GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

(1)

A.

A. PendahuluanPendahuluan

Didalam fisika dasar, khususnya pada pembahasan listrik statis, kita dapat Didalam fisika dasar, khususnya pada pembahasan listrik statis, kita dapat memperoleh besaran medan listrik E tanpa kehadiran medan magnet B, misalnya memperoleh besaran medan listrik E tanpa kehadiran medan magnet B, misalnya medan listrik E yang disebabkan oleh muatan Q. Demikian pula kita dapat medan listrik E yang disebabkan oleh muatan Q. Demikian pula kita dapat memperoleh besaran medan magnet B tanpa kehadiran medan listrik E, misalnya memperoleh besaran medan magnet B tanpa kehadiran medan listrik E, misalnya medan magnet B yang ditimbulkan oleh penghantar panjang berarus. Kedua gejala medan magnet B yang ditimbulkan oleh penghantar panjang berarus. Kedua gejala tersebut bisa terjadi karena medan listrik E dan medan magnet B tidak berubah tersebut bisa terjadi karena medan listrik E dan medan magnet B tidak berubah terhadap waktu. Selanjutnya untuk pembahasan E dan B yang berubah dengan waktu, terhadap waktu. Selanjutnya untuk pembahasan E dan B yang berubah dengan waktu, keberadaan medan listrik E selalui disertai medan magnet B, dan sebaliknya. keberadaan medan listrik E selalui disertai medan magnet B, dan sebaliknya. Keterkaitan anatar keduanya diungkapkan dengan persamaan Maxwell. Persamaan Keterkaitan anatar keduanya diungkapkan dengan persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell merupakan hukum yang mendasari teori medan elektromagnetik. Perannya Maxwell merupakan hukum yang mendasari teori medan elektromagnetik. Perannya didalam teori medan elektromagnetik seperti Hukum Newton dalam mekanika.

didalam teori medan elektromagnetik seperti Hukum Newton dalam mekanika.

Energi dan momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik Energi dan momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik E dan

E dan medan magnet B ymedan magnet B yang dapat menjalar melalui vakumkan. ang dapat menjalar melalui vakumkan. Sumber gelomabngSumber gelomabng ini berupa muatan-muatan listrik yang berosilasidalam atom, dalam molekul, atau ini berupa muatan-muatan listrik yang berosilasidalam atom, dalam molekul, atau mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio.

mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio.

Pada bab ini akan ditujukkan penurunan persamaan

Pada bab ini akan ditujukkan penurunan persamaan Maxwell, yang sebenarnyaMaxwell, yang sebenarnya secara sendiri sudah kita kenal dari fisika dasar. Kemudian akan dibahas secara sendiri sudah kita kenal dari fisika dasar. Kemudian akan dibahas penerapannya dal

penerapannya dalam am pelajaran pelajaran gelombang EM gelombang EM untuk untuk ruang hampa ruang hampa dan dan medium, medium, dandan diakhiri dengan gejala pandu gelombang.

diakhiri dengan gejala pandu gelombang.

B.

B. PersamaaPersamaan n MaxwellMaxwell

Persamaan maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan Persamaan maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri atas 4 persamaan medan, yang magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri atas 4 persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun sumber arus. Untuk ruang vakum tanpa sumber muatan, sumber muatan ataupun sumber arus. Untuk ruang vakum tanpa sumber muatan, persamaan maxwell dirumuskan sebagai berikut :

persamaan maxwell dirumuskan sebagai berikut : 1. 1.

∇.E=0

2. 2.

∇.B=0

(5.1)(5.1) 3. 3.

∇.E=



4. 4.

∇.E=μ



εε 

(2)

Persamaan pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang Persamaan pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa : jumlah garis gaya medan listrik yang menebus suatu permukaan menyatakan bahwa : jumlah garis gaya medan listrik yang menebus suatu permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut. tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut. Secara matematis hukum Gauss ini dituliskan dengan :

Secara matematis hukum Gauss ini dituliskan dengan :

∮∮E.nE.n

dA= dA=

∑∑





(5.2.a)(5.2.a)

∮∮E.nE.n

dA= dA=





∫∫dqdq

(5.2.b)(5.2.b)

∮∮E.nE.n

dA= dA=





∫∫ρ dV

ρ dV

(5.2.c)(5.2.c)

Melalui teorema divergensi, ruas kiri persamaan (5.2.c) dapat kita tuliskan Melalui teorema divergensi, ruas kiri persamaan (5.2.c) dapat kita tuliskan menjadi :

menjadi :

∮∮∇∇..E E ddVV==





∫∫ρ dV

ρ dV

(5.3.a)(5.3.a) atau

atau

∇.E=





(5.3.4)(5.3.4)

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber makamaka

ρρ==00

, sehingga :, sehingga :

∇.E=0

(5.4)(5.4)

Persamaan maxwell kedua merupakan hukum Gauss magnetik, yang Persamaan maxwell kedua merupakan hukum Gauss magnetik, yang menyatakan fluks medan magnet yang menembus suatu permukaan tertutup sama menyatakan fluks medan magnet yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak adanya sumber medan berupa muatan magnetik. Atau dengan kata dengan nol, tidak adanya sumber medan berupa muatan magnetik. Atau dengan kata lain garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan magnet monopole. lain garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan magnet monopole. Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua ini dapat kita tuliskan dalam Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua ini dapat kita tuliskan dalam bentuk integral sebagai berikut :

bentuk integral sebagai berikut :

ΦΦ



==

∮∮B .nB .n

dA = 0 dA = 0

∮∮B.nB.n

dA dA = = 0 0 (5.5)(5.5)

Dengan menggunakan teorema divergensi, maka persamaan diatas dapat kita Dengan menggunakan teorema divergensi, maka persamaan diatas dapat kita tuliskan menjadi :

tuliskan menjadi :

∇.=0

(3)

Persamaan maxwell ketiga, mengungkapkan pangaruh medan magnet yang Persamaan maxwell ketiga, mengungkapkan pangaruh medan magnet yang berubah

berubah dengan dengan waktu, waktu, yang yang tidak tidak lain lain merupakan merupakan hukum hukum Faraday-Lenz Faraday-Lenz sebagaisebagai berikut :

berikut :

εε= 

= 



(5.7.a)(5.7.a)

εε= 

= 



∮∮B.nB.n

dA dA (5.7.b)(5.7.b) Dari fisika dasar, kita sudah peroleh bahwa

Dari fisika dasar, kita sudah peroleh bahwa

εε= = ∫∫E.dℓ

E.dℓ

, sehingga persamaan, sehingga persamaan (5.7.b) tersebut dapat kita tuliskan menjadi :

(5.7.b) tersebut dapat kita tuliskan menjadi :

∫∫E.dℓ=

E.dℓ=



∫∫B.n dA

B.n dA

(5.8)(5.8) Kemudian memalui teorema sokes, ruas kanan dapat kita tuliskan menjadi : Kemudian memalui teorema sokes, ruas kanan dapat kita tuliskan menjadi :

∫∫∇ x E.n

∇ x E.n

dA = - dA = -



∫∫B.n dA

B.n dA

(5.9.a)(5.9.a)

