jika = 2 genap

∆0−1= 2 −2�1

(28)

19

∆0−2= 2 −2

sin(2 −1)� sin�

∆0₌ 2 sin 2 + 1 �

sin�

= 2 sin 2 + 1 �

sin� +

2 sin(2 −1)�

sin� −

2 sin(2 −1)�

sin�

= 2 sin 2 + 1 �+ sin(2 −1)�

sin� −

2 2

2sin(2 −1)�

sin�

= 2 2 sin 2 �cos�

sin 2� 2 cos�

− 2 2 −2sin(2 −1)�

sin�

= 2 4 sin 2 �cos 2_�

sin 2� −

2 2 −2sin(2 −1)�

sin�

= 2 �1�2

2 sin 2 �

sin 2� −

2 2 −2sin 2 −1 �

sin�

= 2 −2_� 1�2

sin 2 � sin 2� −

2 2 −2sin 2 −1 �

sin�

=�2 2 −2�1

sin 2 � sin 2� −

2 2 −2sin 2 −1 �

sin� =�2∆0−1− 2∆0−2

Sehingga diperoleh,

∆02 =�2∆02 −1− 2∆20 −2 Jadi didapatkan

∆20 +2=�2∆20 +1− 2∆20

=�2 �1∆20 − 2∆20 −1 − 2∆20

=�1�2∆20 − �2 2∆20 −1− 2∆20

= �₁�₂− 2_∆ 2 0 _{− �}

2 2

∆20 + 2∆20 −2

�2

= �1�2− 2 ∆20 − 2∆20 − 4∆20 −2

= �1�2−2 2 ∆20 − 4∆20 −2

(L1.2) 1. Akan dibuktikan persamaan (3.8) dengan induksi matematika.

Bukti:

 Untuk = 2, = 0 ∆20=�1�2− 2 Persamaan terpenuhi  Untuk = 4, = 1

∆40=�12�22−3 2�1�2+ ( 2)2 Persamaan terpenuhi

 Anggap benar untuk setiap integer < 2 + 2 genap  Akan dibuktikan integer = 2 + 2 benar

Bukti:

Dengan menggunakan persamaan (3.5) dengan (L1.2) maka

∆20 +2= 4 2cos2� −2 2 ∆20 − 4∆20 −2 Karena ∆20 dan ∆20 −2dianggap benar, maka

∆20 +2= 4 2cos2� −2 2 ∆20 − 4∆20 −2

= 4 2_cos2_{� −}₂ 2 2 sin 2 + 1 �

sin� −

4 2 −2sin 2 −1 �

(29)

20

= 4 2 +2cos2�sin 2 + 1 � sin� −2

2 +2sin 2 + 1 �

sin� −

2 +2sin 2 −1 �

sin�

= 2 +2 (4 cos

2_{� −}_{2) sin} ₂ _{+ 1}_{� −}_sin ₂ ₋₁_�

sin�

= 2 +2 2 cos 2�sin 2 + 1 � −sin 2 −1 � sin�

= 2 +2 2 sin2 + 1 �cos 2� −sin 2 −1 �

sin�

= 2 +2 sin 2 + 3 �+ sin2 −1 �

sin� −

sin 2 −1 � sin�

= 2 +2 sin 2 + 3 �

sin�

Jadi,

∆20 = 2

sin 2 + 1 � sin�

Persamaan (3.8) terbukti 2. Jika = 2 + 1 ganjil

Dengan persamaan (L1.2) untuk = 2 + 2 didapatkan

∆20 +1=

∆20 +2+ 2∆20

�2

Dengan menggunakan persamaan (3.8) untuk = 2 dan = 2 + 2, didapatkan

∆20 +1=

2 +2sin 2 + 3 �

sin� + 2 2

sin 2 + 1 � sin� �2

= 2 +2sin 2 + 3 �+ sin 2 + 1 �

�2sin�

= 2 2 +2sin

2 �+ 3� + (2 �+�)

2 cos

2 �+ 3� −(2 �+�) 2

�2sin�

= 2 2 +2sin

4 �+ 4� 2 cos

2� 2 �2sin�

= 2 2 +2sin(2 �+ 2�) cos�

�2sin�

= 2 2 +2sin(2 + 2)�cos�

�2sin�

= 2 2 +2

sin(2 + 2)�cos� 4 2_cos2�_sin�

�1

= 2 �1sin(2 + 2)�cos� 2 cos2_�_sin_�

= 2 �1sin(2 + 2)� 2 sin�cos�

= 2 �1sin(2 + 2)� sin 2�

Sehingga persamaannya menjadi ∆20 +1= 2 �

1sin (2 +2)�

(30)

