NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL NISA RACHMANI G

(1)

NISA RACHMANI

G54103051

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(2)

ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Let A be a n n× matrix. The scalar λ is called an eigenvalue of A if there is a nonzero vector xin _Rn

so that Ax=λx . Vector x is said to be an eigenvector of Acorresponding to the eigenvalue λ.

A tridiagonal matrix is a matrix which has zero elements except the elements at the main diagonal, the elements at the first diagonal below the main diagonal (subdiagonal) and the elements at the first diagonal above the main diagonal (superdiagonal). In this paper, all the entries on the subdiagonal and superdiagonal are different, while all the entries on the main diagonal are the same and denoted by ,b except at the first and last columns. The entry at the first column and

at the first row is − + while the entry at the last column and at the last row is α b, − +β b. All entries in this tridiagonal matrix are complex numbers.

In this paper, several cases of tridiagonal matrices are discussed, and for each case, it’s eigenvalues and eigenvectors will be discussed in a theorem.

(3)

NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Misalkan A adalah suatu matriks n n× . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax=λx . Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ.

Matriks tridiagonal adalah suatu matriks yang mempunyai entri-entri bernilai nol kecuali pada diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal). Dalam karya ilmiah ini, setiap entri pada subdiagonal dan superdiagonal adalah berbeda, sedangkan entri-entri pada diagonal utama adalah sama, dinotasikan dengan ,b kecuali

pada kolom pertama dan kolom terakhir. Entri pada kolom pertama baris pertama yaitu − + α b, sedangkan entri pada kolom terakhir baris terakhir yaitu − +β b. Setiap entri pada matriks tridiagonal adalah bilangan kompleks.

Dalam karya ilmiah ini, matriks tridiagonal tesebut diuraikan dalam beberapa kasus, dan dalam setiap kasus, nilai eigen dan vektor eigennya akan dibahas dalam suatu teorema.

(4)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

NISA RACHMANI

G54103051

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

(5)

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si.

Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.

NIP. 131 779 501

NIP. 132 232 006

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA

NIP. 131 578 806

(6)

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 22 Mei 1985 dari pasangan Dolah Abdurachman dan Yoyoh Huriah. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 28 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur SPMB (Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru).

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis aktif dalam kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Badan Eksekutif Mahasiswa maupun oleh GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) pada periode 2004/2005.

(7)

Puji dan syukur ke hadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan, pengarahan, semangat, dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.

2. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah diberikan.

3. Ibu Dra.Farida Hanum, M.Si selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya. 4. Keluarga di rumah (Mama, Bapak, suamiku tercinta Ijal, anakku tersayang Boni dan kakakku

mbak Ia) terima kasih atas doa, cinta, semangat, dan kasih sayangnya.

5. Keluarga kakakku di apartemen (Aa, mbak Tanti, dan keponakanku yang lucu Darryl) terima kasih atas doa, cinta, semangat, dan kasih sayangnya.

6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen matematika (bu Ade, bu Marisi, bu Susi, mas Yono, mas Bono, mas Deni, dll) terima kasih atas bantuannya selama di Departemen Matematika.

7. Sahabat-sahabat: Iwit, Ifni, Jaja, Metha, Vina, Gatha, Amie, Gandronk, Mika, Icha, Achie, Muchie, Om Rama, Bedu, Azis, Rusli, Manto, Sri, Elis, Mita, Uly, Kafi, Ari, Ali, Mayang, Herni, Walidah, Sawa, Dimas, Fee, Jayu, Abay, Marlin, Nchie, Putra, Uve, Berry, Prima, Yuda, Dwi Puspa, Aam, Lili, Anton, Ucup, Demi, dan Komeng, terima kasih atas doa, semangat dan kebersamaannya selama ini.

8. Teman-teman: Tities, Kuren, Tia, Echie, Fitri, dan math 41 lainnya, terima kasih atas doa, semangat dan bantuannya selama ini.

9. Kak Sugeng 38, Ria, dan Rita, selaku pembahas, terima kasih atas bantuannya.

10. Teman-teman Wisma Ungu (Maryam, Rani, mbak Uphi, mbak Nesa, Salin, dll), terima kasih atas doa, semangat dan kebersamaannya selama ini.

11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.

Bogor, Agustus 2008

(8)

viii Halaman DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks ... 1

2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya ... 2

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 2

2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear ... 2

2.5 Bilangan Kompleks ... 3

2.6 Grup, Ring, dan Lapangan ... 3

2.7 Trigonometri ... 4

2.8 Fungsi, Pemetaan Identitas, dan Pemetaan Injektif ... 4

2.9 Matriks Blok (Partisi Matriks) ... 4

III PEMBAHASAN 3.1 Matriks Tridiagonal ... 5 3.2 Kasus d d1 2 ≠0 ... 7 3.2.1 Kasus n ganjil ... 12 3.2.2 Kasus n genap ... 15 3.3 Kasus d d₁ ₂ =0 ... 17

IV KESIMPULAN DAN SARAN ... 19

V DAFTAR PUSTAKA ... 19

(9)

ix 1 Bukti Teorema 1 ... 21 2 Bukti Teorema 4 ... 28 3 Bukti Teorema 5 ... 32 4 Bukti Teorema 6 ... 41 5 Bukti Teorema 7 ... 49 6 Bukti Teorema 8 ... 52 7 Bukti Proposisi 10 ... 55

(10)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Kata vektor eigen adalah campuran dari bahasa Jerman dan bahasa Inggris. Dalam bahasa Jerman, eigen dapat diterjemahkan sebagai ‘sebenarnya’ atau ‘karakteristik’; oleh karena itu, nilai eigen dapat dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik.

Dalam aljabar linear, jika ada persamaan λ

=

Ax x dengan A adalah suatu matriks dan persamaan tersebut mempunyai penyelesaian taknol x, maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A

yang berpadanan dengan λ .

Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal yang berukuran n n× . Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri yang bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal).

Selain itu, entri pada matriks tridiagonal adalah bilangan kompleks karena bilangan kompleks adalah bentuk umum dari bilangan yang lain termasuk bilangan real. Lagipula

nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal yang mencakup bilangan real telah dibahas di buku Matrix Theory oleh Zhang.

Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dibutuhkan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal.

Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan Said Kouachi (2006) yang berjudul

Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices. Sebelumnya Said Kouachi telah

membuat suatu tulisan yang berjudul

Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices with Nonequal Diagonal Entries

yang menjadi salah satu acuan dari karya ilmiah ini dan persamaan yang telah dibuktikan di tulisan tersebut tidak dijabarkan di karya ilmiah ini.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal untuk beberapa kasus.

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

Definisi 1 (Matriks)

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

[Anton, 1998]

Definisi 2 (Matriks kuadrat berorde n )

Sebuah matriks Adengan n baris dan n kolom dinamakan matriks kuadrat berorde

,

n dan entri-entri a11,a22,...,ann dikatakan berada pada diagonal utama dari A(lihat (2.1)). 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A (2.1) [Anton, 1998]

Definisi 3 (Matriks Tridiagonal)

Suatu matriks tridiagonal yang berukuran

n n× , dinotasikan sebagai T_n, adalah matriks dengan entri-entri tij = jika 0 i− >j 1(lihat (2.2)). 0 . 0 n a b c a b c a b c a b c a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T (2.2) [Zhang,1999] Definisi 4

Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut superdiagonal.