∇ x E

= - = -



(5.9.b)(5.9.b) Persamaan maxwell keempat merupakan hukum ampere. Seperti yang sudah Persamaan maxwell keempat merupakan hukum ampere. Seperti yang sudah kita pelajari pada fisika dasar, hukum ampere ini dirumuskan dengan :

kita pelajari pada fisika dasar, hukum ampere ini dirumuskan dengan :

∮∮B. dℓ

B. dℓ⃗⃗

= =

μμ



i i (5.10)(5.10) Melalui penerapan teorema stokes pada ruas kiri, dan dengan mengingat Melalui penerapan teorema stokes pada ruas kiri, dan dengan mengingat hubungan

hubungan

ii==∫∫J.n dA

J.n dA

, maka persamaan diatas dapat kita tuliskan menjadi bentuk :, maka persamaan diatas dapat kita tuliskan menjadi bentuk :

∫∫∇ x B.n

∇ x B.n

Da = Da =

μμ



∫∫J.n dA

J.n dA

(5.11.a)(5.11.a)

∇ ∇ x x EE= = μμ



JJ

(5.11.b)(5.11.b) Sedangkan rapat arus J =

Sedangkan rapat arus J =

εε

, sehingga persamaan (5.11.b) menjadi :, sehingga persamaan (5.11.b) menjadi :

∇ ∇ x x EE= = μμ



εε

_{}

(5.12)(5.12) Dari persamaan maxwell 3, kita dapat menarik kesimpulan bahwa medan Dari persamaan maxwell 3, kita dapat menarik kesimpulan bahwa medan listrik timbul karena perubahan medan magnet. Dan dari persamaan maxwell 4 listrik timbul karena perubahan medan magnet. Dan dari persamaan maxwell 4 mengungkapkan medan magnet timbul karena perubahan medan listrik. Interaksi mengungkapkan medan magnet timbul karena perubahan medan listrik. Interaksi

(4)

antara kedua medan ini akan menghasilkan gelomabang elektromagnetik, baik antara kedua medan ini akan menghasilkan gelomabang elektromagnetik, baik diruang vakum maupun dalam suatu bahan.

diruang vakum maupun dalam suatu bahan.

B.1

B.1Persamaan Gelombang Persamaan Gelombang ElektromagnElektromagnetiketik

Persamaan gelombang elektromagnetik dapat diturunkan dari persamaan Persamaan gelombang elektromagnetik dapat diturunkan dari persamaan Maxwell. Dari persamaan maxwell 3:

Maxwell. Dari persamaan maxwell 3:

∇ x E

= - = -



Kemudian ruas arus kiri dan ruas kanan kita diferensialkan dengan operasi rotasi, Kemudian ruas arus kiri dan ruas kanan kita diferensialkan dengan operasi rotasi, akan diperoleh :

akan diperoleh :

∇ x∇ x∇ x E

∇ x E==

--



∇ x B

∇ x B

(5.13)(5.13) Dengan mengingat vektor identitas

Dengan mengingat vektor identitas

∇ x∇ x∇ x E

∇ x E= = ∇∇∇ .∇ .EE∇∇



EE

, maka persamaan , maka persamaan (5.13) dapat kita tuliskan menjadi :

(5.13) dapat kita tuliskan menjadi :

∇∇∇ .∇ .EE∇∇



EE==



∇ x B

∇ x B

(5.14)(5.14) Kemudian persamaan maxwell 1 dan persamaan maxwell 4, kita substitusikan Kemudian persamaan maxwell 1 dan persamaan maxwell 4, kita substitusikan kedalam persamaan (5.14), akan diperoleh :

kedalam persamaan (5.14), akan diperoleh :

∇∇



EE= = μμ

_

εε

_{ }



_{}



(5.15.a)(5.15.a) atau atau

∇∇



EE



_







_

==00

(5.15.b)(5.15.b) dengan c = dengan c =



  







, kecepatan gelombang elektromagnetik diruang vakum., kecepatan gelombang elektromagnetik diruang vakum.

Melalui cara yang sama, untuk medan magnet B, dapat kita turunkan dari Melalui cara yang sama, untuk medan magnet B, dapat kita turunkan dari persamaan Maxwell 4, dan akan diperoleh :

persamaan Maxwell 4, dan akan diperoleh :

∇∇



BB



_





_{}

(5)

Persamaan (5.15) dan (5.16) ini adalah persamaan gelombang elektromagnetik dalam Persamaan (5.15) dan (5.16) ini adalah persamaan gelombang elektromagnetik dalam bentuk

bentuk diferensial. diferensial. Masing-masing Masing-masing mengandung mengandung tiga tiga persamaan persamaan diferensial diferensial yangyang terpisah sebagai berikut :

terpisah sebagai berikut : Untuk medan listrik : Untuk medan listrik :

















_





EE



==00

(5.17.a)(5.17.a)

















_





EE



==00

(5.17.b)(5.17.b)

















_





EE



==00

(5.17.c)(5.17.c) Untuk medan magnet :

Untuk medan magnet :

















_





BB



==00

(5.18.a)(5.18.a)

















_





BB



==00

(5.18.b)(5.18.b)

















_





BB



==00

(5.18.c)(5.18.c) Solusi yang paling sederhana dari persamaan (5.15) dan (5.16) tersebut adalah : Solusi yang paling sederhana dari persamaan (5.15) dan (5.16) tersebut adalah :

EEz,z,tt= = EE



coscoskkzz  ωωtt

(5.19)(5.19)

BBz,z,tt= = BB



coscoskkzz  ωωtt

(5.20)(5.20) Bentuk solusi ini merupakan contoh eksplisit dari bentuk umum

Bentuk solusi ini merupakan contoh eksplisit dari bentuk umum

f f kkzz  ωωtt

, yang, yang dikenal sebagai gelombang datar (plane wave), yang merambat dengan kecepatan v = dikenal sebagai gelombang datar (plane wave), yang merambat dengan kecepatan v =

ωω

/k, dengan sifat-sifat sebagai berikut :/k, dengan sifat-sifat sebagai berikut :

--

Mempunyai arah jalar tertentu ( dalam persamaan tadi, arah z)Mempunyai arah jalar tertentu ( dalam persamaan tadi, arah z)

--

Tidak mempunyai komponen pada arah rambatTidak mempunyai komponen pada arah rambat

--

Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (padaTidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (pada contoh ini koordinat transversalnya adalah x dan y.

contoh ini koordinat transversalnya adalah x dan y.

Sehingga dengan mengacu pada sifat tersebut, solusi persamaan gelombang menjadi : Sehingga dengan mengacu pada sifat tersebut, solusi persamaan gelombang menjadi :

(6)

BB= = ̂̂ B B



z,z,tt  ĵĵ B B



z,z,tt  kk B B



z z,,tt

(5.22)(5.22) Sebutan datar berkaitan dengan bentuk muka gelombangnya yang berbentuk bidang Sebutan datar berkaitan dengan bentuk muka gelombangnya yang berbentuk bidang datar tegak lurus pada

datar tegak lurus pada

kk,,

jadi bidang ini dinyatakan dengan : jadi bidang ini dinyatakan dengan :

kk..zz==kkoonns s ttaann

(5.23)(5.23) Dan ditunjukkan seperti pada gambar 5.1.

Dan ditunjukkan seperti pada gambar 5.1.