21

Akan dibuktikan persamaan (3.13)

Untuk = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi, sehingga dengan = dan �=� , persamaan (3.5) menjadi

�1�2= 4 2cos2�

( 1− ) 2− = 4 2cos2�

1 2− 1 − 2 + 2= 4 2cos2� 2₋

1+ 2 + 1 2−4 2cos2� = 0

2

= 1

+ 2 ± − 1+ 2 2

−4 1 2+ 16 2cos2�

2

= 1+ 2 ± 1+ 2

2−₄

1 2+ 16 2cos2�

2

=

1+ 2 ± 12+ 2 1 2+ 22−4 1 2+ 16 2cos2�

2

=

1+ 2 ± 12−2 1 2+ 22+ 16 2cos2�

2

= 1+ 2 ± 1− 2

2_{+ 16} 2_cos2_�

2

Jadi,

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…,

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = + 1,…, 2

Selanjutnya akan dicari untuk = = 2 + 1

Dari persamaan (3.10) dan hipotesis = = 0 diperoleh 2 �1sin 2 +2 �

sin 2� = 0, karena

2 _≠₀_,

maka �1= 0 atau sin 2 + 2 � = 0.

Jika �1= 0 maka sin 2 + 2 � ≠0, sehingga

�1= 0 1− = 0

= ₁

Jadi,

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…,

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = + 1,…, 2

1 , =

Selanjutnya akan dicari �

Jika ganjil

(31)

22

sin 2 + 2 � = 0 sin(2 + 2)� = sin 0

2 + 2 � = 0 + , = 1,…,

� =

(2 + 2), = 1,… ,

Jika = + 1,… ,2

� = ( − )

(2 + 2), = + 1,… ,2

Jadi

� = 2 + 2

, = 1,…,

( − )

2 + 2 , = + 1,…, 2

Jika genap

Dari persamaan (3.11) dan = = 0 diperoleh sin 2 + 1 � = 0 sehingga

sin 2 + 1 � = 0 sin 2 + 1 � = sin 0

2 + 1 � = 0 + , = 1,…,

� =

(2 + 1), = 1,… ,

Jika = + 1,… ,2

� = ( − )

(2 + 1), = + 1,… ,2

Jadi

� = 2 + 1

, = 1,…,

( − )

(32)

23

Akan dibuktikan persamaan (3.14)

dengan dengan = dan �=� , persamaan (3.5) menjadi

�1�2= 4 2cos2�

( 1− ) 2− = 4 2cos2�

1 2− 1 − 2 + 2= 4 2cos2� 2₋

1+ 2 + 1 2−4 2cos2� = 0

2

= 1

+ 2 ± − 1+ 2 2

−4 1 2+ 16 2cos2�

2

= 1+ 2 ± 1+ 2

2₋₄

1 2+ 16 2cos2�

2

=

1+ 2 ± 12+ 2 1 2+ 22−4 1 2+ 16 2cos2�

2

=

1+ 2 ± 12−2 1 2+ 22+ 16 2cos2�

2

= 1+ 2 ± 1− 2

2_{+ 16} 2_cos2_�

2

Jadi,

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…, −1

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = ,…, 2 −2

Selanjutnya akan dicari = −1 dan =

Dari persamaan (3.12) dan persamaan (3.6) berlaku, maka persamaan (3.12) menjadi

∆ = 2 −2 ( 1− ) 2− − 2− − ( 1− ) sin 2 �

sin 2�

= 2 −2 1 2− 1 − 2 + 2₋

2+ − 1+ sin 2 �

sin 2�

= 2 −2[ 2₋

1+ 2− − −( 2+ 1− 1 2)] sin 2 �

sin 2�

Dari persamaan di atas diperoleh 2− 1+ 2− − − 2+ 1− 1 2 = 0 atau

sin 2 � = 0, maka

Jika 2− 1+ 2− − − 2+ 1− 1 2 = 0 maka sin 2 � ≠0 sehingga 2₋

1+ 2− − − 2+ 1− 1 2 = 0

= 1+ 2− − ± (− 1+ 2− − )

2₋₄₍₋

2+ 1− 1 2 )