(11)

2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya Definisi 5 (Determinan)

Determinan dari suatu matriks A berorde ,

n n× dinotasikan sebagai det( A ), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:

( )

11 11 11 12 12 1 1 , jika 1 det ... n n, jika 1 a n a a a n = ⎧ = ⎨ + + + > ⎩ A A A A dengan

( )

1

( )

1 1 det 1 , 1,..., j j j j n + = − = A M

adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari

.

A

[Leon, 2001]

Teorema 1

Jika A adalah suatu matriks segitiga atas atau bawah yang berukuran n n× ,maka determinan dari A sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal utama dari A .

[Leon, 2001]

Definisi 6 (Sifat-sifat Determinan) Operasi baris

I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan.

II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar tersebut. III. Menjumlahkan perkalian dari satu

baris (atau kolom) pada baris lain (atau kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan.

[Leon, 2001]

Teorema 2 [Matriks Singular]

Suatu matriks A berorde n n× adalah singular jika dan hanya jika

( )

det A =0.

[Leon, 2001]

Teorema 3 (Aturan Cramer)

Misalkan A adalah matriks taksingular berorde n n× dan misalkan b∈Rn. Misalkan

i

A adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i dari A dengan b. Jika x adalah penyelesaian tunggal dari

, = Ax b maka

( )

det untuk 1, 2,..., . det i i x = A i= n A [Leon, 2001]

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 7 (Nilai Eigen, Vektor Eigen, Persamaan Karakteristik dan Polinomial Karakteristik)

Misalkan A adalah suatu matriks n n× . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax=λx. Vektor x

disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ . Persamaan Ax=λx dapat dituliskan dalam bentuk

(

A−λI x

)

=0. (2.3) Persamaan (2.3) akan mempunyai

penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika

I

λ −

A singular atau secara ekivalen

(

)

det A−λI x=0. (2.4) Jika determinan pada persamaan (2.4)

diuraikan maka didapatkan suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ

( )

det

(

)

.

p λ = A−λI

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (2.4) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A .

[Leon, 2001]

Teorema 4

Misalkan A adalah suatu matriks berorde .

n n× Himpunan dari setiap nilai eigen yang berbeda dari matriks A adalah takkosong dan mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.

Bukti: lihat [Lancaster & Tismenetsky,1985]. Definisi 8

Misalkan A adalah suatu matriks berorde .

n n× Jika A mempunyai n nilai eigen yang

berbeda maka matriks A disebut sederhana. [Lancaster & Tismenetsky,1985]

2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear Definisi 9 (Ruang Vektor)

Misalkan V adalah himpunan di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Dengan ini dapat diartikan bahwa untuk setiap pasang elemen-elemen x dan y di dalam V, dapat diasosiasikan dengan elemen x+y yang tunggal yang juga berada di ,V dan untuk setiap elemen x di V dan setiap skalar α,

(12)

dapat diasosiasikan dengan elemen αx yang tunggal di dalam V. Himpunan V bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut terpenuhi

A1. x+ = +y y x untuk setiap x dan y di .

V

A2. (x+ + = + +y) z x (y z) untuk setiap x, ,

y z di V.

A3. Terdapat elemen 0 di V sehingga + =

x 0 x untuk setiap x∈V.

A4. Untuk setiap x∈V terdapat elemen

V

− ∈x sehingga x+ − =( x) 0.

A5. α

(

x+y

)

=αx+αy untuk setiap skalar α dan setiap x dan y di V.

A6.

(

α β+

)

x=αx+βx untuk setiap skalar α dan β dan setiap x∈V.

A7.

( )

αβ x=α β

( )

x untuk setiap skalar α dan β dan setiap x∈V.

A8. 1.x=x untuk setiap x∈V.

[Leon, 2001]

Definisi 10 (Bebas Linear)

Vektor-vektor v v1, 2,...,vn dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika

1 1 2 2 ... n n 0,

cv +cv + +c v =

mengakibatkan semua skalar-skalar

1, 2,..., n

c c c harus sama dengan 0.

[Leon, 2001]

Definisi 11 (Bergantung Linear)

Vektor-vektor v v1, 2,...,vn dalam ruang vektor V disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar c c1, 2,...,cn yang tidak semuanya nol sehingga

1 1 2 2 ... n n 0.

cv +cv + +c v =

[Leon, 2001]

2.5 Bilangan Kompleks

Definisi 12 (Bilangan Kompleks)

Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari bilangan real yang dinyatakan dengan ( , )a b atau a bi+ dengan i= −1.

[Anton, 1998]

2.6 Grup, Ring, dan Lapangan Definisi 13 (Grup)

Grup G,∗ adalah himpunan G dengan operasi biner ∗ dan memenuhi aksioma-aksioma berikut

G1. Operasi biner ∗ bersifat asosiatif

(

x y∗ ∗ = ∗ ∗

)

z x

(

y z

)

,∀x y z, , ∈G. G2. Ada unsur e di G sehingga

, e x∗ = ∗ = ∀ ∈x e x x G

(unsur e disebut unsur identitas untuk

G dengan operasi biner ∗ ).

G3. Untuk setiap a∈G, ada unsur a'∈G

sehingga a a'∗ = ∗ =a a' e

(unsur a' disebut invers dari a dengan operasi biner ∗ ).

[Fraleigh, 1994]

Definisi 14 (Grup Abel)

Grup G,∗ disebut grup Abel jika operasi biner ∗ bersifat komutatif yaitu

, ,

x y G x y y x ∀ ∈ ∗ = ∗

.

[Fraleigh, 1994]

Definisi 15 (Ring)

Ring R, ,+ ⋅ adalah himpunan R dengan dua operasi biner + dan ⋅

,

disebut penjumlahan dan perkalian, dan memenuhi aksioma-aksioma berikut:

R1. R,+ adalah grup Abel.

R2. Operasi perkalian bersifat asosiatif. R3. Untuk setiap a b c, , ∈R,berlaku

Hukum distributif kiri:

(

) ( ) ( )

a b⋅ + = ⋅ + ⋅c a b a c dan Hukum distributif kanan:

(

a+ ⋅ = ⋅ + ⋅b c

)

( ) ( )

a c b c .

[Fraleigh, 1994]

Definisi 16 (Ring Komutatif)

Ring dengan operasi perkalian yang bersifat komutatif adalah ring komutatif.

[Fraleigh, 1994]

Definisi 17 (Unsur Kesatuan)

Ring R dengan unsur identitas 1 sehingga 1x=x1= ∀ ∈x, x R adalah ring dengan unsur kesatuan.

Unsur identitas dalam ring adalah unsur kesatuan (unkes).

