Seminar Nasional MATEMATIKA

(1)

MATEMATIKA

VOL. 10 TH. 2015 ISSN 1907-3909

(2)

MATEMATIKA

VOL. 10 TH. 2015 ISSN 1907-3909

Seminar Nasional

(3)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas terselenggaranya

Seminar Nasional Matematika Unpar 2015. Seminar ini merupakan kegiatan rutin

tahunan yang diselenggarakan oleh Jurusan Matematika, Universitas Katolik

Parahyangan, yang dimulai sejak tahun 2005 dan tahun ini merupakan tahun ke-11

penyelenggaraannya. Seminar Nasional Matematika UNPAR ini merupakan wadah

pertemuan ilmiah antara matematikawan, guru, peneliti, dan praktisi yang tidak hanya

terbatas di bidang matematika saja, melainkan juga penerapannya dalam berbagai

bidang ilmu, antara lain dunia medis, ekonomi lingkungan hidup, dan gejala alam.

Seminar tahun ini mengambil tema “PERAN MATEMATIKA DALAM

MENGHADAPI MASYARAKAT EKONOMI ASEAN (MEA)”. Pemilihan tema ini

dilatarbelakangi oleh kesepakatan para pemimpin ASEAN yang tertuang dalam

“Deklarasi Cebu: Untuk Mempercepat Pembangunan Masyarakat ASEAN Sebelum

2015” yang ditandatangani oleh pemimpin ASEAN pada KTT ASEAN ke-12 bulan

Januari 2007. Menurut rencana, ASEAN akan membangun sebuah masyarakat bersama

sebelum tahun 2015 yang mencakup tiga bagian, yaitu masyarakat ekonomi, masyarakat

keamanan dan masyarakat sosial budaya. Melalui seminar ini diharapkan para peserta

dapat saling berbagi pengetahuan dan informasi terbaru sehingga berdampak pada

kesiapan yang lebih baik dari Indonesia dalam menghadapi tantangan ini.

Seminar kali ini mengundang tiga orang pembicara dari kalangan akademisi dan praktisi

yang akan berbagi pengalaman, gagasan dan pikiran. Pada sesi pararel, akan

dipresentasikan 58 makalah yang merupakan hasil karya dosen, peneliti, dan mahasiswa

dari berbagai instansi di tanah air.

Kami atas nama panitia Seminar Nasional Matematika Unpar 2015 mengucapkan terima

kasih atas partisipasinya, semoga bermanfaat bagi semua pihak.

Bandung, September 2015

Ketua Panitia

(4)

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

...i

Daftar Isi

...iii-ix

ALJABAR DAN ANALISIS

KARAKTERISTIK FUNGSIONAL DARI RUANG ATSUJI

Suarsih Utama dan Nora Hariadi – Universitas Indonesia

...AA 1-6

SIFAT SUBHIMPUNAN DI RUANG ATSUJI

Suarsih Utama dan Nora Hariadi – Universitas Indonesia

...AA 7-11

KARAKTERISTIK DIFERENSIAL SATU ROUND BARU PADA

INTERNATIONAL DATA ENCRYPTION ALGORITHM (IDEA)

Sari Agustini Hafman

...AA 12-18

STATISTIKA

APLIKASI ANALISIS STATISTIK DESKRIPTIF SPHERICAL

PADA DATA GEMPA BENGKULU

Pepi Novianti – Universitas Bengkulu

...ST 1-6

ANALISIS STATISTIKA DESKRIPTIF DALAM PEMETAAN

KEMISKINAN DI KOTA BENGKULU

Dian Agustina, Pepi Novianti, Idhia Sriliana, dan

Etis Sunandi – Universitas Bengkulu

...ST 7-18

PERBANDINGAN METODE PERAMALAN ANTARA ARIMA

DAN SARIMA DALAM MEMODELKAN FLUKTUASI DEBIT AIR

(Studi Kasus : Data Debit Air Pembangkit Listrik Tenaga Air Musi)

Jose Rizal – Universitas Bengkulu

…ST 19-26

PEMILIHAN MODEL SEMIVARIOGRAM TERBAIK PADA DATA

SPATIAL DENGAN APLIKASI METODE PROGRAM LINIER

(Studi Kasus : Data Kejadian Gempa di Wilayah Pesisir Bengkulu)

(5)

