PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
MELIZA DITA UTAMI. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dapat ditentukan dengan mencari polinomial karakteristiknya. Polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz ditunjukkan memiliki hubungan yang erat dengan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif Chebyshev. Ketika orde dari matriks tersebut ganjil, nilai eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dengan ketentuan dari akar Chebyshev dan vektor eigennya ditentukan dengan ketentuan polinomial yang memenuhi hubungan rekursif tersebut. Untuk matriks berorde genap, situasinya lebih rumit. Permasalahan dari kasus ini adalah walaupun formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.
Kata kunci: matriks tridiagonal 2-Toeplitz, nilai eigen, polinomial Chebyshev, polinomial karakteristik, vektor eigen
ABSTRACT
MELIZA DITA UTAMI. Calculating the Eigenvalues and Eigenvectors of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix with Chebyshev Polynomial Approach. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
The eigenvalues and eigenvectors of a matrix can be determined by finding its characteristic polynomials. The characteristic polynomials of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix is shown to be closely connected to polynomials which satisfy the Chebyshev recurrence relationship. If the order of the matrix is odd, then the eigenvalues are found explicitly in terms of the Chebyshev zeros and the eigenvectors are found in terms of the polynomials satisfying the recurrence relationship. For even ordered matrices, the situation is more complicated. The problem in these cases is that although the Chebyshev recurrence formula is still applied, its initial values are not generating Chebyshev polynomials.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev
Nama : Meliza Dita Utami
NIM : G54090035
Disetujui oleh
Dra Nur Aliatiningtyas, MS Pembimbing I
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerah-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan Desember 2012 ini adalah matematika murni, yang berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitzdengan Pendekatan Polinomial Chebyshev.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi selaku dosen pembimbing, serta Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, papa, kedua adik dan seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46, kakak dan adik kelas, sahabat SMA dan SMP, teman kos Wisma Gajah serta seluruh pihak yang telah mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
Matriks 2
Determinan dan Sifat-Sifatnya 3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen 4
Polinomial Chebyshev 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 5
Nilai Eigen 5
Vektor Eigen 15
Contoh Aplikasi 24
SIMPULAN DAN SARAN 28
Simpulan 28
Saran 28
DAFTAR PUSTAKA 28
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Istilah ”eigen” di dalam bahasa Jerman mempunyai arti ”asli”. Beberapa penulis menamakan nilai eigen dengan nilai asli, nilai karakteristik (characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.
Dalam aljabar linear, sering kali ditemukan persamaan Ax = λx dengan A merupakan suatu matriks dan jika persamaan tersebut mempunyai solusi taknol x, maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ.
Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran n×n, dengan n merupakan suatu bilangan bulat. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri bernilai nol pada selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama (superdiagonal).
Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dibutuhkan polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz. Polinomial karakteristik yang dimaksud adalah polinomial yang memenuhi suatu sifat dari formula rekursif Chebyshev setelah dilakukan beberapa tranformasi sederhana. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan MJC Gover (1994) yang berjudul The Eigenproblem of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix.
Tujuan
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti matriks, determinan dan sifat-sifatnya, nilai eigen dan vektor eigen, serta polinomial Chebyshev yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.
Matriks
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan contohnya, matriks tridiagonal r-Toeplitz dan contohnya, serta matriks tridiagonal 2-Toeplitz dan contohnya. Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang berukuran , dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks dengan entri-entri tij= 0
Berikut merupakan contoh untuk matriks tridiagonal dengan n = 3. T3 =
.
3 Contoh:
Berikut ini akan dibahas contoh untuk r = 1, 2, dan 3 jika diberikan matriks tridiagonal dengan n = 5.
Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran , dinotasikan sebagai Bn, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari determinan dan sifat-sifatnya. Determinan dari suatu matriks A berorde n×n, dinotasikan sebagai det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan secara induktif sebagai:
det(A) =
4
matriks yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan kolom yang mengandung . Determinan dari M1j disebut minor dari (Leon 2001).
Operasi Baris
I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan.
II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar tersebut.
III. Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan (Leon 2001).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari nilai eigen, vektor eigen, persamaan karakteristik dan polinomial karakteristik dari suatu matriks.
Misalkan A adalah suatu matriks . Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk
(A –λI)x = 0. (5)
Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A –λI singular atau secara ekivalen
det(A –λI) x = 0. (6) Jika determinan pada persamaan (6) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat n dalam peubah λ
p(λ) = det(A –λI).
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari A (Leon 2001).
Polinomial Chebyshev
5 = ,
= , dan =
= = .
Akar dari ialah sebagai berikut: r = 1, maka =
= = 2 = , r = 2, maka =
= = 0, r = 3, maka =
= = 2 = .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Eigen
Misalkan diberikan matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde n×n dalam bentuk sebagai berikut:
Bn =
, (7)
sehingga untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde genap dapat dituliskan seperti di bawah ini
B2m = (8)
6
B2m+1=
. (9)
Salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil tersebut adalah λ = seperti yang dinyatakan dalam Lema 1 berikut ini.
Lema 1
Jika n = 2m + 1, matriks Bn pada (7) mempunyai nilai eigen yaitu λ = . Bukti:
Akan dibuktikan λ = merupakan nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil. Untuk membuktikannya,cukup dibuktikan bahwa | Bn -
I | = | B2m+1 - I | = 0.
| B2m+1 - I |
=
= –
=
Selanjutnya akan dilakukan operasi:
baris(2i + 1) –c baris(2i - 1), untuk i = 1, 2, ..., m secara berurutan pada baris terbaru, dengan
c = . (10)
7 terakhir yaitu baris 2m + 1, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
8 Bukti:
Orde genap
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari Bn adalah . | B2m - I |
=
=
=
= (
= ( | B2m-1 - I |
= ( | B2m-1 - I | | B2m-2 - I |
9 | B2m - I | = ( | B2m-1 - I | | B2m-2 - I | = . Basis Induksi : Untuk m = 1, berlaku | B2 - I | =
= ( –
= –
= –
= .