2

= 1+ 2− − ± 1+ 2− −

2_{+ 4}

2+ 4 1−4 1 2

2

= 1+ 2− − ± 1+ 2

2_{+ ( + )}2₋₂

1+ 2 + + 4 2+ 4 1−4 1 2

2

= 1+ 2− − ± 1+ 2

2_{+ ( + )}2−₂

1− 2 − −4 1 2

(33)

24

= 1+ 2− − ± 1− 2

2_{+ ( + )}2₋₂

1− 2 −

2

Jadi,

=

1+ 2− − − 1− 2 2+ ( + )2−2 1− 2 −

2 , = −1

1+ 2− − + 1− 2 2+ ( + )2−2 1− 2 −

2 , =

Sehingga nilai eigen jika = 2 dan untuk n genap yaitu

=

1+ 2 − ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = 1,…, −1

1+ 2 + ( 1− 2)2+ 16 2cos2�

2 , = ,…, 2 −2

1+ 2− − − ( 1− 2)2+ ( + )2−2 1− 2 ( − )

2 , = −1

1+ 2− − + ( 1− 2)2+ ( + )2−2 1− 2 ( − )

2 , =

Selanjutnya akan dicari �

Jikasin 2 �= 0 maka 2− 1+ 2− − − 2+ 1− 1 2 ≠0 maka sehingga

sin 2 � = 0 sin 2 � = sin 0

2 � = 0 + , = 1,…, −1

� =

2 , = 1,… , −1

Jika = ,… ,2 −2

� = ( − + 1)

2 , = ,… ,2 −2

Jadi,

� = 2

, = 1,…, −1

( − + 1)

(34)

25

A. Bukti persamaan (3.21) dan (3.22)

Dari persamaan (3.10) dan (3.11) dengan �=� dan � =�( ) untuk = 1,…,

Jika = 2 + 1 ganjil

= 2 + 1 −1 = 2

∆ ₋1 ( )

= 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

1 ( )

+ �₂( )− − 2 _{sin 2} _� ₊ _sin(2 ₋₂₎_�

sin 2� = 0

∆ ₋1 ( )

= 2 −2

2_sin ₂ _{+ 2}_{� − �}

2 ( )

− 2 _{sin 2} _�

sin 2�

Jika = 2 genap

= 2

−1 = 2 −1 −1 = (2 + 1)−2

∆ −1 ( )

= 2 −2

[�₂( )−( + )] sin 2 + 2−2 � + ₂�₁( )− + sin(2 −2)�

sin 2�

= 2 −2

[�₂( )−( + )] sin 2 � + ₂�₁( )− + sin(2 −2)�

sin 2� = 0

∆ ₋1 ( )

= 2 −2(�2 ( )

− ) sin 2 � − sin(2 −2)� sin 2�

B. Bukti persamaan (3.25) dan (3.26)

Dari persamaan (3.17) dan (3.18) dan mengganti dengan − diperoleh Jika = 2 + 1 ganjil

 Jika ganjil

∆( )₋

= − −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 ( )

+ �₂( )− − 2 _sin( ₋ ₎_� ₊ _sin( _{− −}₂₎_�

sin 2� = 0

∆( )₋

= − −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2 ( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

sin 2�  Jika genap

∆( )₋

= − −1

[�₁( )−( + )] sin − −1 + 2 � + ₂�₂( )− + sin( − −1)�

sin 2� = 0

∆( )₋= − −1[�1 ( )

(35)

26

Jadi

∆( )₋

=

− −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2 − 2 sin( − )�

− −1 �1 − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

Jika = 2 genap

 Jika ganjil

∆( )₋

= − −1

[�₂( )−( + )] sin − −1 + 2 � + ₂�₁( )− + sin( − −1)�

sin 2� = 0

∆( )₋ = − −1[�2 ( )

− ] sin − + 1 � − sin( − −1)� sin 2�

 Jika genap

∆( )₋

= − −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2 ( )

+ �₁( )− − 2 _sin( ₋ ₎_� ₊ _sin( _{− −}₂₎_�

sin 2� = 0

∆( )₋

= − −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 ( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

sin 2�

Jadi

∆( )₋

=

− −1 �2

₋_sin( ₋ _{+ 1)}_{� −} _sin( _{− −}₁₎_�

− −2

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 − 2 sin( − )�

C. Bukti persamaan (3.28) dan (3.29)

Dengan menyubstitusi persamaan (3.22), (3.23), (3.26) dan (3.27) dengan persamaan (3.28) maka

Jika n ganjil

 Jika ganjil

� =

− −2 2sin − + 2 � − �2

( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

sin 2�

−3

2_sin _{+ 1} � − �

2 ( )