ESTIMASI MODEL JUMLAH LEUKOSIT PENDERITA LEUKIMIA

MENGGUNAKAN PENDEKATAN REGRESI SPLINE TRUNCATED

DENGAN KUADRAT TERKECIL TERBOBOTI

Idhia Sriliana – Universitas Bengkulu

…ST 38-44

PELUANG SUATU TIM UNTUK MENCAPAI PERINGKAT

TERTENTU DALAM SUATU TURNAMEN : STUDI KASUS

SEPAKBOLA LIGA INGGRIS MUSIM KOMPETISI 2011/2012

Liem Chin dan Benny Yong – Universitas Katolik Parahyangan

…ST 45-54

KKN PPM STATISTIKA PEMERINTAHAN

Neva Satyahadewi, Mariatul Kiftiah, dan

Dadan Kusnandar – Universitas Tanjungpura

...ST 55-60

MATEMATIKA PENDIDIKAN

EKSPLORASI PENGETAHUAN MATEMATIKA MASYARAKAT

MELALUI RANCANGAN DAN IMPLEMENTASI TUGAS TEMATIK

Patricia VJ Runtu dan

Christophil Medellu – Universitas Negeri Manado

...MP 1-10

DISPOSISI MATEMATIS MAHASISWA CALON GURU

MATEMATIKA

Dadang Juandi, Eyus Sudihartinih, dan

Ririn Sispiyati – Universitas Pendidikan Indonesia

...MP 11-18

VALIDASI MODUL APLIKASI KOMPUTER DENGAN PROGRAM

WINGEOM PADA MATERI GEOMETRI

Tika Septia dan Merina Pratiwi – STKIP PGRI Sumatera Barat

...MP 19-26

PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMAHAMAN MATEMATIK

DENGAN PENDEKATAN HANDS-ON ACTIVITY

(Penelitian Kuasi Eksperimen Pada Siswa SMP Kelas VIII di

Kota Bandung)

Jarnawi Afgani Dahlan – Universitas Pendidikan Indonesia

...MP 27-34

PENCAPAIAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS SISWA SMP

DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN

STRATEGI REACT

Nia Yuni Saputri, Tatang Herman, dan

(6)

MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MAHASISWA DENGAN

MODEL PEMBELAJARAN AIR PADA MATA KULIAH

EVALUASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Putu Suarniti Noviantari dan

I Made Dharma Atmaja – Universitas Mahasaraswati Denpasar

...MP 46-50

PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH

MATEMATIS MAHASISWA BERDASARKAN MODEL

PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TEAM ASSISTED

INDIVIDUALIZATION (TAI) PADA MATA KULIAH

TEORI PELUANG

Georgina Maria Tinungki – Universitas Hasanuddin

...MP 51-60

PENGEMBANGAN MEDIA KATROL BILANGAN UNTUK

PEMBELAJARAN BILANGAN BULAT DI SEKOLAH DASAR

Haris Wisudiatma, Sri Harmini, dan

Endang Setyo Winarni – Universitas Negeri Malang

...MP 61-69

ANALISIS PENGEMBANGAN MODUL TRIGONOMETRI

Villia Anggraini dan Hamdunah – STKIP PGRI Sumatera Barat

...MP 70-74

PENGEMBANGAN STRATEGI AJAR KEMAMPUAN BERPIKIR

LOGIS MATEMATIS MAHASISWA PADA PENERAPAN MATERI

TRANSPORTASI DAN PEMODELAN MATA KULIAH RISET

OPERASI TERHADAP PEMBERLAKUAN KEBIJAKAN ASEAN

TRADE IN GOODS AGREEMENT (ATIGA)

(Studi Kasus Pemodelan dan Transportasi Pada Komuditas Batu Alam

dan Rotan Diantara Negara Anggota MEA)

Alif Ringga Persada – IAIN Syekh Nurjati Cirebon

...MP 75-82

DESAIN DIDAKTIS KONSEP LUAS DAERAH BELAH KETUPAT

PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA SMP

Alin Meilina dan Rosita Mahmudah – Universitas Pendidikan Indonesia ...MP 83-91

JARINGAN SYARAF TIRUAN METODE BACK PROPAGATION

UNTUK PENJURUSAN SISWA SMA

Ulfasari Rafflesia – Universitas Bengkulu

...MP 92-98

KAJIAN MODEL PEMBELAJARAN : PENDEKATAN COGNITIVE

APPRENTICESHIP MODEL CASE BASED REASONING DALAM

PEMBELAJARAN MATEMATIKA

(7)