[Fraleigh, 1994]

Definisi 18 (Lapangan)

Misalkan Radalah ring. Lapangan adalah ring komutatif yang mempunyai unsur

(13)

kesatuan serta setiap unsur taknolnya mempunyai invers yaitu _a−1_∈_R

sehingga

1 1 _1, _.

aa− =a a− = a∈R

[Fraleigh, 1994]

2.7 Trigonometri

Definisi 19 (Kesamaan Trigonometri)

Kesamaan trigonometri adalah hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri, yaitu

1. sin2θ+cos2θ=1 2. sin

( )

− = −θ sinθ

3. cos

( )

− =θ cosθ 4. sin

(

θ+2π

)

=sinθ

5. cos

(

θ+2π

)

=cosθ

6. sin

(

x+y

)

=sin cosx y+cos sinx y 7. sin

(

x−y

)

=sin cosx y−cos sinx y

8. cos

(

x−y

)

=cos cosx y+sin sinx y

9. sin 2x=2 sin cosx x

10. cos 2x=cos2x−sin2x

11. cos 2x=2 cos2x−1

12. cos 2x= −1 2 sin2x

13. sin

(

π θ+

)

= −sin

(

π θ−

)

=sin

(

θ π−

)

( )

= −sinθ=sin −θ

14. sin sin sin

2 2 2 π _θ π _θ _θ π ⎛ ₊ ⎞₌ ⎛ ₋ ⎞_{= −} ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =cosθ

[Stewart, 2001]

2.8 Fungsi (Pemetaan), Pemetaan Identitas, dan Pemetaan Injektif

Definisi 20 (Fungsi)

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah aturan yang

memadankan setiap elemen x dalam

himpunan A secara tepat dengan satu elemen, yang disebut f x

( )

, dalam himpunan B.

[Stewart, 2001]

Definisi 21 (Pemetaan)

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f dari A ke B bisa juga disebut bahwa f memetakan A ke B (atau pemetaan A ke B) dan ditulis f :A→B.

[Goldberg, 1976]

Definisi 22 (Pemetaan Identitas)

Misalkan A adalah suatu himpunan.

Pemetaan A ke A disebut pemetaan

identitas, dinotasikan I_A, jika a anggota dari

A maka I_A

( )

a =a atau dapat ditulis

: .

A

I A→A

[Kurtz, 1992]

Definisi 23 (Pemetaan Injektif)

Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Fungsi f memetakan A ke B. Fungsi f

adalah injektif jika dan hanya jika , ,

w z A

∀ ∈ jika f w( )= f z( ) maka w= z. [Kurtz, 1992]

2.9 Matriks Blok (Matriks Terpartisi) Definisi 24 (Matriks Blok)

Misalkan , A B C, , dan D adalah suatu matriks, dengan A adalah matriks kuadrat berorde n dan D adalah matriks kuadrat berorde m. Matriks M disebut matriks blok jika = ⎜⎛ ⎞⎟. ⎝ ⎠ A B M C D [Zhang,1999] Teorema 5

Misalkan M adalah matriks blok. Jika A

mempunyai invers, maka

1

detM=detAdet(D CA B− − ), dan jika AC=CA, maka

detM=det(AD CB− ). Bukti: lihat [Zhang,1999].

(14)

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Matriks Tridiagonal

Misalkan diberikan matriks tridiagonal dalam bentuk sebagai berikut

1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n b c a b c a b c a b α β− − − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{− +} ⎟ ⎝ ⎠ A … … … … (3.1) dengan

{ }

1 1 n j _j a −₌ dan

{ }

1 1 n j _j c −₌ adalah dua barisan bagian yang hingga dari barisan

{ }

aj j 1 ∞

= dan

{ }

cj j 1; ∞

= aj dan cj bilangan kompleks yang memenuhi sifat dari lapangan; α ,β dan b adalah bilangan kompleks. Misalkan bahwa

2 1 2 2 , jika ganjil 1, 2,..., , jika genap j j d j a c j d j ⎧⎪ =⎨ = ⎪⎩ (3.2)

dengan d dan ₁ d adalah bilangan kompleks. ₂

Jika σ adalah pemetaan injektif dari himpunan integer 1 sampai n− ke dalam 1 himpunan integer yang berbeda maka matriks

n A menjadi

( )

1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n b c a b c a b c a b σ σ σ σ σ σ α σ β − − − + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{− +} ⎟ ⎝ ⎠ A … … … … (3.3) dan ∆_n

( )

σ = A_n

( )

σ − Ιλ_n adalah polinomial karakteristiknya.

Jika σ = , dengan i adalah pemetaan i

identitas, maka An( )i dan ∆n( )i dinotasikan berturut-turut denganA dann ∆ n.

Contoh 1

Misalkan diberikan barisan:

{ }

₁

{

1, 2, 3, 4,..., 7,..., 10,..., 14,..., 18,...

}

1 2.25, 6 11, 4 7,1,..., 5,..., 7,..., 2,...,10,... 2 j _j a ∞₌ = a a a a a a a a ⎧ ⎫ =⎨ − − ⎬ ⎩ ⎭

{ }

₁

{

1, 2, 3, 4,..., 7,..., 10,..., 14,..., 18,...

}

9 25 4, 6 11, 4 7, 25,..., ,..., ,..., 9 2,..., 2.5,... 5 7 j _j c ∞₌ = c c c c c c c c ⎧ ⎫ =⎨ + + ⎬ ⎩ ⎭

Dari barisan di atas, didapatkan:

{ }

4

{

}

1 2.25, 6 11, 4 7,1 j _j a = = − −

{ }

4

{

}

1 4, 6 11, 4 7, 25 j _j c = = + +

Dapat dibentuk matriks tridiagonal:

5 2 5 4 0 0 0 2.25 2 6 11 0 0 0 6 11 2 4 7 0 0 0 4 7 2 25 0 0 0 1 2 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =_⎜ − + _⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ A dengan 2 1 2 2 9, jika ganjil 1, 2,..., 25, jika genap j j d j a c j d j ⎧ ₌ ⎪ =⎨ = = ⎪⎩

Jika ada pemetaan: :1 7 2 10 3 14 4 18 σ → → → → maka 1 7 5 a_σ =a = 2 10 7 a_σ =a = 3 14 1 2 2 a_σ =a = 4 18 10 a_σ =a = 1 7 9 5 c_σ = =c

(15)

2 10 25 7 c_σ =c = 3 14 9 2 c_σ =c = 4 18 5 2 c_σ =c =

dan matriks tridiagonal A5 menjadi

( )

5 9 2 5 0 0 0 5 25 5 2 0 0 7 0 7 2 9 2 0 1 5 0 0 2 2 2 2 0 0 0 10 2 3 σ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ A Contoh 2

Misalkan ada barisan:

{ }

{

}

{

}

1 2 3 4 5 6 13 21 26 28 31 36 1 , , , , , ..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,... 6, 4, 18, 5 7, 2 , 32,..., ,..., 2,..., 9 ,..., 2 2,..., 3 ,...,8 8 ,... j _j a a a a a a a a a a a a a i i i i i i i ∞ = = = − − − − − − −

