OPTIMISASI PERSOALAN LINEAR
INTEGER CHANCE CONSTRAINED
DISERTASI
oleh
HOTMAN SIMBOLON NIM : 098110021
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
OPTIMISASI PERSOALAN LINEAR INTEGER CHANCE CONSTRAINED
DISERTASI
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Doktor
Dalam Program Studi Doktor Ilmu Matematika Pada Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara oleh
HOTMAN SIMBOLON NIM : 098110021
PROGRAM STUDI DOKTOR ILMU MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN
ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Telah diuji pada Tanggal: 16 Juli 2013
==================================================================
KOMISI PENGUJI DISERTASI
Ketua : Prof. Dr. Muhammad Zarlis Anggota :
1.Dr. M. D. H. Gamal, M. Sc 2.Prof. Dr. Herman Mawengkang 3.Prof. Dr. Opim Salim Sitompul 4.Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc
HALAMAN PERNYATAAN
Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa segala pernyataan dalam disertasi saya yang berjudul:
Optimisasi Persoalan Linear Integer Chance Constrained
merupakan gagasan atau hasil penelitian disertasi saya sendiri dengan pembimbingan para Komisi Pembimbing, kecuali yang dengan jelas ditunjukkan rujukannya. Disertasi ini belum pernah diajukan untuk memperoleh gelar pada program sejenis di perguruan tinggi lainnya.
Semua data dan informasi yang digunakan telah dinyatakan secara jelas dan da-pat diperiksa kebenarannya.
Medan, Juni 2013
Nama : Hotman Simbolon NIM : 098110021
ABSTRACT
Stochastic program related with optimization of decision making on which uncer-tainty exist in data problem from time to time. The type of this study is the random optimization problem which is outcome from random data were not revealed in a running time, and the decision itself does not have to anticipate the future outcome (non anticipate). This gives a strong connection with real time optimization seen as necessity for right and now optimal decision in an uncertain environment. As long as the information of probabilistic is available, the right model for real time optimization can be formulated as stochastic double step. The essence of this introduced is to replace the deterministic model, where the coefficient and the uncertain parameter are random with a wide spread assumption from decision variables. This dissertation examine one of the stochastic program types where the problem is linked with decision making where constraints are not conclusively met but there are a decision chance that melt the constraint for some level of confidence. Thus the model issue is called as linear chance constrained programming (LCCP) issue. This study requires that decision variables take natural number (integer) (LCCIP). LCCP issue is hard to resolved because it involves multi dimensional integration and non connectivity condition. This study submit a modification of sample average approximation (SAA) approach. The main idea of this approach is to change the LCCIP problem to be the deterministic issue. By using SAA, an equivalent deterministic issue takes the form of mixed integer nonlinear programming (MINLP). Further MINLP is solved by using the direct search method.
Computational examples are given. The results show that this approach is promising to solve the LCCIP issue
Keywords: linear change constraint, integer, optimization
ABSTRAK