MATEMATIKA TERAPAN

ANALISIS PERBANDINGAN BARISAN BIT PSEUDORANDOM

YANG DIHASILKAN ALGORITMA SOSEMANUK DAN HC-128

TERHADAP KESERAGAMAN DISTRIBUSI P-VALUE UJI NIST

Desi Wulandari – Lembaga Sandi Negara

...MT 1-6

ESTIMASI VOLATILITAS DAN VALUE AT RISK INDEKS LQ45

DENGAN GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION

Yunita Wijaya, Kie Van Ivanky Saputra, dan

Kim Sung Suk – Universitas Pelita Harapan

...MT 7-14

SINGLE-OBJEKTIF DAN MULTI-OBJEKTIF OPTIMISASI

PORTOFOLIO DENGAN UKURAN RESIKO MEAN-VARIANCE

MENGGUNAKAN DIFFERENTIAL EVOLUTION

Yohanis Ndapa Deda – Institut Teknologi Bandung, Universitas Nusa

Cendana, Kupang

Kuntjoro Adji Sidarto – Institut Teknologi Bandung

...MT 15-20

GUESSING ATTACK PADA PROTOKOL KRITOGRAFI

Arif Fachru Rozi

…MT 21-24

SUB-BLOK AKTIF SPN TERBAIK UNTUK SERANGAN

KRIPTANALISIS DIFERENSIAL

Arif Fachru Rozi

…MT 25-31

APLIKASI MATEMATIKA DALAM PEMODELAN RISIKO

BENCANA TSUNAMI

Yulian Fauzi – Universitas Bengkulu

...MT 32-36

PENGKLASTERAN DATA DENGAN MENGGUNAKAN METODE

MONOTETIS (STUDI KASUS PADA DATA KELUARGA)

Kania Sawitri – ITENAS

...MT 37-42

KONTROL OPTIMAL PADA MODEL EPIDEMIOLOGI TIPE SVIR

DENGAN MEMPERHATIKAN REINFEKSI

Jonner Nainggolan – Universitas Cenderawasih Jayapura

...MT 43-49

IMPLEMENTASI MODEL HARGA OPSI BASKET BERBASIS

COPULA LEVY

Syofia Rani, Bevina D. Handari, dan

(8)

PENENTUAN PREMI TUNGGAL BERSIH UNTUK ASURANSI

JIWA BERJANGKA UNIT LINK DENGAN GARANSI

Siska Yosmar dan Syahrul Akbar – Universitas Bengkulu

...MT 57-63

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA MODEL SIR DENGAN LAJU

INSIDENSI YANG TAK LINEAR DAN ADANYA PERAWATAN

Marsha Ad Georli, Livia Owen, dan

Benny Yong – Universitas Katolik Parahyangan

...MT 64-74

MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN INFEKSI HIV PADA

KOMUNITAS INJECTING DRUG USERS

Iffatul Mardhiyah – Universitas Gunadarma

Hengki Tasman – Universitas Indonesia

...MT 75-82

SYARAT CUKUP BEROSILASI DAN TIDAK BEROSILASI

PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER HOMOGEN ORDE DUA

Maulana Malik – Universitas Gunadarma

...MT 83-89

IMPLEMENTASI ALGORITMA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION

PADA KALIBRASI MODEL HARGA OPSI HESTON

Ilham Falani, Bevina D. Handari, dan

Gatot F. Hertono – Universitas Indonesia

...MT 90-96

SPN CIPHER MODIFIKASI

Sari Agustini Hafman dan Khairun Nisa

...MT 97-101

MODEL TRINOMIAL HARGA OPSI EROPA

Fitriani Agustina dan Entit Puspita – Universitas Pendidikan Indonesia

...MT 102-106

ANALISIS PERKEMBANGAN OTAK JANIN DENGAN

MENGGUNAKAN METODE ISOMAP

Rifki Kosasih dan Achmad Fahrurozi – Universitas Gunadarma

...MT 107-113

MAHASISWA

PEMODELAN FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PERSENTASE

PENDUDUK MISKIN PROVINSI PAPUA MENGGUNAKAN

REGRESI SEMIPARAMETRIK SPLINE DALAM RANGKA

MENGHADAPI ASEAN ECONOMIC COMMUNITY 2015

Eka Oktaviana Romaji, Wahyu Kurnia Dewi Nastiti, Zahrotun Nisaa’,

Avinia Aisha Widhesaputri, dan

(9)

TAKSIRAN JACKKNIFE RIDGE REGRESSION SEBAGAI

TAKSIRAN PARAMETER MODEL REGRESI LINIER BERGANDA

PADA KASUS MULTIKOLINIERITAS

Effrida Betzy Stephany, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia

…MS 9-16

DISTRIBUSI GAMMA-HALF NORMAL

Kania Rianti, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia

...MS 17-25

PENGGUNAAN METODE BAYES DALAM PENAKSIRAN

UKURAN POPULASI YANG MEMPUNYAI NOMOR SERIAL

Mario Valentino Nara, Ida Fithriani, dan

Siti Nurrohmah – Universitas Indonesia

...MS 26-32

KAJIAN SKEMA E-VOTING DALAM APLIKASI SKEMA SECRET

SHARING BERBASIS CHINESE REMAINDER THEOREM (CRT)