Gambar 5.1 Gambar 5.1

Ilustrasi muka gelombang dari gelombang datar Ilustrasi muka gelombang dari gelombang datar

B.2

B.2TransversaTransversalitas litas Gelombang ElektromagnetikGelombang Elektromagnetik

Sifat lain dari gelombang datar adalah transversalitasnya. Untuk memperlihatkan Sifat lain dari gelombang datar adalah transversalitasnya. Untuk memperlihatkan hal ini, kita subtitusikan persamaan (5.21) ke dalam persamaan Maxwell 1, diperoleh : hal ini, kita subtitusikan persamaan (5.21) ke dalam persamaan Maxwell 1, diperoleh :

,,

_{ }

,,

_{ }

,,

_

₌₌₀₀

(5.25)(5.25) Suku pertama dan kedua ruas kiri dari persamaan (5.25) sama dengan nol, sehingga : Suku pertama dan kedua ruas kiri dari persamaan (5.25) sama dengan nol, sehingga :

(7)

Dari persamaan (5.26) ini berarti bahwa

EE



tidak bergantung pada z. tidak bergantung pada z.

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (5.22) dan (5.23) kedalam persamaan Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (5.22) dan (5.23) kedalam persamaan maxwell 4, kita akan peroleh :

maxwell 4, kita akan peroleh :



_







_



==εε

_

μμ

_{ }

_



(5.27)(5.27) Ruas kiri sama dengan nol, sehingga :

Ruas kiri sama dengan nol, sehingga :





_

,,

==00

(5.28)(5.28)

Hal ini berarti bahwa

EE



tidak bergantung pada t.tidak bergantung pada t.

Dari persamaan (5.26) dan (5.28), dapat ditarik kesimpulan bahwa

EE



(z,t) = konstan =(z,t) = konstan = 0. Dengan kata lain arah getar dari gelombang medan listrik adalah tegak lurus pada 0. Dengan kata lain arah getar dari gelombang medan listrik adalah tegak lurus pada arah rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-komponen pada arah rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus pada arah rambat.

arah yang tegak lurus pada arah rambat.

Cara yang sama dapat kita turungkan untuk gelombang magnetnya, dan akan Cara yang sama dapat kita turungkan untuk gelombang magnetnya, dan akan diperoleh kesimpulan bahwa arah getar gelombang medan magnet pun tegak lurus diperoleh kesimpulan bahwa arah getar gelombang medan magnet pun tegak lurus terhadap arah rambatnya. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang terhadap arah rambatnya. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

elektromagnetik merupakan gelombang transversal.

Sekarang akan dicari hubungan matematis antara medan listrik dan ,medan Sekarang akan dicari hubungan matematis antara medan listrik dan ,medan magnet dari gelombang elektromagnetik. Untuk itu dimisalkan gelombang menjalar magnet dari gelombang elektromagnetik. Untuk itu dimisalkan gelombang menjalar dalam arah z, dan ditunjukkan seperti pada gambar 5.2 berikut ini.

dalam arah z, dan ditunjukkan seperti pada gambar 5.2 berikut ini.

Gelombang elektromagnetik menjalar dari arah z Gelombang elektromagnetik menjalar dari arah z

(8)

Pada gelombang ini dapat kita tuliskan : Pada gelombang ini dapat kita tuliskan : Untuk medan listrik :

Untuk medan listrik :

EE



==EE; E; E



= = EE



==0;0;

dengan

EE= = EE



cosk.zωt

(5.29)(5.29)

dan untuk medan magnet : dan untuk medan magnet :

BB



==BB; B; B



= = BB



==0;0;

dengan

BB= = BB



coscosk.zωt

k.zωt

(5.30)(5.30)

Persamaan (5.29) kita substitusikan kedalam persamaan Maxwell 3, akan diperoleh : Persamaan (5.29) kita substitusikan kedalam persamaan Maxwell 3, akan diperoleh :

̂̂ ∂∂∂x∂xĵĵ ∂∂∂y∂ykk ∂∂∂z∂zxx̂̂ E E



coskzωt

coskzωt==∂∂∂t∂tĵĵ B B



coskzωt

coskzωt

  



= =   



EE



== ωωkkBB



Mengingat

ωω

= k c, maka : = k c, maka :

kk x x EE==c c BB

(5.31.a)(5.31.a)

atau atau

EE



= = c Bc B



(5.31.b)(5.31.b)

Persamaan (5.31.a) dan (5.31.b) dapat pula kita peroleh dengan cara mensubstitusikan Persamaan (5.31.a) dan (5.31.b) dapat pula kita peroleh dengan cara mensubstitusikan persamaan (5.30) kedalam persamaan Maxwell 4.

persamaan (5.30) kedalam persamaan Maxwell 4.

Dari pembahas diatas, maka hubungan antara vektor propagasi k, medan listrik Dari pembahas diatas, maka hubungan antara vektor propagasi k, medan listrik E, dan medan magnet B, dapat ditunjukkan seperti pada gambar 5.3.

(9)

E E BB K K KK B B EE (a) (a) (b)(b) Gambar 5.3 Gambar 5.3

Hubungan antara kecamatan, E dan B Hubungan antara kecamatan, E dan B (a)

(a) arah rambat kanan. (b) arah rambat kiri.arah rambat kanan. (b) arah rambat kiri. B.3

B.3vektor poynting dan kekekalan energivektor poynting dan kekekalan energi

Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari energi medan listrik dan Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari energi medan listrik dan energi medan magnet. Rapat energi medan magnet sudah kita peroleh, yaitu :

energi medan magnet. Rapat energi medan magnet sudah kita peroleh, yaitu :

uu



== 112μ2μ

_

BB



Dan rapat energi medan listrik sudah kita pelajari dari fisika dasar, yaitu : Dan rapat energi medan listrik sudah kita pelajari dari fisika dasar, yaitu :

uu



==1122εε



EE



Sehingga rapat energi medan elektromagnetik dapat kita tuliskan dengan Sehingga rapat energi medan elektromagnetik dapat kita tuliskan dengan

uu= = uu



uu



uu==



BB







εε

_

EE



(5.32)(5.32)

Perubahan rapat energi terhadap waktu , atau laju perubahan rapat ener

Perubahan rapat energi terhadap waktu , atau laju perubahan rapat ener gi, adalah :gi, adalah :

(10)



==





BB∇ x E

∇ x E





EE∇ x B

∇ x B

(5.33.b)(5.33.b) Dengan mengingat vektor identitas

Dengan mengingat vektor identitas

∇.∇. E x B

E x B==B.B.∇ x E

∇ x E  E.E.∇ x B

∇ x B,,

maka maka persamaan (5.33.b) dapat kita tuliskan menjadi :

persamaan (5.33.b) dapat kita tuliskan menjadi :



==





∇.∇. E x B

E x B

(5.34.a)(5.34.a)



∇.S=0

(5.34.b)(5.34.b)

dengan : dengan :

SS==





E x B

E x B

(5.35)(5.35)

disebut vektor poynting, yang mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu disebut vektor poynting, yang mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu persatuan luas yang dibawa oleh medan elektromagnetik.

persatuan luas yang dibawa oleh medan elektromagnetik.