Program stokastik berhubungan dengan optimisasi pengambilan keputusan dengan adanya ketidakpastian dalam data problema dari suatu waktu ke waktu berikutnya. Tipe objek kajian adalah problema optimisasi acak dimana hasil (outcome) dari data acak tidak terungkap pada waktu berjalan, dan keputusan yang akan dioptimalkan tidak harus mengantisipasi hasil masa datang (non-antisipasi). Hal ini memberikan kaitan erat dengan optimisasi real time yang terlihat sebagai kebutuhan untuk keputusan optimal kini dan sekarang dalam suatu lingkungan data yang tak lengkap (atau tak pasti). Asalkan informasi probabilistik tersedia, model oprasional yang sesuai untuk optimisasi real −time dapat diformulasi sebagai program stokastik tahap-ganda. Secara esensial model ini diajukan untuk menggantikan model deterministik, dimana koefisien atau parameter yang tidak diketahui merupakan acak dengan pengandaian sebaran peluang bebas dari peubah keputusan. Disertasi ini meneliti salah satu tipe dari program stokastik yang persoalannya dikaitkan dengan pengambilan keputusan dimana kendala tidak secara meyakinkan dapat terpenuhi, namun terdapat peluang keputusan yang memenuhi kendala tersebut untuk beberapa tingkat keyakinan. Model persoalan demikian ini disebut sebagai persoalan linear chance constrained programming (LCCP). Penelitian ini mempersyaratkan bahwa peubah keputusan mengambil bilangan cacah (integer) (LCCIP). Persoalan LCCP sulit terselesaikan karena menyangkut integrasi multi-dimensi dan kondisi non-konveksitas. Penelitian ini mengajukan modifikasi pendekatan sample average approximation (SAA). Ide
dasar utama dari pendekatan ini adalah mengubah persoalan LCCIP menjadi persoalan deterministik. Dengan SAA bentuk persoalan deterministik ekivalen mengambil bentuk model mixed integer nonlinear programming (MINLP). Selanjutnya MINLP diselesaikan dengan menggunakan metode pencarian langsung. Contoh komputasi diberikan. Hasil yang diperoleh memperlihatkan bahwa pendekatan demikian ini cukup menjanjikan untuk menyelesaikan persoalan LCCIP.
Kata Kunci: Linear chance constraint, integer, optimisasi.
RIWAYAT HIDUP
Penulis, Hotman Simbolon dilahirkan di Rianiate tanggal 17 Nopember 1949 dari ayah Mgr. Torang Simbolon dan ibu Sanna br. Situmorang. Penulis adalah putra ke tujuh dari tujuh orang bersaudara, dan beristerikan Bunna br. Sipayung, S.Pd. Penulis memiliki empat orang anak, yaitu Pirton Hotberesman Bintatar Simbolon, S.T; Holmes Hotasiman Simbolon, S.T; Hotpascaman Simbolon, M.Psi, Psikolog dan Hotmaster-man Togap Ben Simbolon, S.T.
Pada tahun 1972 penulis lulus sebagai sarjana muda Pendidikan Ilmu Pasti di FKIP Universitas HKBP Nommensen. Pada tahun 1975 penulis lulus sarjana penuh Pen-didikan Matematika swasta. Pada Tahun 1980 penulis lulus sebagai Sarjana Penuh jurusan Matematika di IKIP Negeri Medan. Pada tahun 1988 penulis lulus sebagai Ma-gister Sains bidang Statistika Terapan di Institut Pertanian Bogor. Tahun 2009 semester genap penulis mulai mengikuti Program S3 Ilmu Matematika di Universitas Sumatera Utara. Penulis sering mengikuti seminar, konferensi, simposiun atau konvensi tingkat nasional, regional atau internasional sebagai peserta atau pemakalah.
Tahun 1970 penulis telah mengajar di SMA. Tahun 1972 penulis menjadi asis-ten dosen FKIP UHN dan tahun 1980 hingga sekarang menjadi dosen tetap di Prodi Pendidikan Matematika FKIP UHN Pematangsiantar. Selama menjadi dosen di FKIP penulis pernah menduduki jabatan struktural yaitu Ketua Jurusan dan Dekan. Selain itu penulis pernah dikaryakan menjadi Kepala SMA Kampus FKIP UHN (2004-2009).
Buku yang pernah ditulis dan diterbitkan secara nasional adalah Statistika (2006, ISBN 978-979-756-380-6), dan diterbitkan secara regional adalah Statistika Matem-atika I (2006, ISBN 979-99031-0-6)
KATA PENGANTAR
Dengan mengucap syukur kepada Tuhan pada akhirnya disertasi ini dapat disusun sedemikian rupa sehingga diharapkan dapat menjadi salah satu landasan dalam pe-ngembangan ilmu matematika di bidang optimisasi yang diberi kendala chance dan un-sur bilangan bulat. Disertasi ini memperkenalkan suatu metode untuk pemecahan ”Op-timisasi Persoalan Linear Integer Chance Constrained”. Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada:
