Lagrangian Untuk Teori Berbasis Simetri SU(6)

(1)

Lagrangian Untuk Teori Berbasis Simetri

SU(6)

Skripsi

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk meraih gelar Sarjana Sains

Zuhrianda

0301020794

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Depok

2004

(2)

Lembar Persetujuan

Judul Skripsi : Lagrangian Untuk Teori Berbasis Simetri SU(6)

Nama : Zuhrianda

NPM : 0301020794

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Depok, 8 Juni 2005 Mengesahkan

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. L. T. Handoko Dr. Terry Mart

Penguji I Penguji II

(3)

Abstrak

Telah dibuat diagram dan aturan Feynman untuk teori unifikasi berbasis simetri SU(6) grup. Dalam kerangka teori ini diturunkan semua interaksi boson gauge dan fermion secara lengkap. Interaksi-interaksi baru yang diprediksi dalam teori ini akan memberikan kontribusi baru ke aneka fenomena di fisika energi tinggi yang sudah maupun belum diketahui. Diharapkan dengan ini keberadaan teori ini bisa diuji pada eksperimen-eksperimen fisika energi tinggi yang sudah maupun akan berjalan di masa depan.

Abstract

Feynman rule and diagram has been made for Unification Theory based on SU(6) group simmetry. All interaction of boson and fermion gauge has been derived for this model. New interactions predicted from this theory will give new contribution to phenomenon in high energy physics which has known or still unknown. Hopefully, the existence of this theory can be tested on high energy physics experiment which has been done or will be done on the future.

(4)

Daftar Isi

Abstrak iii

Daftar Isi iv

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . 3

1.4 Tujuan Penelitian . . . 3

2 Standard Model ₄ 2.1 Transformasi Gauge . . . 4

2.1.1 Simetri gauge Abelian. . . 4

2.1.2 Simetri gauge non-Abelian . . . 6

2.1.3 Simetri gauge SU(3) . . . 7

2.2 TeoriSU(2)_×SU(1) . . . 8

2.2.1 Lagrangian SU(2)L×U(1)Y . . . 8

2.2.2 Spontaneous Symmetry Breaking . . . 10

2.3 Mekanisme Higgs . . . 12

2.3.1 Pembentukan Massa Fermion . . . 12

2.3.2 Quark Mixing . . . 14

(5)

3.1 Grup SU(6) . . . 15

3.2 Particle Assignment . . . 16

3.3 Generator SU(6) . . . 16

4 Lagrangian 20 4.1 Transformasi Fungsi Gelombang . . . 20

4.1.1 Transformasi Sextet . . . 20

4.1.2 Transformasi 15-antiplet . . . 20

4.2 Covariant Derivatif . . . 21

4.2.1 Sextet Covariant Derivatif . . . 21

4.2.2 15-antiplet covariant derivatif . . . 22

4.3 Suku Kinetik Fermion . . . 22

4.3.1 15-antiplet . . . 22

4.3.2 6-plet . . . 23

4.3.3 Suku Kinetik Fermion Total . . . 23

4.4 Suku Interaksi Yukawa . . . 23

4.5 Suku Kinetik Higgs . . . 26

5 Hasil dan Pembahasan 28 A Perhitungan Suku Kinetik 39 A.1 Suku Kinetik Sextet . . . 40

A.2 Suku Kinetik 15-plet . . . 41

A.3 Suku Kinetik Total . . . 43

(6)

Bab 1

Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Kebanyakan dari fenomena fisika partikel dapat dijelaskan dengan baik dengan menggunakan Standard Model fisika partikel dan interaksi-interaksi fundamental-nya.

Keberhasilan dari spontaneus symmetry breaking (pemecahan simetri spontan) da-lam menjelaskan fisika electroweak membuat para fisikawan berpikir, apakah Stan-dard Model merupakan versi pecahan dari teori unifikasi lain dalam skala energi yang lebih besar, sebuah teori yang hanya memiliki satu grup gauge dan satu kons-tanta coupling. Sudah menjadi konsekuensi umum dari asumsi ini bahwa quark dan lepton akan membagi representasi dari grup gauge yang menyebabkan kuantisasi muatan dari quark dan lepton. Teori seperti ini dinamakan Grand Unified Theory

(Teori Penyatuan Besar) atau disingkat GUT.

Sebagai konsekuensi dari renormalisasi, konstanta kopling elektromagnetik semakin membesar pada energi tinggi, sedangkan konstanta kopling untuk interaksi nuklir lemah dan kuat menjadi semakin kecil pada energi tinggi. Pada skala massaM _≡105 GeV, ketiga kopling konstan terllihat memiliki besar yang sama. Oleh karena itu, skala massa ini merupakan skala massa dimana sebuah GUT akan terpecah secara spontan menjadi model tiga simetrigaugeyang berbedaSU(3)C×SU(2)L×SU(1)Y.

(7)

1. Memilih grupgaugeG yang secara matematis didalamnya terdapat grupSU(3)C×

SU(2)L ×SU(1)Ydari tiga grup gauge yang relevan terhadap fisika partikel pada

energi rendah.

2. Memilih representasi fermion sedemikian sehingga pada keadaan energi yang ren-dah muncul struktur standar SU(3)C×SU(2)L×SU(1)Y.

3. Memilih representasi skalar dan kopling skalar yang memberikan pola sym-metry breaking dari G sampai ke SU(3)C × SU(2)L × SU(1)Ydan terus sampai

SU(3)c×U(1)em.

4. Menentukan kopling Yukawa dalam teori untuk memastikan terdapat massa fermion setelah symmetry breaking.

GrupgaugeSU(6) merupakan salah satu grup unitary yang dapat memenuhi semua interaksi grup gauge (selain SU(5)), yaitu grup colour SU(3)C, grup isospin dari

partikel left-handed SU(2)L, dan grup gaugeU(1)Y untuk muatan lemah. U(1) dan

SU(2) masing-masing mempunyai rank 1, sedangkanSU(3) mempunyai rank 2, se-hingga grupgaugeyang telah disatukan harus memiliki setidaknya rank 4, dalam hal ini SU(6) memiliki rank 5. Dan jugaU(1),SU(2) danSU(3) masing-masing memi-liki 1, 3, dan 8 generator dan totalnya 12 generator, sedangkan SU(6) memimemi-liki 35 generator, sehingga sudah cukup besar untuk mencakupSU(3)C×SU(2)L×SU(1)Y.

1.2 Perumusan Masalah

GUT SU(6) merupakan kandidat baru dari Grand Unified Theory. Seperti halnya dalam Standard Model dan GUT SU(5) diperlukan adanya suku kinetik fermion yang menggambarkan interaksi antar fermion dengan boson yang menjadi medi-asinya. Dalam paper terakhir tentang GUT SU(6) suku kinetik fermion ini belum dikerjakan. Melanjutkan paper terakhir, disini dibuat suku kinetik fermion dari GUTSU(6). Dengan suku kinetik fermion ini bisa diperoleh Feynman Rule sehing-ga bisa diketahui interaksi-interaksi yang dimungkinkan pada GUT SU(6) ini.

(8)

1.3 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat teoritik. Teori yang digunakan merupakan teori SU(6) yang menjadi kandidat baru sebagai Grand Unified Theory. Dengan menghitung La-grangian dari SU(6) ini bisa didapat hubungan antara fermion dan fermion dengan boson sebagai kouplingnya. Dari Lagrangian tersebut dapat dibuat aturan dan di-agram Feynman.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan mencari lagrangian GUT SU(6). Dengan Lagrangian ini bisa dibentukFeynman Ruleuntuk mengetahui interaksi-interaksi yang diperbolehkan pada GUT SU(6).

(9)

Bab 2

Standard Model

Pada bab ini penulis akan mencoba menjelaskan secara singkat mengenai teori

SU(3)C ×SU(2)L×SU(1)Y.

2.1 Transformasi Gauge

Dalam teori medan kuantum dipelajari bahwa setiap teori yang dibangun berdasar-kan suatu simetri tertentu maka teori tersebut haruslahinvariantterhadap transfor-masi lokal atau transfortransfor-masi gauge dari simetri yang dibangun. Jika teori tersebut

invariantmaka besaran-besaran fisis yang dihasilkan, nilainya tidak bergantung pa-da kerangka acuan inersia dimana besaran tersebut diukur.

