PERAMALAN KETERSEDIAAN BATUBARA BERDASARKAN PERMINTAAN PELANGGAN MENGGUNAKAN METODE VECTOR AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (VARMA) PADA PT.

(1)

PERAMALAN KETERSEDIAAN BATUBARA BERDASARKAN PERMINTAAN PELANGGAN MENGGUNAKAN METODE VECTOR

AUTOREGRESSIVE MOVING AVERAGE (VARMA) PADA PT.XYZ

Immash Kusuma Pratiwi, Wiwik Anggraeni S.Si, M.Kom

Sistem Informasi, Fakultas Teknologi Informasi, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail: wiwik@its-sby.edu

Abstrak— Peramalan ketersediaan batubara merupakan salah satu hal yang cukup krusial dalam bagian shipping and scheduling PT.XYZ. Hal ini dikarenakan jumlah pemesanan pelanggan yang variatif dan harus disesuaikan dengan produksi batubara dibagian produksi PT.XYZ. Peramalan yang dilakukan dibagian shipping and scheduling masih menggunakan metode trial and error sehingga tingkat kesalahannya cukup tinggi. Hal ini disebabkan oleh adanya beberapa variabel yang mempengaruhi peramalan ketersediaan batubara yang harus disesuaikan.

Pada tugas akhir ini akan disusulkan metode vector autoregressive moving average (VARMA). Metode VARMA merupakan metode yang digunakan untuk meramalkan data multivariate. Model VARMA ini mempunyai syarat bahwa data harus stasioner . Metode VARMA merupakan gabungan antara metode Vector Autoregressive (VAR) dan Vector Moving Average (VMA).

Metode VARMA yang digunakan menghasilkan model VAR(p) yang digunakan untuk melakukan peramalan. Evaluasi hasil peramalan menunjukkan eror yang cukup rendah.

Kata kunci : Peramalan, VAR, VMA, VARMA, Persediaan, Batubara

I. PENDAHULUAN

Batubara merupakan sumber energi alternatif yang dibutuhkan dunia saat ini. Menurut International Energy Agency (IEA) dalam Miranti (2008), konsumsi batubara dunia akan mengalami peningkatan antara periode tahun 2005 hingga 2015. Peramalan ketersediaan batubara merupakan hal yang penting dalam sebuah perusahaan pertambangan. Hal ini dikarenakan keterkaitan antara kemampuan produksi, jenis batubara yang sesuai dengan pemesananan pelanggan, serta penjadwalan pengambilan batubara yang bergantung pada hasil peramalan persediaan batubara. Di sini Metode peramalan menjadi hal hal yang sangat penting, karena dengan menggunakan metode peramalan yang sesuai dapat mempengaruhi perhitungan persediaan batubara yang harus disiapkan serta penjadwalan pengambilan batubara ke pelanggan.

Pada paper ini digunakan metode Vector Autoregressive Moving Average (VARMA). Metode VARMA merupakan metode yang efektif untuk meramalkan data multivariate [1].

Selain itu metode VAR memiliki kinerja yang baik dengan tingkat error yang rendah [2,3]

II. TINJAUANPUSTAKA A. Peramalan

Peramalan adalah suatu proses untuk memperkirakan berapa kebutuhan di masa datang yang meliputi kebutuhan dalam ukuran kuantitas, kualitas, waktu dan lokasi yang dibutuhkan dalam rangka memenuhi permintaan barang atau jasa. Teknik peramalan dibagi dalam dua kategori utama, yaitu metode kuantitatif dan metode kualitatif. Metode kuantitatif dapat diterapkan bila terdapat informasi tentang masa lalu. Metode kuantitatif terdiri dari dua jenis yaitu model deret waktu dan model kausal. Model deret waktu sering digunakan untuk meramal sedangkan model kausal digunakan untuk pengambilan keputusan dan kebijaksanaan. [4]

B. Stasioneritas Data

Stasioneritas data digunakan dalam analisis deret waktu, dimana data mentah biasanya ditransformasikan supaya menjadi stasioner. Pengujian stasioneritas data dilakukan dengan metode:

1. Plot Data

Salah satu metode untuk menguji stationeritas data adalah dengan melihat data tersebut secara grafis. Sebagai contoh, dengan grafik data maka dapat diketahui ada tidaknya trend (penyimpangan nilai rata-rata) dengan membandingkan antara grafik berbagai contoh data stasioner

2. Analisis fungsi autokorelasi

Autokorelasi merupakan hubungan antara observasi satu dengan observasi lainnya dalam suatu deret waktu.

