POKOK BAHASAN : BUKU PEGANGAN : KOMPONEN PENILAIAN

MATA KULIAH

: MATEMATIKA

POKOK BAHASAN :

1.

PENDAHULUAN : PERTIDAKSAMAAN, NILAI

MUTLAK, SISTEM KOORDINAT

2.

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

3.

LIMIT DAN KONTINUITAS

4.

DERIVATIF

5.

APLIKASI DERIVATIF

6.

DERET TAYLOR DAN DERET MAC LAURIN

7.

INTEGRAL TAK TENTU

8.

INTEGRAL TERTENTU

9.

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

10.

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

BUKU PEGANGAN :

1.

Salers, S.L., and Hille, E., 1995 : Calculus One and

Several Variables, J. Wiley.

2.

Purcell, E., 1985 : Kalkulus dan Geometri Analitis,

Erlangga.

KOMPONEN PENILAIAN

3.

KUIS

: 10 %

4.

TUGAS/

PR

:

15

%

5.

KEAKTIFAN :

10

%

SANGSI-SANGSI :

1.

Tidak mengikuti UTS & UAS : NILAI NOL.

2.

Menyontek dan bekerja sama pada saat Ujian & Kuis :

NILAI NOL.

BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

2.1. Fungsi

Apabila himpunan A dan B tak kosong, maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong R⊂AXB dengan AxB=

{

(a,b):a∈A&b∈B

}

.

Jika R adalah relasi dari A ke B dan a∈A berelasi dengan b∈B, maka dinotasikan (a,b)∈R atau aRb atau b=R(a).

Definisi (fungsi)

Diketahui R relasi dari A ke B. Jika setiap a∈A berelasi dengan tepat satu b∈B, maka R disebut fungsi dari A ke B.

B A

f : →

dengan

A disebut daerah asal/ domain B disebut daerah kawan/ kodomain

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut range/ daerah hasil/ image.

2.1.1. Fungsi Surjektif, fungsi Injektif, dan fungsi Bijektif

Diberikan fungsi f :A→B

(i) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi Surjektif/ fungsi Pada (Onto function).

(ii) Jika setiap anggota himpunan B yang mempunyai kawan di A, kawannya tunggal, maka f

disebut fungsi Injektif/ fungsi 1-1 (Into function).

(iii) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A, maka f disebut fungsi Bijektif/ fungsi Korespondensi 1-1 (Bijektif function).

a •

b •

c •

•1

•2

•3

•4

2.1.2. Operasi pada fungsi

Diberikan skalar real

α

dsn fungsi-fungsi f dan g

. 0 ) ( , ) ( / ) ( ) )( / ( ) ( ). ( ) )( . ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ≠ = = = − = − + = + x g x g x f x g f x g x f x g f x f x f x g x f x g f x g x f x g f α α dengan domain : Contoh :

Diberikan fungsi-fungsi f dan g sebagai berikut : x

x

f( )= 2− dan g(x)=ln(x−1), Tentukan f +g dan g/ , beserta domainnya. f Penyelesaian : ¾ f(x)= 2−x ⇔2−x≥0⇔x≤2, didapat : D_f =

{

x∈R:x≤2

}

¾ g(x)=ln(x−1)⇔x−1>0⇔ x>1, didapat : D_g =

{

x∈R:x>1

}

a. (f +g)(x)= f(x)+g(x)= 2−x+ln(x−1) dengan domain :

{

∈ :1< ≤2

}

=(1,2] = ∩ = +_g D_f D_g x R x f D b. (g/ f)(x)=g(x)/ f(x)=ln(x−1)/ 2−x dengan domain :

{

:1 2

}

(1,2) 0 ) ( : /f =_⎩⎨⎧D_f ∩D_g f x ≠ ⎬⎫_⎭= x∈R <x< = g D 2.1.3. Fungsi Invers

Diberikan fungsi f :A→B. Kebalikan (invers) dari fungsi f adalah relasi g dari B ke A.

Jika f:A→B merupakan korespondensi 1-1, maka invers f merupakan fungsi, dinotasikan f−1. ) ( ) ( 1 _{y y f x} f x= − ⇔ = . D_f f R f R f D ₋₁ = dan ₋₁ = .

{

: ( ) 0

}

/ . ≠ ∩ ∈ = ∩ = = − = + = x g g D f D x g f D g D f D g f D g f D g f D f D f D_α

Contoh :

Tentukan f−1 dari fungsi-fungsi berikut :

1. 2 3 1 1 ) ( + − − = x x x f 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − = − < − = 0 , 1 1 0 , 1 0 , ) ( x x x x x x g Penyelesaian : 1. 2 3 1 1 2 3 1 1 ) ( + − − = ⇔ + − − = x x y x x x f y x x _{= −} + − ⇔ 1 2 3 1

)

( 1 3 2 3 2 3 2 ) 3 2 ( 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 ) 2 3 )( 1 ( y f y y x y y x y xy x x y xy x x x y − = − − = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ − = − − + ⇔ − = + − ⇔ Jadi, x x x f 3 2 3 2 ) ( 1 − − = − _. 2. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > + − = − < − = 0 , 1 1 0 , 1 0 , ) ( x x x x x x g ¾ Untuk x<0, 0y=g(x)=−x> sehingga : 0 , ) ( 1 _> − = − = y g y y x . ¾ Untuk x=0, 1g(0)=− sehingga : ) 1 ( 1 0=g− − . ¾ Untuk x>0,

1

1

0

1

1

1

)

(

=

−

+

−

>

+

−

=

=

x

x

g

y

. 0 1 , ) ( 1 1 1 1 1 < < − − = − − = ⇔ − = + ⇔ + − = y y g y y x y xy x y Jadi, ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < < − − − =− > − = − 0 1 , 1 1 , 0 0 , ) ( 1 x x x x x x x g 2.1.4. Fungsi Komposisi Definisi

Fungsi komposisi dari f dan g, dinotasikan f _og, didefinisikan sebagai : )) ( ( ) )( (f _og x = f g x dengan domain :

{

x D_g g x D_f

}

g f D = ∈ : ( )∈ o . Contoh :

1. Tentukan f _og, g_o f , dan domainnya dari fungsi-fungsi berikut : 2

1 )

(x x

f = − dan g(x)=2x2. 2. Tentukan f _og jika diketahui :

⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = 0 , / 1 0 , 1 ) ( x x x x x f dan ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − > − = 1 , 1 2 1 , 1 ) ( x x x x x x g Penyelesaian : 1. f(x)= 1−x2 ⇔1−x2≥0⇔(1−x)(1+x)≥0 1 atau 1 =− = x x -- ++ --

Jadi, =

{

x∈R:−1≤x≤1

}

f D R g D x x g( )=2 2⇒ = ¾ (f _og)(x)= f(g(x))= 1−(2x2)2 = 1−4x4 dengan domain :

{

}

{

}

{

}

{

}

[

1/ 2,1/ 2

]

2 / 1 2 / 1 : 2 / 1 2 0 : 1 2 2 0 : ) ( : − = ≤ ≤ − ∈ = ≤ ≤ ∈ = ≤ ≤ ∈ = ∈ ∈ = x R x x R x x R x f D x g g D x g f D o ¾ _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = = 2 1 2 2 2 1 2 )) ( ( ) )( (g_o f x g f x x x dengan domain :

{

}

{

}

] 1 , 1 [ 1 1 : ) ( : − = ≤ ≤ − ∈ = ∈ ∈ = x R x g D x f f D x f g D o 2. ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ + = 0 , / 1 0 , 1 ) ( x x x x x f , ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − > − = 1 , 1 2 1 , 1 ) ( x x x x x x g ))(f _og)(x)= f(g(x ¾ Untuk x>1, 0 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 ) ( > > − + = − + − = − = x x x x x x g , sehingga : 1 , 1 1 ) ( 1 )) ( ( ) )( ( > − + = + = = x x x x g x g f x g f _o . ¾ Untuk 1x≤ , 1g(x)=2x−1≤2.1−1= .

Karena 1g(x)≤ , maka dapat dibagi menjadi dua subinterval yaitu 0≤g(x)≤1 dan g(x)<0 (i) 10≤g(x)≤1⇔0≤2x−1≤

sehingga : . 1 2 / 1 , 2 ) 1 2 ( 1 ) ( 1 )) ( ( ) )( ( ≤ ≤ = − + = + = = x x x x g x g f x g f _o (ii) 2g(x)<0⇔2x−1<0⇔x<1/ sehingga : . 2 / 1 , ) 1 2 /( 1 ) ( / 1 )) ( ( ) )( (f _og x = f g x = g x = x− x< Jadi, ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < − ≤ ≤ > − + = 2 / 1 , ) 1 2 /( 1 1 2 / 1 , 2 1 , ) 1 /( 1 ) )( ( x x x x x x x x g f _o 2.2. Grafik Fungsi Diberikan fungsi f.

Himpunan

{

(x,y):y= f(x),x∈D_f

}

disebut grafik fungsi f.

2.2.1. Grafik fungsi dalam S.K. Cartesius a. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, pangkat, hasil kali, hasil bagi, atau akar fungsi suku banyak (polinomial).

Fungsi aljabar meliputi :

1. Fungsi rasional yang dapat berupa fungsi bulat (polinomial) dan fungsi pecah. 2. Fungsi irasional

Keterangan 1. Fungsi Rasional

¾ Fungsi suku banyak (polinomial)

Polinom berderajat n : n x n a x a a x n P x f( )= ( )= ₀ + ₁ +_L+ ,

dengan n bilangan bulat tak negatif, n

a a

a₀, ₁,_L, merupakan bilangan real, a_n ≠0.

(i) Fungsi konstan

Polinom dengan n=0 c

x

f( )= , grafiknya berupa garis lurus sejajar sumbu-x. Contoh : f(x)=2

(ii) Fungsi Linear

Polinom dengan n=1 b

ax x

f( )= + , grafiknya berupa garis lurus dengan gradien a dan melalui (0,n). Contoh : f(x)=x+1

(iii) Fungsi Kuadrat

Polinom dengan n=2 c bx ax x

f( )= 2 + + , grafiknya berupa parabola. Deskriminan d =b2 −4ac. Contoh : f(x)=x2

(iii) Fungsi Kubik

Polinom dengan n=3 d cx bx ax x f( )= 3 + 2+ + . Contoh : 3 ) (x x f = , 3 ) 1 ( ) (x = x+ f ¾ Fungsi pecah

Fungsi pecah adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai hasilbagi dua fungsi suku banyak/ polinom. m x m b x b b n x n a x a a x f + + + + + + = L L 1 0 1 0 ) ( Contoh : x x f 1 ) ( = , 1 ) ( − = x x x f 2. Fungsi Irasional Contoh : f(x)= a2 −x2

b. Fungsi Transenden

meliputi : Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma.

(i) Fungsi Trigonometri

y P(x,y) r |y| θ 0 |x| x Didefinisikan : y x Cot x y Tan x r Sec r x Cos y r Co r y Sin / / / / / sec / = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = θ θ θ θ θ θ

Dari definisi di atas, dapat ditunjukkan bahwa :

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ Sin Co Cos Sec Sin Cos Cot Cos Sin Tan 1 sec 1 = = = = θ θ θ θ θ θ 2 sec 2 1 2 2 1 1 2 2 Co Cot Sec Tan Cos Sin = + = + = +

(ii) Fungsi Siklometri

Fungsi Siklometri adalah invers fungsi trigonometri.

Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri merupakan fungsi. Didefinisikan : ) , 0 ( , cot 1 ) 2 / , 2 / ( , sec 1 ) , 0 ( , arccos 1 sec ) 2 / , 2 / ( , arctan 1 ] , 0 [ , arccos 1 ] 2 / , 2 / [ , arcsin 1 π π π π π π π π π ∈ = ⇔ = − = − ∈ = ⇔ = − = ∈ = ⇔ = − = − ∈ = ⇔ = − = ∈ = ⇔ = − = − ∈ = ⇔ = − = y y Cot x x arc x Cot y y y Sec x x arc x Sec y y y Sec x ecx x Co y y y Tan x x x Tan y y y Cos x x x Cos y y y Sin x x x Sin y

(iii) Fungsi Eksponensial

1 , 0 , ) (x =ax a> a≠ f

(iv) Fungsi Logaritma

{

: 0

}

. 1 , 0 , log > ∈ = ≠ > = ⇔ = x R x f D a a y a x x a y KUIS 1 :

1. Tentukan f _og jika diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut :

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ = 0 , 0 , ) ( x x x x x f dan ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ < < − + − ≥ + = 1 , 3 4 1 , 1 2 2 4 , 2 ) 2 ( ) ( x x x x x x x x g

dan gambarkan grafik fungsi f, g dan f _og. 2. Tentukan invers dari fungsi f berikut :

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > − + = < − = 1 , 1 1 3 1 , 2 1 , 1 2 ) ( x x x x x x x f

Dan gambarkan grafik fungsi f dan f−1.