2.1.1 Simetri

gauge Abelian

Dari persamaan Dirac didapat bahwa Lagrangian untuk medan elektron-bebas ψ(x) adalah:

L0 =ψ(x)(iγµ∂µ−m)ψ(x) (2.1)

Lagrangian ini invariant terhadap simetri globalU(1) yaitu:

ψ(x)_→ψ0₍_x_{) =} _e−iα_ψ₍_x₎

(10)

Simetri ini akan diubah menjadi simetri lokal dengan mengubahαmenjadiα(x). Ja-di akan Ja-dibuat teori yang invarian terhadap perubahan fase yang tergantung ruang– waktu.

ψ(x)_→ψ0₍_x_{) =} _e−iα(x)_ψ₍_x₎

ψ(x)_→ψ0(x) = eiα(x)_ψ₍_x₎ _(2.3) Suku derivatif dari Lagrangiannya akan menjadi:

ψ(x)∂µψ(x)→ψ0(x)∂µψ0(x) = ψ(x)eiα(x)∂µ(eiα(x)ψ(x))

= ψ(x)∂µψ(x)−iψ(x)∂µα(x)ψ(x) (2.4)

Adanya suku yang kedua merusakinvariant. Oleh karena itu perlu dibentuk gauge-covariant derivative Dµ untuk menggantikan ∂µ, dimana Dµψ(x) akan memiliki

transformasi

Dµψ(x)→[Dµψ(x)]0 =eiα(x)Dµψ(x) (2.5)

sehingga kombinasiψ(x)Dµψ(x) merupakangauge invariant. Dengan kata lain

pem-beriancovariant derivativepada medan tidak akan mengubah sifat transformasi dari medan itu. Hal ini dapat dilakukan apabila dibuat medan vektor baru Aµ(x), atau

medan gauge, yang membentuk covariant derivative

Dmuψ =∂µ+ieAµ)ψ (2.6)

dimana e merupakan muatan elektron. Maka transformasi daricovariant derivative

(2.5) akan terpenuhi apabila medan gaugeAµ(x) memiliki transformasi

Aµ(x)→A0mu(x) =Aµ(x) +

1

e∂µα(x) (2.7)

Sehingga Lagrangiannya akan menjadi

L00 =ψiγ

µ

(∂µ+ieAµ)ψ−mψψ (2.8)

Agar medangaugetersebut memiliki arti fisis maka di dalam Lagrangian harus ter-dapat suku yang mengandung turunannya. Suku yang paling sederhananya adalah

LA =−

1 4FµνF

(11)

dimana

Fµν =∂µAν−∂νAµ (2.10)

Dengan menggabungkan (2.8) dan (2.9) maka diperoleh Lagrangian QED (U(1))

L00 =ψiγ µ (∂µ+ieAµ)ψ−mψψ− 1 4FµνF µν (2.11)

2.1.2 Simetri

gauge non-Abelian

Sekarang prinsip dari teori gauge Abelian dikembangkan ke simetri gauge non-Abelian (simetri SU(2)).

Anggap medan fermionnya merupakan isospin doublet

ψ = ψ1

ψ2

!

(2.12) dalam transformasi SU(2) diperoleh

ψ(x)_→ψ0(x) = exp ( −iτ _·θ 2 ψ(x) ) (2.13) dimana τ = (τ1, τ2, τ3) merupakan matriks Pauli dan θ = (θ1, θ2, θ3) adalah param-eter transformasi SU(2) Lagrangian bebas

L0 =ψ(x)(iγµ−m)ψ(x) (2.14) invarian terhadap simetri SU(2) global dengan θi yang tidak tergantung

ruang-waktu. Tetapi dalam transformasi simetri lokal

ψ(x)_→ψ0₍_x_{) =}_U₍_θ₎_ψ₍_x₎ _(2.15)

dimana

U(θ) = exp−iτ ·θ(x)

2 (2.16)

Lagrangian bebas _L0 tidak lagi invarian karena suku turunannya akan bertransfor-masi menjadi

ψ(x)∂µψ(x)→ψ

0

(x)∂µψ0(x) = ψ(x)∂µψ(x)

(12)

Untuk menghasilkan Lagrangian yang gauge-invarian pertama-tama didefinisikan medan vektor gaugeAi

µ,i= 1,2,3 (masing-masing satu untuk tiap generator group)

yang membentuk covariant-derivatif

Dµψ = ∂µ−ig τ _·Aµ 2 ψ (2.18)

dimana g merupakan konstanta kopling. Dµ dibuat supaya memiliki sifat

transfor-masi yang sama dengan ψ

Dµψ →(Dµψ)0 =U(θ)Dµψ (2.19) ini berarti ∂µ−ig τ _·A0 µ 2 ! (U(θ)ψ) =U(θ) ∂µ−ig τ_·Aµ 2 ! ψ (2.20) atau " ∂µU(θ)−ig τ_·A0 µ 2 U(θ) # ψ =₋igU(θ)τ ·Aµ 2 ψ τ _·A0_µ 2 =U(θ) τ_·A0_µ 2 U −1₍_θ₎ − _gi[∂µU(θ)]U−1(θ) (2.21)

Yang mendefinisikan transformasi medan gauge untuk grup SU(2).

2.1.3 Simetri gauge

SU

(3)

Chromodynamics adalah teori gauge nonabelianSU(3) untuk muatancolor. Fermion yang membawa muatan color adalah quark, masing-masing dengan medanψj(α),

di-mana α = u, d, s, . . . adalah label flavor dan j = 1,2,3 merupakan index color. Boson gauge, yang juga membawa color, disebut gluon, masing-masing memiliki medan Aa

µ, a= 1, . . . ,8. Lagrangian untuk chromodynamics adalah

Lcolor=− 1 4F µν a F a µν+ X α ψ(_jα)(iD/jk−m(α)δjk)ψ( α) k (2.22)

Dengan tensor medan gauge

Fµνa =∂µAaν −∂νAaµ−g3fabcAbµA c

(13)

dimana g3 adalah parameter kopling gauge SU(3) dan covariant derivatif quark adalah Dµψ = (∂µ+ig3Aaµ λa 2 )ψ (2.24) dengan generator λ1 =    0 1 0 1 0 0 0 0 0    λ4 =    0 0 1 0 0 0 1 0 0    λ7 =    0 0 0 0 0 ₋i 0 i 0    λ2 =    0 ₋i 0 i 0 0 0 0 0    λ5 =    0 0 ₋i 0 0 0 i 0 0    λ8 =     1 √ 3 0 0 0 _√1 3 0 0 0 √1 3     λ3 =    1 0 0 0 ₋1 0 0 0 0    λ6 =    0 0 0 0 0 1 0 1 0    (2.25)

persamaan paling umum untuk lagrangian chromodynamics adalah

Lgen = − 1 4ZF µν a F a µν +ψ α LZ αβ L iD/ ψ β L+ψ α RZ αβ R iD/ ψ β R−ψ α LM αβ ψRβ −ψαRM†αβψ β L+ g2 3 64π2θ µνλσ_Fa µνFλσa (2.26)

2.2 Teori

SU

(2)

_×

SU

(1)

2.2.1 Lagrangian

SU

(2)

L

×

U

(1)

Y

Sebelum memulai penjelasan mengenai teori SU(2)L×U(1)Y perlu dijelaskan dulu

tentangparticle assignmentdari fermion. Dari eksperimen peluruhan inti beta dida-pat bahwa particle assignment untuk fermionleft-handed adalah doublet sedangkan fermion right-handed adalah singlet.

leptons : `L ≡ νe e ! L eR quarks : qL ≡ u d ! L uRdR. (2.27)

(14)

Lagrangian SU(2)_×U(1) terbagi menjadi tiga bagian, gauge (G), fermion (F) dan Higgs (H)

LW S =LG+LF +LH (2.28)

medan gauge boson yang mengkopel isospin lemah dan hypercharge lemah masing-masing adalahWµ= (Wµ1, Wµ2, Wµ3) danBµ. Kedua medan ini memberikan densitas

lagrangian untuk bagian gauge

LG=− 1 4F µν i F i µν− 1 4B µν Bµν (2.29) dimana Fi

µν (i=1,2,3) merupakan suku kinetik untuk medan SU(2)