DENGAN MENGGUNAKAN BARISAN MIGNOTTE

Widuri Lisu dan Kiki Ariyanti Sugeng – Universitas Indonesia

...MS 33-40

IMPLEMENTASI ATURAN KUADRATUR NEWTON-COTES

DENGAN KOREKSI PADA BATAS DAN MODIFIKASINYA

Bevina Desjwiandra H., Gatot Fatwanto Hertono, dan

Yola Fowell – Universitas Indonesia

...MS 41-48

OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN KENDALA BUY-IN

THRESHOLD

Erwin Natali Susanto dan

Liem Chin – Universitas Katolik Parahyangan

...MS 49-54

MEMINIMUMKAN RISIKO PORTOFOLIO DENGAN TARGET

RETURN MENGGUNAKAN METODE NEWTON

Andris Rachardi, Liem Chin, dan

Erwinna Chendra – Universitas Katolik Parahyangan

...MS 55-61

PREDIKSI KEBERHASILAN INDONESIA PADA POST FINAL

DAN PASCA MDGs (MILLENNIUM DEVELOPMENT GOALS) 2015

DALAM PENANGGULANGAN KEMISKINAN DAN

KELAPARAN DENGAN METODE PERAMALAN

Indah Tri Wulandari, Joshua Bonasuhul, Riskha Tri Oktaviani,

Akhmad Rayzha Naufal, dan

(10)

STUDI DAMPAK UNDANG-UNDANG MINERAL DAN

BATUBARA (UU MINERBA) TERHADAP KEBERHASILAN

EKSPOR INDONESIA MENGGUNAKAN METODE ANALISIS

FAKTOR DAN CHERNOFF FACE

Fefy D. S., Indah T. W., Avinia A. W., Rya S. A., Epa Suryanto, dan

Mutiah Salamah – Institut Teknologi Sepuluh Nopember

...MS 71-78

SIFAT SUBHIMPUNAN LENGKAP DAN COMPLETELY

DISCRETE DALAM RUANG YANG MEMILIKI

ATSUJI COMPLETION

Muhammad Ihsan Prasetio, Nora Hariadi, dan

Suarsih Utama – Universitas Indonesia

...MS 79-86

PENYELESAIAN LINEAR FRACTIONAL PROGRAMMING

DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRISS CROSS

Anggela Irene Wijaya, Taufik Limansyah, dan

Dharma Lesmono – Universitas Katolik Parahyangan

...MS 87-93

DISTRIBUSI GAMMA-PARETO

Ira Rosianal Hikmah, Siti Nurrohmah, dan

Ida Fithriani – Universitas Indonesia

...MS 94-102

EFEKTIFITAS MENCATAT DAN PRAKTIK MENGGUNAKAN

KOMPUTER SECARA LANGSUNG TERHADAP PRESTASI

BELAJAR MAHASISWA MATA KULIAH EKSPLORASI

SOFTWARE MATEMATIKA DI STKIP SURYA

Hendy Halyadi, Titi Mellyani, Aprilita, dan

Johannes H. Siregar – STKIP Surya

…MS 103-107

PENENTUAN RISIKO RELATIF UNTUK PENYEBARAN

PENYAKIT DEMAN DENGUE DI KOTA BANDUNG PADA

TAHUN 2013 DENGAN MENGGUNAKAN MODEL SMR

Robyn Irawan, Benny Yong dan

Farah Kristiani – Universitas Katolik Parahyangan

…MS 108-115

VALUASI VALUE AT RISK MENGGUNAKAN METODE COPULA

(11)

PENYELESAIAN LINEAR FRACTIONAL PROGRAMMING

DENGAN MENGGUNAKAN METODE CRISS CROSS

Anggela Irene Wijaya

1

, Taufik Limansyah

2

, dan Dharma Lesmono

3

1,2,3_{Universitas Katolik Parahyangan}

email : 1_{[email protected],}2_{[email protected],}3_{[email protected]}

Abstrak. Di dalam Penelitian Operasional terdapat berbagai jenis model matematika,

diantaranya pemrograman linear dan pemrograman non-linear yang digunakan dalam memodelkan masalah yang ada untuk memperoleh hasil yang optimal. Pada makalah ini akan dibahas kasus khusus dalam pemrograman non-linear yaitu pemrograman pecahan linear (Linear Fractional Programming atau LFP) yang nantinya dapat disederhanakan menjadi model pemrograman linear. Selain itu, makalah ini juga akan membahas dua metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah LFP yang telah disederhanakan, yaitu metode simpleks dan metode Criss Cross.