Autokerelasi sering digunakan untuk melakujkan analisis pola deret waktu.

Persamaan untuk menghitung ACF adalah :

( )( )

( )

∑

=

−

= −

−

=

_n

i t k n

i

k t t

Y Y

Y Y Y Y rk

1

2

1 (1)

r_k : koefisien korelasi pada lag waktu k Yt : data deret waktu ke-t pada deret Y : nilai rata-rata deret

Yt+k : data pada waktu ke t+k pada deret

3. Proses Transformasi Data Tidak Stasioner menjadi Data Stasioner

(2)

Proses transformasi data dari tidak stasioner menjadi stasioner disebut diffrencing/pembedaan. Proses ini dilakukan dengan memberi nilai data dengan perbedaan antara data pada wakrtu tersebut dengan data pada waktu sebelumnya. Persamaan untuk melakukan differencing adalah:

Yt = Yt – Yt-i

Dimana:

Yt = hasil differencing data pada waktu ke-t Yt = data asli pada waktu ke-t

C. Metode Peramalan Varma 1. Varma (p,0)/Var (p)

Model VARMA(p,0) yang mempunyai sebanyak K variabel mempunyai bentuk persamaan:

(2)

yt = data yang diamati pada waktu t dengan ukuran (1 _ K).

ɸi = matriks koefisien autoregresi ke-i berukuran = (K _ K).

εt = vektor random sekuensial ke-t berukuran (1 _ K) berdistribusi normal yang identik dengan mean nol

dan matriks covariance C berukuran (K _ K).

w = konstanta penyesuaian.

2. Varma (0,q)/VMA (q)

Model VARMA(0,q) yang mempunyaiK variabel mempunyai bentuk persamaan:

(3) dimana :

µ = konstanta vektor berisi mean dari yt berukuran (1 _ K).

Θi = matriks koefisien moving average ke-i dengan ukuran (K _ K).

εt = vektor random sekuensial ke-t berukuran (1 _ K) berdistribusi normal yang identik dengan mean nol

dan matriks covariance C berukuran (K _ K).

3. Varma (p,q)

Perpaduan antara model vector autoregressive (VAR) dengan orde p dan model vector moving average (VMA) dengan orde q membentuk model VARMA(p; q). Model VARMA (p; q) yang mempunyai K variabel mempunyai bentuk persamaan:

(4) dimana :

ɸi = matriks koefisien autoregresi ke-i berukuran (K _ K).

Θi = matriks koefisien moving average ke-i dengan ukuran (K _ K).

εt = vektor random sekuensial ke-t berukuran (1 _ K) berdistribusi normal yang identik dengan mean nol dan matriks covariance C berukuran (K _ K).

w = konstanta penyesuaian.

D. Penentuan orde model varma

Untuk menentukan orde model VARMA dapat menggunakan Canonical Correlations Analysis (CCA)[5]. Tujuan analisis ini dalam permodelan VARMA adalah untuk menemukan sebanyak K canonical correlation coefficients yang bernilai nol antara kombinasi-kombinasi linier dari data yt dengan K deret waktu.

Menurut Athanasopoulos, kombinasi-kombinasi linier dari yt yang digunakan adalah :

(5) Dimana:

m = bilangan integer tidak negatif j = bilangan integer tidak negatif h = bilangan integer tidak negatif

Ym,t = variabel pertama dalam canonical correlation analysis Yh,t-j-1 = variabel kedua dalam canonical correlation analysis dimana m, j, dan h adalah bilangan integer tidak negatif.

