PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN

BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER

INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, April 2016

Haryono Hermana NIM G54090060

ABSTRAK

HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan RUHIYAT.

Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari 𝑛 vektor yang setiap entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua) diperoleh dari satu baris sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa sifatnya.

Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant, nilai eigen, vektor eigen.

ABSTRACT

HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT.

Circulant matrix is a matrix formed from 𝑛 vectors whose entries on a certain row (starting from the second row) are obtained from the previous row by shifting one position to the right such that all its diagonal elements are the same. In this work we determined the eigenvalues and eigenvector of circulant, symmetric circulant, and block circulant matrices and discussed their properties. Keywords: circulant matrices, symmetric circulant matrices, block circulant matrices, eigenvalues, eigenvectors.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN

BLOCK CIRCULANT

HARYONO HERMANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR 2016

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan Februari 2015 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky, Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, April 2016

DAFTAR ISI

PENDAHULUAN 0

Latar Belakang 1

Tujuan Karya Ilmiah 1

TINJAUAN PUSTAKA 2

Matriks Circulant 2

Matriks Circulant Simetrik 2

Matriks Block Circulant 2

Nilai Eigen dan Vektor Eigen 3

Konjugat Kompleks 3

PEMBAHASAN 4

Matriks Circulant 4

Matriks Circulant Simetrik 15

Matriks Block Circulant 19

SIMPULAN 32

DAFTAR PUSTAKA 33

LAMPIRAN 34

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-19 ketika terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 2008).

Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang dibentuk dari 𝑛 vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial.

Matriks circulant dari (𝑏₀, 𝑏₁, … , 𝑏_𝑛−1) adalah

𝐵 = ( 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ 𝑏₂ ⋯ 𝑏₁ ⋯ 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑛−3 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 ⋮ ⋮ 𝑏₀ ⋯ ⋮ ⋱ 𝑏_𝑛−4 𝑏_𝑛−3 ⋮ ⋮ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₄ ⋯ 𝑏₃ ⋯ 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ ) .

Menarik untuk dibahas bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen dengan teori yang dijelaskan oleh Tee serta melihat sifat-sifat dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini ialah tulisan Tee (2005) yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and Alternating Circulant Matrices.

Tujuan Karya Ilmiah

Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah

1. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant,

2. membuktikan sifat-sifat matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant.

2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.

Matriks Circulant

Matriks 𝐵 = (𝑏_𝑖,𝑗) berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan matriks circulant jika dan hanya jika 𝑏_𝑖,𝑗= 𝑏_𝑘,𝑙 dengan 𝑗 − 𝑖 ≡ 𝑙 − 𝑘 (mod 𝑛) (Jones 2008).

𝐵 = circ(𝑏₀, 𝑏₁, … , 𝑏_𝑛−1) ≝ ( 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ 𝑏₂ ⋯ 𝑏₁ ⋯ 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑛−3 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 ⋮ ⋮ 𝑏₀ ⋯ ⋮ ⋱ 𝑏_𝑛−4 𝑏_𝑛−3 ⋮ ⋮ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₄ ⋯ 𝑏₃ ⋯ 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ ) . (1)

Contoh matriks circulant dengan 𝑛 = 4 adalah sebagai berikut:

𝐵 = ( 𝑏0 𝑏1 𝑏3 𝑏0 𝑏2 𝑏3 𝑏1 𝑏2 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑏1 𝑏2 𝑏0 𝑏1 𝑏3 𝑏0 ) = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ).

Matriks Circulant Simetrik

Suatu matriks Circulant 𝐵 berukuran 𝑛 × 𝑛 dikatakan simetrik jika dan hanya jika 𝑏_𝑗 = 𝑏_𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Dikatakan dalam Montaldi (2012) bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks circulant simetrik dengan 𝑛 = 4 adalah sebagai berikut:

𝐵 = ( 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ).

Matriks Block Circulant

Dalam Davis (1979), suatu matriks block circulant yang berukuran 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 dinotasikan dengan 𝐵_𝑚,𝑛 = circ(𝐵₀, 𝐵₁, … , 𝐵_𝑚−1) dan 𝐵_𝑘 = (𝑏_𝑖,𝑗(𝑘)) ∈ ℝ𝑛×𝑛 untuk 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚 − 1. Contoh matriks block circulant dengan 𝑚 = 2 dan 𝑛 = 2 adalah sebagai berikut:

3 𝐵2,2= ( 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 ) dengan 𝐵0 = ( 𝑏₁₁(0) 𝑏₁₂(0) 𝑏₂₁(0) 𝑏₂₂(0)) = ( 1 0 0 1) dan 𝐵₁ = (𝑏11 (1) 𝑏₁₂(1) 𝑏₂₁(1) 𝑏₂₂(1)) = ( 1 1 1 1).

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks segi berukuran 𝑛 × 𝑛. Skalar λ disebut nilai eigen atau nilai karakteristik dari 𝐴 jika terdapat suatu vektor taknol 𝐱, sehingga 𝐴𝐱 = λ𝐱. Vektor 𝐱 disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan 𝐴𝐱 = λ𝐱 dapat dituliskan dalam bentuk

(𝐴 − λ𝐼)𝐱 = 𝟎. (2)

Persamaan (2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika 𝐴 − λ𝐼 singular atau secara ekuivalen

det(𝐴 − λ𝐼) = 0. (3) Jika determinan pada persamaan (3) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial berderajat 𝑛 dalam peubah λ

𝑝(λ) = det(𝐴 − λ𝐼).

Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (3) disebut persamaan karakteristik untuk matriks 𝐴. Akar dari polinomial karakteristik adalah nilai eigen dari 𝐴 (Leon 2001).

Konjugat Kompleks

Misalkan 𝑧 = 𝑎 + 𝑏i adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat kompleks (complex conjugate) dari 𝑧 dinotasikan dengan simbol 𝑧 dan didefinisikan sebagai

𝑧 = 𝑎 − 𝑏i

sehingga 𝑧 diperoleh dengan cara mengubah bagian imajiner dari positif menjadi negatif atau sebaliknya. Diketahui jika 𝑧 adalah sembarang bilangan real maka nilai 𝑧 = 𝑧 (Anton 2004).

4

PEMBAHASAN

Matriks Circulant

Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant 𝐵 pada persamaan (1) dan juga akan dibahas sifat-sifatnya. Diberikan

𝜗 ≝2𝜋

𝑛 . (4) Matriks circulant 𝐵 memiliki 𝑛 nilai eigen dan 𝑛 vektor eigen yang berbentuk

𝐰(𝑗) = ( 1 𝜌_𝑗 𝜌_𝑗2 ⋮ 𝜌_𝑗𝑛−1₎ , λ_𝑗 = 𝑏₀ + 𝑏₁𝜌_𝑗 + 𝑏₂𝜌_𝑗2+ 𝑏₃𝜌_𝑗3+ ⋯ + 𝑏_𝑛−1𝜌_𝑗𝑛−1 (5) (𝑗 = 0, 1, 2, … , 𝑛 − 1)

dengan 𝜌_𝑗 = ei2𝜋𝑗/𝑛 _{= e}i𝑗𝜗 _{= cos 𝑗𝜗 + i sin 𝑗𝜗 (Tee 2005). (6)} Contoh 1:

Diberikan matriks circulant berukuran 2 × 2 dengan 𝐵 = (𝑏0 𝑏1

𝑏₁ 𝑏₀) , maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗 =2𝜋

2 = 𝜋,

𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜌₁ = cos𝜋+ i sin𝜋= −1.

Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks 𝐵 sebagai berikut: λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁(1) = 𝑏₀+ 𝑏₁, λ1 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌1 = 𝑏0+ 𝑏1(−1) = 𝑏₀− 𝑏₁, 𝐰(0) = (_𝜌1 0) = ( 1 1), dan 𝐰(1) _{= (}1 𝜌₁) = ( 1 −1).

Jadi nilai eigen pada matriks circulant berukuran 2 × 2 dapat diperoleh dengan penjumlahan 𝑏₀+ 𝑏₁ dan pengurangan 𝑏₀− 𝑏₁. Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai 𝑏₀ dan 𝑏₁.

5 Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐵 secara analitik seperti di bawah ini.

|𝐵 − λ𝐼| = 0 |𝑏0− λ 𝑏1 𝑏₁ 𝑏₀− λ| = 0 (𝑏₀− λ)2_{− 𝑏} 12 = 0 λ2_{− 2𝑏} 0λ + 𝑏02− 𝑏12 = 0.

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 𝑏0− 𝑏1)(λ − 𝑏0+ 𝑏1) = 0

λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁, λ₁ = 𝑏₀− 𝑏₁.