Kata kunci : Pemrograman Linear, Metode Criss Cross, Linear Fractional Programming

1. PENDAHULUAN

Banyak model yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Penelitian Operasional. Salah satu model yang paling efektif adalah Pemrograman Linear (Linear

Programming atau LP). Dalam model LP semua fungsi yang ada berupa fungsi linear. Banyak

pengembangan metode yang dilakukan untuk menyelesaikan masalah LP. Salah satu metode yang terkenal adalah metode simpleks (George Dantzig – 1947). Selain metode simpleks, masih banyak metode lain yang digunakan untuk menyelesaikan masalah LP dan pada makalah ini akan dibahas metode yang diperkenalkan oleh Sanley Zionts pada tahun 1969 yaitu metode

Criss Cross.

Selain model LP, dalam Penelitian Operasional juga terdapat model lain yaitu pemrograman non-linear. Dalam pemrograman non-linear terdapat salah satu model yang membahas mengenai masalah optimasi perbandingan dari suatu fungsi objektif yaitu Fractional

Programming (FP). Dalam model FP terdapat kasus khusus yang membahas mengenai Linear Fractional Programming (LFP). Masalah yang dibahas dalam model LFP adalah menentukan

alokasi sumber daya yang dibutuhkan sehingga dapat memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif yang berupa perbandingan. Dalam model ini tiap variabel dari fungsi kendala berupa fungsi linear dan fungsi objektif berupa perbandingan antara dua fungsi linear.

Jika pada penyebut dari fungsi objektif masalah LFP adalah konstan, maka masalahnya dapat diubah menjadi model LP. Oleh sebab itu, LFP dapat disederhanakan bentuknya menjadi masalah LP melalui metode yang diperkenalkan oleh Charnes dan Cooper [3]. Metode penyederhanaan LFP menjadi LP dan penyelesaiannya menjadi pokok bahasan dari makalah ini.

2. METODE CRISS CROSS

Metode simpleks, untuk masalah primal maupun dual, memerlukan solusi dasar (primal atau dual) yang ﬁsibel. Permasalahannya sekarang, tidak ada yang dapat menjamin bahwa solusi dasar ﬁsibel tersebut dapat diselesaikan hanya dengan menambahkan variabel buatan. Pada penambahan variabel buatan, solusi optimal tercapai hanya jika variabel buatannya bernilai nol. Dalam jurnal yang berjudul "The Criss Cross Method For Solving Linear Programming

(12)

algoritma dengan menggabungkan masalah primal-dual dalam menyelesaikan masalah LP. Cara kerja metode ini adalah melihat penyelesaian dasar (primal atau dual ﬁsibel) yang terkait dan setelah itu akan secara bergantian dilakukan iterasi (primal atau dual) hingga didapatkan penyelesaian optimumnya.

Bentuk umum dari masalah primal dan dual yang berkaitan dengan penyelesaian menggunakan metode Criss Cross dirumuskan sebagai berikut.

Primal :[2]

Maksimumkan 𝑍 = ∑ 𝑐_𝑗𝑋_𝑗

𝑛 𝑗=1

dengan fungsi kendala :

∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑋_𝑗= 𝑏_𝑖 𝑛 𝑗=1 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝑋𝑗≥ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Dual : Minimumkan 𝑊 = ∑ 𝑏_𝑖𝑌_𝑖 𝑛 𝑖=1

∑ 𝑎_𝑖𝑗𝑌_𝑖 = 𝑏_𝑖

𝑛 𝑖=1

; 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝑌𝑖 ≥ 0 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑚

Berikut adalah contoh permasalahan yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode Criss

Cross. Minimumkan 𝑍 = −3𝑋₁+ 4𝑋₂ dengan kendala : 𝑋₁+ 2𝑋₂≥ 2 3𝑋₁+ 𝑋₂≥ 4 𝑋1− 𝑋2≤ 1 𝑋₁+ 𝑋₂≤ 8 dan 𝑋₁, 𝑋₂≥ 0. Solusi :

 Mengubah kendala pertama dan kedua menjadi pertidaksamaan ≤ sehingga diperoleh −𝑋₁− 2𝑋₂≤ −2

−3𝑋₁− 𝑋₂≤ −4 Tabel awal permasalahan di atas :

𝑋1 𝑋2 Solusi 𝑍 −3 −4 0 𝑆1 −1 −2 −2 𝑆₂ −3 −1 −4 𝑆₃ 1 −1 1 𝑆₄ 1 1 8

Karena ruas kanan (kolom solusi) fungsi kendala dan koeﬁsien fungsi tujuan (baris 𝑍) masih ada yang bernilai negatif, maka untuk iterasi pertama bebas dipilih apakah ingin menggunakan iterasi dengan kriteria primal atau dual. Akan digunakan kriteria dual terlebih dahulu dan selanjutnya secara bergantian akan digunakan kriteria primal hingga mencapai kondisi yang optimum.