Fµνi =∂µWνi−∂νWµi −g2ijkW µjWνk (2.30)

dan Bµν adalah suku kinetik medan U(1)

Bµν =∂µBν−∂νBµ (2.31)

left-handeddanright-handedtermasuk dalam densitas lagrangian pada bagian fermion. Dengan menjumlahkan doublet left-handedψL dan singlet right-handed ψR didapat

LF = X ψL ψ_LiD/ ψL+ X ψR ψ_RiD/ ψR (2.32)

Karena fermion right-handed tidak terkopel dengan isospin lemah, maka covariant derivatifnya maka berbentuk

DµψR = (∂µ+i

g1

2 YWBµ)ψR (2.33)

dimana g1 merupakan konstanta kopling SU(2) danYW merupakan normalisasi

un-tuk gauge U(1). Sedangkan covariant derivatif untuk SU(2)L doublet ψL adalah

DµψL = I(∂µ+i g1 2YWBµ) +ig2 ~ τ 2W~µ ! ψL (2.34)

dimana g2 merupakan konstanta kopling dari gauge SU(2).

(15)

isospin danhyperchargelemah. Tetapi secara fisis teori ini masih belum bisa diterima karena gauge boson dan fermion belum memiliki massa (massless) Oleh karena perlu ditambahkan bagian Higgs kedalam Lagrangian diatas. Maka diperkenalkan teori doublet kompleks Φ = ϕ + ϕ0 ! (2.35) dari spin-nol medan Higgs dengan muatan elektrik. Tiap kuanta dari medan ini mengandung satu hypercharge lemah. Densitas lagrangian Higgs _LH merupakan

penjumlahan dari dua suku, _LHG dan LHF, yang masing-masing mengandung

ko-pling gauge Higgs dan gauge fermion

LHG = (DµΦ)∗DµΦ−V(Φ) (2.36) dimana DµΦ = (I(∂µ+i g1 2Bµ) +ig2 ~ τ 2 ·W~µ)Φ (2.37)

dan V merupakan potensial Higgs

V(Φ) =₋µ2Φ†_{Φ +}_λ_(Φ†_Φ)2 _(2.38) dimana parameter µ2 _dan _λ _{positif. Dengan memberikan simbol quark} _left-handed dan lepton doublet masing-masing sebagai qL dan `L, didapat

LHF =−fuqLΦeuR−fdqLΦdR−fe`LΦeR+ h.c (2.39)

dimana fu, fd dan fe merupakan konstanta kopling dan charge conjugate untuk Φ

adalah

e

Φ =iτ2Φ∗ _(2.40)

Tidak ada suku yang mengandung neutrino right-handed pada persamaan (2.39) karena diasumsikan partikel tersebut tidak ada.

2.2.2 Spontaneous Symmetry Breaking

Untuk menghasilkan massa dari gauge boson dan fermion maka dilakukan sponta-neous symmetry breaking kepada teori SU(2)_×U(1). Pertama-tama perlu dicari

(16)

dulu keadaan dasar dari konfigurasi Higgs dengan mencari minimum dari potensial V

Φ(₋µ2+ 2λΦ†_{Φ) = 0} _(2.41)

keadaan dasar ini dinamakan vacum expectation valueΦ0. Persamaan (2.41) mem-punyai dua solusi, solusi yang trivial _hΦ_i0 = 0 dan solusi nontrivial

hΦ†_Φ_i 0 = υ2 2 (2.42) dengan υ_≡ s µ2 λ (2.43)

Maka didapat konfigurasi Higgs vacum nontrivial untukspontaneous symmetry break-ing untuk simetri SU(2)_×U(1)

hΦ_i0 = 0

υ/√2

!

(2.44) massa boson gauge dan fermion didapat dengan memasukkan persamaan (2.44) untuk medan Higgs ke densitas lagrangian _LH. Pertama-tama didefinisikan medan

bermuatan W± µ, Wµ±= s 1 2W 1 µ ∓iWµ2 (2.45)

Dengan substitusi, dapat diperoleh kontribusi massa dari densitas lagrangian

Lmass = − υ 2(fuuu+fddd+feee) + _υg 2 2 2 Wµ+W µ − +υ 2 8 (W 3 µBµ) g 2 2 −g1g2 −g1g2 g12 ! W3µ Bµ ! (2.46) massa fermion diberikan oleh

mα=

υ

√

2fα (α=u, d, e, . . .) (2.47)

massa boson W yang bermuatan bisa terlihat langsung dari persamaan (2.47)

MW =

υ

(17)

Tapi symmetry breaking mengakibatkan boson-boson gauge yang netral mengala-mi mixing. Karena matrix massa dari keadaan W3_{, B} _{belum diagonal maka perlu} dilakukan diagonalisasi. Dengan mendefinisikan boson Aµ, Zµ

Zµ = cosθWWµ3−sinθWBµ

Aµ = sinθWWµ3+ cosθWBµ (2.49)

dimana sudut mixing lemah (atau Weinberg angle) θW didefinisikan sebagai

tanθW =

g1

g2

(2.50) massa dari boson gauge netral didapat

Mγ = 0, MZ = υ 2 q g2 1+g22 (2.51)

2.3 Mekanisme Higgs

2.3.1 Pembentukan Massa Fermion

Untuk memudahkan proses mixing fermion maka Lagrangian pada persamaan (??) perlu ditulis dalam bentuk umumnya

−LHF =fµαβq0L,αΦ˜u0R,β +f αβ d q0L,αΦd0R,β +f α,β e l 0 L,αΦe0R,β+h.c. (2.52) dimana α, β = 1, . . . , n dan ~u0 = (u0, c0, t0, . . .), ~ d0 _{= (}_d0_{, s}0_{, b}0_{, . . .}₎_, ~e0 _{= (}_e0_{, µ}0_{, τ}0_{, . . .}₎_, ~q0 = u0 d0 ! , c0 s0 ! , t0 b0 ! , . . . ! , ~l0 ₌ ν0 e e0 ! , νµ0 µ0 ! , ντ0 τ0 ! , . . . ! . (2.53)

(18)

Tanda aksen pada persamaan ini menyatakan fungsi keadaan yang normal atau dise-but juga pada basisgauge.Dalam persamaan ini, matriks koplingfu,fd,febelum

diag-onal sehingga matriks ini secara fisis belum bisa dikatakan sebagai massa. Analog de-ngan proses spontaneus symmetry breaking, matrix massa nondiagonalm0

u,m0d,m0e

didefinisikan

m0_α = √υ

2fα (α=u, d, e) (2.54)

Karena matrix massa ini belum diagonal maka agar memiliki arti fisis, matrix-matrix ini perlu dibuat menjadi matrix-matrix diagonal (diagonalisasi). Proses diagonal-isasinya −LF,mass = u0Lm0uu0R+d 0 Lm0dd0R+e0Lm0ee0R+h.c., = u0 LS u LS u† Lm0uS u RS u† Ru0R+d 0 LS u LS u† Lm0dS u RS u† Rd0R +e0 LSuLS u_† Lm0eSuRS u_† Re0R+h.c., = uLmuuR+dLmddR+eLmeeR+h.c. = umuu+dmdd+emee (2.55)

dimana uL merupakan fungsi keadaan pada basis massa dan hubungannya dengan

u0

L (basisgauge adalah

u0L=S u LuL, d0L=SdLdL, e0L=S e LeL, u0R=S u RuR, d0R=SdRdR, e0R=S e ReR, (2.56)

dan menghasilkan diagonalisasi biunitary

m0_u =Su_LmuSuR†, m0d =S d

LmdSdR†, m0e =S e

LmeSeR† (2.57)

sehingga menghasilkan matrix massa diagonal quark

mu =       mu 0 0 . . . 0 mc 0 . . . 0 0 mt . . . ... ... ... ...      , md =       md 0 0 . . . 0 ms 0 . . . 0 0 mt . . . ... ... ... ...      , (2.58)

(19)

dan massa diagonal lepton md =       me 0 0 . . . 0 mµ 0 . . . 0 0 mτ . . . ... ... ... ...      , (2.59)

Perubahan fungsi keadaan dari basis gauge ke basis massa ini tidak berpengaruh pada arus elektromagnetik dan arus lemah netral, tetapi perubahan ini akan berpen-garuh pada arus quark lemah bermuatan.

