Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton

PERHITUNGAN NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS

TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF

DENGAN METODE

SINGLE

_NEWTON

NURUL DWI HARDINI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

Bogor, Januari 2015

Nurul Dwi Hardini

ABSTRAK

NURUL DWI HARDINI. Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan MUHAMMAD ILYAS.

Suatu metode yang paling luas digunakan untuk mencari hampiran akar dari suatu fungsi adalah metode Newton. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menghitung nilai eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan menggunakan metode single Newton. Polinomial karakteristik dan turunan polinomial karakteristik sangat dibutuhkan dalam melakukan iterasi pada metode ini. Untuk menunjukkan kebenaran dari rumus-rumus yang digunakan dalam metode Newton seperti nilai eigen, polinomial karakteristik, dan turunan polinomial karakteristik, maka diberikan ilustrasi serta metode analitik untuk matriks yang berorde 2 dan 3. Hasil perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu matriks, dalam hal ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif, yang ditentukan dengan menggunakan metode single Newton sesuai dengan metode analitik.

Kata kunci: matriks definit-positif Toeplitz, metode Newton, nilai eigen

ABSTRACT

NURUL DWI HARDINI. Computing the Minimum Eigenvalue of a Real Symetric Positive-Definite Toeplitz Matrix by Single Newton Method. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and MUHAMMAD ILYAS.

One of the most widely used method for finding approximation of the roots of a function is Newton’s method. The study is aimed to compute the minimum eigenvalue of a real symetric positive-definite Toeplitz matrix by single Newton method. The characteristic polynomial and its derivative are required in conducting iteration in this method. To evaluate the formula used in Newton method, such as eigenvalue, characteristic polynomial and its derivative, illustrations and analytical method for matrices of order 2 and order 3 are given. The result of computing eigenvalue from minimum eigenvalue of a real symetric positive-definite Toeplitz matrix that determined by using single Newton method gives the same result as analytical method.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PERHITUNGAN NILAI EIGEN TERKECIL DARI MATRIKS

TOEPLITZ SIMETRIK REAL DAN DEFINIT-POSITIF

DENGAN METODE

SINGLE

_NEWTON

NURUL DWI HARDINI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton

Nama : Nurul Dwi Hardini

NIM : G54100073

Disetujui oleh

Dra Nur Aliatiningtyas, MSi Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi, MSc Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Perhitungan Nilai Eigen Terkecil dari Matriks Toeplitz Simetrik Real dan Definit-Positif dengan Metode Single Newton dapat diselesaikan dengan baik. Bidang yang dipilih oleh penulis dalam karya ilmiah ini adalah matematika murni dan mulai dikerjakan sejak bulan Maret 2014. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MSi dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen pembimbing, serta Ibu Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, kakak dan seluruh keluarga besar atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 47, kakak dan adik kelas, teman kos Wisma Bintang, teman kos Taman Dramaga Permai 2 serta seluruh pihak yang telah membantu dan mendoakan penulis dalam penyusunan karya ilmiah ini hingga terselesaikan dengan baik. Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Januari 2015

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL vi

DAFTAR GAMBAR vi

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

TINJAUAN PUSTAKA 1

HASIL DAN PEMBAHASAN 4

SIMPULAN DAN SARAN 22

Simpulan 22

Saran 22

DAFTAR PUSTAKA 23

LAMPIRAN 24

DAFTAR TABEL

1 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software

MATLAB R2008b pada matriks 16

2 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software

MATLAB R2008b pada matriks 20

DAFTAR GAMBAR

1 Grafik Metode Newton 4

DAFTAR LAMPIRAN

1 Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( ) 24

2 Hasil Perhitungan Numerik pada matriks 25

3 Hasil Perolehan Nilai Eigen pada matriks 26

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu matematika adalah aljabar, diantaranya mempelajari teori matriks. Matriks adalah himpunan skalar yang dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. Dalam teori matriks terdapat berbagai jenis matriks, salah satunya adalah matriks Toeplitz yang mempunyai struktur dan sifat yang khusus (Isro 2005).

Nilai eigen suatu matriks banyak digunakan untuk mendapatkan solusi di berbagai bidang ilmu, diantaranya untuk analisis sinyal suara, gerak harmonik, getaran suatu bangunan, rekontruksi wajah (eigen face), dan lainnya. Karena permasalahan nilai eigen cukup penting kegunaannya, maka berbagai metode yang digunakan untuk menentukan nilai eigen menjadi penting untuk dipelajari.