{ }

{

}

{

}

1 2 3 4 5 6 13 21 26 28 31 36 1 , , , , , ..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,..., ,... 9,8, 3, 5 7, 27 , 1,..., 54 ,..., 16,..., 6 ,..., 8 2,..., 18 ,..., 2 2 ,... j _j c c c c c c c c c c c c c i i i i i i i ∞ = = = − + − − − − − +

Dari barisan di atas, didapatkan

{ }

6

{

}

1 6, 4, 18, 5 7, 2 , 32 j _j a i i = = − − −

{ }

6

{

}

1 9,8, 3, 5 7, 27 , 1 j _j c i i = = − + − −

Dapat dibentuk matriks tridiagonal:

7 5 4 2 9 0 0 0 0 0 6 5 8 0 0 0 0 0 4 5 3 0 0 0 0 0 18 5 5 7 0 0 0 0 0 5 7 5 27 0 0 0 0 0 2 5 1 0 0 0 0 0 32 5 3 6 A i i i i ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − + ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ dengan 2 1 2 2 54, jika ganjil 1, 2,..., 32, jika genap j j d j a c j d j ⎧ ₌ ⎪ =⎨ = = ⎪⎩

Jika ada pemetaan

:1 13 2 21 3 26 4 28 5 31 6 36 σ → → → → → → maka 1 13 a_σ =a = −i 2 21 2 a_σ =a = − 3 26 9 a_σ =a = − i 4 28 2 2 a_σ =a = i 5 31 3 a_σ =a = i 6 36 8 8 a_σ =a = − i 1 13 54 c_σ =c = i 2 21 16 c_σ =c = − 3 26 6 c_σ =c = i 4 28 8 2 c_σ =c = − i 5 31 18 c_σ =c = − i 6 36 2 2 c_σ =c = + i

(16)

( )

7 5 4 2 54 0 0 0 0 0 5 16 0 0 0 0 0 2 5 6 0 0 0 0 0 9 5 8 2 0 0 0 0 0 2 2 5 18 0 0 0 0 0 3 5 2 2 0 0 0 0 0 8 8 5 3 6 i i i i i i i i i i σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =_⎜ − − _⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ ₊ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ₋ ₋ ⎟ ⎝ ⎠ A 3.2 Kasus d d1 2 ≠ 0

Dalam kasus α β= =0, matriks An

( )

σ dan polinomial karakteristiknya dinotasikan berturut-turut dengan A0n

( )

σ dan

( )

0

n σ ∆ sedangkan dalam kasus α≠ atau 0 β ≠ 0 matriks dan polinomial karakteristik tersebut dinotasikan dengan A dan n ∆ . Untuk n mencari nilai eigen dari matriks tridiagonal digunakan persamaan berikut yang telah dibuktikan di [Kouachi, in press], yaitu

2 2 2

1 2 2 1 2cos ,

Y =d +d + d d θ (3.4) dengan

Y= −λ (3.5) b

dan λ adalah nilai eigen dari matriks tridiagonal.

Sebelum mencari nilai eigen matriks tridiagonal, terlebih dulu dicari polinomial karakteristiknya yang dinyatakan dalam Teorema 1 berikut ini.

Teorema 1

Jika d d1 2 ≠0 maka nilai eigen dari matriks

tridiagonal An

( )

σ pada (3.3) tidak bergantung pada entri bebas

(

a c ii, ,i =1,..,n−1 ,

)

dan pemetaan σ

memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta polinomial karakteristik dari

( )

n σ

A adalah sebagai berikut Jika n=2m+ ganjil 1

( )

1 1 2

(

) (

)

(

12 22

)

1 2 sin 1 sin , sin m n d d Y m Y d d m d d α β θ αβ α β θ θ − − − + + − − ∆ = (3.6) dan jika n=2mgenap

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1

1 2 2

1 2

sin 1 sin sin 1

. sin m n d d d m d Y m m d d d θ αβ α β θ αβ θ θ − ⎡ ⎤ + +_⎣ + − + _⎦ + − ∆ = (3.7) Bukti:

Akan dibuktikan persamaan (3.6) dan (3.7). Karena bagian kanan dari persamaan (3.6) dan (3.7) tidak bergantung pada σ , cukup dibuktikan bahwa σ= sehingga i,

polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal An

( )

σ dinotasikan dengan ∆ n.

Jika α≠0 atau β ≠ , maka 0

2 1 2 2 3 1 2 2 3 0 3 2 3 1 2 2 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n n n Y c Y c Y c a Y c a Y c a Y c a a a c c c a Y a Y a Y α β αβ − − − − − − ∆ = ∆ − − +

(3.8) (Bukti: lihat Lampiran 1 bagian A)

(17)

dengan ∆0n adalah polinomial karakteristik untuk α β= =0 dan ai dalam subdiagonal dan c_i dalam superdiagonal memenuhi kondisi (3.2). Selanjutnya, akan dicari ∆0n dengan menggunakan persamaan (3.6) dan (3.7).

Jika α β= = persamaan (3.6) dan (3.7) 0, berturut-turut menjadi jika n=2m+ ganjil 1

(

)

0 1 2 sin( 1) sin m n m d d Y θ θ + ∆ = (3.9) jika n=2m genap

(

)

2 0 1 1 2 sin( 1) sin . sin m n d m m d d d θ θ θ + + ∆ = (3.10) (Bukti: lihat Lampiran 1 bagian B)

Karena persamaan (3.9) dan (3.10) telah terbukti, kedua persamaan tersebut disubtitusi ke persamaan (3.8) dan didapatkan

jika α≠0 atau β ≠ , maka 0

jika n=2m+1 ganjil

(

)

1 1 2

(

)

(

12 22

)

1 2 sin( 1) sin sin m n d d Y m Y d d m d d α β θ αβ α β θ θ − − − + + − − ∆ = jika n=2m genap

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 ₂ 1 2

sin( 1) sin sin 1

. sin m n d d d m d Y m m d d d θ αβ α β θ αβ θ θ − + + + − + + − ∆ =

(Bukti: lihat Lampiran 1 bagian C)

Dari persamaan (3.7) dapat diperoleh Proposisi 2 berikut ini.

Proposisi 2

Misalkan Bn

( )

σ adalah suatu matriks tridiagonal yang diperoleh dari matriks tridiagonal An

( )

σ pada (3.3) dengan menukar bilangan α dan β.

Jika ukuran suatu matriks tridiagonal adalah n yang bernilai genap maka nilai

eigen dari matriks tridiagonal Bn

( )

σ sama dengan nilai eigen dari matriks tridiagonalAn

( )

σ .

Bukti:

Akan dibuktikan nilai eigen dari matriks tridiagonal An

( )

σ dan Bn

( )

σ sama.

Untuk membuktikan bahwa nilai eigen kedua matriks tridiagonal tersebut sama, cukup membuktikan polinomial karakteristik kedua matriks tridiagonal tersebut sama. Dari Teorema 1 didapatkan polinomial karakteristik berikut ini.