Persamaan (5.34.b), merupakan ungkapan kekekalan energi. Coba kita Persamaan (5.34.b), merupakan ungkapan kekekalan energi. Coba kita bandingkan deng

bandingkan dengan persamaan kontinuitas :an persamaan kontinuitas :

∂ρ∂ρdtdt∇.J=0

∇.J=0

Tampak adanya kesetaraan antara kedua persamaan tersebut. Rapat muatan Tampak adanya kesetaraan antara kedua persamaan tersebut. Rapat muatan

ρρ

digantikan dengan rapat energi u, rapat arus J digantikan dengan vektor poynting S. digantikan dengan rapat energi u, rapat arus J digantikan dengan vektor poynting S. Jelas bahwa vektor

Jelas bahwa vektor poynting mengupoynting mengungkapkan aliran energi, ngkapkan aliran energi, analog dengan rapat analog dengan rapat arusarus yang mengungkapkan aliran muatan.

yang mengungkapkan aliran muatan.

C.

C. Gelombang elektromagnetGelombang elektromagnetik dalam ik dalam mediummedium

Ketika kita mempelajari persamaan maxwell didepan, diasumsikan bahwa Ketika kita mempelajari persamaan maxwell didepan, diasumsikan bahwa rapat muatan

rapat muatan

ρρ==00

, dan rapat J = 0, hal ini tidak berlaku untuk vakum dan medium, dan rapat J = 0, hal ini tidak berlaku untuk vakum dan medium dielektrik. Didalam medium konduktif rapat arus J tidak sama dengan nol, besarnya dielektrik. Didalam medium konduktif rapat arus J tidak sama dengan nol, besarnya sebanding dengan medan listrik E, yang secara matematis diungkapkan dengan sebanding dengan medan listrik E, yang secara matematis diungkapkan dengan hukum Ohm:

hukum Ohm:J =J =

 . .

Didalam medium, dengan hanya memperhatikan muatan bebas dari arus bebas Didalam medium, dengan hanya memperhatikan muatan bebas dari arus bebas saja, persamaan maxwell menjadi :

saja, persamaan maxwell menjadi : 1.

1.

∇ ∇ .D.D==ρρ



2.

(11)

3.

∇ ∇ x x EE= = 



(5.13)(5.13) 4.

4.

∇ ∇ x x HH==JJ







C.1

C.1Gelombang elektromagnetGelombang elektromagnetik pada ik pada medium konduktifmedium konduktif

Didalam medium konduktif yang bebas sumber, dengan mengingat hubungan Didalam medium konduktif yang bebas sumber, dengan mengingat hubungan

BB==

μH μH dadan n DD==εEεE,,

persamaan Maxwell 4 berubah bentuk men persamaan Maxwell 4 berubah bentuk menjadi :jadi :

∇ ∇ x x BB==μμJJμμεε



(5.36)(5.36) Untuk mencari bentuk persamaan gelombangnya, dapat kita

Untuk mencari bentuk persamaan gelombangnya, dapat kita turunkan seperti yangturunkan seperti yang sudah dibicarakan pada bagian B.1, dan akan kita peroleh :

sudah dibicarakan pada bagian B.1, dan akan kita peroleh :

∇∇



Eεμ





_



μμ



==00

(5.37)(5.37) Kemudian dengan mengingat hukum Ohm :

Kemudian dengan mengingat hukum Ohm :

=σ

(5.38)(5.38)

Maka persamaan (5.37) dapat kita tuliskan menjadi : Maka persamaan (5.37) dapat kita tuliskan menjadi :

∇∇



Eεμ





_



μσμσ



==00

(5.39)(5.39) Solusi dari persamaan ini adalah gelombang bidang dengan persamaan :

Solusi dari persamaan ini adalah gelombang bidang dengan persamaan :

EEz,z,tt==EE



coscoskzωt

kzωt

atau dalam bentuk komplek : atau dalam bentuk komplek :

EEz,z,tt==EE



ee

−

−

(5.40)(5.40)

Substitusi persamaan (5.40) kedalam persamaan (5.39), akan menghasilkan Substitusi persamaan (5.40) kedalam persamaan (5.39), akan menghasilkan persamaan : persamaan :

KK



μεω



iμσω=0

atau : atau :

KK



μεω



iμσω

(5.41)(5.41)

(12)

Dari persamaan (5.41) jelas bahwa bilangan gelombang k berupa bilangan komplek. Dari persamaan (5.41) jelas bahwa bilangan gelombang k berupa bilangan komplek. Bilangan gelombang k ini dapat kita tentukan dengan menghasilkan K = a + i b. Bilangan gelombang k ini dapat kita tentukan dengan menghasilkan K = a + i b. Kemudian kita kalika

Kemudian kita kalika dengan konydengan konyugetnya, maka akan dugetnya, maka akan diperoleh :iperoleh :

aa



==



_



11  11







(5.42)(5.42)

bb



==



_



 11  11







(5.43)(5.43) Dan besarnya bilangan

Dan besarnya bilangan gelombanggelombang

||kk||

adalah : adalah :

||kk||



=μεω



  11







(5.44)(5.44)

Persamaan ini menyatakan bahwa K merupakan fungsi dari

ω.ω.

karena k karena k

berkaitan

berkaitan dengan dengan cepat cepat rambat, rambat, maka maka pada pada medium medium konduktif, konduktif, cepat cepat rambatrambat gelombang bergantung pada frekuensi. Medium yang demikian sudah kita kenal dan gelombang bergantung pada frekuensi. Medium yang demikian sudah kita kenal dan disebut dengan medium dispersif, seperti sudah dijelaskan pada bab 2.

disebut dengan medium dispersif, seperti sudah dijelaskan pada bab 2. Untuk medium yang berkonduktifitas tinggi, maka

Untuk medium yang berkonduktifitas tinggi, maka

σσ

besar. Jika besar. Jika

σσ

jauh lebih besar jauh lebih besar dari

dari

εωεω

, maka dari persamaan (5.42) dan persamaan (5.43) diperoleh :, maka dari persamaan (5.42) dan persamaan (5.43) diperoleh :

a=b=

a=b=  σμω

σμω22

a=b=



(5.45)(5.45) dengan dengan

δδ== 



(5.46)(5.46) Besaran

Besaran

δδ

ini disebut dengan tebal kulit (skin depth). ini disebut dengan tebal kulit (skin depth).

Untuk medium yang konduktivitasnya rendah (konduktor buruk),

σσ

jauh lebih kecil jauh lebih kecil

dari

ωε. ωε.

pada medium ini, skin depth menjadi : pada medium ini, skin depth menjadi :

(13)

Yang tidak lagi bergantung pada frekuensi. Yang tidak lagi bergantung pada frekuensi.