Jika λ0 = 𝑏0+ 𝑏1 disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (𝑏0− 𝑏0− 𝑏1 𝑏1 𝑏₁ 𝑏₀ − 𝑏₀− 𝑏₁) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) (−𝑏1 𝑏1 𝑏₁ −𝑏₁) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) −𝑏₁𝑣₁+ 𝑏₁𝑣₂ = 0 −𝑏₁𝑣₁ = −𝑏₁𝑣₂ 𝑣₁ = 𝑣₂

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℝ sembarang, maka 𝑣₂ = 𝑘, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ0 = 𝑏0+ 𝑏1 adalah 𝐯 = (𝑘_𝑘) = 𝑘 (1₁). Jika λ1 = 𝑏0− 𝑏1 disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (𝑏0− 𝑏0+ 𝑏1 𝑏1 𝑏₁ 𝑏₀ − 𝑏₀+ 𝑏₁) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) (𝑏1 𝑏1 𝑏₁ 𝑏₁) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) 𝑏₁𝑣₁+ 𝑏₁𝑣₂ = 0 𝑏₁𝑣₂ = −𝑏₁𝑣₁ 𝑣₂ = −𝑣₁

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘 dengan 𝑘 ∈ ℝ sembarang, maka 𝑣₂ = −𝑘, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ1 = 𝑏0− 𝑏1 adalah 𝐯 = (_−𝑘𝑘 ) = 𝑘 (₋₁1 ). Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga nilai eigen dan vektor eigen yang dicari dengan teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran 2 × 2.

6

Contoh 2:

Diberikan matriks circulant berukuran 3 × 3 dengan 𝐵 = (

𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑏2 𝑏0 𝑏1 𝑏1 𝑏2 𝑏0

), maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗 =2𝜋 𝑛 = 2π 3 , 𝜌0 = cos 0 + i sin 0 = 1, 𝜌₁ = cos2π 3 + i sin 2π 3 = − 1 2+ 1 2i√3, dan 𝜌2 = cos 4π 3 + i sin 4π 3 = − 1 2− 1 2i√3.

Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks 𝐵 sebagai berikut: λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₀+ 𝑏₂𝜌₀2 = 𝑏0+ 𝑏1(1) + 𝑏2(1)2 = 𝑏0+ 𝑏1+ 𝑏2, λ₁ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₁+ 𝑏₂𝜌₁2 = 𝑏0+ 𝑏1(− 1 2+ 1 2i√3) + 𝑏2(− 1 2+ 1 2i√3) 2 = 𝑏0− 1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i + 𝑏2( 1 4− 1 2i√3 − 3 4) = 𝑏0− 1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏2i, λ₂ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₂+ 𝑏₂𝜌₂2 = 𝑏0+ 𝑏1(− 1 2− 1 2i√3) + 𝑏2(− 1 2− 1 2i√3) 2 = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i + 𝑏2( 1 4+ 1 2i√3 − 3 4) = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏2i, 𝐰(0) _{= (}𝜌1₀ 𝜌₀2) = ( 1 1 1 ), 𝐰(1) = ( 1 𝜌₁ 𝜌₁2) = ( 1 −1 2+ 1 2i√3 −1 2− 1 2i√3) , dan 𝐰(2) _{= (}𝜌1₂ 𝜌₂2) = ( 1 −1 2− 1 2i√3 −1 2+ 1 2i√3) .

7 Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran 3 × 3 dapat diperoleh dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu 𝑏₀+ 𝑏₁+ 𝑏₂. Kemudian nilai eigen yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai 𝑏₀, 𝑏₁, dan 𝑏2.

Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐵 secara analitik seperti di bawah ini.

|𝐵 − λ𝐼| = 0 | 𝑏₀− λ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₂ 𝑏₀− λ 𝑏₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₀− λ | = 0 (𝑏0− λ)3+ 𝑏13 + 𝑏23− 3(𝑏0− λ)𝑏1𝑏2 = 0 λ3− 3𝑏₀λ2 + 3𝑏₀2λ − 𝑏₀3− 𝑏₁3− 𝑏₂3+ 3𝑏₀𝑏₁𝑏₂− 3𝑏₁𝑏₂λ = 0. Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁+ 𝑏₂, λ₁ =1 2(2𝑏0− 𝑏1 − 𝑏2− √3 (√−𝑏1 2_{+ 2𝑏} 1𝑏2− 𝑏22)) = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2𝑏2− 1 2√3 (√(−1)(𝑏1 2_{− 2𝑏} 1𝑏2+ 𝑏22)) = 𝑏₀−1 2𝑏1− 1 2𝑏2− 1 2√3 (√(−1)(𝑏1− 𝑏2)2) = 𝑏₀−1 2𝑏1− 1 2𝑏2− 1 2√3(𝑏1− 𝑏2)i = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏1i + 1 2√3𝑏2i = 𝑏₀−1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏2i, dan λ2 = 1 2(2𝑏0 − 𝑏1− 𝑏2+ √3 (√−𝑏1 2 _{+ 2𝑏} 1𝑏2− 𝑏22)) = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2𝑏2+ 1 2√3 (√(−1)(𝑏1 2_{− 2𝑏} 1𝑏2+ 𝑏22)) = 𝑏₀−1 2𝑏1− 1 2𝑏2+ 1 2√3 (√(−1)(𝑏1− 𝑏2)2) = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2𝑏2+ 1 2√3(𝑏1− 𝑏2)i = 𝑏0− 1 2𝑏1− 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏1i − 1 2√3𝑏2i = 𝑏₀−1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏2i.

8

Jika 𝜆₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁+ 𝑏₂ disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh ( 𝑏0− 𝑏0− 𝑏1− 𝑏2 𝑏1 𝑏2 𝑏₂ 𝑏₀− 𝑏₀− 𝑏₁− 𝑏₂ 𝑏₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₀− 𝑏₀ − 𝑏₁− 𝑏₂ ) ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃) = ( 0 0 0 ) ( −𝑏₁− 𝑏₂ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₂ −𝑏₁− 𝑏₂ 𝑏₁ 𝑏₁ 𝑏₂ −𝑏₁− 𝑏₂ ) ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃) = ( 0 0 0 ) (−𝑏1− 𝑏2)𝑣1+ 𝑏1𝑣2+ 𝑏2𝑣3 = 0 × 𝑏1 𝑏2𝑣1+ (−𝑏1− 𝑏2)𝑣2+ 𝑏1𝑣3 = 0 × 𝑏2 (7) maka diperoleh (−𝑏₁− 𝑏₂)𝑏₁𝑣₁+ 𝑏₁2𝑣₂+ 𝑏₁𝑏₂𝑣₃ = 0 𝑏₂2𝑣₁+ (−𝑏₁− 𝑏₂)𝑏2𝑣2+ 𝑏1𝑏2𝑣3 = 0.

Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil (−𝑏₁2_{− 𝑏}

1𝑏2− 𝑏22)𝑣1+ (𝑏12+ 𝑏1𝑏2+ 𝑏22)𝑣2 = 0 (𝑏12 + 𝑏1𝑏2+ 𝑏22)𝑣2 = (𝑏12+ 𝑏1𝑏2+ 𝑏22)𝑣1 𝑣2 = 𝑣1

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘 maka 𝑣₂ = 𝑘, substitusikan 𝑣₁ = 𝑘 dan 𝑣₂ = 𝑘 ke persamaan (7) maka diperoleh

(−𝑏1− 𝑏2)𝑘 + 𝑏1𝑘 + 𝑏2𝑣3 = 0 −𝑏₁𝑘 − 𝑏₂𝑘 + 𝑏₁𝑘 + 𝑏₂𝑣₃ = 0 𝑏2𝑣3 = 𝑏2𝑘

𝑣₃ = 𝑘 sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁+ 𝑏₂ adalah 𝐯 = ( 𝑘 𝑘 𝑘 ) = 𝑘 ( 1 1 1 ). Jika λ₁ = 𝑏₀−1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏2i disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh ( 𝑏0− λ1 𝑏1 𝑏2 𝑏0− λ1 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏2 𝑏1 𝑏0− λ1 ) ( 𝑣1 𝑣2 𝑣₃ ) = ( 0 0 0 ) ( 𝐿₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₂ 𝐿₁ 𝑏₁ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝐿₁ ) ( 𝑣₁ 𝑣₂ 𝑣₃) = ( 0 0 0 ) dengan 𝐿₁ = 𝑏₀− λ₁ = 𝑏0− 𝑏0+ 1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i + 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏2i =1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i + 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏2i.

9 Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ₁ adalah

𝐯 = (1,1 2(−1 + √3(𝑏1− 𝑏2) √−(𝑏1− 𝑏2)2 ) ,1 2(−1 + √3√−(𝑏1− 𝑏2)2 𝑏₁− 𝑏₂ )) 𝑇 = (1, −1 2+ 1 2 √3(𝑏1− 𝑏2) (𝑏1 − 𝑏2)i , −1 2+ 1 2 √3(𝑏1− 𝑏2)i 𝑏₁− 𝑏₂ ) 𝑇 = (1, −1 2+ 1 2 √3 i , − 1 2+ 1 2i√3) 𝑇 = (1, −1 2− 1 2i√3, − 1 2+ 1 2i√3) 𝑇 . Jika λ₂ = 𝑏₀−1 2𝑏1+ 1 2√3𝑏1i − 1 2𝑏2− 1 2√3𝑏2i disubstitusikan ke persamaan (𝐵 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh ( 𝑏0− λ2 𝑏1 𝑏2 𝑏0− λ2 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏2 𝑏1 𝑏0− λ2 ) ( 𝑣1 𝑣2 𝑣₃ ) = ( 0 0 0 ) ( 𝐿2 𝑏1 𝑏2 𝑏2 𝐿2 𝑏1 𝑏1 𝑏2 𝐿2 ) ( 𝑣1 𝑣2 𝑣₃ ) = ( 0 0 0 ) dengan 𝐿₂ = 𝑏₀− λ₂ = 𝑏0− 𝑏0+ 1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i + 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏2i = 1 2𝑏1− 1 2√3𝑏1i + 1 2𝑏2+ 1 2√3𝑏2i.

Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2 adalah

𝐯 = (1,1 2(−1 + √3√−(𝑏1− 𝑏2)2 𝑏₁− 𝑏₂ ) , 1 2(−1 + √3(𝑏1− 𝑏2) √−(𝑏₁− 𝑏₂)2)) 𝑇 = (1, −1 2+ 1 2 √3(𝑏1− 𝑏2)i 𝑏₁− 𝑏₂ , − 1 2+ 1 2 √3(𝑏1− 𝑏2) (𝑏₁− 𝑏₂)i ) 𝑇 = (1, −1 2+ 1 2i√3, − 1 2+ 1 2 √3 i ) 𝑇 = (1, −1 2+ 1 2i√3, − 1 2− 1 2i√3) 𝑇 .

Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga teori tersebut berlaku untuk matriks circulant berukuran 3 × 3.

10

Dalam Davis (1979) dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real memiliki nilai eigen

λ_𝑗 = λ_𝑛−𝑗 , ( 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1). (8) Kemudian untuk nilai eigen λ₀ dan λ_ℎ dengan 𝑛 = 2ℎ genap selalu bernilai real.

Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini.

Teorema 1: Diberikan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. 𝐴 matriks circulant jika dan hanya jika

𝐴𝜋 = 𝜋𝐴 (9)

dengan 𝜋 adalah matriks circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 dalam bentuk sebagai berikut

𝜋 = ( 0 1 0 0 0 ⋯ 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 1 0 0 ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0 ⋮ 1 0 0) . Bukti:



Diketahui 𝐴 adalah circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan

𝐴 = ( 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎𝑛 𝑎1 … 𝑎_{𝑛−1 𝑎𝑛} … 𝑎_{𝑛−2 𝑎𝑛−1} ⋮ 𝑎₃ ⋮ 𝑎₄ 𝑎₂ 𝑎₃ ⋱ … ⋮ 𝑎₁ ⋮ 𝑎₂ … 𝑎_{𝑛 𝑎1 )} , maka 𝐴𝜋 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎_𝑛 𝑎₁ … 𝑎_{𝑛−1 𝑎𝑛} … 𝑎_{𝑛−2 𝑎𝑛−1} ⋮ 𝑎3 ⋮ 𝑎4 𝑎2 𝑎3 ⋱ … ⋮ 𝑎₁ ⋮ 𝑎₂ … 𝑎_{𝑛 𝑎1 )(} 0 1 0 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 ⋱ ⋯ ⋮ 1 0 _{⋯ 0)} = ( 𝑎_𝑛 𝑎₁ 𝑎_𝑛−1 𝑎_𝑛 ⋯ 𝑎_𝑛−2 𝑎_𝑛−1 ⋯ 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−2 ⋮ 𝑎₂ ⋮ 𝑎₃ 𝑎₁ 𝑎₂ ⋱ ⋯ ⋮ 𝑎_𝑛 ⋮ 𝑎₁ ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ) dan 𝜋𝐴 = ( 0 1 0 0 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 ⋮ 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 ⋱ ⋯ ⋮ 1 0 _{⋯ 0)(} 𝑎₁ 𝑎₂ 𝑎_𝑛 𝑎₁ … 𝑎𝑛−1 𝑎_𝑛 … 𝑎𝑛−2 𝑎_𝑛−1 ⋮ 𝑎₃ ⋮ 𝑎₄ 𝑎₂ 𝑎₃ ⋱ … ⋮ 𝑎1 ⋮ 𝑎2 … 𝑎𝑛 𝑎_{1 )}

11 = ( 𝑎_𝑛 𝑎₁ 𝑎_𝑛−1 𝑎_𝑛 ⋯ 𝑎_𝑛−2 𝑎_𝑛−1 ⋯ 𝑎𝑛−3 𝑎𝑛−2 ⋮ 𝑎₂ ⋮ 𝑎₃ 𝑎₁ 𝑎₂ ⋱ ⋯ ⋮ 𝑎_𝑛 ⋮ 𝑎₁ ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 ) sehingga 𝐴𝜋 = 𝜋𝐴.

Misalkan 𝐴 adalah matriks berordo 𝑛 dengan 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, sebagai berikut:

𝐴 = ( 𝑎₍₁₎₍₁₎ 𝑎₍₁₎₍₂₎ 𝑎₍₂₎₍₁₎ 𝑎₍₂₎₍₂₎ … 𝑎_{(1)(𝑛−1)} … 𝑎_{(2)(𝑛−1)} 𝑎_(1)(𝑛) 𝑎_(2)(𝑛) ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(1)} ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(2)} 𝑎_(𝑛)(1) 𝑎_(𝑛)(2) ⋱ … ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛−1)} … 𝑎_{(𝑛)(𝑛−1)} ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛)} 𝑎_{(𝑛)(𝑛) )} , maka 𝐴𝜋 = ( 𝑎₍₁₎₍₁₎ 𝑎₍₁₎₍₂₎ 𝑎₍₂₎₍₁₎ 𝑎₍₂₎₍₂₎ … 𝑎_{(1)(𝑛−1)} … 𝑎_{(2)(𝑛−1)} 𝑎_(1)(𝑛) 𝑎_(2)(𝑛) ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(1)} ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(2)} 𝑎(𝑛)(1) 𝑎(𝑛)(2) ⋱ … ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛−1)} … 𝑎(𝑛)(𝑛−1) ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛)} 𝑎(𝑛)(𝑛) ₎₍ 0 1 0 0 0 ⋯ 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 1 0 0 ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0 ⋮ 1 0 0) = ( 𝑎(1)(𝑛) 𝑎(1)(1) 𝑎_(2)(𝑛) 𝑎₍₂₎₍₁₎ … 𝑎(1)(𝑛−2) … 𝑎_{(2)(𝑛−2)} 𝑎(1)(𝑛−1) 𝑎_{(2)(𝑛−1)} ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(1) 𝑎(𝑛)(𝑛) 𝑎(𝑛)(1) ⋱ … ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−2) … 𝑎(𝑛)(𝑛−2) ⋮ 𝑎(𝑛−1)(𝑛−1) 𝑎(𝑛)(𝑛−1) ₎ dan 𝜋𝐴 = ( 0 1 0 0 0 ⋯ 1 ⋯ 0 0 0 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 1 0 0 ⋮ 0 ⋯ ⋱ ⋯ 0 ⋯ 0 ⋮ 0 0 ⋮ 1 0 0)( 𝑎₍₁₎₍₁₎ 𝑎₍₁₎₍₂₎ 𝑎(2)(1) 𝑎(2)(2) … 𝑎_{(1)(𝑛−1)} … 𝑎(2)(𝑛−1) 𝑎_(1)(𝑛) 𝑎(2)(𝑛) ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(1)} ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(2)} 𝑎_(𝑛)(1) 𝑎_(𝑛)(2) ⋱ … ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛−1)} … 𝑎_{(𝑛)(𝑛−1)} ⋮ 𝑎_{(𝑛−1)(𝑛)} 𝑎_{(𝑛)(𝑛) )} = ( 𝑎₍₂₎₍₁₎ 𝑎₍₂₎₍₂₎ 𝑎(3)(1) 𝑎(3)(2) … 𝑎_{(2)(𝑛−1)} … 𝑎(3)(𝑛−1) 𝑎_(2)(𝑛) 𝑎(3)(𝑛) ⋮ 𝑎_(𝑛)(1) ⋮ 𝑎_(𝑛)(2) 𝑎₍₁₎₍₁₎ 𝑎₍₁₎₍₂₎ ⋱ … ⋮ 𝑎_{(𝑛)(𝑛−1)} … 𝑎_{(1)(𝑛−1)} ⋮ 𝑎_(𝑛)(𝑛) 𝑎_(1)(𝑛)) .

Jika 𝐴𝜋 = 𝜋𝐴, maka diperoleh

𝑎(1)(1) = 𝑎(2)(2) = 𝑎(3)(3) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(𝑛), 𝑎₍₁₎₍₂₎ = 𝑎₍₂₎₍₃₎ = 𝑎₍₃₎₍₄₎ = ⋯ = 𝑎_(𝑛)(1),

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

𝑎(1)(𝑛−1) = 𝑎(2)(𝑛) = 𝑎(3)(1) = ⋯ = 𝑎(𝑛)(𝑛−2), dan

12

Misalkan

𝑎_(1)(𝑗)= {𝑏0, jika 𝑗 = 1, 𝑏𝑗−1, selainnya dengan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛.