(13)

 Iterasi I

Pada kriteria dual langkah awal adalah mencari baris pivot dengan nilai ruas kanan (kolom solusi) yang paling negatif. Selanjutnya akan dicari kolom pivot dengan melihat rasio antara elemen pada baris 𝑍 yang bernilai positif dengan nilai mutlak elemen pada baris pivot. 𝑋1 𝑋2 Solusi 𝑍 −3 −4 0 𝑆1 −1 −2 -2 𝑆₂ −3 −1 −4 𝑆₃ 1 −1 1 𝑆₄ 1 1 8 Rasio − 4 −

Selanjutnya, tukar posisi 𝑆₂ dan 𝑋₂ sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan variabel bukan dasar. Setelah itu, akan ditentukan elemen pivot yang baru yaitu 1/(elemen pivot lama). Pada baris yang memuat elemen pivot, nilainya dikalikan dengan elemen pivot baru, sedangkan untuk kolom yang memuat elemen pivot, nilainya dikalikan dengan –(elemen pivot baru).

𝑋1 𝑆2 Solusi 𝑍 4 𝑆₁ 2 𝑋₂ 3 −1 4 𝑆₃ 1 𝑆₄ −1

Untuk pengisian entri yang lain, akan digunakan metode Gauss-Jordan. yaitu: 𝑃𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑙𝑎𝑚𝑎 ×

𝑝𝑒𝑟𝑠𝑎𝑚𝑎𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑟𝑢) Sehingga diperoleh tabel baru

𝑋1 𝑋2 Solusi 𝑍 −15 4 −16 𝑆1 5 2 6 𝑋₂ 3 −1 4 𝑆₃ −2 1 −1 𝑆₄ 4 −1 5  Iterasi II

Karena solusi dari iterasi I masih belum optimal (baik primal maupun dual), maka iterasi II akan menggunakan kriteria yang berselingan dengan iterasi I yaitu kriteria primal. Langkah awal pada kriteria primal adalah menentukan kolom pivot dengan melihat elemen baris 𝑍 yang bernilai paling negatif. Selanjutnya akan dicari baris pivot dengan melihat rasio antara elemen pada ruas kanan (kolom solusi) yang bernilai positif dengan nilai mutlak elemen pada kolom pivot.

𝑋₁ 𝑆₂ Solusi Rasio 𝑍 −15 4 −16 − 𝑆1 5 2 6 6/5 𝑋2 3 −1 4 4/3 𝑆3 −2 1 −1 − 𝑆₄ 4 −1 5 5/4

Selanjutnya, tukar posisi 𝑆1 dan 𝑋1 sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan

variabel bukan dasar. Untuk pengisian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan aturan yang sama dengan iterasi I sehingga diperoleh tabel baru

(14)

𝑋₂ −3/5 1/5 2/5

𝑆₃ 2/5 1/5 7/5

𝑆₄ −4/5 3/5 1/5

 Iterasi III

Pada iterasi II seluruh ruas kanan kendala sudah bernilai positif, namun pada baris 𝑍 masih ada yang bernilai negatif sehingga akan dilanjutkan kembali iterasi dengan menggunakan kriteria primal. Dengan cara yang sama seperti iterasi II, dapat diperoleh baris dan kolom pivotnya sebagai berikut

𝑆1 𝑆2 Solusi Rasio 𝑍 3 −2 2 − 𝑋1 1/5 −2/5 6/5 3 𝑋₂ −3/5 1/5 2/5 2 𝑆₃ 2/5 1/5 7/5 7 𝑆₄ −4/5 3/5 1/5 1/3

Selanjutnya, tukar posisi 𝑆₄ dan 𝑆₂ sebagai pertukaran antara variabel dasar dengan variabel bukan dasar. Untuk pengisian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan aturan yang sama dengan iterasi I sehingga diperoleh tabel baru

𝑆₁ 𝑆₄ Solusi 𝑍 1/3 10/3 8/3 𝑋₁ −1/3 2/3 4/3 𝑋2 −1/3 −1/3 1/3 𝑆3 2/3 −1/3 1/3 𝑆4 −4/3 5/3 1/3

Pada iterasi III telah diperoleh tabel optimal, sehingga solusi optimal dari masalah tersebut yaitu 𝑋1= 11₃ dan 𝑋2=1₃ dengan nilai optimal fungsi objektifnya 𝑍 = 22₃ .