1. Prof. Dr. Syahril Pasaribu, DTM & H, CTM, Sp.A (K)., selaku Rektor Universi-tas Sumatera Utara.
2. Dr. Sutarman, M. Sc., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Suatera Utara.
3. Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Progran Studi Doktor Ilmu Matematika, sekaligus sebagai co-promotor yang tidak bosan-bosannya memberi bimbingan hingga tulisan ini terwujud. Disamping itu telah memberi dukungan dan peluang seluas-luasnya dalam mengikuti berbagai seminar Nasional maupun Internasional sehingga sangat mendukung dalam studi S3 dan isi tulisan ini. 4. Prof. Dr. Saib Suwilo, M. Sc., selaku sekretaris Prodi, dosen dan penguji yang
telah memberi ganjaran berupa bahan masukan dalam tulisan ini.
5. Prof. Dr. Muhammad Zarlis, selaku Ketua promotor yang selalu memberi moti-vasi dan masukan hingga terwujudnya tulisan ini.
6. Dr. M. D. H. Gamal, M. Sc., selaku co-promotor yang memberi masukan dan motivasi menarik terutama kesempatan waktu komunikasi yang baik langsung atau tak langsung walaupun dari Perguruan Tinggi lain.
7. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, selaku dosen dan penguji yang bersedia mem-berikan bantuan melalui pertanyaan dan kritik berharga yang menjadi masukan,
dan petunjuk atas permasalahan penting sehingga dapat meningkatkan kehati-hatian dan motivasi menulis pengembangan dalam disertasi ini.
8. Prof. Dr. Tulus, dan Dr. Marwan Ramli, merupakan dua kawanan sejoli seba-gai unsur pimpinan IndoMS yang sering secara bersama atau terpisah memberi motivasi dan masukan sehingga meningkatkan semangat meneruskan tulisan. 9. Dr. Ir. Jongkers Tampubolon, M. Sc., selaku Rektor, dan Dr. Tagor Pangaribuan,
M.Pd, selaku Dekan FKIP, Universitas HKBP Nommensen yang berkenan mem-beri izin mengikuti kuliah S3 di USU.
10. Dr. Darwin, M. M., selaku Ketua STIE Sultan Agung Pematangsiantar yang memotivasi diri ”penulis pasti dapat menyelesaikan tulisan dan studi S3”
11. Ibu Misiani, S.Si., selaku KTU Prodi yang selalu memberi petunjuk keleng-kapan dan peringatan waktu-waktu penting terutama urusan administrasi selama mengikuti program S3.
12. Teman-teman seperkuliahan yang selalu saling memberi motivasi atas keku-rangan dan kelebihan, terutama bapak Drs. Firmansyah, M. Si., yang memberi dukungan moril maupun material yang sangat dirasakan sehari-hari.
13. Saudara Roland Sitorus, S. Pd., secara khusus sebagai teknisi, yang paling sering membantu mengatasi permasalahan komputer selama penulisan disertasi ini. 14. Istri dan semua anak-anak saya yang memberi perhatian dan terutama dukungan
doa setiap hari, juga pencarian bahan melalui internet dan sebagainya. 15. Semua pihak yang terlibat dalam pewujudan tulisan ini,
dengan harapan dapat dimanfaatkan membantu para pengguna dalam bidang terkait. Medan, Juni 2013 Penulis,
Hotman Simbolon
DAFTAR ISI
ABSTRACT i
ABSTRAK iii
RIWAYAT HIDUP v
KATA PENGANTAR vi
DAFTAR ISI viii
DAFTAR GAMBAR xi
DAFTAR TABEL xii
1 PENDAHULUAN 1
1. 1. Latar Belakang . . . 1