2.3.2 Quark Mixing

Pada arus quark lemah bermuatan terjadimixingantar generasi sehingga arus quark lemah bermuatannya menjadi

Jµ(qk) = 2u0L,αγ µ d0L,α = 2uLγµSuL†S d LdL= 2uL,αγµd00L,α (2.60) dimana d00 L,α≡VαβdL,β (2.61) dan V_≡Su_L†Sd_L (2.62)

MatriksVdinamakan matriksCabibbo-Kobayashi-Maskawaatau matriksCKMyang nilainya V=    0.9738_{− −}0.9750 0.218_{− −}.0224 0.001_{− −}0.007 0.218_{− −}0.224 0.9734_{− −}0.9752 0.030_{− −}0.058 0.003_{− −}0.019 0.029_{− −}0.058 0.9983_{− −}0.9996    (2.63)

(20)

Bab 3

Grup

SU

(6)

3.1 Grup

SU

(6)

Pada bagian ini akan dibuat generator untuk grup SU(6). Secara umum generator untuk grup SU(N) dapat dibuat dengan menggunakan generator dari grup yang sudah ada SU(N ₋1) dengan cara mengekspansikan matriks generatornya (N ₋

1)_× (N ₋1) menjadi matriks N _× N. Maka ada tiga tipe matriks yang dapat membentuk grup SU(6), λi =                                                                       0 ˜ λi ... 0 0 . . . 0 0            ,untuk i= 1,2, . . . ,(N ₋1)2₋₁             0 .. . (0)(N−1)×(N−1) ajN ... 0 0 . . . aN j . . . 0 0             ,untuk (N ₋1)2₋₁_{< i < N}2₋₁ λN2₋₁ , untuki=N2−1 , (3.1)

(21)

dimana ˜λi merupakan generator ke-i dari grup SU(N −1) danajN =a∗N j = 1 atau

−i dengan j = 1,2, . . . , N ₋1. Hal ini menyatakan bahwa jumlah total generator dalam grup SU(N) sama dengan [(N ₋1)2₋_{1] + [2}_×₍_N ₋_{1)] + 1 =}_N2 ₋_1.

3.2 Particle Assignment

Dalam Grup SU(6) fungsi gelombang untuk partikel diberikan

(ψ6)i R =           di r di b di g (`i₎+ −(νi `)C N`i           R (3.2)

untuk sextet, sedangkan untuk _{15_}-plet terdiri dari

(ψ15₎ij L = 1 √ 2            0 (ui g)C (uib)C uir dir djr (ui g)C 0 (uir)C uib dib d j b (ui b)C (uir)C 0 uig dig djg ui r uib uig 0 (`j)+ (ì)+ di r dib dig (`j)+ 0 (Nì)C dj r d j b djg (ì)+ (Nì)C 0            L (3.3) dimana ui _: _{u, c, t}_;_di _: _{d, s, b}_;_ì _: _{e, µ, τ}_;_Ni ` : Ne, Nµ, Nτ dan r, g, b masing-masing

menunjukkan color. N` merupakan fermion baru yang memiliki muatan netral.

Indeks i,j menyimbolkan generasi dan kombinasinya bersifat siklik, contoh (i, j) : (1,2)_→(2,3)_→(3,1).

3.3 Generator

SU

(6)

Pada bagian ini diberikan matriks yang membentuk generator untuk grup SU(6).

λ1 =           0 1 0 1 0 0 (0)3_×3 0 0 0 (0)3×3 (0)3×3           λ2 =           0 ₋i 0 −i 0 0 (0)3_×3 0 0 0 (0)3×3 (0)3×3          

(22)

λ3 =           1 0 0 0 ₋1 0 (0)3_×3 0 0 0 (0)3×3 (0)3×3           λ4 =           0 0 1 0 0 0 (0)3_×3 1 0 0 (0)3×3 (0)3×3           λ5 =           0 0 ₋i 0 0 0 (0)3_×3 i 0 (0)3×3 (0)3×3           λ6 =           0 0 0 0 0 1 (0)3_×3 0 1 0 (0)3×3 (0)3×3           λ7 =           0 0 0 0 0 ₋i (0)3×3 0 i 0 (0)3_×3 (0)3×3           λ8 = √1₃           1 0 0 0 1 0 (0)3×3 0 0 ₋2 (0)3_×3 (0)3×3           λ9 =           1 0 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 (0)3×3 0 0 0           λ10=           −i 0 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 0 (0)3×3 0 0 0           λ11=           0 0 0 (0)3×3 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (0)3_×3 0 0 0           λ12=           0 0 0 (0)3×3 −i 0 0 0 0 0 0 i 0 0 0 0 (0)3_×3 0 0 0           λ13=           0 0 0 (0)3_×3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 (0)3_×3 0 0 0           λ14=           0 0 0 (0)3_×3 0 0 0 −i 0 0 0 0 i 0 0 0 (0)3_×3 0 0 0          

(23)

λ15=           0 1 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (0)3×3 0 0 0           λ16 =           0 ₋i 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 0 (0)3×3 0 0 0           λ17=           0 0 0 (0)3_×3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 (0)3×3 0 0 0           λ18 =           0 0 0 (0)3_×3 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 i 0 (0)3×3 0 0 0           λ19=           0 0 0 (0)3×3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 (0)3_×3 0 0 0           λ20 =           0 0 0 (0)3×3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)3_×3 0 0 0           λ21=           0 0 1 (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)3×3 1 0 0           λ22=           0 0 ₋i (0)3_×3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)3×3 i 0 0           λ23=           0 0 0 (0)3×3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)3_×3 0 1 0           λ24=           0 0 0 (0)3×3 0 0 −i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)3_×3 0 i 0           λ25=           0 0 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 (0)3_×3 0 0 1           λ26=           0 0 0 (0)3_×3 0 0 0 0 0 ₋i 0 0 0 0 0 0 (0)3_×3 0 0 i          

(24)

λ27 =           (0)3_×3 (0)3×3 0 1 0 (0)3×3 1 0 0 0 0 0           λ28 =           (0)3_×3 (0)3×3 0 ₋i 0 (0)3×3 i 0 0 0 0 0           λ29 =           (0)3_×3 (0)3×3 1 0 0 (0)3×3 0 −1 0 0 0 0           λ30 =           (0)3_×3 (0)3×3 0 0 1 (0)3×3 0 0 0 1 0 0           λ31 =           (0)3×3 (0)3×3 0 0 ₋i (0)3_×3 0 0 0 i 0 0           λ32 =           (0)3×3 (0)3×3 0 0 0 (0)3_×3 0 0 1 0 1 0           λ33 =           (0)3_×3 (0)3×3 0 0 0 (0)3×3 0 0 −i 0 i 0           λ34 = √1₃           (0)3_×3 (0)3×3 1 0 0 (0)3×3 0 1 0 0 0 ₋2           λ35= 1 √ 3           −1 0 0 0 ₋1 0 (0)3×3 0 0 ₋1 1 0 0 (0)3_×3 0 1 0 0 0 1          

(25)

Bab 4

Lagrangian

4.1 Transformasi Fungsi Gelombang

4.1.1 Transformasi Sextet

Transformasi fungsi gelombang SU(6), mengikuti persamaan umum transformasi

ψ[6]0 ₌_U₍_x₎_ψ[6] _(4.1) dengan transformasi-unitary U(x) = e−igθa(x)λa₂ UT(x) = e−igθa(x)λT₂a ∂µU(x) = −U(x)[ig∂µθa λa 2 ] ∂µU(x) = UT(x)[ig∂µθa λT a 2 ] (4.2)

dimana θa(x) merupakan parameter grup dan ˜λa merupakan generator grup

4.1.2 Transformasi 15-antiplet

Transformasi ini didasarkan pada sifat bahwa fungsi gelombang 15-plet adalah hasil direct product fungsi gelombang dalam representasi 6-plet.