Hipotesis Induksi :Anggap benar | B2m-1 - I | = dan | B2m-2 - I | = , untuk m 2. Langkah Induksi :
| B2m– I | = ( | B2m-1– I | - | B2m-2– I | = (
=
=
=
= .
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap adalah .
Orde ganjil
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B2m+1 adalah
. | B2m+1 - I |
=
10
= –
=
= (
= ( | B2m - I | -
= ( | B2m - I | - | B2m-1 - I |
Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan | B2m+1 - I | = ( | B2m - I | - | B2m-1 - I | = . Basis Induksi : Untuk m = 0, berlaku | B1 - I | = = . Hipotesis Induksi : Anggap benar | B2m-1 - I |=
untuk m 1.
Langkah Induksi :
| B2m+1 - I | = ( | B2m - I | - | B2m-1 - I |
11
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
berorde ganjil adalah ■
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa dan pada (15) dan (14) memenuhi formula rekursif baru setelah dilakukan transformasi sederhana untuk kedua persamaan tersebut yang akan ditunjukkan oleh Teorema 2 berikut.
Teorema 2
12
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan melakukan beberapa substitusi, persamaan (17) dan (18) dapat direduksi menjadi formula rekursif Chebyshev yang disajikan dalam Lema 2 berikut ini.
Lema 2
Diberikan matriks Bn pada (7). Jika didefinisikan
13 Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (25), (26), dan polinomial awal untuk dan seperti pada (27).
Persamaan dapat diubah dalam bentuk berikut ini
. (28) Akibatnya, persamaan (24) untuk dapat dituliskan menjadi
, (29) dan diperoleh pula persamaan untuk berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (17) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh
=
=
= =
= = = .
Persamaan (24) untuk dapat dituliskan menjadi
, (30) dan diperoleh pula persamaan untuk berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (18) ke persamaan di atas, maka akan diperoleh
=
=
= =
= = = .
14
= = 1, =
=
= =
= , =
= 1, dan =
=
= =
= . ■
Berdasarkan polinomial awal di atas, jelas bahwa merupakan suatu polinomial Chebyshev, sedangkan bukan polinomial Chebyshev karena .
Karena merupakan suatu polinomial Chebyshev, maka akar dari adalah
, r = 1, 2, ..., m. (31) Dengan menyubstitusikan persamaan (31) di atas ke persamaan (28), maka akan diperoleh
, r = 1, 2, ..., m. (32) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (32) dapat ditentukan nilai eigen lainnya untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil yang akan dijelaskan oleh Teorema 3 di bawah ini.
Teorema 3
Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m + 1 pada (9) adalah dan solusi dari persamaan kuadratik berikut
(
,
r = 1, 2, ..., m. (33) Bukti:
15 suatu fungsi dari r. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (28), maka akan diperoleh
, r = 1, 2, ..., m. (34) Selanjutnya dari persamaan (11) dan (34) dapat ditentukan nilai eigen untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yang akan dijelaskan oleh Teorema 4 di bawah ini.
Dari persamaan (11) dan (34) diperoleh hasil berikut ini
Pada Teorema 5 berikut ini akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai eigen yang diperoleh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil.
Teorema 5
16
x1 = .
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen yang merupakan solusi dari persamaan kuadratik pada (33) adalah
Untuk membuktikan Teorema 5 di atas sama halnya dengan membuktikan dan . adalah nol, akan ditentukan dari dua kasus berikut:
17 adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
18
Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (37), maka diperoleh: Dari persamaan (38), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
20
= (42) Dari persamaan (40) diperoleh
= .
Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (42), diperoleh hasil berikut =
Selanjutnya untuk memperoleh vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap akan dibahas pada Teorema 6 berikut ini.
Teorema 6
Vektor eigen dari matriks B2m pada (8) yang bersesuaian dengan nilai eigen nilai eigen yang merupakan solusi dari (35) adalah
21 adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
(i) Baris 1
22
23 Dari persamaan (46), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
24 Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz yaitu nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan karakteristik dan yang diperoleh dengan menggunakan Lema dan Teorema yang telah dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan. Terlebih dahulu akan dicari nilai eigen dari B3 dengan mencari solusi untuk λ dari seperti di bawah ini.
25 dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
= 0 = 0 = 0,
dan diperoleh solusi yaitu .
26
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3, akan ditunjukkan nilai eigen lainnya untuk B3 merupakan solusi dari persamaan
27
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan = 8 adalah
x =
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan = -5 adalah
28
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz sangat erat hubungannya dengan polinomial Chebyshev. Ketika matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil, maka nilai eigen dan vektor eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dari aturan akar polinomial Chebyshev. Untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap, kondisinya lebih kompleks. Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigennya, formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, walaupun nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yaitu dengan menemukan akar dari polinomial , membahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal r-Toeplitz, serta dapat pula membahas invers dari matriks Toeplitz.
DAFTAR PUSTAKA
Gover MJC. 1994. The eigenproblem of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix. Linear Algebra and Its Applications. 198(1):63-78.doi:10.1016/0024-3795(94)90481-2.
Kouachi S. 2006. Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices. ELA. 15(1):115-133.doi:10.4064/am35-1-7.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York (US):
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 20 Mei 1991. Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Asmitrial dan Ibu Netkornita. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 32 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