1. 2. Rumusan Masalah . . . 5
1. 3. Tujuan . . . 5
2 PROGRAM STOKASTIK 7 2. 1. Model Dasar Program Stokastik . . . 7
2. 1.1. Model Antisipatif . . . 7
2. 1.2. Model Adaptif . . . 8
2. 1.3. Model Recourse . . . 9
2. 2. Formulasi Deterministik Ekivalen . . . 10
2. 2.1. Proses Formulasi . . . 11
2. 3. Pohon Skenario . . . 13
3 BEBERAPA APLIKASI PERSOALAN CHANCE CONSTRAINED 30 3. 1. Chance Constrained Programming Untuk Analisis Pengelolaan Portofolio 30 3. 2. Optimisasi Chance Constrained Pengelolaan Air Asin . . . 33
3. 3. Event-Driven Probabilistic Constrained Programming (EDP-CP) . . . . 38
3. 4. Model Chance Constrained Programming untuk Resiko Berbasis Ekonomi dan Analisis Kebijakan Konservasi Tanah . . . 41
4 OPTIMISASI LINEAR CHANCE CONSTRAINED PROGRAMMING 51 4. 1. Program Linear Deterministic . . . 51
4. 1.1. Contoh Model Deterministik Pada Vehicle Routing Problem (VRP) . . . 53
4. 2. Program Stokastik dan Chance Constrained Programming . . . 57
4. 2.1. Sumber Stokastik dengan Dua Peubah Keputusan . . . 58
4. 2.2. Generalisasi Sumber Stokastik Dengan n Peubah . . . 62
4. 2.3. Koefisien Stokastik Dengan Dua Peubah Keputusan . . . 63
4. 2.4. Generalisasi Koefisien Stokastik Dengan n Peubah Keputusan . 66 4. 2.5. Teorema . . . 67
4. 2.6. Generalisasi CCP dengan beberapa kendala . . . 73
4. 2.6.1. CCP Bersama . . . 74
4. 2.6.2. CCP Tersendiri . . . 74
4. 2.7. Bentuk Umum Linier CCP . . . 76
4. 2.8. Linear Chance Constraint Dengan ˜ai j, ˜biMenyebar Baku . . . . 80 ix
4. 2.9. Contoh Model Stokastik Pada Vehicle Routing Problem (VRP) . 84
4. 2.10. Program Integer . . . 88
4. 2.11. Aplikasi . . . 89
4. 3. Aproksimasi Rataan Sampel . . . 92
4. 3.1. Kesesuaian struktur persoalan optimasi untuk SAA . . . 94
4. 3.2. SAA sebagai pendekatan persoalan chance constrained . . . 97
4. 4. Pemecahan Sampel Aproksimasi . . . 101
4. 5. Algoritma . . . 103
5 PENGALAMAN KOMPUTASIONAL 107 5. 1. Pengenalan . . . 107
5. 2. Formulasi Persoalan Deterministik . . . 108
5. 3. Contoh numerik . . . 108
5. 4. Formulasi Persoalan dengan CCIP . . . 109
6 KESIMPULAN 111
DAFTAR PUSTAKA 113
DAFTAR GAMBAR
2.1 Pohon Skenario . . . 14
3.1 Teknik untuk persoalan model keputusan di bawah ketidakpastian (Tarim, dkk. 2009) . . . 39
3.2 Klasifikasi persoalan chance constrained (Arellano, 2006) . . . 48
4.1 Kendala Deterministik untukeb yang berbeda . . . 59
4.2 Ilustrasi solusi sesuai dengan sub-program . . . 61
4.3 Himpunan kendala deterministik untukae2yang berbeda . . . 63
4.4 Ilustrasi solusi sesuai dengan sub-program untuk peubah koefisien stokastik . . . 65
DAFTAR TABEL
2.1 Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang . . . 16
2.2 Hasil optimal dari data tabel 2.1 . . . 17
2.3 Hasil optimal data tabel 2.1 dengan skenario cuaca berbeda . . . 19
2.4 Data pengolahan tanaman padi, jagung dan kacang dengan sebaran kontinu . . . 23
4.1 Himpunan layak deterministik untuk eb . . . 60
4.2 Himpunan layak deterministikae2 . . . 64
5.1 Hasil dari Persoalan Reliabilitas . . . 110