3. PENYEDERHANAAN MODEL LFP

Berikut ini akan dipaparkan metode dari Charnes dan Cooper [3] dalam mengubah kasus LFP menjadi LP. Misal diberikan masalah LFP sebagai berikut:

Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)

𝑍 =𝑎1𝑋1+⋯+𝑎𝑛𝑋𝑛+𝑎𝑛+1

𝑐1𝑋1+⋯+𝑐𝑛𝑋𝑛+𝑐𝑛+1 (1)

∑ 𝐴𝑖𝑗𝑋𝑗 ≤ 𝑏𝑖 𝑛

𝑗=1

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚, dan syarat tak negatif :

𝑋_𝑗≥ 0 ; untuk 𝑗 = 1,2, …,n

Misal 𝑐1𝑋1+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑋𝑛+ 𝑐𝑛+1> 0 dan =_𝑐₁_𝑋₁_+⋯+𝑐1_𝑛_𝑋_𝑛_+𝑐_𝑛+1 , kemudian disubtitusikan ke

persamaan (1), maka diperoleh :

Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)

𝑍 = 𝑎₁𝑋₁𝑊 + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑋_𝑛𝑊 + 𝑎_𝑛+1𝑊 (2) dengan fungsi kendala :

𝑐₁𝑋₁𝑊 + ⋯ + 𝑐_𝑛𝑋_𝑛𝑊 + 𝑐_𝑛+1𝑊 = 1

∑ 𝐴𝑖𝑗𝑋𝑗𝑊 − 𝑏𝑖𝑊 ≤ 0 𝑛

𝑗=1

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan syarat tak negatif :

(15)

Dengan memisalkan 𝑌_𝑗 = 𝑋_𝑗𝑊 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛, maka persamaan (2) menjadi : Fungsi objektif : (maksimum atau minimum)

𝑍 = 𝑎₁𝑌₁+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑌_𝑛+ 𝑎_𝑛+1𝑊 (3) dengan fungsi kendala :

𝑐₁𝑌₁+ ⋯ + 𝑐_𝑛𝑌_𝑛+ 𝑐_𝑛+1𝑊 = 1

∑ 𝐴𝑖𝑗𝑌𝑗− 𝑏𝑖𝑊 ≤ 0 𝑛

𝑗=1

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 dan syarat tak negatif :

𝑊 ≥ 0; 𝑌𝑗≥ 0; untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛

Dengan hasil yang didapatkan pada persamaan (3) berupa masalah LP, masalah tersebut akan diselesaikan menggunakan metode simpleks dan pada bagian selanjutnya akan diselesaikan dengan menggunakan metode Criss Cross.

4. PENYELESAIAN LFP DENGAN METODE SIMPLEKS

Berikut adalah contoh kasus LFP [4] yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode simpleks. Maksimumkan 𝑍 =10𝑋1+ 20𝑋2+10 3X1+ 4X2+20 dengan kendala : 𝑋₁+ 3𝑋₂ ≤ 50 3𝑋1+ 2𝑋2≤ 80 dan 𝑋1, 𝑋2 ≥ 0. Solusi:

 Penyederhanaan bentuk LFP menjadi LP.

Misal 𝑊 = 1

3X1+ 4X2+20, maka fungsi objektifnya menjadi :

Maksimumkan 𝑍 = 10𝑋₁𝑊 + 20𝑋₂𝑊 + 10𝑊 dengan kendala : 3X₁W + 4X₂W + 20W = 1 𝑋₁𝑊 + 3𝑋₂𝑊 − 50𝑊 ≤ 0 3𝑋₁𝑊 + 2𝑋₂𝑊 − 80𝑊 ≤ 0 dan 𝑊, 𝑋₁, 𝑋₂≥ 0.

Kemudian, misalkan kembali 𝑌_𝑗= 𝑋_𝑗𝑊 (𝑗 = 1,2), maka fungsi objektifnya: Maksimumkan 𝑍 = 10𝑌1+ 20𝑌2+ 10𝑊 dengan kendala : 3Y₁+ 4Y₂+ 20W = 1 𝑌1+ 3𝑌2− 50𝑊 ≤ 0 3𝑌₁+ 2𝑌₂− 80𝑊 ≤ 0 dan 𝑊, 𝑌₁, 𝑌₂ ≥ 0.  Penyelesaian masalah LP.

Karena kendala awal pada permasalahan di atas berupa persamaan, untuk penyele-saiannya akan digunakan metode dua fase sehingga solusi optimal dari masalah tersebut yaitu 𝑌₁ = 0, 𝑌₂= 5

26, dan 𝑊 = 3

260 atau 𝑋1= 0 dan 𝑋2= 16 2

3 dengan nilai optimal

fungsi objektifnya 𝑍 = 325

26 .

5. PENYELESAIAN LFP DENGAN METODE CRISS CROSS

Akan digunakan kembali contoh dari masalah LFP sebelumnya yang sudah disederhanakan menjadi masalah LP.