Untuk setiap orde (m; j) yang diberikan, dilakukan canonical correlations analysis antara matriks Ym;t dan matriks Yh;t-j-1.

Tsay menggunakan tes statistik likelihood ratio. Tes statistik ini akan menguji sebanyak s canonical correlation coefficients yang diberikan dapat dianggap nol atau bernilai tidak signifikan dalam suatu populasi.

Hipotesis dari tes tersebut adalah :

(6) Dimana:

H0 = hipotesis 0 H1 = hipotesis 1

λ s(j) = canonical correlation coefficients kuadrat

dimana λ s(j) adalah canonical correlation coefficients kuadrat antara matriks Ym;t dan matriks Yh;t-j-1, dan diurutkan dari terkecil hingga terbesar, yaitu λ1 < λ 2 < K <s < K <

λ K(m+1) . Banyak canonical correlation coefficients yang ditemukan adalah K(m + 1). Tes statistik likelihood ratio dilakukan dengan Persamaan :

(7) dimana :

n = ukuran sample.

s = banyak canonical correlation coefficients yang diuji.

λρv(:) = autokorelasi lag ke-v dari argumen di dalamnya.

(3)

^r(i) = canonical variables pertama dari λs(j).

^g(i) = canonical variables kedua dari λs(j).

Pencarian orde VARMA(p; q) yang sesuai adalah dengan membaca criterion table. Pencarian ini dilakukan dengan cara mencari nilai C(j; s) pada criterion table yang lebih kecil dari 1. Nilai lebih kecil dari 1 menunjukkan bahwa pada orde (m;

j) tersebut ditemukan sebanyak K canonical correlation coefficients yang bernilai nol

E. Estimasi Parameter Model 1. Varma (p,0)/Var (p)

Model VAR(p) memiliki tiga parameter yang akan diestimasi, yaitu matriks ɸ, vector εt dan w. untuk mendapatkan vektor εt, maka terlebih dahulu didapatkan matriks civarience-nya yaitu C. estimasi parameter-parameter tersebut didapatkan dengan mengubah model VARMA (p,0) ke dalam bentuk model regresi biasa kemudian menghitung parameter-parameternya.

Parameter ɸ, w, dan C dari model VARMA (p) akan diestimasi. Dimisalkan terdapat deret waktu dimensi m dari vector-vektor state sebanyak N+p, dimana N merupakan ukuran sample dan p adalah orde dari VAR(p), deret-deret waktu yang terdiri dari p pre-sample vector state υ1-p dan N vector state υ1,.... υN , disebut sample efektif.

Sebuah model VAR(p) dapat diubah ke dalam bentuk model regresi :

υv = BUv + εv εv = noise (C) V= 1,...N (8) Dengan matriks parameter :

B = (w, ɸ1,... ɸp) (9)

Dan predictor yang mempunyai dimensi np = mp+1

Mengubah model VAR (p) ke dalam bentuk model regresi merupakan sebuah pendekatan, karena dalam model regresi, predictor υv diasumsikan konstan.Pendekatan ini dicapai dengan memperlakukan predictor pertama υ1 sebagai vector konstan nilai awal.Kemudian didefinisikan matriks-matriks moment.

Perhitungan least squares dari matriks parameter B yaitu:

B = WU^-1

Perhitungan di atas data juga dilakukan dengan faktorisasi QR, dengan mendefinisikan matriks data.

Faktorisasi QR dari matriks data R mengacu pada Cholesky factorization dari matriks moment.;

Vector noise 2 didapatkan dari vector Gaussian pseudo- random dengan matriks covariance C. vector tersebut dihitung dengan mengalikan vector white noise berdistribusi normal (Gaussian) dengan factor Cholesky R dari mastriks covariance C = R^TR. Vector white noise berdistribusi normal adalah vector random berdistribusi normal dengan mean 0, variance 1, dan standar deviasi 1.

2. Varma (0,q)/VMA (q)

Model VMA(q) mempunyai dua parameter yang harus ditentukan, yaitu matriks Θ dan vector 2.