Pada teori matriks terdapat permasalahan menentukan nilai eigen dengan ordo atau dimensi yang kecil sampai yang besar dan mencari nilai eigen dari suatu matriks erat hubungannya dengan polinomial karakteristik. Dalam bahasa yang lebih mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.

Salah satu metode numerik yang memberikan suatu cara alternatif untuk menentukan nilai eigen dari suatu matriks adalah metode Newton. Permasalahan yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah mengenai perhitungan nilai eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan menggunakan metode Newton. Metode ini melakukan dua tipe iterasi, yaitu

single dan double. Namun yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini hanya metode single Newton. Metode Newton merupakan metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar. Kelebihan dari metode Newton, diantaranya yaitu sederhana secara konseptual, mempunyai konvergensi yang cepat, dan mampu menentukan nilai eigen dengan ordo atau dimensi yang besar. Karya ilmiah ini merupakan rekontruksi tulisan Wolfgang Mackens dan Heinrich Voss (2000) yang berjudul Computing the Minimum Eigenvalue of a Symmetric Positive Definite Toeplitz Matrix by Newton-Type Methods.

Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk menghitung nilai eigen terkecil dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dengan menggunakan metode single

Newton.

TINJAUAN PUSTAKA

2

Definisi 1 (Matriks)

Matriks merupakan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom tertentu. Matriks suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol sehingga

. Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari suatu penyelesaian taktrivial. Persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika singular, atau secara ekivalen

3 Definisi 5 (Matriks Simetrik)

Suatu matriks berorde disebut matriks simetrik jika dan adalah matriks transpos dari matriks (Leon 2001).

Definisi 6 (Matriks Definit-Positif)

Suatu matriks simetrik berorde adalah definit-positif jika

untuk semua vektor taknol dalam (Leon 2001). Teorema 1

Misalkan adalah matriks simetrik real berorde . Maka adalah definit-positif jika dan hanya jika semua nilai-nilai eigennya adalah positif (Leon 2001).

Definisi 7 (Matriks Toeplitz)

Matriks Toeplitz adalah matriks simetris yang sirkulan, dengan setiap unsur pada diagonal utamanya adalah sama dan setiap unsur pada superdiagonal yang bersesuaian dengan diagonal utamanya juga sama.

Metode Newton merupakan suatu metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan digunakan untuk mencari hampiran suatu akar. Metode Newton sering digunakan karena sederhana secara konseptual. Nilai tebakan awal dalam metode ini sangat diperlukan. Rumus pencarian akar yang paling luas digunakan adalah:

4

Gambar 1 Grafik Metode Newton

Suatu galat hampiran untuk iterasi Newton dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut. Untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak, dalam hal ini fungsinya adalah polinomial karakteristik. Jika tidak demikian, maka alternatifnya adalah menormalkan galat dengan menggunakan hampiran terbaik yang tersedia dari nilai eksak, yaitu terhadap hampiran itu sendiri, seperti yang dirumuskan oleh:

dengan subskrip menunjukkan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai hampiran (Nugroho 2009).

HASIL DAN PEMBAHASAN

5

dengan merupakan submatriks dari Misalkan merupakan kolom pertama dari dan menghilangkan entri diagonal sehingga dapat dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

6

 Turunan polinomial karakteristik dari memenuhi hubungan yang berulang atau rekursif seperti berikut ini: Polinomial karakteristik merupakan fungsi konveks dan menurun secara monoton untuk . Fungsi konveks merupakan fungsi yang cekung ke atas dan mempunyai nilai minimum. Metode Newton akan konvergen menuju ke nilai eigen terkecil dari untuk setiap nilai awal

Berikut ini akan ditunjukkan kebenaran dari rumus-rumus di atas untuk kasus

dan . 1 Nilai Eigen

10

11

 Jika maka diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:

12

13

Akibatnya:

‖ ‖

_{( (}

(

(

]

(

(

(

(

14

Turunan polinomial karakteristik yang memenuhi persamaan rekursif pada persamaan (4) adalah:

Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif yaitu mencari nilai eigen terkecil dengan menggunakan metode single Newton yang diperoleh dari nilai tebakan awal yang telah diketahui, polinomial karakteristik, dan turunan dari polinomial karakteristiknya.