(16)

3Y₁+ 4Y₂+ 20W = 1 𝑌1+ 3𝑌2− 50𝑊 ≤ 0

3𝑌₁+ 2𝑌₂− 80𝑊 ≤ 0 dan 𝑊, 𝑌₁, 𝑌₂≥ 0.

Solusi :

 Mengubah kendala permasalahan LP menjadi bentuk pertidaksamaan ≤ menjadi : 3Y₁+ 4Y₂+ 20W ≤ 1

−3Y₁− 4Y₂− 20W ≤ −1 𝑌1+ 3𝑌2− 50𝑊 ≤ 0

3𝑌₁+ 2𝑌₂− 80𝑊 ≤ 0 Tabel awal permasalahan di atas :

𝑌₁ 𝑌₂ 𝑊 Solusi 𝑍 −10 −20 −10 0 𝑆₁ 3 4 20 1 𝑆₂ −3 −4 −20 −1 𝑆₃ 1 3 −50 0 𝑆4 3 2 −80 0  Iterasi I

Pada iterasi I akan digunakan kriteria primal terlebih dahulu dalam pemilihan baris dan kolom pivotnya sebagai berikut

𝑌₁ 𝑌₂ 𝑊 Solusi Rasio 𝑍 −20 0 - 𝑆1 3 4 20 1 1/4 𝑆2 −4 −1 - 𝑆₃ 3 0 - 𝑆₄ 2 0 -

Selanjutnya tukar posisi 𝑆1dan 𝑌2 sebagai pertukaran variabel dasar dan variabel bukan

dasar. Untuk pengsian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan aturan sesuai dengan metode Criss Cross sehingga diperoleh tabel iterasi I sebagai berikut 𝑌₁ 𝑆₁ 𝑊 Solusi 𝑍 5 5 90 5 𝑌₂ 3/4 1/4 5 1/4 𝑆₂ 0 1 0 0 𝑆3 −5/4 −3/4 −65 −3/4 𝑆4 6/4 −1/2 −90 −1/2  Iterasi II

Pada iterasi II akan digunakan kriteria dual dalam pemilihan baris dan kolom pivotnya sebagai berikut 𝑌1 𝑆1 𝑊 Solusi 𝑍 90 𝑌2 5 𝑆₂ 0 𝑆₃ −5/4 −3/4 −65 −3/4 𝑆₄ −90 Rasio 4 20/3 90/65 −

Selanjutnya tukar posisi 𝑆₃dan 𝑊 sebagai pertukaran variabel dasar dan variabel bukan dasar. Untuk pengsian entri baru, baik elemen pivot maupun yang lain, akan digunakan aturan sesuai dengan metode Criss Cross sehingga diperoleh tabel iterasi II sebagai berikut

(17)

𝑌₁ 𝑆₁ 𝑆₃ Solusi 𝑍 85/26 103/26 18/13 103/26 𝑌₂ 17/26 5/26 1/13 5/26 𝑆₂ 0 1 0 0 W 1/52 3/260 −1/65 3/260 𝑆4 42/13 7/13 −90 7/13

Pada iterasi II telah diperoleh tabel optimal, sehingga solusi optimal dari masalah tersebut yaitu 𝑌1= 0, 𝑌2 =₂₆5, dan 𝑊 =₂₆₀3 atau 𝑋1= 0 dan 𝑋2= 162₃ dengan nilai

optimal fungsi objektifnya 𝑍 = 325

26 .

6. KESIMPULAN

Dari pembahasan pada makalah ini, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

 Metode Criss Cross merupakan kombinasi kriteria primal dan dual dalam mencari solusi optimum dari suatu permasalahan LP atau LFP.

 Metode Criss Cross merupakan salah satu metode alternatif dalam menyelesaikan masalah,baik LP maupun LFP, selain dengan menggunakan metode simpleks.

 Metode Criss Cross dapat menghindari penggunaan variabel buatan dalam mencari solusi dari masalah yang ada, sehingga penggunaan metode ini lebih sederhana dibandingkan dengan menggunakan metode simpleks, khususnya metode dua fase.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Zionts, S. (1969). “The Criss Cross Method For Solving Linear Programming Problems,”

Management Science. Vol. 15, no. 7. Pg. 426–445.

[2] Taha, H. A. (2007). Operations Research: An Introduction - 8th ed. Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey.

[3] Charnes, A. dan Cooper, W. (1962). “Programming with linear fractional functions,” Naval

Research Logistics Quarterly, Vol. 9. Pg. 181–186.

[4] Hillier, F. S. dan Lieberman, G. J. (2001). Introduction to Operations Research - 9th ed. McGraw-Hill. New York.

(18)