METODE PANGKAT BALIK TERGESER UNTUK MENCARI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

METODE PANGKAT BALIK TERGESER

UNTUK MENCARI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Sangadji

1

ABSTRACT

Article discusses the shifted power method as the extension of the power method. The shifted power method also requires a good starting approximation for obtaining an eigen value and then iteration is used to obtain an exact solution. It assumes that the eigen values are real and distinct. Cases involving complex eigen values, multiple eigen values, or the presence of two eigen values with the same magnitude will cause computational difficulties and require more advanced method.

Keywords: shifted inverse power method, inverse power method, power method

ABSTRAK

Artikel membahas metode pangkat balik tergeser sebagai perluasan metode pangkat. Metode pangkat balik tergeser juga memerlukan pendekatan awal yang baik untuk mendapatkan suatu nilai eigen, dan kemudian iterasi digunakan untuk mendapatkan solusi eksak. Diasumsikan, bahwa nilai eigen adalah real dan berlainan. Kasus yang melibatkan nilai eigen yang kompleks, nilai eigen multipel, atau adanya dua nilai eigen yang nilai mutlaknya sama akan berakibat timbulnya kesulitan dalam komputasi, dan memerlukan metode yang lebih maju.

Kata kunci: metode pangkat balik tergeser, metode pangkat balik, metode pangkat

1

Staf Peneliti PPIN BATAN, Kompleks PUSPIPTEK Serpong

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara, Jl. K.H. Syahdan No. 9 Palmerah, Jakarta Barat 11480, sangadji@binus.edu

PENDAHULUAN

Misalkan matriks bujur sangkar A mempunyai nilai eigen dominan

λ

dan misalkan terdapat tepat satu vektor eigen ternormalisir

V

yang bersesuaian dengan

λ

. Pasangan

λ

,Vitu dapat diperoleh dengan prosedur iteratif berikut yang disebut metode pangkat. Dimulai dengan vektor

(1)

(

1

,

1

,

,

1

.

0 T

K

=

X

)

}

Bentuk barisan

{

X

_k secara rekursif menggunakan

(2)

,

k k

AX

Y

=

, 1 1 1 k k k c Y X + + = (3)

dan adalah koordinat terbesar dari . Bila terdapat lebih dari satu, pilih koordinat dengan urutan terkecil. Barisan

1 + k

c

Y

_k

{ }

X

k dan

{

c

k

}

akan konvergen berturut-turut ke V dan

λ

:

dan

V

X

=

∞ → k k

lim

lim

=

λ

.

∞ → k k

c

(4) Contoh

Gunakan metode pangkat untuk memperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang dominan untuk matriks bujur sangkar

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 10 26 4 7 17 2 5 11 0 A Solusi

Dimulai dengan dan gunakan formula pada persamaan (2) untuk membentuk barisan vektor

{

dan konstanta

{

. Iterasi pertama menghasilkan

(

)

T

1

,

1

,

1

0

=

X

}

k

X

c

_k

}

. 1 3 / 2 2 / 1 12 12 8 6 1 1 1 10 26 4 7 17 2 5 11 0 1 1X c = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − −

Iterasi kedua menghasilkan

. 1 8 / 5 16 / 7 3 16 3 / 16 3 / 10 3 / 7 1 3 / 2 2 / 1 10 26 4 7 17 2 5 11 0 2 2X c = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − −

Iterasi menghasilkan barisan

{

X

k

}

di mana

X

k vektor ternormalisir.

K , 1 318 / 191 212 / 85 79 318 , 1 158 / 95 316 / 127 39 158 , 1 78 / 47 52 / 21 19 78 , 1 38 / 23 76 / 31 9 38 , 1 18 / 11 12 / 5 2 9 , 1 8 / 5 16 / 7 3 16 , 1 3 / 2 2 / 1 12 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

Barisan vektor tersebut konvergen ke V =

(

2/3,3/5,1

)

T, dan barisan konstanta konvergen ke

λ

=

4

Penelitian Relevan

Beberapa penelitian yang telah dilakukan untuk topik tersebut, antara lain berjudul “Controllability of the Real Shifted Inverse Power Iteration” oleh Uwe Helmke, Fabian Wirth (2000).