 Misalkan diberikan matriks dengan sebagai berikut:

15 Terlebih dahulu akan dicari polinomial karakteristik dan turunan polinomial karakteristik dari secara analitik seperti di bawah ini.

| |

Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (18) dengan menggunakan rumus abc sebagai berikut:

Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:

( (

16

Jika penyelesaian dilakukan dengan konsep metode Newton akan diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut:

Berdasarkan Teorema 1, nilai eigen dari matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif adalah semuanya bernilai definit-positif, sehingga untuk mencari akar dengan menggunakan metode single Newton, iterasi dapat dilakukan dengan menggunakan nilai tebakan awal dan toleransi keakuratan . Nilai tebakan awal dipilih karena berdasarkan Teorema 1.

Karena dan rumus pencarian akarnya sebagai berikut:

17 Iterasi 1:

| _|

Iterasi 2:

| _|

Iterasi 3:

| |

Iterasi 4:

| |

Iterasi 5:

18

| _|

Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran Berikut ini diberikan tabel hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software MATLAB R2008b pada matriks yang terlampir pada Lampiran 2.

Tabel 1 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software

Sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan (22) dengan bantuan software

MATLAB R2008b sebagai berikut:

19

dengan proses perhitungan yang terlampir pada Lampiran 3.

Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan diperoleh polinomial karakteristik sebagai berikut:

( (

₍

(

Misalkan :

(

(

dapat dituliskan kembali bahwa:

(

(

20 Akibatnya, persamaan (24) sama dengan persamaan (22).

Jika penyelesaian yang dilakukan dengan konsep metode Newton maka akan diperoleh turunan polinomial karakteristik sebagai berikut: dengan menggunakan metode single Newton seperti di bawah ini.

22 diberikan tabel hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software

MATLAB R2008b pada matriks yang terlampir pada Lampiran 4.

Tabel 2 Hasil perhitungan sampai iterasi ke-5 dengan bantuan software

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa perhitungan nilai eigen terkecil dari suatu matriks, dalam hal ini matriks Toeplitz simetrik real dan definit-positif dapat ditentukan dengan menggunakan metode single Newton. Hasil perhitungan secara analitik dan secara numerik adalah sama. Polinomial karakteristik dan turunan polinomial karakteristik sangat dibutuhkan untuk melakukan iterasi pada metode ini.

Saran

23 membahas mengenai pembuktian secara umum untuk polinomial karakteristik

dan turunan polinomial karakteristik dengan kasus

DAFTAR PUSTAKA

Mackens W, Voss H. 2000. Computing the minimum eigenvalue of a symmetric positive definite toeplitz matrix by newton-type methods. Siam J Sci Comput.

21:1650-1656.

Nugroho BD. 2009. Diktat Kuliah Metode Numerik. Salatiga: Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.

Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.

Isro DR. 2005. Kajian matriks toeplitz. [terhubung berkala]. http://student-research.umm.ac.id/index.php/dept_of_mathematics/article/view/7806. [21 April 2014].

24

Lampiran 1 Algoritma metode Newton dalam fungsi RapS ( ) function M = RapS(f, f1, x0, N, tol )

% Input : f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’, ’x’)

% f1= turunan pertama dari f(x), gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’) % x0 = tebakan awal

% N = maksimum iterasi % tol = toleransi keakuratan %

26

29

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Pemalang pada tanggal 26 Mei 1992. Penulis merupakan putri kedua dari dua bersaudara dari Bapak Edy Susanto Putro dan Ibu Witarti. Lulus dari SMA Negeri 1 Pemalang tahun 2010 dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).

Selama menjadi mahasiswi dan mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitiaan. Pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) yaitu tahun 2010, penulis tercatat sebagai anggota UKM Lawalata IPB dan UKM Futsal Putri IPB. Penulis juga aktif tergabung dalam kepengurusan Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2012 dan 2013. Selama dua tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai staf divisi Math Event. Selain itu, penulis juga aktif dalam kepengurusan Serambi Ruhiyah Mahasiswa MIPA (Serum G) selama satu periode yaitu tahun 2012 dan diamanahi sebagai staf divisi Class Rohis Management (CRM).