Berdasarkan persamaan (10) diperoleh

𝐴 = ( 𝑏₀ 𝑏₁ 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ 𝑏₂ ⋯ 𝑏₁ ⋯ 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑛−3 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 ⋮ ⋮ 𝑏₀ ⋯ ⋮ ⋱ 𝑏_𝑛−4 𝑏_𝑛−3 ⋮ ⋮ 𝑏2 𝑏3 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏4 ⋯ 𝑏₃ ⋯ 𝑏0 𝑏1 𝑏_𝑛−1 𝑏₀ ) yang merupakan matriks circulant.

Teorema 2: Jika 𝐴 dan 𝐵 circulant, maka 𝐴𝐵 juga circulant.

Bukti:

Diketahui 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks-matriks circulant berukuran 𝑛 × 𝑛 sebagai berikut: 𝐴 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑎1 … 𝑎_{𝑛−1 𝑎𝑛} … 𝑎_{𝑛−2 𝑎𝑛−1} ⋮ 𝑎3 ⋮ 𝑎4 𝑎2 𝑎3 ⋱ … ⋮ 𝑎₁ ⋮ 𝑎₂ … 𝑎_{𝑛 𝑎1 )} dan 𝐵 = ( 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏_𝑛 𝑏₁ … 𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑛 … 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 ⋮ 𝑏₃ ⋮ 𝑏₄ 𝑏₂ 𝑏₃ ⋱ … ⋮ 𝑏₁ ⋮ 𝑏₂ … 𝑏_𝑛 𝑏1 ) , maka 𝐴𝐵 = ( 𝑎1 𝑎2 𝑎𝑛 𝑎1 … 𝑎_{𝑛−1 𝑎𝑛} … 𝑎_{𝑛−2 𝑎𝑛−1} ⋮ 𝑎₃ ⋮ 𝑎₄ 𝑎₂ 𝑎₃ ⋱ … ⋮ 𝑎₁ ⋮ 𝑎₂ … 𝑎_{𝑛 𝑎1 )(} 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏_𝑛 𝑏₁ … 𝑏_𝑛−1 𝑏_𝑛 … 𝑏_𝑛−2 𝑏_𝑛−1 ⋮ 𝑏₃ ⋮ 𝑏₄ 𝑏₂ 𝑏₃ ⋱ … ⋮ 𝑏₁ ⋮ 𝑏₂ … 𝑏_𝑛 𝑏1 ) = ( 𝑎1𝑏1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑏2 𝑎1𝑏2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑏3 𝑎𝑛𝑏1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑏2 𝑎𝑛𝑏2+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑏3 ⋯ 𝑎1𝑏𝑛+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑏1 ⋯ 𝑎𝑛𝑏𝑛+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑏1 ⋮ ⋮ 𝑎2𝑏1+ ⋯ + 𝑎1𝑏2 𝑎2𝑏2+ ⋯ + 𝑎1𝑏3 ⋱ ⋮ ⋯ 𝑎2𝑏𝑛+ ⋯ + 𝑎1𝑏1 ). Misalkan 𝑎1𝑏1+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑏2 = 𝑐1, 𝑎1𝑏2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑏3 = 𝑐2, ⋮ ⋮ 𝑎₁𝑏_𝑛+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑏₁ = 𝑐_𝑛, maka diperoleh hasil sebagai berikut:

𝐴𝐵 = ( 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐_𝑛 𝑐₁ ⋯ 𝑐_𝑛 ⋯ 𝑐_𝑛−1 ⋮ ⋮ 𝑐₂ 𝑐₃ ⋱ ⋮ ⋯ 𝑐1 )

13

Contoh Aplikasi

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan pada Teorema 1 dan 2.

Diberikan matriks circulant berukuran 4 × 4 dengan

𝐵 = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ),

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗 = 2𝜋 𝑛 = 2𝜋 4 = 𝜋 2, 𝜌₀ = cos 0 + i sin 0 = 1, 𝜌1 = cos 𝜋 2+ i sin 𝜋 2 = i, 𝜌2 = cos 2𝜋 2 + i sin 2𝜋 2 = −1, dan 𝜌3 = cos 3𝜋 2 + i sin 3𝜋 2 = −i.

Nilai eigen dari matriks 𝐵 yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah λ_𝑗 = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌_𝑗+ 𝑏₂𝜌_𝑗2+ 𝑏₃𝜌_𝑗3, sehingga diperoleh λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₀+ 𝑏₂𝜌₀2_{+ 𝑏} 3𝜌03 = 4 + 1(1) + 2(1) + 3(1) = 10, λ₁ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₁+ 𝑏₂𝜌₁2_{+ 𝑏} 3𝜌13 = 4 + 1(i) + 2(−1) + 3(−i) = 2 − 2i, λ₂ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₂+ 𝑏₂𝜌₂2+ 𝑏₃𝜌₂3 = 4 + 1(−1) + 2(1) + 3(−1) = 2, dan λ3 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌3+ 𝑏2𝜌32+ 𝑏3𝜌33 = 4 + 1(−i) + 2(−1) + 3(i) = 2 + 2i.

Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, dan 3 dengan 𝑛 = 4 seperti berikut ini:

λ₁ = 2 − 2i,

λ4−1 = λ3 = 2 − 2i, sehingga λ₁ = λ₃.

14 λ₂ = 2, λ₄₋₂ = λ₂= 2, sehingga λ2 = λ2. λ3 = 2 + 2i, λ₄₋₃ = λ₁ = 2 + 2i, sehingga λ3 = λ1.

Vektor eigen dari matriks 𝐵 yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah

𝐰(0) = ( 1 𝜌₀ 𝜌₀2 𝜌₀3) = ( 1 1 1 1 ), 𝐰(1) = ( 1 𝜌₁ 𝜌₁2 𝜌₁3) = ( 1 i −1 −i ), 𝐰(2) = ( 1 𝜌₂ 𝜌₂2 𝜌₂3) = ( 1 −1 1 −1 ), 𝐰(3) = ( 1 𝜌₃ 𝜌₃2 𝜌₃3) = ( 1 −i −1 i ).

Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰(𝑗) = λ_𝑗𝐰(𝑗) seperti berikut ini:

𝐵𝐰(0) = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) ( 1 1 1 1 ) λ₀𝐰(0) _{= 10 (} 1 1 1 1 ) = ( 10 10 10 10 ), = ( 10 10 10 10 ), sehingga 𝐵𝐰(0) _{= λ} 0𝐰(0). 𝐵𝐰(1) = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) ( 1 i −1 −i ) λ₁𝐰(1)= 2 − 2i ( 1 i −1 −i ) = ( 2 − 2i 2 + 2i −2 + 2i −2 − 2i ), = ( 2 − 2i 2 + 2i −2 + 2i −2 − 2i ), sehingga 𝐵𝐰(1) _{= λ} 1𝐰(1). 𝐵𝐰(2) = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) ( 1 −1 1 −1 ) λ2𝐰(2) = 2 ( 1 −1 1 −1 )

15 = ( 2 −2 2 −2 ), = ( 2 −2 2 −2 ), sehingga 𝐵𝐰(2) _{= λ} 2𝐰(2). 𝐵𝐰(3)= ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) ( 1 −i −1 i ) λ3𝐰(3) = 2 + 2i ( 1 −i −1 i ) = ( 2 + 2i 2 − 2i −2 − 2i −2 + 2i ) , = ( 2 + 2i 2 − 2i −2 − 2i −2 + 2i ), sehingga 𝐵𝐰(3) = λ₃𝐰(3).

Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa nilai eigen untuk λ₀ = 10 dan λ₂ = 2 di mana 𝑛 = 4 = 2ℎ → ℎ = 2 adalah bilangan real, sedangkan λ₁ = λ̅₄₋₁ = λ̅₃ = 2 − 2i.

Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema 1, berlaku 𝐵𝜋 = 𝜋𝐵 sebagai berikut:

𝐵𝜋 = ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ) = ( 3 4 2 3 1 2 4 1 1 2 4 1 3 4 2 3 ), 𝜋𝐵 = ( 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ) ( 4 1 3 4 2 3 1 2 2 3 1 2 4 1 3 4 ) = ( 3 4 2 3 1 2 4 1 1 2 4 1 3 4 2 3 ),

maka diperoleh hasil 𝐵𝜋 = 𝜋𝐵.

Untuk Teorema 2 jika diberikan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks-matriks circulant dengan

𝐴 = ( 1 3 2 1 5 2 3 5 5 2 3 5 1 3 2 1 ) dan 𝐵 = ( 3 4 2 3 1 2 4 1 1 2 4 1 3 4 2 3 ), maka diperoleh 𝐴𝐵 = ( 1 3 2 1 5 2 3 5 5 2 3 5 1 3 2 1 ) ( 3 4 2 3 1 2 4 1 1 2 4 1 3 4 2 3 ) = ( 22 25 31 22 32 31 25 32 32 31 25 32 22 25 31 22 )

sehingga 𝐴𝐵 juga merupakan matriks circulant.