Bilangan gelombang K untuk medium dengan konduktifitas tinggi, pada frekuensi Bilangan gelombang K untuk medium dengan konduktifitas tinggi, pada frekuensi rendah, adalah :

rendah, adalah :

ωω==

−−

(5.48)(5.48)

Dari pembahasan ini, maka solusi persamaan gelombang pada medium konduktif Dari pembahasan ini, maka solusi persamaan gelombang pada medium konduktif dapat kita tuliskan menjadi :

dapat kita tuliskan menjadi :

EEz,z,tt==EE



e e

+

+−

−

(5.49.a)(5.49.a)

EEz,z,tt==EE



e e

−

ee

−

(5.49.b)(5.49.b)

Atau : Atau :

EEz,z,tt==EE



ee

−−



ee





−

(5.49.c)(5.49.c)

Dari persamaan (5.49.c) ini, dapat kita tafsirkan bahwa setelah menempuh jarak Dari persamaan (5.49.c) ini, dapat kita tafsirkan bahwa setelah menempuh jarak sebesar

sebesar

δ, δ,

maka amplitudo gelombang akan berkurang menjadimaka amplitudo gelombang akan berkurang menjadi



dari amplitudo dari amplitudo semula. semula. Kembali ke persamaan (5.42) : Kembali ke persamaan (5.42) :

aa



==μεωμεω

_{22 11  11σσεωεω}





dengan mengingat kv =

ω,ω,

maka persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk :maka persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk :

aa



==KK

_{22 11  11σσεωεω}





aa



==



_{√ √ }



11  11









 ⁄⁄

(5.50)(5.50) Coba kita perhatikan persamaan terakhir ini, jelas bahwa nilai a>k, hal ini Coba kita perhatikan persamaan terakhir ini, jelas bahwa nilai a>k, hal ini berarti bahwa kecepatan fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada berarti bahwa kecepatan fase gelombang pada medium konduktif lebih kecil dari pada

(14)

kecepatan fase gelombang pad medium non kondukif. Kemudian dengan mengingat kecepatan fase gelombang pad medium non kondukif. Kemudian dengan mengingat hubungan :

hubungan :

BB==



EE

(5.51)(5.51)

maka dengan mensubstitusikan persamaan (5.50) ke dalam persamaan (5.49) kita maka dengan mensubstitusikan persamaan (5.50) ke dalam persamaan (5.49) kita peroleh

peroleh persamaan gelombang medan magnetnya sebagai berikut :persamaan gelombang medan magnetnya sebagai berikut :

BBz,z,tt==

 + 

_{ + }

_EE

_

_e e

_−

cos (azcos (az – – ωt)ωt) (5.52)(5.52) Dengan memperhatikan persamaan (5.52) di atas, tampak bahwa medan listrik E dan Dengan memperhatikan persamaan (5.52) di atas, tampak bahwa medan listrik E dan medan listrik magnet B tidak lagi mempunyai fase yang sama seperti pada medium medan listrik magnet B tidak lagi mempunyai fase yang sama seperti pada medium non konduktif.

non konduktif.

Kitapun dapat menentukan besarnya vector pointing untuk medium konduktif Kitapun dapat menentukan besarnya vector pointing untuk medium konduktif ini sebagai berikut:

ini sebagai berikut: S =

S =



EE



S =

 + 



EE



ee



cos cos



aazz  ωωtt

(5.53)(5.53) Persamaan (5.53) ini mengungkapkan bahwa factor redaman dalam perambatan Persamaan (5.53) ini mengungkapkan bahwa factor redaman dalam perambatan energy adalah

energy adalah

ee

−−



..

C.2

C.2 Elektron Bebas dalam Konduktor dan PlasmaElektron Bebas dalam Konduktor dan Plasma

Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom atau molekul, sehingga Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom atau molekul, sehingga model pembahasan seperti di depan dapat kita gunakan .

model pembahasan seperti di depan dapat kita gunakan . Dari persamaan Maxwell 3 :

Dari persamaan Maxwell 3 :

∇∇

x E = x E =





--

∇∇



EE

= =

μμ



εε









μμ



(15)

Gerakan electron dapat kita ungkapkan dengan persamaan : Gerakan electron dapat kita ungkapkan dengan persamaan :

m



==qq





(5.55)(5.55)

dengan v menyatakan kecepatan electron dengan v menyatakan kecepatan electron

Kemudian ruas kiri dan ruas kanan dari persamaa

Kemudian ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (5.55) ini kita kalikan dengan Nn (5.55) ini kita kalikan dengan N

qq



,, dengan N : rapat jumlah electron, diperoleh :

dengan N : rapat jumlah electron, diperoleh : m

m

 







=Nq









(5.56)(5.56) sedangkan

sedangkanJ = vJ = v

qq



N , maka persamaan (5,56) menjadi N , maka persamaan (5,56) menjadi m

m



=Nq









(5.57)(5.57)

Persamaan (5.57) kita substitusikan ke dalam persamaan (5.54), sehingga kita peroleh Persamaan (5.57) kita substitusikan ke dalam persamaan (5.54), sehingga kita peroleh

∇∇



 μ μ

_

εε

_



_



μμ

_{}

_







EE = = 0 0 (5.58)(5.58) Misalkan solusi persamaan gelombang

Misalkan solusi persamaan gelombang E E(z,t) =(z,t) =EEoo cos (kz- cos (kz-

ωω

t), daan bila kitat), daan bila kita substitusikan ke dalam persamaan (5.58), akan diperoleh :

substitusikan ke dalam persamaan (5.58), akan diperoleh :

kk



μμ

_

εε

_

ωω



μμ

_{}

_







= = 0 0 (5.59.a)(5.59.a)

kk



= = μμ

_

εε

_

ωω



μμ

_{}

_







(5.59.b)(5.59.b)

















==11















(5.59.c)(5.59.c) Karena Karena

cc



==









dan dan









==





maka persamaan (5.59.c) dapat kita tuliskan menjadi : maka persamaan (5.59.c) dapat kita tuliskan menjadi :









==11



_

_



_





(5.60)(5.60) Berdasarkan definisi indeks bias n=n/c, maka dari persamaan (5.60) tersebut dapat Berdasarkan definisi indeks bias n=n/c, maka dari persamaan (5.60) tersebut dapat ditentukan indeks bias plasma:

ditentukan indeks bias plasma:

(16)

dengan

ωω

pp

==













(5.62)(5.62)

Besaran

ωω

pp

ini disebut dengan frekuensi plasma. ini disebut dengan frekuensi plasma.

Coba kita perhatikan kembali persamaan (5.61) dan persamaan (5.62) di atas. Coba kita perhatikan kembali persamaan (5.61) dan persamaan (5.62) di atas. Bila

Bila

ωω<<ωω

pp

, maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa, maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner, ini berarti bahwa gelombang di dalam plasma tersebut akan direndam. Dan bila

gelombang di dalam plasma tersebut akan direndam. Dan bila

ωω<<ωω

pp

, maka nilai, maka nilai

indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehinga gelombang akan diteruskan. indeks bias n berupa bilangan nyata (real), sehinga gelombang akan diteruskan.

D.