[6]_×[6] = [21]_×[15]

(26)

setelah transformasi, ψ[15]_→_ψ[15]0 ψ[15]0 = (ψ[6]0 _⊗ψ[6]0)anti = ψl[6]0ψ [6]0 k −ψ [6]0 k ψ [6]0 l (4.4)

mengingat rumus transformasi

ψi[6]0 = U(x)ijψj[6]

ψk[6]0 = U(x)klψ

[6]

l (4.5)

maka diperoleh fungsi gelombang dalam representasi [15] sebagai berikut

ψ[15]0 = U(x)ijψj[6]U(x)klψl[6]−U(x)klψl[6]U(x)ijψj[6] = U(x)ijψj[6]{ψ [6] l U(x)kl} −U(x)ij{ψl[6]U(x)kl}ψj[6] = U(x)ijψj[6]ψ [6] l U(x)kl−U(x)ijψi[6]ψ [6] j U(x)kl} = U(x)ij(ψj[6]ψ [6] l −ψ [6] l ψ [6] j )U(x)kl = U(x)ij(ψj[6]⊗ψ [6] l )U(x)kl = U(x)ijψ [15] jl UT(x)lk (4.6) Atau ψ[15]0 =U(x)ψ[15]UT(x) (4.7)

4.2 Covariant Derivatif

4.2.1 Sextet Covariant Derivatif

Covariant derivatif, sebagaimana didefinisikan dalam medan gauge pada grup simetri yang lebih kecil, berbentuk

iD6µ=i∂µ+gAµ =i∂µ+gAaµ

λa

(27)

4.2.2 15-antiplet covariant derivatif

Seperti biasa, ∂µ bersifat non-gauge-invariant

∂µψ[15] 0 = ∂µ{U(x)ψ[15]UT(x)} = (∂µU(x))ψ[15]UT(x) +U(x)(∂µψ[15])UT(x) +U(x)ψ[15]∂µUT(x) = U(x)(∂µψ[15])UT(x)−U(x){ig∂µθa λa 2 ψ [15] −ψ[15]ig∂µθa λT a 2 }U T₍_x₎_, (4.9) Untuk menghilangkan suku keduanya maka dibuat covariant derivatif

D15µψ[15] =∂µψ[15]+ig{Aaµ λa 2 ψ [15]₊_ψ[15]_A µ λaT 2 } (4.10)

4.3 Suku Kinetik Fermion

4.3.1 15-antiplet

Lagrangian medan bebas dalam fungsi gelombang 15-antiplet dapat ditulis sebagai berikut

L0 =ψ [15]

iγµ∂µψ[15] (4.11)

Sedangkan untuk medan-interaktif antara fermion dan boson gauge diperoleh La-grangian LI =ψ [15] γµ_g_A µ·Tψ[15] = ψ [15] γµ_gA µψ[15] = ψ[15]γµgAaµ λa 2 ψ [15] _(4.12) dengan Ta= ˜ λa 2 (4.13)

sehingga didapat suku kinetik fermion untuk fungsi gelombang 15-antiplet sebagai berikut

(28)

= ψ[15]iγµ∂µψ[15]+ψ [15] γµgAµψ[15] = ψ[15]γµ(i∂µ+gAµ)ψ[15] = ψ[15]γµiDµψ[15] (4.14)

4.3.2 6-plet

Analog dengan suku kinetik fermion untuk ψ[15] _{maka suku kinetik fermion untuk}

ψ[6] _{dapat ditulis}

L = (ψ[6]iγµ_D

µψ[6]) (4.15)

4.3.3 Suku Kinetik Fermion Total

Dengan menjumlahkan suku kinetik fermion untuk ψ[15] dan ψ[6] _{maka diperoleh} suku kinetik fermion total

L= Tr_{ψ[15]iD/µψ[15]} −m00ψ [15]

ψ[15]+ψ[6]iD/µψ[6] (4.16)

Dengan Lagrangian medan bebas dan Lagrangian medan interaktifnya masing-masing

L0 = Tr{ψ [15] i∂/µψ[15]} −m00ψ [15] ψ[15]+ψ[6]i∂/ ψ[6] (4.17) LI = iTr{ψ [15] i(gA/aµ λa 2 ψ [15]_{) +}_gψ[15]_ψ[15]_A/ µa λaT 2 }+{ψ [6] (gA/aµ λa 2 ψ [6]₎ }(4.18) Perhitungan dari suku kinetik fermion dapat dilihat di bagian Lampiran. Dari suku kinetik fermion ini maka dapat dibentuk Feynman Rule.

4.4 Suku Interaksi Yukawa

Untuk mendapatkan massa fermion maka perlu dilakukan mekanisme Higgs untuk mem-breakSU(6) sampai ke Standard Model. Untuk itu dibutuhkan tiga kali break-ing untuk bisa mencapai Standard Model.

SU(6) _→ SU(3)C ⊗SU(3)H ⊗U(1)C

→ SU(3)C ⊗SU(2)L⊗SU(2)B⊗U(1)C

(29)

Untuk membuat interaksi Yukawa maka perlu dibuat skalar Higgs. Teori grup meng-haruskan skalar yang dapat membentuk kopling Yukawa harus berasal dari perkalian tensor dari [6] dan [15] (Fungsi keadaan untuk fermion pada teori SU(6)).

[6]_⊗[6] = [21]_⊕[15],

[6]_⊗[15] = [70]_⊕[20], (4.20)

[15]_⊗[15] = [105]_⊗[105]_⊗[15]

Untuk menyederhanakan persoalan, dipilih representasi dimensional skalar Higgs yang paling sedikit, yaitu [21],[20] dan dua [15].Untuk menghasilkan suku massa maka pada Lagrangian perlu ditambahkan suku

Lmass=mψψ (4.21)

Jika ditulis komponenleft-handeddanright-handeddariψmaka persamaannya men-jadi

Lmass=m(ψLψR+ψRψL) (4.22)

Karena pada teori SU(6) di-assign psiL 15 dimensi dan ψR 6 dimensi, maka

per-samaan tersebut tidak dapat dikalikan. Disini diperkenalkan mekanisme Higgs, yaitu dengan cara dengan menyisipkan suku Higgs pada persamaan diatas sehingga didap-at suku Lagrangian interaksi Yukawa. Untuk teoriSU(6) diperoleh suku Lagrangian untuk interaksi Yukawa

LY =T r fuψ [15] R Φ[15]ψ [15] L + 4fνψ [6] RΦ[15] 0 ψL[6]+ 2fdψ [6] Rψ [15] L Φ[20]+h.c. (4.23)

Pada bagian pertama darisymmetry breaking,SU(6)_→SU(3)C⊗SU(3)H⊗U(1)C,

Φ[21] _mem-_breaks _{simetri tanpa menghasilkan massa fermion. Secara umum Φ}[21] memiliki 42 medan skalar real, sedangkan simetri SU(6) memiliki 35 boson gauge yang tak bermassa maka Φ[21] _{haruslah memiliki 7 boson Higgs fisis. Φ}[21] _memiliki