Model VMA (q) dapat ditranformasikan menjadi:

Kemudian transformasi pada persamaan di atas disesuaikan (fit) dengan proses VAR (p) dimana p>q dengan hubungan:

Θ₀ = ɸ₀ Θ₁ = ɸ₁

Θ2 = ɸ1 Θ1+ Θ2

. Θq = ɸq-1 Θ1 + ɸq-1 Θ2+...+ ɸ1 Θq+ ɸq (10)

Persamaan dapat digunakan untuk menghitung matriks- matriks koefisien model VMA(q). perlu diperhatikan bahwa proses fit dengan model VAR (p) tidak memasukkan nilai w , sehingga fit di sini dilakukan dengan kondisi w=0

3. 3. Varma (p,q)

Estimasi parameter model VARMA(p,q) menggunakan pendekatan Scalar Component Models (SCM)[6]. Tujuan dari SCM adalah untuk melihat apakah terdapat struktur-struktur yang lebih sederhana dalam model VARMA(p,q)

F. Pengujian kelayakan model 1. Uji Grafik Autocorrelations

Metode correlogram ACF dilakukan dengan menggambarkan ACF dari residual. Model dinyatakan layak bila mayoritas nilai ACF berada di dalam batas kepercayaan. Nilai yang berada di dalam batas kepercayaan mengindikasikan bahwa nilai tersebut tidak signifikan[7]. Batas nilai didapatkan menggunakan persamaan :

(11) dimana :

b = batas kepercayaan.

Z = nilai kritis Z dua sisi.

n = ukuran residual.

2. Tes Li-Mcleod Portmenteau (LMP)

Metode tes LMP dilakukan dengan menghitung tes statistik yang dilakukan dengan persamaan :

(12) Dimana:

QK = nilai stastistik LMP

XR = sampel autokorelasi urutan K K = banyaknya variabel deret waktu N = banyak observasi

m =jumlah nilai parameter yang diestimasi

yang mempunyai distribusi chi-square dengan derajat kebebasan:

(13) f = derajat kebebasan

m² = jumlah nilai parameter yang diestimasi k = banyaknya variabel deret waktu

p = frekuensi observasi q = frekuensi harapan

Jika nilai Q lebih kecil dari tes statistic chi-square, maka model dianggap layak.

(4)

G. Evaluasi hasil peramalan 1. Mean Absolute Percentage Error

Merupakan rata-rata dari keseluruhan persentase kesalahan (selisih) antara data aktual dengan data hasil peramalan.

Ukuran akurasi dicocokkan dengan data time series, dan ditunjukkan dalam persentase.

(14)

Suatu model mempunyai kinerja sangat bagus jika nilai MAPE berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai MAPE berada di antara 10% dan 20%.

2. Mean Absolute Deviation

Metode ini melakukan perhitungan perbedaan antara data asli dan data hasil peramalan. Perbedaan tersebut kemudian diabsolutkan, dan didapatkan mean dari nilai absolut tersebut.

nilai MAD dihitung dengan persamaan :

(15)

III. IMPLEMENTASIDANHASIL

Untuk mengaplikasikan metode peramalan VARMA yang telah dijelaskan sebelumnya, maka digunakan data peramalan marketing dari bulan Januari 2008 sampai dengan Desember 2010 untuk jenis batubara pinang 6300, pinang 6150, dan pinang 6000. Data ini mempunyai deret waktu sebanyak N = 36 observasi, dengan tiga variabel yaitu :

Variabel I merupakan data batubara jenis pinang 6300 Variabel II merupakan data batubara jenis pinang 6150 Variabel III merupakan data batubara jenis pinang 6000 A. Uji Stasioneritas

Data asli dari variabel 1,2, dan 3 ditampilkan pada gambar 1,2, dan 3.

Gambar 1 Plot Data dan Correlogram Variabel 1

Hasil dari uji stasioneritas data tersebut menunjukkan data yang tidak stasioner karena pada grafik plot data gambar 1,2, dan 3 menunjukkan bahwa data tidak berfluktuasi disekitar nilai rata-ratanya melainkan menunjukkan trend naik turun.