Matriks Circulant Simetrik

Matriks Circulant 𝐵 dikatakan simetrik jika dan hanya jika 𝑏_𝑗 = 𝑏_𝑛−𝑗 untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1. Jika 𝐵 adalah matriks real simetrik maka nilai eigennya juga real, sehingga sifat (8) menjadi

16

λ𝑗 = λ𝑛−𝑗 , ( 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1).

Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor eigen beserta aplikasi sifatnya.

Teorema 3: Jika matriks 𝐵 adalah circulant simetrik sehingga 𝑏𝑗 = 𝑏𝑛−𝑗 maka untuk setiap 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1, berlaku

𝜌_𝑛−𝑗 = 𝜌_𝑗 (11)

dan

λ_𝑛−𝑗 = λ_𝑗. (12)

Bukti:

Akan dibuktikan persamaan (11).

Berdasarkan persamaan (6) yaitu 𝜌𝑗 = e𝑖𝑗𝜗 = cos 𝑗𝜗 + i sin 𝑗𝜗, maka diperoleh 𝜌𝑛−𝑗 = e𝑖𝜗(𝑛−𝑗) = cos(𝑛 − 𝑗)𝜗 + i sin(𝑛 − 𝑗)𝜗 = cos(𝑛𝜗 − 𝑗𝜗) + i sin(𝑛𝜗 − 𝑗𝜗) = cos(𝑛2𝜋 𝑛 − 𝑗𝜗) + i sin(𝑛 2𝜋 𝑛 − 𝑗𝜗) = cos(2𝜋 − 𝑗𝜗) + i sin(2𝜋 − 𝑗𝜗) = cos(2𝜋). cos(𝑗𝜗) + sin(2π) . sin(𝑗𝜗)

+i (sin(2𝜋). cos(𝑗𝜗) − cos(2π) . sin (𝑗𝜗)) = cos(𝑗𝜗) − i sin(𝑗𝜗)

= 𝜌_𝑗

Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵.

Untuk 𝑗 = 0,1, 2, … , 𝑛 − 1 dari persamaan (5) diketahui nilai eigen

λ𝑗 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌𝑗 + 𝑏2𝜌𝑗2+ 𝑏3𝜌𝑗3+ ⋯ + 𝑏𝑛−2𝜌𝑗𝑛−2+ 𝑏𝑛−1𝜌𝑗𝑛−1. (13) Berdasarkan persamaan (11) maka persamaan (13) dapat dituliskan menjadi λ𝑗 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌𝑗+ 𝑏2𝜌𝑗2 + 𝑏3𝜌𝑗3+ ⋯ + 𝑏𝑛−2(𝜌𝑗) 2 + 𝑏𝑛−1𝜌𝑗 = 𝑏0+ 𝑏1[𝜌𝑗+ 𝜌𝑗] + 𝑏2[𝜌𝑗2+ (𝜌𝑗) 2 ] + ⋯ +𝑏_ℎ−1[𝜌_𝑗ℎ−1+ (𝜌_𝑗)ℎ−1] + { 0 , jika 𝑛 = 2ℎ − 1, 𝑏_ℎ𝜌_𝑗ℎ, jika 𝑛 = 2ℎ. (14) Selanjutnya persamaan (12) diperoleh sebagai berikut:

Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (14) menjadi λ𝑗 = 𝑏0+ 2 ∑ 𝑏𝑓cos 𝑗𝑓𝜗 + { 0 , jika 𝑛 =2ℎ − 1, 𝑏_ℎ(−1)𝑗_{, jika 𝑛 = 2ℎ.} ℎ−1 𝑓=1

17 Dengan mengganti 𝑗 dengan 𝑛 − 𝑗, maka diperoleh

λ_𝑛−𝑗 = 𝑏₀+ 2 ∑ 𝑏_𝑓cos(𝑛 − 𝑗)𝑓𝜗 + { 0, jika 𝑛 =2ℎ − 1, 𝑏_ℎ(−1)2ℎ−𝑗_{, jika 𝑛 = 2ℎ.} ℎ−1 𝑓=1 = 𝑏₀+ 2 ∑ 𝑏_𝑓cos 𝑗𝑓𝜗 + {0, jika 𝑛 =2ℎ − 1, 𝑏ℎ(−1)𝑗, jika 𝑛 = 2ℎ. ℎ−1 𝑓=1 = λ_𝑗. Contoh Aplikasi

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan pada Teorema 3.

Diberikan matriks circulant simetrik berukuran 4 × 4 seperti di bawah ini:

𝐵 = ( 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ),

maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗 = 2𝜋 𝑛 = 2𝜋 4 = 𝜋 2,

𝜌₀ = cos 0 + i sin 0 = 1 𝜌̅̅̅ = cos 0 − i sin 0 = 1, ₀ 𝜌₁ = cos𝜋 2+ i sin 𝜋 2 = i 𝜌̅̅̅ = cos1 𝜋 2− i sin 𝜋 2 = −i, 𝜌₂ = cos2𝜋 2 + i sin 2𝜋 2 = −1 𝜌̅̅̅ = cos2 2𝜋 2 − i sin 2𝜋 2 = −1, dan 𝜌₃ = cos3𝜋 2 + i sin 3𝜋 2 = −i 𝜌̅̅̅ = cos3 3𝜋 2 − i sin 3𝜋 2 = i.

Karena 𝑛 = 2ℎ = 4 → ℎ = 2, maka nilai eigen dari matriks 𝐵 berdasarkan persamaan (14) adalah λ_𝑗 = 𝑏₀+ 𝑏₁[𝜌_𝑗+ 𝜌_𝑗] + 𝑏₂𝜌_𝑗2, sehingga diperoleh λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁[𝜌0+ 𝜌̅̅̅] + 𝑏0 2𝜌02 = 3 + 1[1 − 1] + 2(1) = 3 + 0 + 2 = 5, λ₁ = 𝑏₀+ 𝑏₁[𝜌1+ 𝜌̅̅̅] + 𝑏1 2𝜌12 = 3 + 1[i − i] + 2(−1) = 3 + 0 − 2 = 1, λ₂ = 𝑏₀+ 𝑏₁[𝜌₂+ 𝜌̅̅̅] + 𝑏_{2 2}𝜌₂2 = 3 + 1[−1 − 1] + 2(1) = 3 − 2 + 2 = 3, dan

18

λ₃ = 𝑏₀+ 𝑏₁[𝜌₃+ 𝜌̅̅̅] + 𝑏_{3 2}𝜌₃2 = 3 + 1[−i + i] + 2(−1) = 3 + 0 − 2

= 1.

Vektor eigennya diperoleh

𝐰(0) = ( 1 𝜌0 𝜌₀2 𝜌₀3) = ( 1 1 1 1 ), 𝐰(1) = ( 1 𝜌₁ 𝜌₁2 𝜌₁3) = ( 1 i −1 −i ), 𝐰(2) = ( 1 𝜌2 𝜌₂2 𝜌₂3₎ = ( 1 −1 1 −1 ), 𝐰(3) = ( 1 𝜌₃ 𝜌₃2 𝜌₃3₎ = ( 1 −i −1 i ).

Selanjutnya dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰(𝑗) = λ_𝑗𝐰(𝑗) berikut ini:

𝐵𝐰(0) _{= (} 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ) ( 1 1 1 1 ) λ₀𝐰(0) = 7 ( 1 1 1 1 ) = ( 7 7 7 7 ), = ( 7 7 7 7 ), sehingga 𝐵𝐰(0) = λ₀𝐰(0). 𝐵𝐰(1) _{= (} 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ) ( 1 i −1 −i ) λ₁𝐰(1)= 1 ( 1 i −1 −i ) = ( 1 i −1 −i ), = ( 1 i −1 −i ), sehingga 𝐵𝐰(1) _{= λ} 1𝐰(1). 𝐵𝐰(2) = ( 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ) ( 1 −1 1 −1 ) λ2𝐰(2) = 3 ( 1 −1 1 −1 ) = ( 3 −3 3 −3 ), = ( 3 −3 3 −3 ), sehingga 𝐵𝐰(2) = λ2𝐰(2).

19 𝐵𝐰(3)= ( 3 1 1 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 1 3 ) ( 1 −i −1 i ) λ3𝐰(3) = 1 ( 1 −i −1 i ) = ( 1 −i −1 i ), = ( 1 −i −1 i ), sehingga 𝐵𝐰(3) _{= λ} 3𝐰(3).

Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku 𝐵𝐰(𝑗) _{= λ}

𝑗𝐰(𝑗). Pada Teorema 3 berlaku untuk 𝑛 = 4, 𝜌4−1 = 𝜌3 = 𝜌̅̅̅ = −i, 1 𝜌4−2_{= 𝜌}2 _{= 𝜌}̅̅̅ = −1, 𝜌2 4−3 _{= 𝜌}1 _{= 𝜌}̅̅̅ = i dan nilai eigen λ3

1 = λ4−1 = λ3 = 1. Matriks Block Circulant

Diberikan 𝐵0, 𝐵1, … , 𝐵𝑚−1 matriks-matriks persegi berorder 𝑛 ≥ 2. Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block circulant 𝐵𝑚,𝑛 berukuran 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 yang dinotasikan sebagai berikut:

𝐵𝑚,𝑛 = circ(𝐵0, 𝐵1, … , 𝐵𝑚−1) = ( 𝐵0 𝐵1 𝐵_𝑚−1 𝐵₀ ⋯ 𝐵_𝑚−1 ⋯ 𝐵₁ ⋮ ⋮ 𝐵1 𝐵𝑚−1 ⋱ ⋮ ⋯ 𝐵0 ). (15)

Didefinisikan ℭ𝐵_𝑚,𝑛 adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan matriks 𝐵_𝑚,𝑛 memiliki vektor eigen yang berbentuk

𝐰(𝑗) ₌ ( 𝐯(𝑗) 𝜌𝐯(𝑗) 𝜌2𝐯(𝑗) ⋮ 𝜌𝑚−1𝐯(𝑗)) , (𝑗 = 0,1, 2, … , 𝑚𝑛) (16)

dengan 𝐯(𝑗) pada (16) adalah k-vektor bukan nol dan 𝜌 pada (6). Vektor 𝐰 adalah vektor eigen dari 𝐵_𝑚,𝑛 dengan nilai eigen λ, jika dan hanya jika 𝐵𝐰 = 𝐰λ (Tee 2005).

Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut: 𝐻𝐯 = λ𝐯

dengan 𝐻 adalah matriks persegi berorder 𝑛 dengan bentuk

𝐻 = 𝐵0+ 𝐵1𝜌 + 𝐵2𝜌2 + ⋯ + 𝐵𝑚−1𝜌𝑚−1. (17) Setiap vektor eigen 𝐯 dari 𝐻 yang bersesuaian dengan 𝜌 dapat memberikan vektor eigen 𝐰 dari matriks block circulant 𝐵 pada persamaan (15) dengan nilai eigen λ sehingga nilai eigen dari matriks 𝐻 adalah nilai eigen pada matriks block circulant 𝐵.

20

Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini.

Teorema 4: Diketahui matriks 𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛 ∈ ℭ𝐵𝑚,𝑛 beroder 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 yang dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:

𝜋𝑚 ⨂ 𝐼𝑛 = ( O_𝑛 𝐼_𝑛 O_𝑛 O_𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋱ ⋮ ⋮ O_𝑛 O_𝑛 𝐼_𝑛 O_𝑛 ⋯ O_𝑛 𝐼_𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛) .

𝐴 ∈ ℭ𝐵_𝑚,𝑛 jika dan hanya jika 𝐴 komutatif dengan 𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛 sehingga memenuhi 𝐴(𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛) = (𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛)𝐴 (18) Bukti:



Akan dibuktikan bahwa 𝐴(𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = (𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛)𝐴 jika diketahui 𝐴 ∈ ℭ𝐵_𝑚,𝑛. 𝐴(𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = ( A1 A2 A_𝑚 A₁ ⋯ A_𝑚−1 A_𝑚 ⋯ A_𝑚−2 A_𝑚−1 ⋮ A₃ ⋮ A₄ A₂ A₃ ⋱ ⋯ ⋮ A₁ ⋮ A₂ ⋯ A𝑚 A1 )( O_𝑛 𝐼_𝑛 O𝑛 O𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋱ ⋮ ⋮ O𝑛 O𝑛 𝐼𝑛 O𝑛 ⋯ O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛) = ( A_𝑚 A₁ A_𝑚−1 A_𝑚 ⋯ A_𝑚−2 A_𝑚−1 ⋯ A_𝑚−3 A_𝑚−2 ⋮ A₂ ⋮ A₃ A₁ A₂ ⋱ ⋯ ⋮ A_𝑚 ⋮ A₁ ⋯ A_𝑚−1 A_{𝑚 )} , (𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛)𝐴 = ( O_𝑛 𝐼_𝑛 O𝑛 O𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋱ ⋮ ⋮ O𝑛 O𝑛 𝐼_𝑛 O_𝑛 ⋯ O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛)( A1 A2 A_𝑚 A₁ ⋯ A_𝑚−1 A_𝑚 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 ⋮ A₃ ⋮ A₄ A₂ A₃ ⋱ ⋯ ⋮ A₁ ⋮ A₂ ⋯ A𝑚 A1 ) = ( A_𝑚 A₁ A_𝑚−1 A_𝑚 ⋯ A_𝑚−2 A_𝑚−1 ⋯ A_𝑚−3 A_𝑚−2 ⋮ A₂ ⋮ A₃ A₁ A₂ ⋱ ⋯ ⋮ A_𝑚 ⋮ A₁ ⋯ A_𝑚−1 A_{𝑚 )} . Terbukti bahwa 𝐴(𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛) = (𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛)𝐴.

Akan dibuktikan 𝐴 ∈ ℭ𝐵_𝑚,𝑛 jika diketahui 𝐴 memenuhi persamaan 𝐴(π_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = (π_𝑚⨂ 𝐼_𝑛)𝐴. Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑚𝑛 × 𝑚𝑛 sebagai berikut:

21 𝐴 = ( A₍₁₎₍₁₎ A₍₁₎₍₂₎ A(2)(1) A(2)(2) ⋯ A_(1)(𝑚) ⋯ A(2)(𝑚) ⋮ A(𝑚−1)(1) ⋮ A(𝑚−1)(2) A(𝑚)(1) A(𝑚)(2) ⋱ ⋯ ⋮ A(𝑚−1)(𝑚) ⋯ A(𝑚)(𝑚)) ,

dengan A_(𝑖)(𝑗) matriks segi berordo 𝑛, untuk setiap 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚, maka diperoleh 𝐴(π_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = ( A₍₁₎₍₁₎ A₍₁₎₍₂₎ A₍₂₎₍₁₎ A₍₂₎₍₂₎ ⋯ A_(1)(𝑚) ⋯ A_(2)(𝑚) ⋮ A_{(𝑚−1)(1)} ⋮ A_{(𝑚−1)(2)} A_(𝑚)(1) A_(𝑚)(2) ⋱ ⋯ ⋮ A_{(𝑚−1)(𝑚)} ⋯ A_(𝑚)(𝑚))( O𝑛 𝐼𝑛 O_𝑛 O_𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋱ ⋮ ⋮ O_𝑛 O_𝑛 𝐼_𝑛 O_𝑛 ⋯ O_𝑛 𝐼_𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛) = ( A_(1)(𝑚) A₍₁₎₍₁₎ A_(2)(𝑚) A₍₂₎₍₁₎ ⋯ A_{(1)(𝑚−1)} ⋯ A_{(2)(𝑚−1)} ⋮ A_{(𝑚−1)(𝑚)} ⋮ A_{(𝑚−1)(1)} A_(𝑚)(𝑚) A_(𝑚)(1) ⋱ ⋯ ⋮ A_{(𝑚−1)(𝑚−1)} ⋯ A_{(𝑚)(𝑚−1)}) , dan (π𝑚⨂ 𝐼𝑛)𝐴 = ( O_𝑛 𝐼_𝑛 O𝑛 O𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ O_𝑛 O_𝑛 ⋯ O𝑛 O𝑛 ⋱ ⋮ ⋮ O𝑛 O𝑛 𝐼_𝑛 O_𝑛 ⋯ O𝑛 𝐼𝑛 ⋯ O_𝑛 O_𝑛)( A₍₁₎₍₁₎ A₍₁₎₍₂₎ A₍₂₎₍₁₎ A₍₂₎₍₂₎ ⋯ A_(1)(𝑚) ⋯ A_(2)(𝑚) ⋮ A_{(𝑚−1)(1)} ⋮ A_{(𝑚−1)(2)} A_(𝑚)(1) A_(𝑚)(2) ⋱ ⋯ ⋮ A_{(𝑚−1)(𝑚)} ⋯ A_(𝑚)(𝑚) ) = ( A₍₂₎₍₁₎ A₍₂₎₍₂₎ A₍₃₎₍₁₎ A₍₃₎₍₂₎ ⋯ A_(2)(𝑚) ⋯ A_(3)(𝑚) ⋮ A_(𝑚)(1) ⋮ A_(𝑚)(2) A₍₁₎₍₁₎ A₍₁₎₍₂₎ ⋱ ⋯ ⋮ A_(𝑚)(𝑚) ⋯ A_(1)(𝑚)) .

Jika 𝐴 memenuhi persamaan (18) maka diperoleh A₍₁₎₍₁₎= A₍₂₎₍₂₎ = ⋯ = A_{(𝑚−1)(𝑚−1)}= A_(𝑚)(𝑚), A₍₁₎₍₂₎= A₍₂₎₍₃₎ = ⋯ = A_{(𝑚−1)(𝑚)} = A_(𝑚)(1), ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ A_{(1)(𝑚−1)}= A_(2)(𝑚)= ⋯ = A_{(𝑚−1)(𝑚−3)} = A_{(𝑚)(𝑚−2)}, A_(1)(𝑚)= A₍₂₎₍₁₎ = ⋯ = A_{(𝑚−1)(𝑚−2)}= A_{(𝑚)(𝑚−1)}. (19) Misalkan A_(1)(𝑗) = A_𝑗 , (𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑚).