(30)

bentuk Φ[21] =φ[21]₇ I+            φ[21]₁ φ[21]2 φ[21]₃ φ[21] φ[21] φ[21]            T35 (4.24)

yang akan menghasilkan massa dari quark up, quark down, neutrino dan lepton. Φ[21] _{hanya digunakan untuk mem-}_break_simetri_SU_{(6) di bagian pertama dan tidak} menghasilkan massa fermion. Untuk simmetry breaking bagian kedua digunakan dua skalar Higgs 15-dimensi. Higgs 15-dimensi yang pertama Φ[15]0

memiliki 6 boson Higgs dari 30 skalar Higgs real, karena dibutuhkan 17 boson gauge tak bermassa untuk mempertahankan simetriSU(3)C⊗SU(2)L⊗U(1)B⊗U(1)C dan sebelumnya

sudah didapat 7 boson Higgs. Φ[15]0

ini berbentuk Φ[15]0 =             0 0 0 φ[15]1 0 0 0 0 0 0 φ[15]2 0 0 0 0 0 0 φ[15]3 0 0 0 φ[15]₄ 0 φ[15]₅ 0 φ[15]₆ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0             (4.25) Higgs Φ[15]0

ini akan membentuk massa quark up. Akan tetapi masih diperlukan Higgs lain untuk membentuk massa quark down, neutrino dan lepton. untuk itu digunakan skalar Higgs 15 dimensi yang kedua. Seperti sebelumnya, 30 medan skalar real dikurang 17 massless boson gauge sehingga didapat 13 boson Higgs. Bentuk Φ[15] Φ[15] ₌              φ[15]₁ (−2/3) φ₁[15](−2/3) φ₁[15](−2/3) φ[15]₂ (−1/3) φ[15]₃ (2/3) φ[15]₄ (−1/3) φ[15]1 (−2/3) φ [15](−2/3) 1 φ [15](−2/3) 1 φ [15](−1/3) 2 φ [15](2/3) 3 φ [15](−1/3) 4 φ[15]₁ (−2/3) φ₁[15](−2/3) φ₁[15](−2/3) φ[15]₂ (−1/3) φ[15]₃ (2/3) φ[15]₄ (−1/3) φ₅[15](+2/3) φ[15]₅ (+2/3) φ₅[15](+2/3) φ[15]₆ (+1) φ[15]₇ (+2) φ[15]₈ (+1) φ[15]9 (−1/3) φ [15](−1/3) 9 φ [15](−1/3) 9 φ [15](0) 10 φ [15](+1) 6 φ [15](0) 11 φ₁₂[15](−1/3) φ₁₂[15](−1/3) φ₁₂[15](−1/3) φ[15]₁₁ (0) φ[15]₈ (+1) φ[15]₁₃ (0)              . (4.26)

(31)

Skalar Higgs terakhir diambil skalar Higgs 20 dimensi, yang memiliki 40 medan skalar real dikurang total boson Higgs: 7 + 13 + 6 = 26 dan 12 boson gauge tak bermassa untuk menjaga simetriSU(3)C⊗SU(2)L⊗U(1)Bsehingga didapat 2 skalar

Higgs real. Bentuk Φ[20]_:

Φ[20] =              φ[20]1 (1/3) φ[20]₁ (1/3) φ[20]1 (1/3) φ[20]₂ (−1) φ[20]₃ (0) φ[20]4 (0)              , (4.27)

4.5 Suku Kinetik Higgs

Pada skala electroweak suku kinetik Higgs yang diperlukan hanyalah suku kinetik untuk Higgs 20 dimensi saja:

LHiggs−kin = 1 2 D6µΦ20 † D6µΦ20 =              φ[20]1 (1/3) φ[20]1 (1/3) φ[20]₁ (1/3) φ[20]2 (−1) φ[20]₃ (0) φ[20]4 (0)                   G3+G8−HC G−1 G−2 X1− Y1− Z1− G+₁ −G3+G8−HC G−4 X − 2 Y − 2 Z − 2 G+2 G + 4 −2G8−HC X3− Y3− Z3− X₁+ X₂+ X₃+ H3+HB+HC H−1 H − 2 Y+ 1 Y + 2 Y + 3 H + 1 −H3+HB+HC H4− Z₁+ Z₂+ Z₃+ H₂+ H₄+ −2HB+HC           G3+G8−HC G+1 G + 2 X + 1 Y + 1 Z + 1 G− 1 −G3+G8−HC G + 4 X + 2 Y + 2 Z + 2 G− 2 G − 4 −2G8−HC X + 3 Y + 3 Z + 3 X− 1 X−2 X−3 H3+HB+HC H1+ H + 2 Y− 1 Y − 2 Y − 3 H − 1 −H3+HB+HC H + 4 Z− 1 Z2− Z3− H2− H−4 −2HB+HC     

(32)

             φ[20]1 (1/3) φ[20]₁ (1/3) φ[20]1 (1/3) φ[20]₂ (−1) φ[20]3 (0) φ[20]4 (0)              = h (v1Y1++v2Z1+) (v1Y2++v2Z2+) (v1Y3++v2Z3+) (v1H1++v2H2+) (v1(−H3+HB+HC) +v2H4+) (v1H4−+v2(−2HB+HC)) i           Y1+v1+Z1+v2 Y+ 2 v1+Z2+v2 Y₃+v1+Z3+v2 H1+v1+H2+v2 (₋H3+HB+HC)v1+H4+v2 H− 4 v1+ (−2HB+HC)v2           = (v1Y1++v2Z1+)(Y1+v1+Z1+v2) + (v1Y2++v2Z2+)(Y2+v1+Z2+v2) +(v1Y3++v2Z3+)(Y3+v1+Z3+v2) + (v1H1++v2H2+)(H1+v1+H2+v2) +(v1(₋H3+HB+HC) +v2H4+)((−H3+HB+HC)v1+H4+v2) +(v1H4−+v2(−2HB+HC))(H₄−v1+ (−2HB+HC)v2) (4.28)

(33)

Bab 5

Hasil dan Pembahasan

Dari suku kinetik yang sudah dihitung maka bisa didapat aturan Feynman untuk teori SU(6). Diagram Feynman yang dibuat dari aturan Feynman tersebut antara lain: G µ i 2 6 g γ i i d d 3 B C (-H +H +H ) di R d µ γ 2 6 g i i

(34)

X L di d µ γ 2 6 g i i Y C i l ν ( ) L d µ γ 2 6 g i i i l (N ) Z d 6γ i i µ g 2 C 1 -H R C u µ γ 2 6 g i di

(35)

+ 4 H j d R µ γ 2 6 g i di X j + (l ) -i γµR 2 6 g di 2 -H uR j -i γµR 2 6 g d 4 i d -H j -i γµR 2 6 g d

(36)

i B C (2H +H ) j d j R µ γ 2 6 g d (l )i + X i j R µ γ 2 6 g d C i l (N ) R µ γ 6 g 2 i Y j d di X + L i (l ) µ γ 6 g 2 i

(37)

3 B C (H +H +H ) (l )i + + i (l ) µ γ 6 g 2 i B C (2H +H ) R (l )i + + i (l ) µ γ 6 g 2 i i C l L 1 + H ν ( ) + i (l ) µ γ 6 g 2 i 2 i l (N ) L H + + i (l ) µ γ 6 g 2 i

(38)

-1 H C R i l (N ) + + i (l ) µ γ 6 g 2 i Z u R + i (l ) µ γ 6 g 2 i - -4 j + (l ) H R + i (l ) µ γ 6 g 2 i X j d R + i (l ) µ γ 6 g 2 i

(39)

- Y u R + i (l ) µ γ 6 g 2 i 3 B C (H +H +H ) (l ) j + (l ) R + j µ γ 6 g 2 i + 2 H C i l (N ) (l ) R + j µ γ 6 g 2 i Y d i -( ) l L i ν + µ γ 6 g 2 i

(40)

i + (l ) -1 H -( ) l L i ν + µ γ 6 g 2 i (-H +H +H ) 3 B C l i ν ( ) ( ) l L i ν + µ γ 6 g 2 i i l (N ) 4 + H -( ) l L i ν + µ γ 6 g 2 i Z (N )i l i d + µ γ 6 g 2 i

(41)

H C -ν l i ( ) L -4 (N )i l + µ γ 6 g 2 i B C (2H +H ) i (N ) l L (N )i l + µ γ 6 g 2 i -2 H -lj R C (N )i l µ γ 6 g 2 i Y j d R C (N )i l µ γ 6 g 2 i

(42)

- -1 H i + (l ) R C (N )i l µ γ 6 g 2 i 2 (H +H +H )3 B C u u R µ γ 6 g i Y -j + (l ) 2 u R µ γ 6 g i + 1 H i d -2 u R µ γ 6 g i

(43)

u G 2 u R µ γ 6 g i

Dari aturan Feynman yang telah dibuat, terlihat adanya interaksi baru pada teori

SU(6) ini. Interaksi-interaksi tersebut antara lain merupakan interaksi-interaksi yang melibatkan boson-boson X, Y, Z, H2, H4 sebagai kouplingnya. Boson-boson ini merupakan boson-boson baru yang diperkenalkan pada teori SU(6). Interaksi-interaksi baru ini akan memberikan konsekuensi fenomenologis pada eksperimen-eksperimen fisika energi tinggi antara lain proton decay, NuteV, dll.