3. Gambar grafik dari f(x)=6x−2x|x

|

.

*****Selamat mengerjakan*****

BAB III LIMIT DAN KONTINUITAS

Diberikan fungsi f(x)=x+1

Grafik fungsi dari

f(x)=x+1

Tabel nilai dari fungsi f

3 2 1 -1 0 1 2 Jadi, 21 1 lim ) ( 1 lim + = → = → f x x x x Artinya :

ketika x semakin dekat ke bilangan 1 dengan x≠1, maka nilai f(x)=x+1 semakin dekat ke 2.

X f(x)=x+1 3 4 2 3 1,6 2,6 1,2 2,2 1,15 2,15 1,009 2,009 0,99 1,99 0,55 1,5 0 1

Secara umum, ⇔ = →a f x L

xlim ( ) ” ketika x semakin dekat ke bilangan a dengan x≠a, maka nilai f(x) semakin dekat ke bilangan L.

Definisi

⇔ = →a f x L

xlim ( ) untuk setiap bilangan ε >0, terdapat bilangan δ >0 sehingga apabila 0< x−a <δ maka berlaku f(x)−L <ε. Contoh Tunjukkan bahwa : 3 1 7 2 lim + = → x x Bukti 3 2 2 3 6 3 7 ) 1 3 ( x+ − = x− = x− <ε ⇒ x− <ε

Diambil sebarang bilangan ε >0, terdapat bilangan 3

ε

δ = , sehingga apabila 0< x−2 <δ , maka berlaku

ε ε δ = = < − = − = − + 3 3 3 2 3 6 3 7 ) 1 3 ( x x x

Jadi terbukti bahwa : 3x−6 <ε

Dengan kata lain, 3 1 7

2 lim + = → x x ■ Sifat Jika )lim f(x a

x→ ada, maka limitnya tunggal.

Artinya :

Jika f x L

a

Contoh Tunjukkan bahwa x x x | | 0 lim → tidak ada Penyelesaian untuk x > 0 diperoleh : 1 1 0 lim 0 lim | | 0 lim = → = → = → x x x x x x x

Tetapi untuk x < 0 diperoleh : 1 1

0 lim 0 lim | | 0 lim − =− → = − → = → x x x x x x x

Karena limitnya tidak tunggal, maka

x x x | | 0 lim → tidak ada ■ Sifat

Diberikan konstanta k bilangan real, f x L

a

xlim→ ( )= , dan _xlim_→ag(x)=K, maka berlaku :

1. k k a xlim→ = 2.

{

}

g x L K a x x f a x x g x f a

xlim→ ( )± ( ) = lim→ ( )± lim→ ( )= ±

3. kf x k a xlim→ ( )= xlim→a f(x)=kL 4. g x LK a x x f a x x g x f a

xlim→ ( ) ( )= lim→ ( ) lim→ ( )=

5. , 0 ) ( lim ) ( lim ) ( ) ( lim = ≠ → → = → K K L x g a x x f a x x g x f a x

6. untuk n bilangan asli, berlaku :

i.

(

)

Ln n x f a x n x f a x _⎪ = ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → = → ( ) lim ( ) lim ii.

(

)

L n n x f a x n x f a x − = − ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → = − → ( ) lim ( ) lim

iii.

(

)

L n n x f a x n x f a x / 1 / 1 ) ( lim / 1 ) ( lim = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ → = →

untuk n genap dan L > 0.

Contoh 1. (1 4 )1/2 1 lim 4 1 1 lim x x x x→ + = → + 5 2 / 1 ) 4 1 ( 1 lim = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ₊ → = x x 2. 1 2 2 ) 1 3 ( 1 lim ) 1 2 ( 1 lim 1 3 1 2 1 lim = = + → + → = + + → _x x x x x x x Latihan 1. 8 2 2 4 2 2 lim − + − → _{x x} x x 2. 1 3 2 2 1 lim − + − → x x x 3. x x x 3 ₁ 1 0 lim − + → Penyelesaian 1. ) 4 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( 2 lim 8 2 2 4 2 2 lim + − + − → = − + − → x x x x x x x x x ) 4 ( ) 2 ( 2 lim + + → = x x x 3 2 6 4 ) 4 ( 2 lim ) 2 ( 2 lim = = + → + → = x x x x 3 2 2 3 2 2 3 2 2− _x + − _x + + x +

2 1 4 2 3 2 2 1 lim ) 1 ( 1 lim 3 2 2 ) 1 ( 1 lim 3 2 2 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 lim 3 2 2 ) 1 ( 2 1 1 lim 3 2 2 ) 1 ( ) 3 2 ( 4 1 lim − = − = + + → + − → = + + + − → = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − → = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − → = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + − + − → = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. x x x 3 ₁ 1 0 lim − + → Substitusi : y=3x+1⇒y3=x+1⇒x=y3 −1 x→0⇒ y→1 1 3 1 1 lim 3 ₁ 1 0 lim − − → = + − → _y y y x x x Ingat : a3−b3 =(a−b)(a2 +ab+b2) Sehingga diperoleh : 3 1 ) 1 2 ( 1 lim 1 ) 1 2 ( 1 1 lim ) 1 2 )( 1 ( 1 1 lim 1 3 1 1 lim 3 ₁ 1 0 lim − = + + → − = + + − → = + + − − → = − − → = + − → y y y y y y y y y y y y y y x x x

Teorema Apit

Diberikan fungsi-fungsi f, g, dan h sehingga : ) ( ) ( ) (x g x h x

f ≤ ≤ untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat a.