22 𝐴 = ( A₁ A₂ A𝑚 A1 ⋯ A_𝑚−1 A_𝑚 ⋯ A𝑚−2 A𝑚−1 ⋮ A₃ ⋮ A₄ A2 A3 ⋱ ⋯ ⋮ A₁ ⋮ A₂ ⋯ A𝑚 A1 ) ,

maka terbukti 𝐴 ∈ ℭ𝐵_𝑚,𝑛 yaitu 𝐴 adalah matriks block circulant.

Akibat: Jika suatu matriks block circulant berbentuk (𝐴 𝐵

𝐵 𝐴), maka nilai eigen dari (𝐴 𝐵

𝐵 𝐴) adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵.

Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran 2𝑛 × 2𝑛 𝐶 = (𝐴 𝐵

𝐵 𝐴), dengan 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks segi berorder 𝑛. Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh 𝜗 =2𝜋

𝑚 = 2𝜋

2 = 𝜋,

𝜌₀ = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜌₁ = cos𝜋+ i sin𝜋= −1.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐻 pada persamaaan (17). Untuk 𝜌 = 𝜌₀ = 1 diperoleh

𝐻 = 𝐴 + 𝐵𝜌₀ = 𝐴 + 𝐵(1) = 𝐴 + 𝐵.

Karena nilai eigen 𝐻 sama dengan nilai eigen 𝐶, maka nilai eigen 𝐴 + 𝐵 sama dengan nilai eigen 𝐶.

Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐴 + 𝐵𝜌₁

= 𝐴 + 𝐵(−1) = 𝐴 − 𝐵.

Karena nilai eigen 𝐻 sama dengan nilai eigen 𝐶, maka nilai eigen 𝐴 − 𝐵 sama dengan nilai eigen 𝐶.

Berdasarkan hasil yang diperoleh terbukti bahwa nilai eigen dari 𝐶 adalah nilai eigen dari 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵.

Contoh Aplikasi

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks block circulant beserta sifat pada Teorema 4 dan sifat pada pembahasan sebelumnya mengenai matriks block circulant berukuran 2𝑛 × 2𝑛.

23 Diberikan 𝐵𝑚,𝑛 matriks block circulant dengan 𝑚 = 2 dan 𝑛 = 2 sebagai berikut:

𝐵_2,2 = ( 1 2 4 1 3 4 2 3 3 4 2 3 1 2 4 1 ) dengan 𝐵₀ = (1 2 4 1) dan 𝐵1= ( 3 4 2 3). Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

𝜗 = 2𝜋 𝑚 =

2𝜋 2 = 𝜋,

𝜌₀ = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜌₁ = cos𝜋+ i sin𝜋= −1.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵_2,2 dengan mencari matriks 𝐻 terlebih dahulu pada persamaan (17).

Untuk 𝜌 = 𝜌₀ = 1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0+ 𝐵1𝜌0 = (1 2 4 1) + ( 3 4 2 3) (1) = (4 6 6 4) |𝐻 − λ𝐼| = 0 |4 − λ 6 6 4 − λ| = 0 (4 − λ)2_{− 36 = 0} λ2− 8λ + 16 − 36 = 0 λ2− 8λ − 20 = 0.

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 10)(λ + 2) = 0

maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ0 = 10 dan λ1 = −2.

Jika λ0 = 10 disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (4 − 10 6 6 4 − 10) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) (−6 6 6 −6) ( 𝑣₁ 𝑣2) = ( 0 0) −6𝑣₁+ 6𝑣₂ = 0 6𝑣₂ = 6𝑣₁ 𝑣2 = 𝑣1

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘, maka 𝑣₂ = 𝑘 sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ₀ = 10 adalah 𝐯₀ = (𝑘

𝑘) = 𝑘 ( 1 1).

24

Jika λ₁ = −2 disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (4 + 2 6 6 4 + 2) ( 𝑣₁ 𝑣₂) = (0₀) (6 6 6 6) ( 𝑣₁ 𝑣₂) = (0₀) 6𝑣₁+ 6𝑣₂ = 0 6𝑣₂ = −6𝑣₁ 𝑣₂ = −𝑣₁

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘, maka 𝑣₂ = −𝑘, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ₁ = −2 adalah 𝐯₁ = ( 𝑘

−𝑘) = 𝑘 ( 1 −1). Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐵₀+ 𝐵₁𝜌₁ = (1 2 4 1) + ( 3 4 2 3) (−1) = (1 2 4 1) + ( −3 −4 −2 −3) = (−2 −2 2 −2) |𝐻 − λ𝐼| = 0 |−2 − λ −2 2 −2 − λ| = 0 (−2 − λ)2_{+ 4 = 0} λ2 _{+ 4λ + 4 + 4 = 0} λ2 _{+ 4λ + 8 = 0.}

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ_2,3 =−4 ± √16 − 4(8) 2 =−4 ± √−16 2 =−4 ± 4i 2 = −2 ± 2i

maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ₂ = −2 + 2i dan λ₃ = −2 − 2i. Jika λ₂ = −2 + 2i disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (−2 + 2 − 2i −2 2 −2 + 2 − 2i) ( 𝑣1 𝑣₂) = (0₀) (−2i −2 2 −2i) ( 𝑣₁ 𝑣₂) = (0₀)

25 −2i𝑣1− 2𝑣2 = 0

−2𝑣2 = 2i𝑣1 𝑣₂ = −i𝑣₁

Misalkan 𝑣1 = 𝑘, maka 𝑣2 = −𝑘i, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ2 = −2 + 2i adalah 𝐯2 = (_−𝑘i𝑘 ) = 𝑘 (_−i1).

Jika λ₃ = −2 − 2i disubstitusikan ke persamaan (𝐻 − λ𝐼)𝐯 = 𝟎, diperoleh (−2 + 2 + 2i −2 2 −2 + 2 + 2i) ( 𝑣1 𝑣₂) = (0₀) (2i −2 2 2i) ( 𝑣₁ 𝑣₂) = (0₀) 2i𝑣₁− 2𝑣₂ = 0 −2𝑣₂ = −2i𝑣₁ 𝑣₂ = i𝑣₁

Misalkan 𝑣₁ = 𝑘, maka 𝑣₂ = 𝑘i, sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan λ₃ = −2 − 2i adalah 𝐯₃ = (𝑘

𝑘i) = 𝑘 ( 1

i).

Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen λ0= 10, λ1 = −2, λ2 = −2 + 2i dan λ3 = −2 − 2i merupakan nilai eigen dari matriks segi 𝐻 yang juga merupakan nilai eigen dari matriks block circulant 𝐵_2,2. Selanjutnya diperoleh vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (16) adalah sebagai berikut: 𝐰(0) _{= (} 𝐯(0) 𝜌𝐯(0)) = ( 1 1 1 1 ), 𝐰(1) _{= (} 𝐯(1) 𝜌𝐯(1)) = ( 1 −1 1 −1 ), 𝐰(2) _{= (} 𝐯(2) 𝜌𝐯(2)) = ( 1 −i −1 i ), dan 𝐰(3) _{= (} 𝐯(3) 𝜌𝐯(3)) = ( 1 i −1 −i ).

Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) dari matriks 𝐵_2,2 λ𝑗 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌𝑗+ 𝑏2𝜌𝑗2+ 𝑏3𝜌𝑗3,

sehingga diperoleh

λ₀ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₀+ 𝑏₂𝜌₀2+ 𝑏₃𝜌₀3 = 1 + 2 + 3 + 4

26 λ₁ = 𝑏₀+ 𝑏₁𝜌₁+ 𝑏₂𝜌₁2+ 𝑏₃𝜌₁3 = 1 + 2(i) + 3(−1) + 4(−i) = −2 − 2i, λ2 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌2+ 𝑏2𝜌22 + 𝑏3𝜌23 = 1 + 2(−1) + 3(1) + 4(−1) = −2, dan λ3 = 𝑏0+ 𝑏1𝜌3+ 𝑏2𝜌32 + 𝑏3𝜌33 = 1 + 2(−i) + 3(−1) + 4(i) = −2 + 2i.

Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa 𝐵𝐰(𝑗) _{= λ} 𝑗𝐰(𝑗) berikut ini: 𝐵𝐰(0) _{= (} 1 2 4 1 3 4 2 3 3 4 2 3 1 2 4 1 ) ( 1 1 1 1 ) λ₀𝐰(0) = 10 ( 1 1 1 1 ) = ( 10 10 10 10 ), = ( 10 10 10 10 ), sehingga 𝐵𝐰(0) = λ0𝐰(0). 𝐵𝐰(1) = ( 1 2 4 1 3 4 2 3 3 4 2 3 1 2 4 1 ) ( 1 −1 1 −1 ) λ₁𝐰(1) = −2 ( 1 −1 1 −1 ) = ( −2 2 −2 2 ), = ( −2 2 −2 2 ), sehingga 𝐵𝐰(1) = λ₁𝐰(1). 𝐵𝐰(2) _{= (} 1 2 4 1 3 4 2 3 3 4 2 3 1 2 4 1 ) ( 1 −i −1 i ) λ₂𝐰(2) = −2 + 2i ( 1 −i −1 i ) = ( −2 + 2i 2 + 2i 2 − 2i −2 − 2i ), = ( −2 + 2i 2 + 2i 2 − 2i −2 − 2i ), sehingga 𝐵𝐰(2) = λ2𝐰(2). 𝐵𝐰(3) = ( 1 2 4 1 3 4 2 3 3 4 2 3 1 2 4 1 ) ( 1 i −1 −i ) λ₃𝐰(3) = −2 − 2i ( 1 i −1 −i )

27 = ( −2 − 2i 2 − 2i 2 + 2i −2 + 2i ), = ( −2 − 2i 2 − 2i 2 + 2i −2 + 2i ), sehingga 𝐵𝐰(3) = λ3𝐰(3).