− 2 _sin( ₋₁₎_�

sin 2�

= 1−

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2 ( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

2_sin _{+ 1}_{� − �}

2 ( )

− 2 _sin( ₋₁₎_�

 Jika genap

� =

− −1 �1 − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

sin 2�

−3 2sin + 1 � − �2

( )

− 2 _sin( ₋₁₎_�

sin 2�

= 2− �1

₋

sin( − + 1)� − sin( − −1)�

2_sin _{+ 1} � − �

2 ( )

(36)

27

Jadi

� = �₁( )

1− 2sin − + 2 � − �2 − 2 sin( − )�

2_sin _{+ 1} � − �

2

₋ 2 _sin( ₋₁₎_� , jika ganjil

2− �1 − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

2_sin _{+ 1} � − �

2

₋ 2 _sin( −₁₎� , jika genap

Jika n genap

 Jika ganjil

� =

− −1[�2 ( )

− ] sin − + 1 � − sin( − −1)� sin 2�

−2[�2 ( )

− ] sin � − sin( −2)� sin 2�

= 1− [�2 ( )

− ] sin − + 1 � − sin( − −1)� [�₂( )− ] sin � − sin( −2)�  Jika genap

� =

− −2 2sin − + 2 � − �1

( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

sin 2�

−2[�2 ( )

− ] sin � − sin( −2)� sin 2�

= −

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 ( )

− 2 _sin( ₋ ₎_�

[�₂( )− ] sin � − sin( −2)�

Jadi

� = �₁( )

1− �2

₋_sin( ₋ _{+ 1)}_{� −} _sin( _{− −}₁₎_�

�2

₋_sin _{� −} _sin( ₋₂₎_� , jika ganjil

− 2sin − + 2 � − �1 − 2 sin( − )�

�2

₋_sin _{� −} _sin( ₋₂₎_� , jika genap

D. Bukti persamaan (3.31) dan (3.32)

Dari persamaan (3.30) disubstitusi ke persamaan (3.28) dan (3.29) dengan dengan = (−1)1−

1… −1dan = (− )

−

1… −1, = 2,…, dan = 1,…, maka diperoleh

Jika n ganjil

 Jika ganjil

� = (−1)1− ₁… ₋₁(− ) −1 2sin + 1 � − �₂ − 2 sin( −1)�

1− 2sin − + 2 � − �2 − 2 sin( − )�

2_sin _{+ 1} � − �

2

₋ 2 _sin( −₁₎�

= (− ) − ₁… ₋₁ 2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2 − 2 sin( − )�

= 2sin − + 2 � − �₂ − 2 sin( − )�  Jika genap

� = (−1)1−

1… ₋1(− )

−1 2_sin _{+ 1}_{� − �}

2 − 2 sin( −1)�

2− �1

₋_sin₋ _{+ 1}_{� −} _sin_{− −}₁_�

2_sin _{+ 1} � − �

2

₋ 2 _sin −₁ �

= (− ) +1−

1… −1 �1

₋_sin₋ _{+ 1}_{� −} _sin_{− −}₁_�

(37)

28

= �₁ − sin − + 1 � − sin − −1 �

Jadi

� =

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

2

₋ 2 _sin_{− �} _{, jika ganjil}

�1

₋ _sin₋ _{+ 1}_{� −} _sin_{− −}₁_� _{, jika genap}

Jika n ganjil

 Jika ganjil

� = (−1)1−

1… −1(− )

−1_�

2 − sin � − sin −2 �

1− �2

₋

sin( − + 1)� − sin( − −1)� �2

₋

sin � − sin( −2)�

= (− ) − ₁… ₋₁ �₂ − sin( − + 1)� − sin( − −1)� = �₂ − sin( − + 1)� − sin( − −1)�

 Jika genap

� = (−1)1− ₁… ₋₁(− ) −1 �₂ − sin � − sin −2 �

−

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 − 2 sin( − )�

�2

₋_sin _{� −} _sin( ₋₂₎_�

= (− ) −1−

1… −1

2_sin₋ _{+ 2}_{� − �}

1 − 2 sin( − )�

= (− ) − ₁… ₋₁ sin − + 2 � − �1

− sin − �

= sin − + 2 � − �1

− sin − �

Jadi

� =

�2

₋_sin₋ _{+ 1}_{� −} _sin_{− −}₁_� _{, jika ganjil}

sin − + 2 � − �1