Jika h x L a x x f a

xlim→ ( )= lim→ ( )= , maka xlim→ag(x)=L

Contoh Tentukan x _x x 1 sin 2 0 lim → Penyelesaian

Dengan menggunakan teorema apit diperoleh :

Untuk 0, 1 sin1 1 2 2sin1 x2

x x x x x≠ − ≤ ≤ ⇒− ≤ ≤ Perhatikan bahwa : 0 2 0 lim − = → x x dan 0 2 0 lim = → x x Sehingga diperoleh : x _x x 1 sin 2 0 lim → =0

LIMIT SATU SISI

3L y= f(x) 2L 1L 1x 2x 3 ) ( 2 lim f x L x

x→ = tetapi xlim→x₁ f(x) tidak ada. Perhatikan bahwa : 2 ) ( 1 lim f x L x x = + →

1 ) ( 1 lim f x L x x = − →

dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kiri

Definisi

1. lim₋ ( )= ⇔∀ >0 ,∃ >0

→a f x L ε δ

x sehingga ∀x∈Df dengan x∈(a−δ,a) berlaku :

ε < −L x f( ) . 2. 0lim ( )= ⇔∀ >0 , ∃ > + →a f x L ε δ x

sehingga ∀x∈D_f dengan x∈(a,a+δ) berlaku :

ε < −L x f( ) . Contoh : 1. Diberikan fungsi 2 2 ) ( − − = x x x f .

Tentukan nilai limit fungsi f untuk x→2 dan x→3 Jawab ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < − − − − ≥ − − − = − − = 0 2 , 2 ) 2 ( 0 2 , 2 2 2 2 ) ( x x x x x x x x x f ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = 2 , 1 2 , 1 ) ( x x x f 1 2 -1

a. 1 1 2 lim ) ( 2 lim = + → = + → x x f x tetapi 1 1 2 lim ) ( 2 lim − =− + → = − → x x f x b. 1 1 2 lim ) ( 3 lim = + → = + → x x f x dan 1 1 2 lim ) ( 3 lim = + → = − → x x f x 2. Diberikan fungsi ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < + ≥ − = 3 , 3 2 3 , 1 ) ( x x x x x f

Tentukan nilai limit fungsi f untuk x→3 Jawab 2 1 3 lim ) ( 3 lim − = + → = + → x x x f x tetapi 2 3 12 3 lim ) ( 3 lim + = − → = − → x x x f x 3. 0 0 lim₊ = → x

x dan x→lim0− x tidak ada

Dari Ketunggalan Limit diperoleh teorema berikut :

Teorema L x f a x x f a x L x f a

xlim→ ( )= ⇔ _→lim+ ( )= →lim− ( )=

Akibat

Jika )lim ( ) lim f(x

a x x f a

x→ + ≠ → − maka xlim→a f(x) tidak ada.

Dari ketiga contoh di atas dapat diambil kesimpulan :

1. ( )

2

lim f x

x→

tidak ada sebab ( )

2 lim ) ( 2 lim f x x x f x → − ≠ + → 1 ) (

2. ( ) 3

lim f x

x→

tidak ada sebab ( )

3 lim ) ( 3 lim f x x x f x → − ≠ + → 3. x

xlim→0 tidak ada

LIMIT TAK HINGGA

DAN LIMIT MENUJU TAK HINGGA

Perhatikan fungsi x x f( )=1 y=1/x 1 -1 0 1 -1 Perhatikan bahwa : +∞ = + → = + → _x x x f x 1 0 lim ) ( 0 lim , =−∞ − → = − → _x x x f x 1 0 lim ) ( 0 lim . Jadi, x x 1 0 lim → tidak ada. dan 0 1 lim ) ( lim = ∞ → = ∞ → _x x x f x , lim ( ) lim 1 =0 −∞ → = −∞ → _x x x f x

Definisi (Limit Tak Hingga)

1. =∞

→ ( )

lim f x

a

x jika ∀M >0 , ∃δ >0 sehingga ∀x∈Df dengan 0<|x−a|<δ berlaku : M x f( )> 2. =−∞ → ( ) lim f x a x jika ∀M >0 , ∃δ >0 sehingga f D x∈ ∀ dengan 0<|x−a|<δ berlaku : M x f( )<− Contoh 1. =∞ + − → | 1| 1 1 lim x x

2. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → = − → 1 1 2 1 0 lim 2 3 1 0 lim x x x x x x −∞ = → − = → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → = 2 1 0 lim 2 1 0 lim 1 1 0 lim x x x x x x

Definisi (Limit Menuju Tak Hingga)

1. f x L

x

= ∞ → ( )

lim jika ∀ε >0, ∃M >0sehingga ∀x>M berlaku : f(x)−L <ε.

2. f x L

x

= −∞

→lim ( ) jika ∀ε >0, ∃M >0sehingga ∀x<−M berlaku : f(x)−L <ε.

Sifat 0 lim = ±∞ → _xn c x Contoh 1. 2 1 2 1 . 2 2 3 1 2 2 lim 2 2 3 1 2 2 lim x x x x x x x x − + ∞ → = − + ∞ → 3 2 0 3 0 2 2 2 3 2 1 2 lim = − + = − + ∞ → = x x x

2. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} ∞ → x x x x 2 2 lim

(

)

(

)

1 1 1 2 2 1 1 2 lim 1 1 . 2 2 2 lim 2 2 2 lim 2 2 2 2 2 lim 2 2 2 2 . 2 2 lim = + = − + ∞ → = − + ∞ → = − + ∞ → = − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − ∞ → = − + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− −} ∞ → = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Latihan 1. 7 4 2 2 3 2 2 lim + + − − ∞ → _{x x} x x x 2. 1 7 3 2 5 65 7 3 2 6 lim + + + − + − −∞ → x x x x x x x 3. 2 7 3 5 2 7 3 lim + + + − + −∞ → _{x x x} x x x Penyelesaian 1. 2 1 2 1 . 7 4 2 2 3 2 2 lim 7 4 2 2 3 2 2 lim x x x x x x x x x x x x + + − − ∞ → = + + − − ∞ → 2 1 0 0 2 0 0 1 2 7 4 2 2 3 2 1 lim = + + − − = + + − − ∞ → = x x x x x

2. 1 7 3 2 5 65 7 3 2 6 lim + + + − + − −∞ → _{x x x} x x x x −∞ = + + + − + − ∞ = + + + − + − −∞ → = + + + − + − −∞ → = 0 0 0 1 0 0 0 5 1 4 7 2 2 1 5 65 4 7 2 2 lim 5 1 5 1 . 1 7 3 2 5 65 7 3 2 6 lim x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. 5 1 5 1 . 2 7 3 5 2 7 3 lim 2 7 3 5 2 7 3 lim x x x x x x x x x x x x x x + + + − + −∞ → = + + + − + −∞ → 0 0 0 0 1 0 0 0 5 2 4 7 2 1 1 5 2 4 7 2 1 lim = + + + − + = + + + − + −∞ → = x x x x x x x

LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Teorema 1. 1 sin 0 lim sin 0 lim = → = → x x x x x x 2. 1 tan 0 lim tan 0 lim = → = → x x x x x x Contoh 1. x x x x x x x x x x x x 1 1 . 3 tan 4 2 sin 3 0 lim 3 tan 4 2 sin 3 0 lim + + → = + + → 13 5 3 . 4 1 2 3 3 tan 4 1 2 sin 3 0 lim = + + = + + → = x x x x x

2. x x x x x x x x x x 1 cos cos 1 . tan cos 1 0 lim tan cos 1 0 lim + + − → = − → 2 1 2 1 . 1 . 1 . 1 cos 1 1 . tan . sin . sin 0 lim . ) cos 1 )( tan ( 2 sin 0 lim ) cos 1 )( tan ( 2 sin 0 lim ) cos 1 )( tan ( 2 cos 1 0 lim = = + → = + → = + → = + − → = x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3. x x x x x x x x . 3 tan 5 sin 0 lim 3 tan 5 sin 0 lim → = → 3 5 3 1 . 5 3 tan . 5 sin 0 lim = = → = x x x x x Bilangan Alam (e)

Ingat : Rumus Binomial Newton

Untuk setiap a,b∈ℜ dan n∈Ν berlaku :

n b b n a n n b n na n a n b a n n b n a n b n a n b n a n k b k n a n k k n n b a + + − − + − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − ∑ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + L L 2 2 ! 2 ) 1 ( 1 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 ) ( Untuk a=1 dan n b= 1 , diperoleh : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = − ∑ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n n n n n n n n k n k n n k k n n n 1 1 2 1 1 1 ! 1 2 1 1 1 ! 3 1 1 1 ! 2 1 2 1 1 0 1 1 L L e n n n n = = + + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → ! 2,718... 1 ! 3 1 ! 2 1 2 1 1 lim _L

Untuk m,n∈Ν dengan m≥n berlaku : m m n n ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +₁ 1 ₁ 1

Untuk x∈ℜ, m,n∈Ν dan n≤x≤m berlaku :

m m x x n n ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +₁ 1 ₁ 1 ₁ 1 Dengan teorema Apit diperoleh :

e x x x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → 1 1 lim Dengan cara yang sama,

(

)

a e x x a x e x x x e x x x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → = + → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + −∞ → 1 lim 1 1 0 lim 1 1 lim Contoh 1. 5 3 1 2 1 1 lim ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → x x x , substitusi : 1 2 1 + = x y 0 → ⇒ ∞ → y x 2 1 21 2 1 1 2 1 2 1 − = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ + = y x y y x y xy x y Sehingga diperoleh : 3 5 1 2 1 1 lim ⎜_⎝⎛ + ₊ ⎟_⎠⎞ + ∞ → x x x =

(

1

)

5 ₂1 1₂ 3 0 lim + ⎜_⎝⎛ − ⎟_⎠⎞+ → y y y

(

)

(

)

(

)

( )

( )

2 25 5 1 1 0 lim 2 5 1 1 0 lim 2 1 1 0 lim 25 1 0 lim 2 1 25 1 0 lim e y y y y y y y y y y y y y y = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + → = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + → = + → + → = + + → = 2. 3 4 1 2 2 1 2 lim 4 3 1 2 1 2 lim ⎜_⎝⎛ −₋+ ⎟_⎠⎞ + ∞ → = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∞ → x x x x x x x x 4 3 1 2 2 1 lim ⎜_⎝⎛ + ₋ ⎟_⎠⎞ + ∞ → = x x x substitusi : 1 2 2− = x y x→∞⇒ y→0 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 + = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ − = y x y y x y xy x y

Sehingga diperoleh :

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

3 3 1 1 lim 3 1 1 lim 2 11 1 lim 3 1 lim 2 11 3 1 lim 4 2 1 1 3 1 lim 4 3 1 2 2 1 lim e y y x y y x y x y y x y y x y y x x x x = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ → = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + ∞ → = + ∞ → + ∞ → = + + ∞ → = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ∞ → Teorema Jika 0lim ( )= →c f x x dan =±∞ → ( ) lim g x c x , maka

(

_{1 ( )}

)

( ) lim ( ). ( ) lim x g x f c x e x g x f c x → = + → Contoh Tentukan 2 3 2 1 lim − + → x x x x x Penyelesaian

(

1 ( 1)

)

2 3 2 1 lim 2 3 2 1 lim + − − + → = + − → x x x x x x x x x x Diambil : f(x)=x−1 dan 2 3 2 ) ( + − = x x x x g Sehingga : 1 0 1 lim − = → x x dan =∞ + − →1 2 _{3 2} lim x x x x

Jadi,

(

)

1 ) 1 )( 2 ( ) 1 ( 1 lim 2 3 2 ) 1 ( 1 lim 2 3 2 ) 1 ( 1 1 lim 2 3 2 1 lim − = − − − → = + − − → = + − − + → = + − → e x x x x x e x x x x x e x x x x x x x x x x KONTINUITAS Definisi

Fungsi f dikatakan kontinu di titik x=a jika : ) ( ) ( lim f x f a a x = →

Dengan kata lain, fungsi f kontinu di titik x=a jika memenuhi syarat-syarat berikut :

1. f(a) ada 2. lim f(x) a x→ ada 3. lim f(x) f(a) a x = →

Selanjutnya, titik x=a disebut titik kontinuitas

Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di x=a.

Secara grafik, fungsi f kontinu di titik x=a jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik

(

a, f(a)

)

y= f(x)

Fungsi f _{kontinu di 1}x dan di setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik 2x , 3x , 4x . 1. )( 2 lim f x x x→ tidak ada 2. )( ) (3 3 lim f x f x x ≠ →

3. Nilai fungsi )f(x₄ tidak ada

Contoh 1. x x x f 1 2 )

( = − diskontinu di x = 0 sebab f(0) tidak terdefinisi

2. Fungsi ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < = 0 , 1 0 , 0 ) ( x x x H diskontinu di x = 0 sebab ( ) 0 lim H x x→ tidak ada 3. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ + < < − + − ≤ + = 1 , 2 2 1 1 , 1 2 1 , 1 ) ( x x x x x x x f a. diskontinu di x = -1 sebab ( ) 1 lim f x x→− tidak ada b. kontinu di x = 1 Teorema

Jika fungsi f dan g kontinu di a, k sebarang konstanta real, maka :

i. f ±g, kf, fg kontinu di a

ii. f/g kontinu di a dengan syarat g(a)≠0.