TEOREMA METODE PANGKAT

Andaikan bahwa matriks A bertipe nxn mempunyai n nilai eigen

λ

₁

,

λ

₂

,

_K

,

λ

_nyang berlainan yang diurutkan menurun dalam nilai mutlaknya, yaitu:

.

3 2

1

λ

λ

λ

n

λ

>

≥

≥

_L

≥

(5)

Bila

X

₀dipilih yang sesuai maka barisan

{

(

_k

)

T

}

n k k k x x x ) ( ) ( 2 ) ( 1 , ,K, =

X dan

{

c

_k

}

yang dibentuk secara rekursif dengan

(6)

,

k k

AX

Y

=

dan 1 , 1 1 k k k c Y X + + = (7) dan 1 ( ) dan k j k

y

c

₊

=

{ }

( ) 1 ) (

max

_ik n i k j

y

y

≤ ≤

=

(8)

akan konvergen berturut-turut ke vektor eigen dominan

V

₁ dan nilai eigen

λ

₁

.

, yaitu (Bartle, Robert G. and Sherbert, Donald R. 2000)

dan 1 limX =V ∞ → k k lim_k→∞ck =

λ

1. (9)

METODE PANGKAT BALIK TERGESER

Metode itu memerlukan pendekatan awal yang baik untuk mendapatkan nilai eigen dan kemudian dengan iterasi digunakan untuk mendapatkan solusi eksak. Metode lain, misalnya metode QL dan metode Given dipakai untuk mencari pendekatan awal. Metode pangkat balik tergeser berdasarkan tiga hasil berikut.

Teorema 1 (Nilai eigen yang digeser)

Misalkan

λ

dan

V

adalah pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar A. Bila

α

konstanta sembarang maka

λ

−

α

,Vmerupakan pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar A−

α

I.

Teorema 2 (Nilai eigen balik)

Misalkan

λ

dan

V

adalah pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar A. Bila

, 0 ≠

λ

maka 1/

λ

,Vmerupakan pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar −1. A

Teorema 3

Misalkan

λ

dan

V

adalah pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar A. Bila

,

λ

α

≠ maka 1/(

λ

−

α

),Vmerupakan pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks bujur sangkar

(

A

− I

α

)

−1

.

( Kreyszig, 1999)

TEOREMA METODE PANGKAT BALIK TERGESER

Andaikan bahwa matriks A bertipe nxn punya nilai eigen yang berlainan

n

λ

λ

λ

₁

,

₂

,

_K

,

dan pandang nilai eigen

λ

_j. maka konstanta

α

dapat dipilih sedemikian sehingga

) /(

1

1

λ

α

μ

= _j − merupakan nilai eigen dominan matriks Lebih jauh, bila dipilih yang sesuai maka barisan

.

)

(

A

− I

α

−1

X

₀

(

)

{

_k T

}

n k k k x x x ) ( ) ( 2 ) ( 1 , ,K, =

X dan

{ }

c

_k yang dibentuk secara rekursif dengan

(10)

(

)

_k k

A

I

X

Y

=

−

α

−1 dan k k k c Y X 1 1 1 + + = (11) dan

c

_k+1

=

x

(_jk) dan

{ }

( ) 1 ) (

max

_ik n i k j

x

x

≤ ≤

=

(12)

akan konvergen ke pasangan

μ

1,V_j dominan matriks

(

)

1 − − I

α

A . Akhirnya, nilai eigen yang sesuai untuk matriks A diberikan dengan perhitungan

. 1 1

α

μ

λ

_j = + (13)

Bukti

Tanpa mengurangi atau kehilangan keumuman, diasumsikan bahwa

λ

1

<

λ

2

<

L

<

λ

n

.