(44)

Lampiran A

Perhitungan Suku Kinetik

Sebelum dilakukan perhitungan suku kinetik medan boson Aa

µλa perlu didefinisikan terlebih dahulu A/aµλa = γµ            A3+ √1₃A8− √1₃A35 A1−iA2 A4 −iA5 A1+iA2 −A3+ √1₃A8− √1₃A35 A6 −iA7 A4+iA5 A6+iA7 √−2₃A8− √1₃A35 A9+iA10 A11+iA12 A13+iA14 A15+iA16 A17+iA18 A19+iA20 A21+iA22 A23+iA24 A25+iA26 A9 −iA10 A15−iA16 A21−iA22 A11−iA12 A17−iA18 A23−iA24 A13−iA14 A19−iA20 A25−iA26 A29+ √1₃A34+√1₃A35 A27−iA28 A30−iA31 A27+iA28 −A29+ √1₃A34+√1₃A35 A32−iA33 A30+iA31 A32+iA33 √−2₃A34+√1₃A35            = 1 2γ µ      G3+G8−HC G+1 G + 2 X + 1 Y + 1 Z + 1 G− 1 −G3+G8−HC G+4 X + 2 Y + 2 Z + 2 G− 2 G − 4 −2G8−HC X + 3 Y + 3 Z + 3 X− 1 X2− X3− H3+HB+HC H1+ H + 2 Y− 1 Y − 2 Y − 3 H − 1 −H3+HB+HC H + 4 Z− 1 Z2− Z3− H−2 H4− −2HB+HC     , (A.1) dengan G±1 ≡ A1∓iA2, G±2 ≡ A4 ∓iA5, G3 ≡ A3, G±4 ≡ A6∓iA7, G8 ≡ A8/ √ 3, X± 1 ≡ A9 ∓iA10, X2± ≡ A11∓iA12, X3± ≡ A13∓iA14, Y1± ≡ A15 ∓iA16, Y2± ≡ A17∓iA18, Y3±≡A19∓iA20,Z1±≡A21∓iA22, Z2±≡A23∓iA24, Z3± ≡A25∓iA26, H1± ≡ A27∓iA28, H2± ≡A30∓iA31, H3 ≡ A29, HC ≡ A35/ √ 3 dan HB ≡A34/ √ 3.

(45)

Untuk memudahkan perhitungan makacolor state dibuat menjadi satu suku karena

color state tersebut masih dalam state yang sama, sehingga untuk sextet menjadi

ψR[6] =      d (`i₎+ −(νi `)C N`i      R (A.2)

sedangkan 15-plet menjadi

ψ[15]L =   0 u −di −dj −uC ₀ ₍_`j₎+ −(ì₎+ di −(`j₎+ ₀ ₍_N ì) C dj ₍_ì₎+ −(N_ì)C ₀   L (A.3) dan medan bosonnya disederhanakan menjadi

Aa µλa=   G X Y Z X (H3+HB+Hc) H+1 H + 2 Y H− 1 (−H3+HB+HC) H+4 Z H− 2 H − 4 (2HB+HC)   (A.4)

Dengan penyederhanaan ini maka bisa dibuat perhitungan suku kinetiknya.

A.1 Suku Kinetik Sextet

Suku kinetik untuk fungsi gelombang sextet bentuknya

LK6 = iψ [6] D/ ψ[6] = iψ[6](∂/ +gA/a µ λa 2 )ψ [6] _(A.5)

Substitusi fungsi gelombang yang sudah disederhanakan sehingga suku kinetiknya menjadi LK = −ig6          h d (ì)+ ₋₍_νi l) Nì i R/∂      d (ì₎+ −(νi `)C Nì      R + 1 2 h d (ì)+ ₋₍_νi l) Nì i R            G X Y Z X (H3+HB+Hc) H1+ H + 2 Y H− 1 (−H3+HB+HC) H4+ Z H− 2 H − 4 (2HB+HC)        d (ì₎+ −(νi `)C Nì      R

(46)

= ig6 h d (ì)+ ₋₍_νi l) Nì i R∂/      d (ì₎+ −(νi `)C Nì      R +ig6 1 2 h d (ì)+ ₋₍_νi l) Nì i R      (GdL+X(ì)+L −Y(νì)CL+ZNì_L) (XdL+ (H3+HB+Hc)(ì)+L −H1+(νì)CL+H2+Nì_L) (Y dL+H1−(ì)+L−(−H3 +HB+HC)(νì)CL+H + 4 Nì_L) (ZdL+H2−(ì)+L−H4−(νì)CL + (2HB+HC)Nì_L)      = ig6 n dLγµ∂µdL+ (` i )+Lγµ∂µ(ì)+L+ (νil)Lγµ∂µ(νì)CL+Nì_Lγµ∂_µN_ì_L o +if racg62ndLγµ(GdL+X(ì)+L −Y(ν i `) C L +ZNì_L) +(ì)+Lγ µ (XdL+ (H3+HB+Hc)(ì)+L −H1+(ν i `) C L +H2+Nì_L) −(νil)Lγµ(Y dL+H₁−(ì)+L −(−H3 +HB+HC)(νì) C L+H4+Nì_L) +Nì_Lγµ(Zd_L+H₂−(ì)+_L−H₄−(ν_ì)C_L + (2H_B+H_C)N_ì_L) o (A.6)

A.2 Suku Kinetik 15-plet

Subsitusi langsung dari fungsi gelombang yang sudah disederhanakan ke dalam suku kinetik lagrangian untuk 15-plet akan menghasilkan

LK15 = iψ [15] D/ ψ[15] = ig6ψ [15] (∂/ ψ[15]+A/aµ λa 2 ψ [15]₊_ψ[15]_A µa λaT 2 ) = ig6      0 uC _di dj u 0 (`j)+ ₍_ì )+ di (`j)+ ₀ ₍_N ì) C dj (ì)+ ₍_N ì) C ₀   R  _/_∂   0 u −di −dj −uC 0 (`j)+ −(ì)+ di −(`j)+ ₀ ₍_N ì) C dj (ì)+ −(N_ì)C 0   L +   G X Y Z X (H3+HB+Hc) H1+ H + 2 Y H− 1 (−H3+HB+HC) H4+ Z H− 2 H − 4 (2HB+HC)     0 u −di −dj −uC 0 (`j)+ −(ì)+ di −(`j)+ 0 (N_ì)C dj (ì)+ −(N_ì)C 0   L +   0 u −di −dj −uC ₀ ₍_`j₎+ −(ì₎+ di −(`j₎+ ₀ ₍_N ì) C dj ₍_ì₎+ −(N_ì)C ₀   L   G X Y Z X (H3+HB+Hc) H− 1 H + 2 Y H₁+ (−H3+HB+HC) H4− Z H2+ H + 4 (2HB+HC)        = ig6 2 n uC Rγµ∂µuCR+d i Rγµ∂µdiR+d j Rγµ∂µd j R +uRγµ∂µuR+ (` j )+Rγ µ ∂µ(`j)+R+ (` i )+Rγ µ ∂µ(ì)+R +diRγ µ ∂µdiR+ (` j )+Rγ µ ∂µ(`j)+R+ (Nì)C_Rγµ∂_µ(N_ì)C_R

(47)