Teorema

Fungsi polynomial, fungsi pecah rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domain masing-masing.

2. f(x)= x−1 kontinu pada [1,∞) 3. 1 2 4 3 ) ( − + = x x x

f kontinu pada

{

x∈ℜx≠−1& x≠1

}

BAB IV DERIVATIF/ TURUNAN Definisi

Diberikan fungsi f dengan domain Df dan a∈Df . Derivatif fungsi f di a, ditulis f′(a), didefinisikan sbb :

h a f h a f h a f ( ) ( ) 0 lim ) ( + − → =

′ , asalkan limitnya ada.

Contoh

Diberikan fungsi f(x)= x , tentukan f′(0) Penyelesaian h h h h h h h f h f h h f h f h f 0 lim 0 0 lim ) 0 ( ) ( 0 lim ) 0 ( ) 0 ( 0 lim ) 0 ( → = − → = − → = − + → = ′ Karena ⎩ ⎨ ⎧ < − ≥ = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ < − ≥ = 0 , 1 0 , 1 0 , 0 , h h h h h h h h h h h h Sehingga, 1 1 0 lim 0 lim = + → = + → h h h h Tetapi, 1 ) 1 ( 0 lim 0 lim − =− − → = − → h h h h

Latihan

Diberikan fungsi f(x)=x2 −3, tentukan f′(2)

Fungsi Turunan

Dari definisi turunan, untuk a∈Df ,

h a f h a f h a f ( ) ( ) 0 lim ) ( + − → = ′ ….. (1)

Jika limit (1) ada, maka untuk D=

{

a∈Df f′(a) ada

}

dapat dibentuk fungsi f′ pada D, yang disebut fungsi turunan, yaitu :

h x f h x f h x f ( ) ( ) 0 lim ) ( + − → = ′ ….. (2) Contoh

{

0

}

, ( ) ... , ) (x = x Df = x∈Rx≥ f′ x = f Penyelesaian 0 , 2 1 1 0 lim ) ( ) ( 0 lim . 0 lim 0 lim ) ( ) ( 0 lim ) ( > = + + → = + + − + → = + + + + − + → = − + → = − + → = ′ x x x h x h x h x h x h x h x h x x h x h x h x h h x h x h h x f h x f h x f

Jika pada (1) diambil x=a+h, maka didapat :

a x a f x f a x a f − − → = ′( ) lim ( ) ( ) ….. (3)

Jika pada (2) diambil y= f(x) dan h=Δx , maka didapat :

x x f x x f x x f Δ − Δ + → Δ = ′ ( ) ( ) 0 lim ) ( ….. (4)

Namakan )Δy= f(x+Δx)− f(x , didapat : x y x x f Δ Δ → Δ = ′ 0 lim ) ( Apabila nilai x y x Δ Δ →

Δlim0 ada, maka nilainya dapat ditulis dengan notasi Leibnitz dx dy

.

Teorema

Jika fungsi f mempunyai turunan di titik x=a, maka fungsi f kontinu di titik x=a. Sebaliknya tidak berlaku,

Counter example : x

x

f( )= kontinu di titik x=0, tetapi f′(0) tidak ada.

Rumus dasar dan sifat turunan

1. f fungsi konstan, yaitu f(x)=k.

0 0 lim ) ( ) ( 0 lim ) ( = Δ − → Δ = Δ − Δ + → Δ = ′ x k k x x x f x x f x x f Jadi, f′(x)=0.

2. f(x)=xn dengan n bilangan bulat ⇒ f′(x)=nxn−1

3. jika u dan v masing-masing mempunyai turunan dan k sebarang konstanta real, maka :

. 0 ) ( asalkan , 2 )] ( [ ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ≠ ′ − ′ = ′ ⇒ = ′ + ′ = ′ ⇒ = ′ = ′ ⇒ = ′ ± ′ = ′ ⇒ ± = x v x v x u x v x v x u x f x v x u x f iv x u x v x v x u x f x v x u x f iii x u k x f x u k x f ii x v x u x f x v x u x f i Aturan Rantai

1. Diketahui y= f(u) dengan u=g(x) maka :

) ( ... ) ( ) ( ) ( ... ) ( ) ( ii x g x x g u i u f u u f y − Δ + = Δ − Δ + = Δ sehingga, u y y Δ Δ Δ Δ = Δ Δ .

0 ) ( 0⇒Δ → → Δ u ii x sehingga diperoleh: dx du du dy x u x u y x x u u y x x y x dx dy . 0 lim 0 lim . 0 lim 0 lim = Δ Δ → Δ Δ Δ → Δ = Δ Δ Δ Δ → Δ = Δ Δ → Δ = Jadi, dx du du dy dx dy . = dengan y= f(u) dan u=g(x).

2. Jika f dan g mempunyai turunan, maka f _og juga dapat mempunyai turunan, yaitu :

[

( ( ))

]

( ( )). ( ) ) ( ) (f _og ′ x = f g x ′ = f′ g x g′ x Contoh ... , 1 3 ) ( = + = dx dy x x f Penyelesaian CARA I 1 3₊ = x

y , y dapat dipandang sebagai fungsi f dan g dengan f(x)= g(x) dan 1g(x)=x3+ , f dan g mempunyai turunan. y= f(g(x))=(f _og)(x). Sehingga : 1 3 2 2 3 2 3 . ) ( 2 1 ) ( )). ( ( ) ( ) ( + = = ′ ′ = ′ = ′ = x x dx dy x x g dx dy x g x g f x g f y dx dy o CARA II

Dengan notasi Leibnitz

u du dy x dx du 2 1 2 3 = = Sehingga : 1 3 2 2 3 2 3 . 2 1 . + = = = x x dx dy x u dx dy dx du du dy dx dy Latihan

.