Pilih

satu bilangan

α

(

α

≠

λ

)

yang lebih dekat ke

λ

_jdaripada nilai eigen yang lain, yaitu

α

λ

α

λ

j − < i − untuk setiap i=1,2,K, j−1, j+1,K,n. (14)

Menurut Teorema 3, 1/

(

λ

_j −

α

)

,V_jadalah pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks Persamaan (5) berakibat

(

A− I

α

)

−1. 1/

λ

_i −

α

<

λ

_j −

α

untuk setiap

i

≠

j

sehingga

(

λ

α

)

μ

1 =1/ j − adalah nilai eigen dominan matriks

(

)

. 1 − − I

α

A Metode pangkat balik tergeser menggunakan modifikasi metode pangkat untuk menentukan pasangan nilai eigen dan vektor eigen

j V , 1

μ

. Kemudian perhitungan

λ

_j =(1/

μ

₁)+

α

menghasilkan nilai eigen dari matriks A yang diinginkan (Fitzpatrick, Patrick. M. 1996).

Contoh

Gunakan metode pangkat balik tergeser untuk mendapatkan pasangan nilai eigen dan vektor eigen matriks . 10 26 4 7 17 2 5 11 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = A

Manfaatkan fakta bahwa nilai eigen A adalah

λ

₁

=

4

,

λ

₂

=

2

,

dan

λ

₃

=

1

dan pilih satu

α

yang sesuai dan vektor awal untuk setiap kasus.

Solusi

Kasus 1:

Untuk nilai eigen

λ

₁

=

4

,

ambil

α

=

4

.

2

dan vektor awal

X

₀

=

(

1

,

1

,

1

)

T

.

Pertama, bentuk matriks komputasikan solusi untuk

, 2 . 4 I A− . 1 1 1 2 . 14 26 4 7 8 . 12 2 5 11 2 . 4 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − X Y

dan dapatkan vektor Kemudian komputasikan

dan Iterasi menghasilkan nilai pada

Tabel 1. Barisan konvergen ke

(

9.545454545, 14.09090909, 23.18181818

)

. 0 T − − − = Y

18181818

.

23

1

=

−

c

X₁=

(

0.4117647059,0.6078431373,1

)

T.

}

{

c

_k

μ

₁

=

−

5

yang merupakan nilai eigen dominan matriks dan konvergen ke

,

)

2

.

4

(

A

−

I

−1

{

X

_k

}

_{,1 .} 5 3 , 5 2 1 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

V Nilai eigen

λ

1 dari A diberikn dengan komputasi

.

4

2

.

4

2

.

0

2

.

4

)

5

/(

1

/

1

₁ 1

=

μ

+

α

=

−

+

=

−

+

=

λ

Tabel 1 (diambil dari Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, hlm. 556. Second Edition. Prentice-Hall International, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. Mathews, John H. 1992)

Metode pangkat balik tergeser untuk matriks dalam contoh tersebut. Konvergensi ke vektor 1

)

2

.

4

(

A

−

I

− T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ,1 5 3 , 5 2 1 V dan

μ

1

=

−

5

. 1 1 1 ) (A−

α

I −X_k= c_k+X_k+

(

)

1 1 0 1 _{23.181818180.4117647059,0.6078431373,1} ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

2 2 1 1 _{5.356506239 0.4009983361,0.6006655574,1} ) (A−

α

I − X = − T = c X

(

)

3 3 2 1 _{5.0302526090.4000902120,0.6000601413,1} ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

4 4 3 1 _{5.0027336970.4000081966,0.6000054644,1} ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

5 5 4 1 1 , 600004967 . 0 , 400007451 . 0 000248382 . 5 ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

6 6 5 1 1 , 600000452 . 0 , 000000677 . 0 000022579 . 5 ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

7 7 6 1 _{5.0000020530.400000062,0.600000041,1} ) (A−αI − X = − T = c X

(

)

8 8 7 1 _{5.0000001870.400000006,0.600000004,1} ) (A−αI − X =− T = c X

(

)

9 9 8 1 1 , 600000000 . 0 , 400000001 . 0 00000017 . 5 ) (A−αI − X =− T = c X Kasus 2:

Untuk nilai eigen

λ

₂

=

2

,

ambil

α

=

2

.

