NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

9.1 Definisi

Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n x n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian R yang dihubungkan dengan sebuah persamaan: n

X

AX  (9.1)

Dimana  adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (9.1) adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan (9.1) untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu.

Contoh 9.1

Misalkan Sebuah vektor _

      2 1

X dan sebuah matriks bujur sangkar orde 2 x 2 _

      2 4 0 4 A ,

Apabila matriks A dikalikan dengan X maka:

AX = _      2 4 0 4       2 1 = _        4 4 0 4 = _      8 4 Dimana:       8 4 = _      2 1 4 = X

Dengan konstanta  4 dan

      2 4 0 4       2 1 = _      2 1 4

Memenuhi persamaan (9.1). Konstanta  4 dikatakan nilai eigen dari matriks bujur sangkar

       2 4 0 4 A

Contoh 9.2 Sebuah vektor _       1 2

X dan sebuah matriks _

      3 0 1 1 A .

Apabila matriks A dikalikan X didapat:

AX = _      3 0 4 1       1 2 = _        3 0 4 2 = _      3 6 Dimana:       3 6 = _      1 2 3 = X

dengan  3. Maka  3 adalah nilai eigen dari matriks _

      3 0 4 1 A . Contoh 9.3 Sebuah vektor _       1 0 X dan mateiks _       2 8 0 4

A bila matriks A dikalikan dengan X maka:

AX = _      2 8 0 4       1 0 = _        2 0 0 0 = _      2 0 Dimana:       2 0 = _      1 0 2 = _      1 0  dengan  2. 2 

 adalah nilai eigen dari matriks _

     2 8 0 4 dan vektor _       1 0

X adalah vektor eigen dari matriks

      2 8 0 4

Contoh 9.4 Sebuah vektor            1 1 1 X dan matriks            0 0 3 0 1 2 2 0 1 A .

Matriks A dikalikan X didapat:

AX =           0 0 3 0 1 2 2 0 1           1 1 1 =                 0 0 3 0 1 2 2 0 1 =           3 3 3           3 3 3 = 3           1 1 1 =           1 1 1  = X

dengan  3 adalah nilai eigen matriks

           0 0 3 0 1 2 2 0 1 A Contoh 9.5. Sebuah vektor            3 2 1 X dan matriks A =           2 0 0 0 1 2 0 0 2

Perkalian matriks A dan X adalah:

AX =           2 0 0 0 1 2 0 0 2           3 2 1 =                 6 0 0 0 2 2 0 0 2

=           6 4 2 AX =           6 4 2 = 2           3 2 1 =X , dengan  2.

Maka  2 adalah nilai eigen dari A =

          2 0 0 0 1 2 0 0 2

9.1.1 PERHITUNGAN NILAI EIGEN

Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (9.1) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan:

IAX = IX

AX = IX



IA



X 0 (9.2)

Persamaan (9.2) terpenuhi jika dan hanya jika:

det



I A



(9.3)

Dengan menyelesaikan persamaan (9.3) dapat ditentukan nilai eigen () dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut

Contoh 9.6.

Dapatkan nilai eigen dari matriks A = _

     2 3 1 2 Jawab:

Dari persamaan det



I A



maka:

det _        2 3 1 2   = 0 0 3 ) 2 )( 2 (    0 3 4 4 2    

0 1 4 2_ _{ }



Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:

2 , 1  2 , 1  = 2 1 . 1 . 4 ) 4 ( 4  2  = 2 4 16 4  = 2 12 4 = 2 3 2 4 = 2 3

Maka penyelesaian adalah: 1 2 3 dan 2 2 3.

Nilai eigen matriks A = _

     2 3 1 2 adalah: 3 2 1    dan ₃ 2 3 Contoh 9.7

Dapatkan nilai eigen dari A = _

     1 2 3 0 Jawab:

Nilai eigen ditentukan dari persamaan: det



I A



0 det _      1 2 3   = 0 0 6 ) 1 (    0 6 2    0 ) 2 )( 3 (  

Penyelesaian persamaan tersebut adalah: 0 3   3   dan 0 2   2  

Jadi nilai eigen matriks A = _

     1 2 3 0 adalah  3 dan  2. Contoh 9.8

Carilah nilai eigen dari A =

          2 0 0 0 4 3 0 1 2 Jawab: det



I A



0 det 0 2 0 0 0 4 3 0 1 2                 



3( 2)



) 2 )( 4 )( 2 (     = 0



( 4)( 2) 3



0 ) 2 (    



6 8 3



0 ) 2 ( 2   



6 5



0 ) 2 ( 2    0 ) 5 )( 1 )( 2 (   

Penyelesaian persamaan adalah:

2 0 2      0 1   1   dan 50 5  

Jadi nilai eigen yang bersesuai untuk matriks           2 0 0 0 4 3 0 1 2 adalah: 2 1   , ₂ 1 dan ₃ 5. Contoh 9.9

Dapatkan Nilai eigen dari matriks

            1 8 0 7 6 3 0 0 1 A Jawab:

Nilai eigen A didapatkan dari persamaan:



IA



det = 0 det              1 8 0 7 6 1 0 0 1    = 0



( 6)( 1) 56



) 1 (    = 0



5 6 56



) 1 ( 2    = 0



5 62



) 1 ( 2   = 0 Maka nilai  adalah:

0 1   1 1   0 62 5 2   

Dengan rumus abc didapatkan:

2 , 1  2 62 . 4 25 5 3 , 2     273 2 1 5 , 2 2   

273 2 1 5 , 2 3   

Jadi nilai eigen dari matriks

            1 8 0 7 6 3 0 0 1 A adalah: 1 1   dan 273 2 1 5 , 2    Contoh 9.10.