D. Pemantulan dan Pembiasan Gelombang ElektomagnetikPemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektomagnetik

Sebelum membahas lebih jauh tentang pemantulan dan pembiasan gelombang Sebelum membahas lebih jauh tentang pemantulan dan pembiasan gelombang elektromagnetik, akan dibahas terlebih dahulu hukum yang mendasarinya yaitu elektromagnetik, akan dibahas terlebih dahulu hukum yang mendasarinya yaitu hukum Snellius. Hukum Snellius ini sudah pula kita bicarakan pada bab 2. Dengan hukum Snellius. Hukum Snellius ini sudah pula kita bicarakan pada bab 2. Dengan cara yang agak berbeda, disini kita akan menurunkan perumusan hukum snellius cara yang agak berbeda, disini kita akan menurunkan perumusan hukum snellius tersebut untuk gelombang elektrromagnetik, dan hasilnya sama seperti yang sudah tersebut untuk gelombang elektrromagnetik, dan hasilnya sama seperti yang sudah kita bicarakan pada bab 2 tersebut.

kita bicarakan pada bab 2 tersebut. D.1

D.1 Hukum SnelliusHukum Snellius

Tinjau kasus gelombang datang dari medium 1 menuju 2, seperti ditunjukkan pada Tinjau kasus gelombang datang dari medium 1 menuju 2, seperti ditunjukkan pada gambar 5.4. Kasus pada gambar 5.4 ini disebut dengan transverse electric (TE). gambar 5.4. Kasus pada gambar 5.4 ini disebut dengan transverse electric (TE).

Lebih lanjut penjelasan tentang trasverse electric (TE) dan transverse magnetic ™, Lebih lanjut penjelasan tentang trasverse electric (TE) dan transverse magnetic ™,

akan anda perroleh pada kegiatan belajar tentang pandu gelombang di belakang. akan anda perroleh pada kegiatan belajar tentang pandu gelombang di belakang.

(17)

Gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2 Gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2

Dari gambar 5.4, dapat anda tuliskan persamaan untuk gelombang medan Dari gambar 5.4, dapat anda tuliskan persamaan untuk gelombang medan magnet sebagai berikut :

magnet sebagai berikut :





r,r,tt==



cos(k

cos(k⃗⃗



.rωt)=B



ee

⃗⃗



..⃗⃗−

−





r,r,tt==



cos(k

cos(k⃗⃗



.rωt)=B



ee

⃗⃗..⃗⃗−

−

(5.63)(5.63)





r,r,tt==



cos(k

cos(k⃗⃗



.rωt)=B



ee

⃗⃗



..⃗⃗−

−

dengan : dengan :

kk⃗⃗



==kk



̂sin̂sinαα



ĵcosα

ĵcosα





kk⃗⃗



==kk



̂sin̂sinαα



ĵĵ cosα

cosα





(5.64)(5.64)

kk⃗⃗



==kk



̂sin̂sinαα



ĵcosα

ĵcosα





r=̂

r=̂xĵxĵyy

Harga-harga dari k

Harga-harga dari k 11, k , k 22, k , k 33 dan r pada persamaan (5.64) anda substitusikan ke dalam dan r pada persamaan (5.64) anda substitusikan ke dalam

persamaan gelombang medan magner (5.6

persamaan gelombang medan magner (5.63), diperoleh :3), diperoleh :





r,r,tt==



ee

{{ 

 −  

−  }}−

−





r,r,tt==



ee

{{ 

 −  

−  }}−

−

(5.65)(5.65)





r,r,tt==



ee



{{ 

 

−  

−  



}}−

−

Dengan syarat batas di y = 0, akan diperoleh hubungan : Dengan syarat batas di y = 0, akan diperoleh hubungan :

BB



BB



==BB



BB



coscosαα



BB



coscosαα



==BB



coscosαα





Sehingga persamaan (5.65) menjadi : Sehingga persamaan (5.65) menjadi :

BB



coscosαα



..ee





 

 





BB



coscosαα



..ee





 

 





=

(18)

Untuk menyelesaikan persamaan (5.66) ini, anda perhatikan hubungan matematis Untuk menyelesaikan persamaan (5.66) ini, anda perhatikan hubungan matematis sebagai berikut :

sebagai berikut :

AeAe



BeBe



==CeCe



Kemudian dengan menggunakan deret Taylor, persamaan ini dapat anda tuliskan Kemudian dengan menggunakan deret Taylor, persamaan ini dapat anda tuliskan menjadi : menjadi :

A1ax





_



!!

⋯B1bx





!!





⋯=C1cx





_



!!

⋯⋯

Dengan mengabaikan suku ke dua dan suku-suku selanjutnya dalam

Dengan mengabaikan suku ke dua dan suku-suku selanjutnya dalam tandatanda kurung ( ), maka diperoleh persamaan :

kurung ( ), maka diperoleh persamaan : A + B = C

A + B = C Dan

Dan

Aax + Bbx = Ccx

→→

Aax + Bbx = (A + B) cx Aax + Bbx = (A + B) cx

Persamaan ini akan lebih mudah diselesaikan bila dinyatakan dalam bentuk Persamaan ini akan lebih mudah diselesaikan bila dinyatakan dalam bentuk matrik sebagai berikut :

matrik sebagai berikut :

AA BBaxaxbxbx==AA BBcxcxcxcx

dari persamaan matrik ini diperoleh bahwa : dari persamaan matrik ini diperoleh bahwa :

a = b = c a = b = c

Dengan memperhatikan contoh hubungan matematis tersebut, maka dari persamaan Dengan memperhatikan contoh hubungan matematis tersebut, maka dari persamaan (5.66), jelas bahwa :

(5.66), jelas bahwa : k

k 11 sin ( sin (

αα

11) = k ) = k 22 sin ( sin (

αα

22))

karena gelombang datang dan gelombang pantul berada didal

karena gelombang datang dan gelombang pantul berada didal am medium yang sama,am medium yang sama, yaitu medium 1, maka k

yaitu medium 1, maka k 11 = k = k 22. Sehingga dari persamaan terakhir anda peroleh. Sehingga dari persamaan terakhir anda peroleh

hubungan : hubungan :

(19)

Kemudian dari persamaan (5.66) tadi, kitapun peroleh hubunan : Kemudian dari persamaan (5.66) tadi, kitapun peroleh hubunan :

k

k 11sin (sin (

αα



==

k k 33sin (sin (

αα





karena k =



= =



nn

, jadi ∞ n,, jadi ∞ n, maka k maka k 11 dan k dan k 33 pada persamaan terakhir dapat diganti pada persamaan terakhir dapat diganti

dengan n

dengan n11dan ndan n33, sehingga persamaan terakhir tersebut dapat kita tuliskan menjadi :, sehingga persamaan terakhir tersebut dapat kita tuliskan menjadi :

n

n11 sin ( sin (

αα





= n = n22 sin ( sin (

αα





(5.67.b)(5.67.b)

persamaan (5.67.a) dan (5.67.b)

persamaan (5.67.a) dan (5.67.b) disebut dengan hukum disebut dengan hukum snellius, seperti yang sudahsnellius, seperti yang sudah kita kenal dari bab 2.

kita kenal dari bab 2.

D.2

D.2 Persamaan FresnellPersamaan Fresnell

Setelah anda jelas tentang hukum snellius ini, sekarang akan dituntukkan Setelah anda jelas tentang hukum snellius ini, sekarang akan dituntukkan perbandingan

perbandingan amplitude amplitude gelombang gelombang pantul pantul dan dan gelombang gelombang bias bias terhadap terhadap amplitudeamplitude gelombangg datang, hubungan ini dikenal dengan persamaan Fressnell. Untuk itu gelombangg datang, hubungan ini dikenal dengan persamaan Fressnell. Untuk itu anda perhatikan kasus transverse magnetic (TM) seperti diittunjukkan pada gambar anda perhatikan kasus transverse magnetic (TM) seperti diittunjukkan pada gambar 5.5. Gelombang pada gambar ini disebut dengan TM, karena medan magnetnya tegak 5.5. Gelombang pada gambar ini disebut dengan TM, karena medan magnetnya tegak lurus bidang datang.

lurus bidang datang.