1

dan vektor awal

X

₀

=

(

1

,

1

,

1

)

T

.

Pertama, bentuk matriks komputasikan solusi untuk

, 1 . 2 I A− . 1 1 1 1 . 12 26 4 7 9 . 14 2 5 11 1 . 2 0 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − X Y

dan dapatkan vektor Kemudian komputasikan

dan Iterasi menghasilkan nilai pada

Tabel 2. Nilai eigen dari dominan adalah

(

11

.

05263158

,

21

.

57894737

,

42

.

63157895

)

.

0 T

=

Y

63157895

.

42

1

=

c

1

(

0.2592592593,0.5061728395,1 . T = X

)

1

)

1

.

2

(

A

−

I

−

μ

₁

=

−

10

dan pasangan nilai eigen dan vektor eigen dari A adalah 2.1 0.1 2.1 2

10 1 2 = ₋ + =− + = λ dan ,1 . 2 1 , 4 1 2 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = V

Tabel 2 (diambil dari Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, hlm. 557. Second Edition. Prentice-Hall International, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. Mathews, John H. 1992 )

Metode pangkat balik tergeser untuk matriks dalam contoh tersebut. Konvergensi ke eigen vektor dominan

1

)

1

.

2

(

A

−

I

− T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ,1 2 1 , 4 1 V dan

μ

₁

=

−

10

.

. 1 1 1 ) (A−

α

I − Xk = ck₊ Xk₊

(

)

_{1 1} 0 1

.

1

,

5061728395

.

0

,

2592592593

.

0

63157895

.

42

)

(

A

−

α

I

−

X

=

T

=

c

X

(

)

2 2 1 1 1 , 4996525365 . 0 , 2494788047 . 0 350227420 . 9 ) (A−

α

I − X = − T = c X

(

)

3 3 2 1

1

,

5000182209

.

0

,

2500273314

.

0

03657511

.

10

)

(

A

−

α

I

−

X

=

−

T

=

c

X

(

)

4 4 3 1

1

,

49990408

.

0

,

2499985612

.

0

998082009

.

9

)

(

A

−

α

I

−

X

=

−

T

=

c

X

(

)

4 4 4 1 1 , 5999990505 . 0 , 2500000757 . 0 00010097 . 10 ) (A−

α

I − X =− T = c X

(

)

_{6 6} 5 1

1

,

4999999973

.

0

,

2499999960

.

0

9999994686

.

9

)

(

A

−

α

I

−

X

=

−

T

=

c

X

(

)

7 7 6 1

1

,

5000000001

.

0

,

2500000002

.

0

000000028

.

10

)

(

A

−

α

I

−

X

=

−

T

=

c

X

Kasus 3:

Untuk nilai eigen

λ

₃

=

1

,

ambil

α

=

0

.

875

dan vektor awal

X

₀

=

(

0

,

1

,

1

)

T

.

Iterasi menghasilkan nilai yang diberikan pada Tabel 3. Nilai eigen dari matriks

(

A

+

0

.

875

I

)

−1 yang dominan adalah

10

1

=

−

μ

dan pasangan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A adalah

1 875 . 0 125 . 0 875 . 0 8 1 3 = + = + =

λ

dan ,1 . 2 1 , 2 1 3 T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

V Barisan

{ }

X

_k vektor dengan vektor awal

(

0,1,1

)

T konvergen dalam tujuh iterasi.

Tabel 3 (diambil dari Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering, hlm. 557. Second Edition. Prentice-Hall International, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey. Mathews, John H. 1992).

Metode pangkat balik tergeser untuk matriks dalam Contoh. Konvergensi ke vektor eigen dominan 1

)

875

.