Untuk An

( )

σ

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 ₂ 1 2

sin( 1) sin sin 1

sin m n d d d m d Y m m d d d θ αβ α β θ αβ θ θ − + + + − + + − ∆ = sedangkan untuk Bn

( )

σ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

sin( 1) sin sin 1

sin

sin( 1) sin sin 1

sin m n m d d d m d Y m m d d d d d d m d Y m m d d d θ βα β α θ βα θ θ θ αβ α β θ αβ θ θ − − + + + − + + − ∆ = + + + − + + − =

Karena polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal An

( )

σ dan Bn

( )

σ sama

maka nilai eigen dari matriks tridiagonal

( )

n σ

(18)

Dari σ yaitu pemetaan injektif dari , himpunan integer 1 sampai n− ke dalam 1 himpunan integer yang berbeda, atau dari contoh 1 dan 2 didapatkan Akibat 3 berikut ini.

Akibat 3

Setiap entri dalam subdiagonal dan superdiagonal dari matriks tridiagonal

( )

n σ

A pada (3.3) memenuhi kondisi (3.2). Selanjutnya akan dibahas mengenai vektor eigen dari matriks tridiagonal A_n

( )

σ .

Misalkan komponen dari vektor eigen

( )k

_{( )}

_{, 1,...,}

u σ k= n yang berhubungan dengan

nilai eigen λk, 1,..., ,k= n dinotasikan dengan

( )k_{, 1,..., ,} j

u j= n adalah solusi dari persamaan linear

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 0, 0, 0, n k k k k k k k k k n k n u c u a u u c u a u u σ σ σ σ α ξ ξ β ξ − − ⎧ − + + = ⎪ ⎪ ₊ ₊ ₌ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + − + = ⎪⎩ (3.11)

dengan ξ = dengan k Y, Y memenuhi persamaan (3.4), dan θ_k, 1,...,k= n adalah solusi dari persamaan berikut ini.

Jika n=2m+ adalah ganjil 1

(

) (

)

(

2 2

)

1 2 k sin 1 k k 1 2 sin k 0,

d d ξ α β− − m+ θ + αβξ α− d −βd mθ = (3.12) dan jika n=2m adalah genap

(

)

2

(

)

1

(

)

1 2 2

2

sin 1 k k sin k sin 1 k 0.

d

d d m d m m

d

θ ⎡αβ α β ξ ⎤ θ αβ θ

+ +_⎣ + − + _⎦ + − =

(3.13)

Karena hipotesis Teorema 1, yaitu

1 2 0,

d d ≠ maka ξ = ≠ dengan k Y 0, Y memenuhi persamaan (3.4). Jadi persamaan (3.11) adalah bergantung linear.

Karena persamaan (3.11) adalah bergantung linear, maka dengan mengeliminasi persamaan pertama atau baris pertama diperoleh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

₍

₎

( ) 1 2 2 3 1 1 2 3 2 3 4 1 0, 0, 0. n k k k k k k k k k k n k n a u u c u a u u c u a u u σ σ σ σ σ ξ ξ β ξ − − ⎧ ₊ ₊ ₌ ⎪ ⎪ ₊ ₊ ₌ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ + − + = ⎪⎩

Sistem persamaan linear di atas dituliskan dalam bentuk matriks berikut ini.

(

)

( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 3 0 0 0 . 0 0 0 0 0 n n k k k k k k k n c _u _{a u} a _u c a u σ _σ σ σ σ ξ ξ β ξ − − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜₌ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜_⎜ ⎟ ⎜_⎟ ⎟ ⎜ _{− +} ⎟_⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎝ ⎠ … …

(3.14) Vektor eigen u( )jk , 2,..., , 1,..., ,j= n k= n pada sistem persamaan (3.14) dapat dicari dengan menggunakan Aturan Cramer, yaitu

( )

_{( )}

( )

( ) 1 , 2,..., , 1,..., , k j k j k n u σ σ j n k n − Γ = = = ∆ (3.15) dengan

(19)

( )

_{( )}

( )

(

)

2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j j j j j n n k k k k k j k k c a u a c a a c a c a σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ξ ξ ξ σ ξ β ξ − − − + − − − Γ = − + … … … … … … … … … … … … … … … Kolom ke-j−1 Nilai ( )1 k n−

∆ pada persamaan (3.15) ditentukan dari persamaan (3.6) dan (3.7) dengan α=0

dan n diganti dengan n− sehingga 1

diperoleh persamaan berikut ini. Jika n=2m+ ganjil 1 ( )

₍

₎

1 1 2

(

)

12 1 1 2 sin 1 sin , sin k k k m k n k d d m d m d d θ βξ θ θ − − ⎡ ⎤ + +_⎣ − _⎦ ∆ =

(3.16)

dan jika n=2m genap

( )

₍

₎

(

)

(

)

1 1 ₂ 1 1 2 sin sin 1 , sin k k k m k n k d m m d d d ξ β θ β θ θ − − − − − ∆ =

(3.17) untuk setiap k=1,...,n.

Pertukaran kolom ke-j− dengan kolom 2 ke-j− dari 1 Γ( )_jk

( )

σ ,menghasilkan

( )

_{( ) ( )}

2 ( )

( )

1 1 , 2,..., , k j j k j n u σ − σ j n − Λ = − = ∆ (3.18)

dengan Λ( )_jk

( )

σ adalah determinan dari matriks blok berikut ini.

( )

_{( )}

( )

_{( )}

1 , k j k j k n j σ σ σ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T 0 C 0 S dengan ( )

_{( )}

( ) 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 j j k k k j k a u c a c a σ σ σ σ σ ξ σ ξ − − − ⎛₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T

adalah matriks dengan order j− dan 1

diagonal

(

( )

)

1 1 , 2,..., j1 k a u_σ a_σ a_σ₋ − serta ( )

_{( )}

(

)

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 j j n n k k n j k c a c a σ σ σ σ ξ σ β ξ + + − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _{− +} ⎟ ⎝ ⎠ S

adalah matriks tridiagonal dengan order n− j

yang memenuhi kondisi (3.2). Karena

( )

_{( )}

1

k j− σ

T mempunyai invers maka

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( )

_{( )}

( ) ( ) 1 1 1 1 ... , j k k k j j n j k k n j a_σ a_σ u σ σ σ − − − − = = − ∆ C T S

(3.19) untuk setiap j=2,..., n dan 1,..., ,k= n

dengan ∆( )n jk−

( )

σ diberikan oleh persamaan (3.6) dan (3.7) untuk α= dan 0 n− 1 digantikan dengan n− sehingga diperoleh j

persamaan berikut ini.