Kasus TM, gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2 Kasus TM, gelombang datang dari medium 1 menuju medium 2

(20)

Syarat batas di y=0, anda memperoleh hubungan : Syarat batas di y=0, anda memperoleh hubungan : Untuk medan listrik :

Untuk medan listrik :

E

E1x1x + E + E2x2x = E = E3x3x

(E

(E11 + E + E22) cos () cos (

αα

= E = E33cos (cos (

θθ

(5.68)(5.68)

Untuk medan magnet, : Untuk medan magnet, :

B

B11 – – B B22 = B = B33





EE



EE



==





EE



Ingat bahwa B=E/c di vakum, atau B=E/v di dalam medium. Ingat bahwa B=E/c di vakum, atau B=E/v di dalam medium. Karena

Karena



∞ n∞ n

, maka :, maka : n

n11(E(E11 – – E E22) = n) = n22 E E33 (5.69.a)(5.69.a)

E

E3 =3 =











−−







(5.69.b)(5.69.b)

Persamaan (5.69.b) disubstitusikan kedalam persamaan (5.68), anda diperoleh : Persamaan (5.69.b) disubstitusikan kedalam persamaan (5.68), anda diperoleh :

EE



EE



cos

cosαα==



_



_

EE



EE



coscosθθ

EE



cos

cosαα



_



_

cosθ=E







_



_

coscosθθcos

cosα

α

Selanjutnya didefinisikan koefisien refleksi R, sebagai perbandingan medan pantul Selanjutnya didefinisikan koefisien refleksi R, sebagai perbandingan medan pantul terhadap medan datang, Jadi :

terhadap medan datang, Jadi :

RR

MM

==



_



_

==



_{}

−

_{−}

−

_{−}

RR

MM

==

_





_

−−

_{−−}



_



_{}

(5.70)(5.70) Dari persamaan (5.69.a), anda juga memperoleh hubungan :

Dari persamaan (5.69.a), anda juga memperoleh hubungan : n

n11 (E (E11 – – E E22) = n) = n22EE33

E =





−−





 − 







(21)

Persamaan

Persamaan 5.71 5.71 ini ini anda anda substitusikan substitusikan kedalam kedalam persamaan persamaan (5.68), (5.68), diperoleh diperoleh ::

EE



coscosαα









−  − 

_

_







coscosαα==EE



coscosθθ

Selanjutnya didefinisikan koefisien transmisi T, sebagai perbandingan medan bias Selanjutnya didefinisikan koefisien transmisi T, sebagai perbandingan medan bias terhadap medan datang, jadi :

terhadap medan datang, jadi :

TT

MM

==



_



==

_

_{++}

..



.

.

(5.72)(5.72)

Untuk kasus transvers electric (TE), dengan cara yang sama dapat anda Untuk kasus transvers electric (TE), dengan cara yang sama dapat anda turunkan, dan akan diperoleh :

turunkan, dan akan diperoleh :

TT



==

_

_{++}

..



.

.

(5.73)(5.73)

RR



==

..−−

_

_{++}

(5.74)(5.74)

Persamaan (5.70), (5.72), (5.73), dan (5.74) dikenal dengan pers

Persamaan (5.70), (5.72), (5.73), dan (5.74) dikenal dengan pers amaan Fresnell.amaan Fresnell.

Apabila n

Apabila n1 >1 >nn22 dan sudut biasdan sudut bias

θθ

= 90 = 90oo, maka dari hukum Snellius persamaan (5.78), maka dari hukum Snellius persamaan (5.78) diperoleh dengan hubungan :

diperoleh dengan hubungan : sin

sin

αα==









(5.75)(5.75)

Sudut pandang yang menghasilkan sudut bias 90

Sudut pandang yang menghasilkan sudut bias 90oo ini, disebut dengan sudut kritis. ini, disebut dengan sudut kritis.

Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis, maka terjadi pemantulan total. Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis, maka terjadi pemantulan total.

Apabila

αθ=90



, maka dari hukum Snellius persamaan (5.67) diperoleh, maka dari hukum Snellius persamaan (5.67) diperoleh hubungan :

hubungan :

tantanαα==



_



(5.76)(5.76)

Sudut datang yang menghasilkan

αθ=90



ini, disebut dengan sudut Brewster. ini, disebut dengan sudut Brewster. Pada keadaan ini koefisien pantul R

Pada keadaan ini koefisien pantul R TMTM = 0, artinya gelombang pantul akan = 0, artinya gelombang pantul akan terpolarisasi.

(22)

E.

E. Pandu GelombangPandu Gelombang

Sekarang kita akan mempelajari pelajaran gelombang elektrommanetik di Sekarang kita akan mempelajari pelajaran gelombang elektrommanetik di dalam batang konduktor kosong. Batang yang ujung-ujungnya dibatasi oleh

dalam batang konduktor kosong. Batang yang ujung-ujungnya dibatasi oleh permukaan disebut dengan rong

permukaan disebut dengan rongga (cavity). Sedangkan bila ujung-ujungga (cavity). Sedangkan bila ujung-ujungnya tidaknya tidak dibatasi oleh permukaan, disebut dengan pandu gelombang (wave guide) seperti pada dibatasi oleh permukaan, disebut dengan pandu gelombang (wave guide) seperti pada gambar 5.6. gambar 5.6. Gambar 5.6 Gambar 5.6 Pandu Gelombang Pandu Gelombang

Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, sehingga di Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, sehingga di dalam bahan material tersebut berlaku E = 0 dan B = 0. Selanjutnya dimisaalkan dalam bahan material tersebut berlaku E = 0 dan B = 0. Selanjutnya dimisaalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan bentuk persamaan sebaggai berikut. gelombang elektromagnetik merambat dengan bentuk persamaan sebaggai berikut.

E(x,y,z,t) = E

E(x,y,z,t) = E00(y,z)e(y,z)ei(kx-i(kx-ωt)ωt)

B(x,y,z,t) = B

B(x,y,z,t) = B00(y,z)e(y,z)ei(kx-i(kx-ωt)ωt) (5.77)(5.77)

Persamaan gelombang ini kita substitusikan kedalam persamaan Maxwell 3 dan Persamaan gelombang ini kita substitusikan kedalam persamaan Maxwell 3 dan persamaan Maxwell 4, akan diperoleh :

persamaan Maxwell 4, akan diperoleh :



_







_



=iωB

_

(5.78.a)(5.78.a)



_



ikE

_

=iωB

_

(5.78.b)(5.78.b)



_



ikE

_

=iωB

_

(5.78.c)(5.78.c)



_







_



==



_

EE

_

(5.78.d)(5.78.d)



_



ikB

_

==



_

EE

_

(5.78.e)(5.78.e)

(23)

Dari persamaan (5.78.b), (5.78.c), (5.78.e), dan (5.78.f), akan menghasilkan solusi Dari persamaan (5.78.b), (5.78.c), (5.78.e), dan (5.78.f), akan menghasilkan solusi untuk E

untuk Eyy, E, Ezz, B, Byy, dan B, dan Bzz sebagai berikut : sebagai berikut :

E Eyy = =

//





−−



kk







ωω









(5.79.a)(5.79.a) E Ezz = =

//





−−



kk







ωω









(5.79.b)(5.79.b) B Byy = =

//





−−



kk





















(5.79.c)(5.79.c) B Byy = =



//



_−−



kk



_











_





(5.79.d)(5.79.d) Dari persamaan (5.79) tersebut tampak bahwa bila komponen longitudinal E

Dari persamaan (5.79) tersebut tampak bahwa bila komponen longitudinal Exx dan B dan Bxx

diketahui, maka komponen lainnya dapat ditentukan. Dengan kata lain, untuk diketahui, maka komponen lainnya dapat ditentukan. Dengan kata lain, untuk memecahkan persamaan Maxwell, kita cukup menentukan komponen memecahkan persamaan Maxwell, kita cukup menentukan komponen longitudinalnya.

longitudinalnya.