.... , ) 1 4 2 ( 2 sin − = = dx dy x y

Turunan Fungsi Implisit

Fungsi eksplisit berbentuk : y= f(x), sedangkan bentuk implisitnya adalah : y− f(x)=0 atau . 0 ) , (x y = F

Langkah penurunan fungsi implisit :

1. Asumsikan y merupakan fungsi x dan diferensiabel

2. Turunkan kedua ruas terhadap x

3. Selesaikan dx dy ke dalam x dan y. Contoh ... 6 3 3_{+ = ⇒ =} dx dy xy y x Penyelesaian x y x y x y x y dx dy x y dx dy x y y dx dy x dx dy y x xy dx d y x dx d 2 2 2 2 6 2 3 2 3 6 2 3 6 ) 6 2 3 ( 6 6 2 3 2 3 ) 6 ( 3 3 − − = − − = ⇔ − = − ⇔ + = + ⇔ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊

Latihan

.

... 4 ) 2 3 ( + = ⇒ = dx dy x y x

Turunan Fungsi Invers

Misalkan )y= f(x mempunyai invers, yaitu x=g(y), maka didapat :

, ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Δ − Δ + = − Δ + Δ = Δ Δ x x f x x f x f x x f x y x

dengan )Δx=g(y+Δy)−g(y , sehingga jika Δy→0 maka Δx→0 , diperoleh:

x x f x x f x x x x f x y x x dy dx Δ − Δ + → Δ = Δ Δ + → Δ = Δ Δ → Δ = ) ( ) ( lim 0 1 ) ( 1 0 lim 0 lim Jadi, dx dy dy dx₌ 1 Contoh x x f y = ( )= , tentukan dx dy dan dy dx Penyelesaian x dx dy 2 1 = x dx dy dy dx 2 1 ₌ =

Turunan Fungsi Trigonometri

Misalkan f(x) = sin(x) → f'(x)=…..? x x x x x x x f x x f x x f Δ − Δ + → Δ = Δ − Δ + → Δ = ′ ) sin( ) sin( 0 lim ) ( ) ( 0 lim ) ( x x x x x x x Δ − Δ + Δ = → Δ ) sin( ) sin( ). cos( ) cos( ). sin( lim 0

[

]

) cos( 2 0 . 1 ). sin( ) cos( 1 ) cos( ) sin( lim ) sin( lim ). sin( ) cos( 1 ) cos( 1 ) cos( . 1 ) cos( lim ). sin( ) cos( ) sin( ). cos( lim 1 ) cos( ) sin( lim 0 0 0 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x = + = + Δ Δ Δ Δ + = + Δ + Δ Δ − Δ + = Δ Δ + Δ − Δ = → Δ → Δ → Δ → Δ → Δ Jadi, )f'(x)=cos(x Rumus-rumus dasar 1. )f(x)=sin(x)⇒ f'(x)=cos(x 2. )f(x)=cos(x)⇒ f'(x)=−sin(x 3. )_f(_x)₌tan(_x)_{⇒ f}'(_x)₌sec2(_x 4. )( ) cot( ) '( ) cos 2( x ec x f x x f = ⇒ =−

5. )f(x)=sec(x)⇒ f'(x)=sec(x).tan(x 6. ).f(x)=cosec(x)⇒ f'(x)=−cosec(x).cot(x

Contoh Tentukan f′(x) jika x x x f sec 1 tan ) ( = − Penyelesaian x x x x x x x f x x dx d x x dx d x x f x x x f 2 2 2 sec tan . sec ) 1 (tan sec . sec ) ( ' sec ) (sec ). 1 (tan ) 1 (tan . sec ) ( ' sec 1 tan ) ( − − = − − − = − =

x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x x f sec tan 1 ) ( ' sec tan ) 1 (sec sec ) ( ' sec tan tan sec ) ( ' sec tan ) 1 (tan sec ) ( ' 2 2 2 2 2 + = + − − = + − = − − = Latihan Tentukan dx

dy _{dari fungsi-fungsi berikut:} 1. y=5tanx5+5tan5x

2. 5 _sec 5

x y=

3. )sin(_x2_+y2)_=y(3_x2₊2

Turunan Fungsi Siklometri

Misalkan )y=arcsin(x , berarti x=sin(y).

... = dx dy 2 2_{( ) 1} sin 1 ) cos(y y x dy dx _{= = − = −} Jadi, 2 1 1 1 x dy dx dx dy − = =

Dengan cara sama diperoleh:

1 1 1 ) sec( . 4 1 1 ) cot( . 3 1 1 ) tan( . 2 1 1 ) cos( . 1 2 2 2 2 − = ⇒ = − = ⇒ = + − = ⇒ = + = ⇒ = − − = ⇒ = dy x x dx dy x arc y x dx dy x arc y x dx dy x arc y x dx dy x arc y

Contoh

Tentukan turunan dari fungsi 1 2. sin( )

t arc t s= − Penyelesaian 2 2 2 2 2 2 2 1 ) arcsin( 1 1 1 . 1 1 2 2 ). arcsin( )) (arcsin( . 1 1 ). arcsin( ) sin( . 1 t t t t t t t t dt ds dt t d t dt t d t dt ds t arc t s − − = − − + − − = − + − = − = Latihan

Tentukan turunan dari fungsi ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = x x y 1 1 arctan

Turunan Fungsi Logaritma

x x x x x a x x x x a x x x a x x x a x x a x y x y x dx dy x dan a a x a y 1 ) 1 log( 1 ) log( ) log( 1 ) log( ) log( 0 lim . 0 , 1 , 0 , log ⋅ Δ Δ + = Δ Δ + = Δ + ⋅ Δ = Δ − Δ + = Δ Δ = Δ Δ → Δ = > ≠ > = K Sehingga diperoleh x e x x x x x y dx dy a x x x x a x x x a x x 1 ) log( ] ) 1 ( lim log[ ) 1 log( lim lim 1 0 1 0 0 = Δ + = Δ + = Δ Δ = ⋅ Δ → Δ ⋅ Δ → Δ → Δ ) ln( 1 log log 1 log 1 Jadi, a x a e x e x dx dy e e a _{= ⋅ =} ⋅ = x dx dy x x e a diperoleh : elog ln 1 diambil Jika = = ⇒ =