(20)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 sin 2 2 , jika ganjil, sin 1 1 sin sin 2 2 , jika genap, sin k k k n j k k n j k k k n j k n j n j d d d d d j d n j n j d d d j θ βξ θ θ ξ β θ β θ θ − − − − − ⎧ ⎛ − ⎞ − + + − ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ ⎪ ∆ = ⎨ − + − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ₋ _⎜ _⎟ ₋ _⎜ _⎟ ⎪ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎪ ⎩ (3.20)

dan jika n genap

( )

(

)

( )

(

)

1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 sin sin 2 2 , jika ganjil, 1 2 _sin sin 1 sin 2 2 , jika genap, 1 2 _sin n j k k k k k n j n j _k _k _k k d n j n j d d d j n j n j d d d d d j ξ β θ β θ θ θ βξ θ θ − − − − − ⎧ ⎛ _{− +} ⎞ ⎛ _{− −} ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎪ ⎪ ∆ = ⎨ − − ⎛ ⎞ ⎪ ₊ ₊ ₋ ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ ⎩ (3.21)

untuk setiap j=2,...,n dan k=1,..., .n

Dengan menyubstitusi persamaan (3.18) dengan (3.19) didapatkan ( )

_{( ) ( )}

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... j j k j n j k k j k n k j k n j k n u a a u a a u σ σ σ σ σ ₋ − − − − − − − ∆ = − − ∆ ∆ = − ∆

(3.22) 2,..., dan 1,..., . j= n k= n

Dengan menyubstitusi persamaan (3.16), (3.17), (3.20) dan (3.21) dengan persamaan (3.22) didapatkan persamaan berikut ini.

Jika n ganjil ( )

_{( )}

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 sin 1 sin 2 2 , jika ganjil, 1 1 sin sin 2 2 1 1 sin sin 2 2 1 1 sin sin 2 2 k k k k k k k k j j k k k n j n j d d d j n n d d d u u d n j n j k k _d d d n n d d d θ βξ θ θ βξ θ σ µ σ ξ β θ β θ θ βξ − − ⎛ ₊ ⎞ ₊ ₋ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − ⎛ ⎞ ₊ ₋ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜_⎝ ⎟_⎠ − ⎜_⎝ ⎟_⎠ + − ⎛ ⎞ ₊ ₋ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ , jika genap, k j θ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _⎟ ⎪ _⎠ ⎩ (3.23) dan jika n genap

( )

_{( )}

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 sin sin 2 2 , jika ganjil, sin sin 1 2 2 sin 1 sin 1 2 2 , jika sin sin 1 2 2 k k k k k k k k j j k k k k k k d n j n j d j d n n d u u n j n j d d d j d n n d d d ξ β θ β θ ξ β θ β θ σ µ σ θ βξ θ ξ β θ β θ − + − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜_⎝ ⎟_⎠ − ⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟_{⎝ ⎠} − ⎜_⎝ − ⎟_⎠ = − − ⎛ ₊ ⎞ ₊ ₋ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ genap, ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ (3.24) untuk setiap j=2,...,n dan k=1,..., ,n

(21)

( )

(

)

1 1 1 1 2 ... j , 2,..., . j j d d aσ aσ j n µ σ − − = − =

( )

† Sekarang didefinisikan

( )

(

)

1

( )

1 2 , 1,..., , n j d d j j n ρ σ = − − µ σ =

( )

‡ dengan µ σj

( )

diberikan di

( )

† dan

( )

1 1.

µ σ =

3.2.1 Kasus n ganjil

Jika α β= = maka diperoleh Teorema 0, 4 berikut ini.

Teorema 4

Jika α β= =0, maka nilai eigen λ_k

( )

σ , 1,...,

k= n dari matriks tridiagonal An

( )

(

a c i_i, ,_i =1,..,n−1 ,

)

dan pemetaan σ memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta diperoleh

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 cos , 1,..., , 2 cos , 1,..., 2 , , . k k k b d d d d k m b d d d d k m m b k n θ θ ⎧ ₊ ₊ ₊ ₌ ⎪⎪ =⎨ − + + = + ⎪ ₌ ⎪⎩ λ

(3.25) Vektor eigen ( )

( )

(

1( )

( )

,..., ( )

( )

)

, t k k k n u σ = u σ u σ 1,.., 1

k= n− adalah sebagai berikut

( )

_{( )}

(

)

2

1 2 1

1 2

sin 1 sin , jika ganjil,

2 2

1

sin , jika genap,

2 k k k j j k k n j n j d d d j u n j d d b j θ θ σ ρ σ θ ⎧ ⎛ ₋ ⎞ ₋ + + ⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎝ ⎠ = ⎨ − + ⎛ ⎞ ⎪ ₋ ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎩ λ

(3.26) dan ( )

_{( )}

₁

( )

2 2 2 1... , jika ganjil, 0, jika genap, j n j n j a a d j u j σ σ σ − − ⎧⎪ ₋ = ⎨ ⎪⎩ (3.27) 1,..., j= n, 0 1 a_σ = , ρ σ_j

( )

diberikan di

( )

‡ dan

(

)

2 , 1,..., , 1 2 , 1,..., 2 . 1 k k k m n k m k m m n π θ _π ⎧ = ⎪ ₊ ⎪ =⎨ − ⎪ _{= +} ⎪ ₊ ⎩ .

(Bukti: lihat Lampiran 2)

Jika α = dan d2 β = , persamaan (3.12) d1

menjadi

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 k k k k k k k k k k k k d d d d m d d d d d d m d d d d m d d d d m d d d d m d d d d m ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ − − + + − − = − + + + − − = − + + + − + =

(

)

(

)

(

)

1 2 k 1 2 sin 1 k sin k 0. d d ξ − d +d m+ θ + mθ =

(3.28) Jika persamaan (3.29) disubstitusi dengan

fungsi trigonometri

(

)

(

)

2sin cosη ς=sin η ς+ +sin η ς−

dengan 2 1 2 k m η= ⎜⎛_⎝ + ⎞⎟_⎠θ dan 2 k θ ς= , maka persamaan (3.28) menjadi

(

)

(

)

1 2 1 2 2 1 2sin cos 0. 2 2 k k k m d d ξ − d +d ⎛_⎜ + ⎞_⎟θ θ = ⎝ ⎠

Karena hipotesis Teorema 1 yaitu d d₁ ₂ ≠ 0 maka

(

)

(

1 2

)

2 1 sin cos 0. 2 2 k k k m d d θ ξ − + ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ =

(3.29) Jika α = − dan d2 β = − , persamaan d1

(22)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 k k k k k k k k k k k k d d d d m d d d d d d m d d d d m d d d d m d d d d m d d d d m ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + =

(

)

(

)

(

)

1 2 k 1 2 sin 1 k sin k 0 d d ξ + d +d m+ θ + mθ =

fungsi trigonometri

(

)

(

)

dengan 2 1 2 k m η= ⎜⎛_⎝ + ⎞⎟_⎠θ dan , 2 k θ ς= maka persamaan (3.30) menjadi

(

)

(

)

1 2 1 2 2 1 2 sin cos 0. 2 2 k k k m d d ξ + d +d ⎛_⎜ + ⎞_⎟θ θ = ⎝ ⎠

Karena hipotesis Teorema 1 yaitu

1 2 0 d d ≠ maka

(

)

(

1 2

)

2 1 sin cos 0 2 2 k k k m d d θ ξ + + ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ =

(3.31) Jika persamaan (3.29) dan (3.31) digabungkan, maka

(

)

(

1 2

)

2 1 sin cos 0. 2 2 k k k m d d θ ξ ± + ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ = (3.32)

Dari persamaan (3.32) didapatkan Teorema 5 berikut ini.