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (5.79) ke dalam persamaan Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (5.79) ke dalam persamaan Maxwell, kita juga akan peroleh persamaan differensial dari komponen Maxwell, kita juga akan peroleh persamaan differensial dari komponen longitudinalnya sebagai berikut :

longitudinalnya sebagai berikut :

[[











_













kk



]]EE



==00

(5.80.a)(5.80.a)

[[











_













kk



]]BB



==00

(5.80.b)(5.80.b) Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan

Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan konduktor sempurna, yaitu :konduktor sempurna, yaitu :

n.=0,

dandan

nn x 

 x ==00

(5.81)(5.81) Dengan

Dengan

nn

adalah vector satuan normal pada konduktor, mmaka akan kita peroleh : adalah vector satuan normal pada konduktor, mmaka akan kita peroleh : E

Ezz= = 0 0 (di (di permukaan) permukaan) (5.82.a)(5.82.a)



_



= = 0 0 (di (di permukaan permukaan ) ) (5.82.b)(5.82.b) Bila E

Bila Exx = 0, disebut gelombang TE (transverse elektic), bila B = 0, disebut gelombang TE (transverse elektic), bila Bxx = 0, disebut= 0, disebut

gelombang TE (Transverse magnetic), dan bila E

gelombang TE (Transverse magnetic), dan bila Exx= 0 dan B= 0 dan Bxx = 0, disebut gelombang = 0, disebut gelombang

TEM (Transverse electric magnetic). TEM (Transverse electric magnetic).

(24)

Pada pandu gelombang berbentuk selubung, kasus TEM tidak pernah terjadi, Pada pandu gelombang berbentuk selubung, kasus TEM tidak pernah terjadi, hal ini dapat ditunjukkkan sebagai berikut :

hal ini dapat ditunjukkkan sebagai berikut : Bila E

Bila Exx = 0, maka menurut hukum Gauss haruslah berlaku hubungan : = 0, maka menurut hukum Gauss haruslah berlaku hubungan :



_







_



==00

(5.83)(5.83) dan bila Bx = 0,

dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday berlaku hubungan :maka menurut hukum Faraday berlaku hubungan :



_







_



==00

(5.84)(5.84) Kemudian dari syarat batas pada permukaan seperti pada persamaan (5.81), Kemudian dari syarat batas pada permukaan seperti pada persamaan (5.81), yang mengungkapkan bahwa permukaan merupakan bidang ekuipotensial, dapat yang mengungkapkan bahwa permukaan merupakan bidang ekuipotensial, dapat disimpulkan bahwa medan listrik E = 0. Jadi tidak adda gelombang elektromagnetik disimpulkan bahwa medan listrik E = 0. Jadi tidak adda gelombang elektromagnetik yang dirammbatkan.

yang dirammbatkan.

E.1

E.1Pandu Gelombang Dengan Penampang Segi EmpatPandu Gelombang Dengan Penampang Segi Empat

Sekarang kita perhatikan pandu gelombang dengan bentuk penampang segi empat Sekarang kita perhatikan pandu gelombang dengan bentuk penampang segi empat seperti gambar 5.7

seperti gambar 5.7

Pandu gelombang segi empat Pandu gelombang segi empat

Masalah ini merupakan penyelessaian persamaan (5.80.b) dengan syarat batas seperti Masalah ini merupakan penyelessaian persamaan (5.80.b) dengan syarat batas seperti pada persamaan (5.81). kita dapat menyelesaikanny

pada persamaan (5.81). kita dapat menyelesaikannya dengan separasi variable sebagaia dengan separasi variable sebagai berikut :

berikut : Misalkan : B

Misalkan : Bxx(y,z) = (y,z) = Y(y) Y(y) Z(z) Z(z) (5.85)(5.85)

Substitusi ke dalam persamaan (5.80), menghasilkan : Substitusi ke dalam persamaan (5.80), menghasilkan :

Z









YY









[[



kk



]YZ=0

(5.86)(5.86)

Ruas kiri dan ruas kanan persamaan (5.86), kita bagi dengan YZ : Ruas kiri dan ruas kanan persamaan (5.86), kita bagi dengan YZ :





_{}













[[



kk



]]==00

(5.87.a)(5.87.a)

Persamaan (5.87.a) dapat kita tuliskan dalam bentuk : Persamaan (5.87.a) dapat kita tuliskan dalam bentuk :

(25)

kk



kk







kk



==00

(5.87.b)(5.87.b) dengan : dengan :





_{}



==kk



(5.88.a)(5.88.a)





_{}



==kk



(5.88.b)(5.88.b)

Solusi dari persamaan (5.88.a) adalah : Solusi dari persamaan (5.88.a) adalah :

Y = A sin (k

Y = A sin (k yyy) + B cos (k y) + B cos (k yyy)y)

kemudian kita terapkan syarat batas



==00,d,di i yy==00

dan di y = a, diperolehdan di y = a, diperoleh



==kk



A Acocos(s(kk



y)k



B sin(k



y)y)

0

==kk



A A,,mmaakka a AA==00

0 0 ==kk



B Bsinsin(k(k



a)a),,mamaka (ka (kk



aa))==mmπ dπ denenggan an mm==00,,11,,22,,33,,……

atau : atau :

kk



==



(5.90)(5.90)

Dengan cara yang sama, kita terapkan pada persamaan (5.88.b), akan menghasilkan : Dengan cara yang sama, kita terapkan pada persamaan (5.88.b), akan menghasilkan :

kk



==



(5.91)(5.91)

Sehingga persamaan (5.85) menjadi : Sehingga persamaan (5.85) menjadi :

BB



y,y,zz=Bcos

=Bcos

y.cos

y.cos

zz

(5.92)(5.92)

Untuk mencari bilangan gelombang k, kita substitusikan

Untuk mencari bilangan gelombang k, kita substitusikan persamaan (5.90) danpersamaan (5.90) dan persamaan (5.91) ke dalam persamaan (5.87.b), a

persamaan (5.91) ke dalam persamaan (5.87.b), akan diperoleh :kan diperoleh :

kk==  



ππ



[[







]]

(5.93.a)(5.93.a) atau : atau :

kk==



ωω



ωω

_{}

(5.93.b)(5.93.b) dengan dengan

ωω



==πcπc  







(5.94)(5.94)