Contoh Tentukan ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = x a x a y dx dy ln fungsi dari Penyelesaian x a x a u y x a x a y + − = = + − =ln( ); ln: 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 1 x a a x a a x a x a x a x a x a u dx du du dy dx dy − − = + − − + = + − − + − ⋅ = ⋅ = 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ln( ) ln( ) ln( atau x a a x a x a x a x a x a dx dy x a x a x a x a y − − = − − − + − = + − − − = + − − = + − = Latihan 1. Tentukan y x dx dy ln fungsi dari = 2. Tentukan x x y dx dy ₌ fungsi dari

Turunan Fungsi Eksponensial

Misalkan y=ax,a>0 berarti x=alogy

K = = = = → = → = = = = = + dx dy e y e e e e e dx dy e y e a a a a y a y dy dx dx dy x x x x x x 2 sin 2 Contoh log ) ln( diambil jika ) ln( . ) ln( . ) ln( . 1 1 1 Penyelesaian 2 2 sin 2 2 sin 2 ) cos ( 2 ) 2 cos 2 .( sin 2 ; x x u u x x e x x x x e dx du du dy dx dy x x u dengan e y e y + + + = + = ⋅ = + = = =

Turunan Fungsi Parameter

Fungsi )y= f(x sering dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu :

) ( ) ( t h x t g y = =

dengan t suatu parameter

dt dx dt dy dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy = ⋅ = ⋅ = 1 Contoh t e y t e x t t cos sin = =

〉

K = dx dy Penyelesaian dy dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy t t e y t t e x t t_{cos sin} 1 cos sin − ⋅ = ⋅ = = =

t t t t dx dy cos sin sin cos Jadi, + − =

Turunan Tingkat Tinggi

Diberikan fungsi y= f(x) x x f x x f x f x Δ − Δ + = → Δ ) ( ) ( lim ) ( '

0 ada, maka nilai limitnya

disebut TURUNAN TINGKAT I dari f(x).

2 2 ) ( ) ( " dx y d dx dx dy d x

f = = disebut TURUNAN TINGKAT II dari f(x).

M n n n dx y d x

f( )( )= disebut TURUNAN TINGKAT –n dari f(x).

Contoh K = → − = = _f(_x) ln(1 _x) _f( )(_x) y n Penyelesaian x dx dy x f − − = = 1 1 ) ( ' 2 2 2 ) 1 ( 1 ) ( ) ( " x dx dy dx d dx y d x f − − = = = 3 2 2 3 3 ) 1 ( 2 ) ( ) ( '' ' x dx y d dx d dx y d x f − − = = = n x n x n f x dx y d dx d dx y d x f ) 1 ( )! 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( 3 . 2 ) ( ) ( 4 ₄ 3 _{3 4} ) 4 ( − − − = − − = = = M

Latihan 1. Tentukan ₂ 2 dx y d

dari fungsi berikut :

2 t y e x t = =

2. Tentukan )_f(n)(_{x dari fungsi}

x x

f( )=sin

3. Hitunglah derivative dari fungsi-fungsi berikut ini : a. ⎩ ⎨ ⎧ − ≥ + − < − = 1 , 1 2 1 , ) ( 2 x x x x x G di titik x=−1 b. H(x)=|x−2| di titik x=2 c. _y+x2_y−x+3₌0 d. _{sin( )} 5 xy y x+ = e. _y= sin(_x3₊1) f. y= x+ x+1 KUIS ... = ⇒ dx dy 2 2 2 ) 2 2 (x +y =x −y

DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN

Teorema

Misalkan f mempunyai turunan sampai tingkat (n+1) pada selang I dan a∈I maka f(x)

dapat dituliskan sebagai :

) ( ) ( ! ) ( ... ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 x R a x n a f a x a f a x a f a f x f n n n + − + + − ′′ + − ′ + = dengan 1 ) 1 ( ) ( )! 1 ( ) ( ) ( + + − + = n n n x a n c f x

R disebut suku sisa dan c suatu titik antara x dan a.

Dengan kata lain fungsi f bisa didekati oleh :

n n a x n a f a x a f a x a f a f x f ( ) ! ) ( ... ) ( ! 2 ) ( ) ( ! 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 _{+ + −} − ′′ + − ′ + ≈

Rumus di atas disebut deret Taylor dari f(x) di sekitar x=a. Jika a=0 maka deret Taylor menjadi :

n n x n f x f x f f x f ! ) 0 ( ... ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( 2_{+ +} ′′ + ′ + =

Deret di atas disebut deret Maclaurin.

Jadi deret Maclaurin dari f(x) adalah deret Taylor f(x) di sekitar x=0.

Rumus-rumus deret Maclaurin dari beberapa fungsi :

1. ... ! 3 ! 2 1 3 2 + + + + = x x x ex 2. ... ! 5 ! 3 sin 5 3 − + − =x x x x 3. ... ! 4 ! 2 1 cos 4 2 − + − = x x x 4. 1 ... 1 1 _{= + +} 2₊ 3₊ −x x x x 5. 1 ... 1 1 _{= − +} 2₋ 3₊ +x x x x 6. 1 ₂ =1− 2+ 4− 6+... + x x x

Contoh

Tentukan deret Taylor fungsi f(x)=lnx di sekitar x=1 Penyelesaian ... ) 1 ( ! ) 1 ( ... ) 1 ( ! 2 ) 1 ( ) 1 ( ! 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 _{+ + − +} − ′′ + − ′ + = n n x n f x f x f f x f n n n n n n x n x f x n n x f f x x f f x x f f x x f f x x f f x x f )! 1 ( ) 1 ( ) ( 1 . 2 . 3 )... 2 )( 1 ( ) 1 ( ) ( 3 . 2 ) 1 ( / 3 . 2 ) ( 2 ) 1 ( / 2 ) ( 1 ) 1 ( / 1 ) ( 1 ) 1 ( / 1 ) ( 0 1 ln ) 1 ( ln ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 4 ( 4 ) 4 ( 3 2 − − = ⇒ − − − = − = ⇒ − = = ′′′ ⇒ = ′′′ − = ′′ ⇒ − = ′′ = ′ ⇒ = ′ = = ⇒ = + + M M M Jadi, ... ) 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ln ) ( ... ) 1 ( ! )! 1 ( ) 1 ( ... ) 1 ( ! 4 2 . 3 ) 1 ( ! 3 2 ) 1 ( ! 2 1 ) 1 ( ! 1 1 0 ) ( 1 4 3 2 1 4 3 2 + − − + + − − − + − − − = = + − − − + + − − − + − − − + = + + n n n n x n x x x x x x f x n n x x x x x f