Teorema 5

Jika α = dan d2 β = atau d1 β = − dan d1 2

d

α = − , maka nilai eigen λ_k

( )

σ , 1,...,k= n

dari matriks tridiagonal An

( )

(

a c ii, ,i =1,..,n− dan pemetaan 1

)

σ

memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta diperoleh

(

)

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 cos , 1,..., , 2 cos , 1,..., 2 , , . k k k b d d d d k m b d d d d k m m b k n θ θ α β ⎧ ₊ ₊ ₊ ₌ ⎪⎪ =⎨ − + + = + ⎪ ₋ ₊ ₌ ⎪⎩ λ (3.33) vektor eigen ( )

( )

(

1( )

( )

,..., ( )

( )

)

, t k k k n u σ = u σ u σ 1,..,

k= n adalah sebagai berikut jika α = dan d2 β = d1 ( )

_{( )}

[

]

(

)

2 1 2 1 2 1

2 2

1 1

sin sin , jika genap,

2 2 k k k k j j k k k n j n j d d b j u d n j n j d b d j d θ θ σ ρ σ θ θ ⎧ ⎛ − ⎞ − + + − + ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ = ⎨ ⎡ ⎛ − + ⎞ ⎛ − − ⎞ ⎤ ⎪− ⎢ − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎪ _⎣ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ _⎦ ⎩ λ λ (3.34) 1,..., 1 k= n− dan ( )

_{( )}

2 1 1, jika ganjil, , jika genap, n j j j u d j d σ ρ σ ⎧ ⎪ = ⎨₋ ⎪ ⎩ 1,..., j= n jika β = − dan d1 α = − d2 ( )

_{( )}

[

]

(

)

2 1 2 1 2 1

2 2

1 1

2 2 k k k k j j k k k n j n j d d b j u d n j n j d b d j d θ θ σ ρ σ θ θ ⎧ ⎛ ₋ ⎞ ₋ + + + − ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ = ⎨ ⎡ ⎛ _{− +} ⎞ ⎛ _{− −} ⎞ ⎤ ⎪ _{+ −} ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎪ _⎣ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ _⎦ ⎩ λ λ (3.35) 1,..., 1 k= n− dan

(23)

( )

_{( )}

2 1 1, jika ganjil, , jika genap, n j j j u d j d σ ρ σ ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ 1,..., j= n, ρ σj

( )

diberikan di

( )

‡ dan

(

)

2 , 1,..., , 2 , 1,..., 2 . k k k m n k m k m m n π θ _π ⎧ ₌ ⎪⎪ = ⎨ ₋ ⎪ _{= +} ⎪⎩

(Bukti: lihat Lampiran 3)

Jika α = dan d₂ β = − , persamaan d₁

(3.12) menjadi

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 k k k k k k k k d d d d m d d d d d d m d d d d m d d d d m ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ + − + + − + − = + − + − − + =

(

)

(

)

1 2 k 2 1 sin 1 k sin k 0. d d ξ +d −d m+ θ − mθ =

fungsi trigonometri

(

)

(

)

2 cos sinη ς =sin η ς+ −sin η ς−

dengan 2 1 2 k m η= ⎜⎛_⎝ + ⎞⎟_⎠θ dan 2 k θ ς= , maka

persamaan tersebut menjadi

(

)

1 2 2 1 2 1 2 cos sin 0. 2 2 k k k m d d ξ + −d d ⎛_⎜ + ⎞_⎟θ θ = ⎝ ⎠

Karena hipotesis Teorema 1 yaitu d d1 2 ≠ 0

maka

(

2 1

)

2 1 cos sin 0. 2 2 k k k m d d θ ξ + − ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ =

(3.37) Jika α = dan d2 β = − , persamaan d1

(3.12) menjadi

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 sin 0 sin 1 sin 0 k k k k k k k k d d d d m d d d d d d m d d d d m d d d d m ξ θ ξ θ ξ θ ξ θ − + + + − − + = − + + + + − =

(

)

(

)

1 2 k 2 1 sin 1 k sin k 0. d d ξ − +d d m+ θ − mθ =

(3.38)

Jika persamaan (3.38) disubstitusi dengan fungsi trigonometri

(

)

(

)

2 cos sinη ς =sin η ς+ −sin η ς−

dengan 2 1 2 k m η= ⎜⎛_⎝ + ⎞⎟_⎠θ dan 2 k θ ς= , maka persamaan (3.38) menjadi

(

)

1 2 2 1 2 1 2 cos sin 0. 2 2 k k k m d d ξ − +d d ⎛_⎜ + ⎞_⎟θ θ = ⎝ ⎠ Karena hipotesis Teorema 1 yaitu d d1 2 ≠ 0

maka

(

2 1

)

2 1 cos sin 0 2 2 k k k m d d θ ξ − + ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ =

(3.39) Jika persamaan (3.37) dan (3.39) digabungkan maka

(

)

(

2 1

)

2 1 cos sin 0. 2 2 k k k m d d θ ξ ± − ⎛⎜_⎝ + ⎞⎟_⎠θ =

(3.40)

Dari persamaan (3.40) didapatkan Teorema 6 berikut ini.

Teorema 6

Jika α = − dan d2 β = atau d1 β = − dan d1 2

d

α = , maka nilai eigen λ_k

( )

σ , 1,...,k= n

dari matriks tridiagonal An

( )

(

a c i_i, ,_i =1,..,n− dan pemetaan 1

)

σ

memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta diperoleh

(

)

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 cos , 1,..., , 2 cos , 1,..., 2 , , . k k k b d d d d k m b d d d d k m m b k n θ θ α β ⎧ ₊ ₊ ₊ ₌ ⎪⎪ =⎨ − + + = + ⎪ ₋ ₊ ₌ ⎪⎩ λ (3.41) vektor eigen ( )

( )

(

1( )

( )

,..., ( )

( )

)

, t k k k n u σ = u σ u σ 1,..,

k= n adalah sebagai berikut jika α = − dan d2 β = d1

(24)

( )

_{( )}

[

]

(

)

2 1 2 1 2 1

2 2

1 1

2 2 k k k k j j k k k n j n j d d b j u d n j n j d b d j d θ θ σ ρ σ θ θ ⎧ ⎛ − ⎞ − + + − + ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ = ⎨ ⎡ ⎛ − + ⎞ ⎛ − − ⎞ ⎤ ⎪− ⎢ − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎪ _⎣ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ _⎦ ⎩ λ λ (3.42) 1,..., 1 k= n− dan ( )

_{( )}

( )

1 2 2 ₂ 1 1 , jika ganjil, 1 , jika genap, j n j j j j u _d j d σ ρ σ − ⎧ − ⎪⎪ = ⎨ − ⎪ ⎪⎩ 1,.., ,j= n jika β = − dand1 α = d2 ( )