Dari hasil yang diperoleh 𝐵𝐰(𝑗) = λ𝑗𝐰(𝑗) maka 𝐰(𝑗) adalah vektor eigen dari 𝐵_2,2 dengan nilai eigen λ_𝑗.

Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks block circulant pada Teorema 4, berlaku 𝐴(𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = (𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛)𝐴 sebagai berikut:

Diketahui 𝐴 = ( 1 0 −2 −1 −3 2 0 3 −3 2 0 3 1 0 −2 −1 ) dengan 𝐴₁ = ( 1 0 −2 −1), 𝐴₂ = (−3 2 0 −1), dan (𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = ( 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 ), maka diperoleh 𝐴(𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛) = ( 1 0 −2 −1 −3 2 0 3 −3 2 0 3 1 0 −2 −1 ) ( 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 ) = ( −3 2 0 3 1 0 −2 −1 1 0 −2 −1 −3 2 0 3 ), dan (𝜋_𝑚⨂ 𝐼_𝑛)𝐴 = ( 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 ) ( 1 0 −2 −1 −3 2 0 3 −3 2 0 3 1 0 −2 −1 ) = ( −3 2 0 3 1 0 −2 −1 1 0 −2 −1 −3 2 0 3 ),

28

Jika diberikan matriks block circulant berukuran 6 × 6 sebagai berikut:

𝐵_2,3 = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1) dengan 𝐵0 = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) dan 𝐵1 = ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ).

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks 𝐵_2,3 sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh

𝜗 =2𝜋 𝑚 =

2𝜋 2 = 𝜋,

𝜌₀ = cos 0 + i sin 0 = 1, dan 𝜌1 = cos𝜋+ i sin𝜋= −1. Untuk 𝜌 = 𝜌₀ = 1 diperoleh 𝐻 = 𝐵0+ 𝐵1𝜌0 = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) + ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ) (1) = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) + ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ) = ( −3 3 −3 −3 −3 3 3 −3 −3 ) |𝐻 − λ𝐼| = 0 | −3 − λ 3 −3 −3 −3 − λ 3 3 −3 −3 − λ | = 0 (−3 − λ)3_{+ 27 − 27 − (−3 − λ)(−9) − (−3 − λ)(−9) − (−3 − λ)(−9) = 0.} Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh

((−3 − λ)2_{+ 9 + 9 + 9)(−3 − λ) = 0} (λ2_{+ 6λ + 9 + 27)(−3 − λ) = 0} (λ2_{+ 6λ + 36)(−3 − λ) = 0.}

29 Dengan menggunakan rumus abc diperoleh

λ_0,1 = −6 ± √6 2_{− 4(36)} 2 = −6 ± √36 − 144 2 = −6 ± √−108 2 = −6 ± 6i√3 2 = −3 ± 3i√3

maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ0 = −3 + 3i√3, λ1 = −3 − 3i√3, dan λ2 = −3. Untuk 𝜌 = 𝜌1 = −1 diperoleh 𝐻 = 𝐵₀+ 𝐵₁𝜌₁ = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) + ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ) (−1) = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) + ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ) = (− 5 −7 9 9 5 −7 7 −9 5 ) |𝐻 − λ𝐼| = 0 | 5 − λ −7 9 −9 5 − λ −7 7 −9 5 − λ | = 0 (5 − λ)3_{+ 343 + 729 − 3(5 − λ)(63) = 0} −λ3 + 15λ2− 75λ + 125 + 1072 − 945 + 189λ = 0 −λ3 + 15λ2+ 114λ + 252 = 0 λ3_{− 15λ}2_{− 114λ − 252 = 0.}

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 21)(λ2_{+ 6λ + 12) = 0.}

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ4,5 = −6 ± √62_{− 4(12)} 2 = −6 ± √36 − 48 2 = −6 ± √−12 2

30

=−6 ± 2i√3 2 = −3 ± i√3

maka nilai eigen yang diperoleh λ₃ = 21, λ₄ = −3 + i√3 dan λ5 = −3 − i√3, sehingga nilai eigen dari matriks 𝐵_2,3 yang diperoleh adalah λ₀ = −3 + 3i√3, λ₁ = −3 − 3i√3, λ2 = −3, λ3 = 21, λ4 = −3 + i√3 dan λ5 = −3 − i√3.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi 𝐵₀+ 𝐵₁ secara analitik seperti berikut ini:

𝐵₀+ 𝐵₁ = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) + ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 ) = ( −3 3 −3 −3 −3 3 3 −3 −3 ) |(𝐵₀+ 𝐵₁) − λ𝐼| = 0 | −3 − λ 3 −3 −3 −3 − λ 3 3 −3 −3 − λ | = 0 (−3 − λ)3_{+ 27 − 27 − 3(−3 − λ)(−9) = 0.}

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh ((−3 − λ)2_{− 3(−9))(−3 − λ) = 0}

(λ2_{+ 6λ + 9 + 27)(−3 − λ) = 0} (λ2_{+ 6λ + 36)(−3 − λ) = 0.}

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ_0,1 =−6 ± √6 2_{− 4(36)} 2 =−6 ± √36 − 144 2 =−6 ± √−108 2 =−6 ± 6i√3 2 = −3 ± 3i√3

maka nilai eigen dari matriks 𝐵0+ 𝐵1 yang diperoleh adalah λ0 = −3 + 3i√3, λ₁ = −3 − 3i√3, dan λ2 = −3.

Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi 𝐵₀− 𝐵₁ secara analitik seperti berikut ini:

𝐵₀− 𝐵₁ = ( 1 −2 3 −6 1 −2 5 −6 1 ) − ( −4 5 −6 3 −4 5 −2 3 −4 )

31 = (− 5 −7 9 9 5 −7 7 −9 5 ) |(𝐵0− 𝐵1) − λ𝐼| = 0 | 5 − λ −7 9 −9 5 − λ −7 7 −9 5 − λ | = 0 (5 − λ)3_{+ 343 + 729 − 3(5 − λ)(63) = 0} −λ3 _{+ 15λ}2_{− 75λ + 125 + 1072 − 945 + 189λ = 0} −λ3 + 15λ2+ 114λ + 252 = 0 λ3− 15λ2− 114λ − 252 = 0.

Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh (λ − 21)(λ2_{+ 6λ + 12) = 0.}

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh λ_4,5 = −6 ± √6 2_{− 4(12)} 2 = −6 ± √36 − 48 2 = −6 ± √−12 2 = −6 ± 2i√3 2 = −3 ± i√3

maka nilai eigen dari matriks 𝐵₀− 𝐵₁ yang diperoleh adalah λ₃ = 21, λ₄ = −3 + i√3, dan λ5 = −3 − i√3. Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐵_2,3 memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi 𝐵₀+ 𝐵1 dan 𝐵0− 𝐵1.

32

SIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai 𝜌 yang ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai 𝜌 juga bergantung pada 𝜌 (konjugat 𝜌). Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya bergantung pada nilai 𝜌, sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant selain bergantung pada nilai 𝜌 juga bergantung pada vektor 𝐯(𝑗) yaitu vektor eigen dari matriks 𝐻.

Matriks circulant komutatif dengan matriks 𝜋 dan berlaku nilai eigen λ𝑗 = λ_𝑛−𝑗. Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant. Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ_𝑛−𝑗 = λ_𝑗. Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks (𝜋𝑚⨂ 𝐼𝑛) dan nilai eigen dari matriks block circulant (𝐴 𝐵

𝐵 𝐴) adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵.

33

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 2004. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra.

Davis PR. 1979. Circulant Matrices. New York (US): John Wiley. Jones AW. 2008. Circulants. Pennsylvania (US): Carlisle.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Montaldi J. 2012. Notes on circulant matrices. [terhubung berkala].

http://www.manchester.ac.uk/mims/eprints. [6 Januari 2016].

Tee GJ. 2005. Eigenvectors of block circulant and alternating circulant matrices. Res. Lett. Inf. Math. Sci. 8:123-142.

34

Lampiran 1 Program Mathematica untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen matriks circulant 3 × 3 secara umum.

35

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 13 Oktober 1990. Penulis merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah. Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Semplak 2 Bogor, tahun 2006 penulis lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).

Penulis pernah mengikuti PKM-Penelitian yang didanai oleh Dikti pada tahun 2011/2012 dengan judul “Efektivitas Sanitasi Gulma Ageratum conyzoides dan Pemanfaatannya sebagai Pestisida Nabati dalam Mengurangi Penyakit pada Tanaman Cabai” sebagai anggota.