0

(

A

+

I

− T ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ,1 2 1 , 2 1

V dan nilai eigen

μ

₁

=

8

. 1 1 1 ) (A−

α

I − Xk = ck₊ Xk₊

(

)

1 1 0 1

.

1

,

4947368421

.

0

,

5052631579

.

0

4000000000

.

30

)

(

A

−

α

I

−

X

=

−

T

=

c

X

(

)

2 2 1 1 1 , 4997995992 . 0 , 5002004008 . 0 404210526 . 8 ) (A−

α

I − X = T = c X

(

)

_{3 3} 2 1

1

,

4

4999919990

.

0

,

500000006

.

0

015390782

.

8

)

(

A

−

α

I

−

X

=

T

=

c

X

(

)

4 4 3 1

1

,

4999996800

.

0

,

5000003200

.

0

000614449

.

8

)

(

A

−

α

I

−

X

=

T

=

c

X

(

)

4 4 4 1 1 , 4999999872 . 0 , 5000000128 . 0 000024576 . 8 ) (A−

α

I − X = T = c X

(

)

_{6 6} 5 1

1

,

4999999995

.

0

,

500000005

.

0

000000983

.

8

)

(

A

−

α

I

−

X

=

T

=

c

X

(

)

_{7 7} 6 1

1

,

5000000000

.

0

,

5000000000

.

0

.

0

000000039

.

8

)

(

A

−

α

I

−

X

=

T

=

c

X

,

k k

AX

Y

=

PENUTUP

Metode pangkat balik tergeser merupakan perluasan dari metode pangkat yang menyatakan bila matriks bujur sangkar A mempunyai nilai eigen dominan

λ

dan misalkan terdapat tepat satu vektor eigen ternormalisir

V

yang bersesuaian dengan

λ

. Pasangan

λ

,Vitu dapat diperoleh dengan prosedur iteratif berikut yang disebut metode pangkat. Dimulai dengan vektor

(

1

,

1

,

,

1

.

0 T

K

=

X

)

}

Bentuk barisan

{

X

_k secara rekursif menggunakan

Y

_k

=

AX

_k dan 1 , 1 1 k k k c Y X + + =

dan adalah koordinat terbesar dari . Bila terdapat lebih dari satu, pilih koordinat dengan urutan terkecil. Barisan

1 + k

c

Y

k

{ }

X

k dan

{

c

k

}

akan konvergen berturut-turut ke V dan

λ

.

.

Metode pangkat balik tergeser menyatakan bila matriks A bertipe nxn punya nilai eigen yang berlainan

λ

₁

,

λ

₂

,

_K

,

λ

_n. Maka konstanta

α

dapat dipilih sedemikian sehingga

μ

1 =1/(

λ

j −

α

)

merupakan nilai eigen dominan matriks Lebih jauh, bila dipilih yang sesuai maka barisan

.

)

(

A

− I

α

−1

X

₀

(

)

{

_k T

}

n k k k x x x ) ( ) ( 2 ) ( 1 , ,K, =

X dan

{ }

c

_k yang dibentuk secara rekursif dengan dan

(

)

k k

A

I

X

Y

=

−

α

−1 _k k k c Y X 1 1 1 + + = dan 1 ( ) dan k j k

x

c

₊

=

{ }

( ) 1 ) ( max _jk n j k j x x ≤ ≤ = akan

konvergen ke pasangan

μ

₁,V_j dominan matriks

(

A− I

α

)

−1. Nilai eigen yang sesuai untuk matriks A diberikan dengan perhitungan 1 .

1

α

μ

λ

_j = +

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G. & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to real analysis. Third Edition. John Wiley & Sons, Inc.

Fitzpatrick, P. M. (1996). Advanced calculus. Boston: PWS Publishing Company.

Kreyszig, E. (1999). Advanced engineering mathematics. Eight Edition. New York: John Wiley and Sons Inc.

Mathews, J. H. (1992). Numerical methods for mathematics, science, and engineering. Second Edition. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall International, Inc.