_{( )}

[

]

(

)

2 1 2 1 2 1

sin 1 sin , ganjil,

2 2

1 1

sin sin , genap,

2 2 k k k k j j k k k n j n j d d b j u d n j n j d b d j d θ θ σ ρ σ θ θ ⎧ ⎛ − ⎞ − + + + − ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ ⎪ = ⎨ ⎡ ⎛ − + ⎞ ⎛ − − ⎞ ⎤ ⎪ _{+ −} _⎜ _⎟ ₊ _⎜ _⎟ ⎢ ⎥ ⎪ _⎣ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ _⎦ ⎩ λ λ

(3.43) 1,..., 1 k= n− dan ( )

_{( )}

( )

1 2 2 2 ₂ 1 1 , jika ganjil, 1 , jika genap, j n j j j j u _d j d σ ρ σ − + ⎧ ₋ ⎪⎪ = ⎨ − ⎪ ⎪⎩ 1,.., , j= n

dengan ρ σj

( )

diberikan di

( )

‡ dan

(

)

(

)

(

)

2 1 , 1,..., , 2 1 , 1,..., 2 . k k k m n k m k m m n π θ π ⎧ − = ⎪⎪ = ⎨ − − ⎪ = + ⎪⎩

3.2.2 Kasus n genap

Jika αβ=d22, persamaan (3.13) menjadi

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2

sin 1 sin sin 1 0

sin 1 2 sin sin 1 0

k k k k k k k k d d d m d d m d m d d d m d m d d m θ α β ξ θ θ θ α β ξ θ θ ⎡ ⎤ + +_⎣ + − + _⎦ + − = ⎡ ⎤ + +_⎣ − + _⎦ + − =

(

)

(

)

(

)

2 2 1 2

2d α β ξ_k sinmθ_k d d sin m 1 θ_k sin m 1θ_k 0.

⎡ − + ⎤ + + + − =

⎣ ⎦

_(3.44)

Jika persamaan (3.44) disubstitusi dengan fungsi trigonometri

(

)

(

)

dengan η=mθ_k dan ς θ= _k,maka persamaan (3.44) menjadi

(

)

(

)

2

2 1 2

2d α β ξ_k sinmθ_k d d 2 sinmθ_kcosθ_k 0

⎡ − + ⎤ + =

⎣ ⎦

(

)

2

2 1 2

2d α β ξ_k sinmθ_k 2d d cosθ_ksinmθ_k 0

⎡ ₋ ₊ ⎤ ₊ ₌ ⎣ ⎦

(

)

2 1 2 2 2d d cosθ_k 2d α β ξ_k sinmθ_k 0. ⎡ ₊ ₋ ₊ ⎤ ₌ ⎣ ⎦

_(3.45) Persamaan (3.45) disubstitusi ke persamaan (3.4), didapatkan

(

)

2 2 2 2 1 2 2 2 sin 0 k d d d k m k ξ α β ξ θ ⎡ ₋ ₋ ₊ ₋ ₊ ⎤ ₌ ⎣ ⎦

(

)

2 2 2 2 1 sin 0 k k d d m k ξ α β ξ θ ⎡ − + + − ⎤ = ⎣ ⎦ (3.46) dengan sinmθ = k 0 atau

(

)

2 2 2 2 1 0, k k d d ξ α β ξ ⎡ − + + − ⎤= ⎣ ⎦ _(3.47)

(25)

Teorema 7

Jika αβ =d22, maka nilai eigen

( )

, 1,..., k σ k= n

λ dari matriks tridiagonal

( )

n σ

A pada (3.3) tidak bergantung pada

entri bebas

(

)

σ memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta diperoleh

(

) (

)

(

) (

)

2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 cos , 1,..., 1, 2 cos , ,..., 2 2, 4 , 1, 2 4 , . 2 k k k b d d d d k m b d d d d k m m d b k n d b k n θ θ α β α β α β α β ⎧ + + + = − ⎪ ⎪ − + + = − ⎪ ⎪ ₊ ₊ ₋ ₊ = ⎨ −_⎪ = − ⎪ ⎪ ₊ ₋ ₋ ₊ − = ⎪ ⎩ λ

(3.48) vektor eigen ( )

( )

(

1( )

( )

,..., ( )

( )

)

, t k k k n u σ = u σ u σ 1,.., 2

k= n− adalah sebagai berikut

( )

_{( )}

(

)

(

)

(

)

1 2 2 1 2 2 1 2 1 1

sin sin , jika ganjil,

2 2

1

sin 1 sin , jika genap,

2 2 k k k k j j k k k d n j n j b j d u n j n j d d d b j d d β θ β θ σ ρ σ θ β θ ⎧ ⎛ _{− −} ⎞ ⎛ _{− −} ⎞ − − ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎪ _⎝ _⎠ _⎝ _⎠ ⎪ = ⎨ _⎡ − − ⎤ ⎛ ⎞ ⎪ _⎢ _⎜ ₊ _⎟ ₊ ₋ ₋ _⎥ ⎪ _⎣ _⎝ _⎠ _⎦ ⎩ λ λ (3.49) dengan ρ σ_j

( )

, 1,..,j= n diberikan di

( )

‡ dan

(

)

2 , 1,..., 1, 2 1 , ,..., 2 2. k k k m n k m k m m n π θ _π ⎧ ₌ ₋ ⎪⎪ = ⎨ _{− +} ⎪ ₌ ₋ ⎪⎩

vektor eigen u( )n−1

( )

σ dan u( )n

( )

σ ,

berturut-turut, berhubungan dengan nilai eigen λ n−1

dan λ yang diberikan di persamaan (3.24), n dimana θ dapat dilihat di persamaan (3.4), k (3.5) dan (3.47) .

Jika α= − = ± , persamaan (3.13) β d2

menjadi

(

)

2 2

( )

2 1

(

)

1 2 2 2 2

2

sin 1 _k 0 _k sin _k d sin 1 _k 0

d d m d d m d m d θ ⎡ ξ ⎤ θ θ + + − +_⎣ − _⎦ − − =

(

)

(

)

1 2sin 1 k 1 2sin 1 k 0 d d m+ θ −d d m− θ =

(

)

(

)

(

)

1 2 sin 1 k sin 1 k 0, d d m+ θ − m− θ =

(3.50) Persamaan (3.50) disubstitusi dengan

fungsi trigonometri

(

)

(

)

2 cos sinη ς=sin η ς+ −sin η ς− dengan η=mθk dan ς θ= , maka persamaan k tersebut menjadi

1 22 cos ksin k 0

d d mθ θ =

1 2

2d d cosmθksinθ = (3.51) k 0, sehingga didapatkan Teorema 8 berikut ini.

Teorema 8

Jika α = − = ± , maka nilai eigen β d2

( )

, 1,...,

k σ k= n

λ dari matriks tridiagonal

( )

n σ

A pada (3.3) tidak bergantung pada entri bebas

(

)

σ memperlihatkan bahwa kondisi (3.2) terpenuhi serta diperoleh