+ +djRγµ∂µd j R+ (` i )+Rγµ∂µ(ì)+R+ (Nì)C_Rγµ∂_µ(N_ì)C_R o = +iig6 4 n −uCRγ µ (₋(H3+HB+Hc)uCR+H1+d i R+H2+d j R) +diRγ µ (₋H₁−uCR+ (−H3+HB+HC)diR+H4+d j R) +djRγ µ (₋H₂−uCR+H4−d i R+ (2HB+HC)djR) +uRγµ(GuR−Y(`j)+R+Z(` i )+R) −(`j)+_Rγµ₍_{Y u} R−(−H3+HB+HC)(`j)+R+H + 4 (ì)+R) +(ì)+_Rγµ₍_Zu R−H4−(`j)+R+ (2HB+HC)(ì)+R) −diRγµ(−GdiR+X(`j)+R−Z(Nì)C_R) +(`j)+Rγ µ (₋XdiR+ (H3+HB+Hc)(`j)+R−H2+(Nì)C_R) −(Nì)C_Rγµ(−Zdi_R+H₂−(`j)+_R−(2H_B+H_C)(N_ì)C_R) −djRγ µ (₋GdjR−X(` i )+R+Y(Nì)C_R) −(ì)+Rγ µ (₋XdjR−(H3+HB+Hc)(ì)+R+H1+(Nì)C_R) +(Nì)C_Rγµ(−Y dj_R−H₁−(ì)+_R+ (−H₃+H_B+H_C)(N_ì)C_R) −uC R(−u C Rγ µ_G_{+ (}_`j₎+ Rγ µ_Y −(ì₎+ Rγ µ_Z₎ +di_R(di Rγ µ_G −(`j₎+ Rγ µ_X_{+ (}_N ì)C_RγµZ) +djR(d j RγµG+ (ì)+RγµX−(Nì)C_RγµY) +uR(+uRγµ(H3+HB+Hc)−diRγ µ H₁+₋djRγ µ H₂+) −(`j)+R(d i Rγ µ X₋(`j)+Rγ µ (H3+HB+Hc) + (Nì)C_RγµH₂+) +(ì)+R(d j Rγ µ X+ (ì)+Rγ µ (H3+HB+Hc)−(Nì)C_RγµH₁+) −diR(+uRγµH₁−−diRγ µ (₋H3+HB+HC)−djRγ µ H₄+) +(`j)+R(−u C Rγ µ Y + (`j)+Rγ µ (₋H3+HB+HC)−(ì)+Rγ µ H4+) −(Nì)C_R(d_RjγµY + (ì)+_RγµH₁−−(N_ì)C_Rγµ(−H₃+H_B+H_C)) −dj_R(+uRγµH2+−diRγ µ_H− 4 −d j Rγ µ₍₂_H B+HC)) −(ì)+_R(₋uC Rγ µ_Z_{+ (}_`j₎+ Rγ µ_H− 4 −(ì)+Rγ µ₍₂_H B+HC)) + (Nì)C_R(d_Ri γµZ −(`j)+_RγµH₂++ (N_ì)_RCγµ(2H_B+H_C)) o (A.7)

(48)

A.3 Suku Kinetik Total

Suku Kinetik Total diperoleh dari penjumlahan Suku Kinetik sextet dengan Suku Kinetik 15-plet LK = LK15+LK8 = ig6 n diγµ∂µdi+ (` i )+γµ∂µ(ì)++ (νil) C Lγ µ ∂µ(νì) C L +Nì_Lγµ∂_µN_ì_L +1 2u C Rγ µ_∂ µuCR+d j Rγ µ_∂ µdjR+ 1 2uRγ µ_∂ µuR+ (` j )+ Rγ µ_∂ µ(`j)+R +1 2(Nì) C Rγ µ_∂ µ(Nì)C_R+ 1 2 + (Nì) C Rγ µ_∂ µ(Nì)C_R o +ig6 2 n diγµGd+diRγ µ (₋H3+HB+HC)diR+d i Lγ µ X(ì)+L −di_Lγµ_Y₍_νi `) C L +d i γµ_Z₍_N ì)C+d i Rγ µ_H− 1 uCR +di_Rγµ_H+ 4 d j R−d i Rγ µ_X₍_`j₎+ R −dj_Rγµ_H− 2 uCR+d j Rγ µ_H− 4 diR+d j Rγ µ₍₂_H B+HC)djR −dj_Rγµ_Gdj R+d j Rγ µ_X₍_ì₎+ R+d j Rγ µ_Y₍_N ì)C_R +(ì)+LγµXdiL+ (` i )+γµ₍_H 3+HB+HC)(ì)++ (` i )+Rγµ(2HB+HC)(ì)+R −(ì₎+ Lγ µ H₁+(νì) C L+ (` i )+Lγ µ H₂+(Nì)_L−(ì)+_RγµH₁+(N_ì)C_R +(ì₎+ Rγ µ ZuR−(ì)+Rγ µ H₄−(`j)+R+ (ì)+Rγ µ XdjR −(`j)+Rγ µ Y uR+ (` j )+Rγ µ (₋H3+HB+HC)(`j)+R−(` j )+Rγ µ H₅+(ì)+R −(`j)+ Rγ µ_Xdi R+ (` j )+ Rγ µ₍_H 3+HB+HC)(`j)+R−(` j )+ Rγ µ_H+ 2 (Nì)C_R −(νi `)LγµY diL−(ν i `)LγµH1−(ì)+L + (ν i `)Lγµ(−H3+HB+HC)(νì)L −(νi `)LγµH4+(Nì)_L+ (N_ì)γµZdi+ (N_ì)_LγµH₂−(ì)+_L −(Nì)_LγµH₄−(ν_ì)C_L+ (N_ì)_Lγµ(2H_B+H_C)(N_ì)_L +(Nì)C_Rγµ(−H₃+H_B+H_C)(N_ì)C_R−(N_ì)C_RγµH₂−(`j)_R+ (N_ì)C_RγµY dj_R −(Nì)C_RγµH₁−(ì)+_R +uRγµGuR−uRγµY(`j)R++uRγµ(H3+HB+HC)uR −uRγµH₁+diR o (A.8)

(49)

Daftar Acuan

[1] S.L. Glashow, Nucl. Phys. 22 (1961) 579; S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 264;

A. Salam, Elementary Particle Theory, Eds. N. Svartholm, Almquist and Wik-sells, Stockholm (1968);

S. Glashow, J. Iliopoulos and L. Maiani, Phys. Rev.D2 (1970) 1285. [2] Particle Data Group, Phys. Lett. 592 (2004) 1.

[3] S. Fukudaet.al.(Super-Kamiokande Collaboration),Phys. Rev. Lett.81(1998) 1562;

ibid.,Phys. Rev. Lett. 86 (2001) 5651.

[4] G.P. Zeller et.al. (NuTeV Collaboration), Phys. Rev. Lett. 88 (2002) 091802; For a comprehensive review on both theoretical and experimental aspects see : G.P. Zeller, PhD Theses, Northwestern University (2002).

[5] C. Aalsethet.al.(Working Group on Neutrinoless double beta decay and direct search for neutrino mass), hep-ph/0412300 (2004).

[6] ATLAS, ATLAS TDR on Physics Performance Vol. 2 (1999); CMS TP, CERN/LHC 94-38 (1994);

E. Accomando et.al. , Phys. Rep.299 (1998) 1;

J.A. Aguilar-Saavedra et.al. ,hep-ph/0106315 (2001); T. Abe et.al. ,hep-ph/0109166 (2001);

(50)

B. Austin, A. Blondel and J. Ellis (eds.), CERN 99-02 (1999);

C.M. Ankenbrandt et.al. , Phys. Rev. ST Acc. Beams2 (1999) 081001. [7] H. Georgi and S.L. Glashow, Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 438.

[8] H. Georgi, Particles and Fields (Ed. C.E. Carlson) (1975); H. Fritzsch and P. Minkowski, Ann. Phys. 93 (1975) 193. [9] A. Hartanto and L.T. Handoko, Phys. Rev.D71 (2005) 095013;

A. Hartanto, C. Wijaya and L.T. Handoko, in preparation .

[10] M. Fukugita, T. Yanagida and M. Yoshimura, Phys. Lett. B109(1982) 369. [11] P. Majumdar, Phys. Lett. B121 (1983) 25;

K. Tabata, I. Umemura and K. Yamamoto, Prog. Theor. Phys. 71 (1984) 615. [12] J. Banks and H. Georgi, Phys. Rev.D14 (1976) 1158;

S. Okubo, Phys. Rev. D16(1977) 3528.

[13] For example see : F.L. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, Oxford Science Publications (1992).

[14] For example see : R.N. Mohapatra, Unification and Supersymmetry : The Frontiers of Quark-Lepton Physics, Springer Verlag New York Inc. (1992). [15] M. Gell-Mann, Phys. Rev. 125 (1962) 1067.