Dapatkan nilai eigen dari A =

          3 0 0 0 3 0 0 0 7 Jawab:

Nilai eigen didapatkan dari persamaan:





0 detIA               3 0 0 0 3 0 0 0 7 det    = 0 0 ) 3 )( 3 )( 7 (   

Maka nilai  adalah:

0 7   7   0 3   3   (2 kali)

Jadi nilai eigen dari matriks A =

          3 0 0 0 3 0 0 0 7 adalah 3 dan  7

Contoh 9.11

Dapatkan nilai eigen dari A =

          3 0 0 0 3 0 0 0 7 Jawab:

Dengan menggunakan persamaan det



IA



0 maka: 0 3 0 0 0 3 0 0 0 7 det                  0 ) 3 )( 3 )( 7 (    Nilai  adalah: 0 7   7   0 3   3   0 3   3  

Jadi nilai eigen dari matriks A =

          3 0 0 0 3 0 0 0 7 adalah: 1 7 dan 2 3 3.

9.2 PERHITUNGAN VEKTOR EIGEN

Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7.1 telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A(), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya.

A = _      22 21 12 11 a a a a

Persamaan AX X dapat dituliskan:

      22 21 12 11 a a a a              2 1 2 1 x x x x  (9.4)

Persamaan (9.4) dikalikan dengan identitas didapatkan:

      1 0 0 1       22 21 12 11 a a a a       2 1 x x = _      1 0 0 1  _      2 1 x x       22 21 12 11 a a a a       2 1 x x = _        0 0       2 1 x x           22 21 12 11 a a a a       2 1 x x = 0 (9.5)

Persamaan (9.5) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

0 ) ( 0 ) ( 2 22 1 21 2 12 1 11       x a x a x a x a   (9.6)

Persamaan (9.6) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.

Contoh. 9.12

Dapatkan vektor eigen dari matriks A = _

     1 2 3 0 Jawab:

Nilai eigen ditentukan dari persamaan: det



I A



0 det _      1 2 3   = 0 0 6 ) 1 (    0 6 2   

0 ) 2 )( 3 (  

Penyelesaian persamaan tersebut adalah:

0 3   3   dan 0 2   2  

Jadi nilai eigen matriks A = _

     1 2 3 0 adalah  3 dan  2.

nilai eigen didapatkan 1 2 dan 2 3, vektor eigen didapatkan dengan persamaan:

          22 21 12 11 a a a a       2 1 x x = 0 0 ) ( 0 ) ( 2 22 1 21 2 12 1 11       x a x a x a x a   maka 0 ) 1 ( 2 0 3 2 1 2 1       x x x x   Untuk  2 maka: 0 2 0 3 2 2 1 2 1      x x x x

Solusi non trivial sistem persamaan ini adalah:

2 1

2x x

Misalkan x1 r maka x2 2r

Vektor eigen matriks A = _

     1 2 3 0 untuk 2 adalah:        r r X

Untuk  3 maka: 0 2 2 0 3 3 2 1 2 1      x x x x

Solusi non trivial sistem persamaan tersebut adalah:

2 1 x

x 

Misalkan x1 s maka vektor eigen untuk  3 adalah:        s s

X dimana s adalah senbarang bilangan yang tidak nol.

Contoh 9.18

Dapatkan vektor eigen dari matriks A = _

     5 3 0 4 Jawab: Determinan dari



I A



= 0 det 0 5 3 0 4            0 0 ) 5 )( 4 (   

Penyelesaian persamaan adalah:

0 4   4   dan 0 5   5  

Jadi nilai eigen dari matriks A = _

     5 3 0 4 adalah: 1 4 dan 2 5.

nilai eigen matriks tersebut adalah  4 dan  5 maka vektor eigen didapatkan dari persamaan:           22 21 12 11 a a a a       2 1 x x = 0 0 ) ( 0 ) ( 2 22 1 21 2 12 1 11       x a x a x a x a   maka 0 ) 5 ( 3 0 0 ) 4 ( 2 1 1       x x x  

Untuk  4 didapatkan sistem persamaan linier berbentuk: 0 3 0 0 0 2 1     x x

Solusi non trivialnya adalah

3 2 1

x

x  , bila dimisalkan x2 r didapatkan vektor eigen matriks A

untuk  4 adalah:          r r X ₃ 1

dengan r bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk  5 maka: 0 ) 5 5 ( 3 0 0 ) 5 4 ( 2 1 1       x x x

Sistem persamaan linier menjadi:

0 0 3 0 0 1 1      x x

Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, jadi tidak terdapat vektor eigen dari matriks A untuk  5.