Sedangkan pada gambar correlogram 1,2, dan 3 dapat dilihat bahwa terjadi penurunan dan kenaikan autokorelasi secara tidak teratur. Maka perlu dilakuakan proses stasioneritas data dengan menggunakan differencing . Gambar 4,5, dan 6 menunjukkan hasil stasioneritas data.

Gambar 4 Hasil Differencing Variabel 1

Gambar 5 Hasil Differencing Variabel 2

Gambar 6 Hasil DifferencingVariabel 3

Pada gambar 4,5, dan 6 menunjukkan bahwa data telah distasioneritaskan. Hal ini ditunjukkan dengan grafik plot data menunjukkan data berfluktuasi disekitar nilai rata-ratanya dan pada grafik correlogram menunjukkan antara lag satu dengan lainnya perubahannya cukup teratur dibanding correlogram pada gambar 1,2, dan 3.

(5)

B. Penentuan Orde Model VARMA

Penentuan model VARMA menggunakan analisis canonical correlation menghasilkan criterion table pada tabel 1.

Tabel 1 Criterion Table

Dari tabel 1 bisa dilihat bahwa hasil criterion tabel memiliki angka yang kurang dari 1. Hal ini menunjukkan bahwa model

yang paling mungkin adalah Var (p) C. Estimasi Parameter Orde VARMA

Setelah mendapatkan orde yang sesuai, maka langkah selanjutnya adalah estimasi parameter model.

Matriks A =

Matriks w =

Jadi model estimasi parameter model ditunjukkan pada persamaan (16)

(16) Dari persamaan (16) dapat dilihat bahwa model var(p) yang dijelaskan pada estimasi parameter model adalah model yang akan dilakukan dalam melakukan peramalan.

D. Uji Kelayakan Model VARMA

1. Hasil Tes Li-Mcleod Portmenteau (LMP) Variabel “lmp” memiliki nilai sebesar 153,33

Variabel “chi” yang merupakan nilai kritis chi-square dari derajat kebebasan yang telah didapatkan dan nilai signifikan 5% sebesar 193,41.

Dari kedua variabel di atas, dapat dilihat nilai statistik tes LMP Qk lebih kecil dari nilai kritis chi-squarenya, sehingga hipotesis nol yang menyatakan yang menyatakan bahwa nilai residuals tidak berkorelasi diterima. Jadi, dapat disimpulkan bahwa model 16 dapat merepresentasikan data dengan baik.

2.Hasil Uji Grafik Autocorrelation Residual

Berikut adalah

hasil dari uji grafik

autocorrelation

Gambar 7 Grafik Autocorrelation Residual Variabel 1

Dari gambar grafik autocorrelation residual 7,8,dan 9 dapat dilihat bahwa nilai batas kepercayaan adalah 95%. Nilai lag yang berada di luar batas signifikasi digambarkan berada di luar garis batas.

E. Hasil Peramalan Model VARMA

Hasil peramalan ini dihitung menggunakan persamaan model VAR(1) yang telah didapat yaitu model 16. Hasil peramalan diperlihatkan gambar 10,11, dan 12.

M J

0 1 2 3

0 0,010698 0,824454 1,14524 0,203456 1 1,316144 0,127196 0,883343 0,397655 2 0,30485 0,651791 0,02421 0,003786 3 0,027271 0,005356 0,378593 0,017914

(6)

Gambar 10 Data dan Hasil Peramalan Variabel 1

F. Evaluasi Hasil Peramalan Model VARMA

Evaluasi yang digunakan adalah MAPE dan MAD. Hasil dapat dilihat pada tabel 2 berikut.

Tabel 2 MAPE dan MAD

MAPE(%) MAD

Variabel

1 0,35 0,03

Variabel

2 0,24 0,02

Variabel

2 0,27 0,04

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa model VAR (1) menghasilkan peramalan yang sangat baik. Hal ini dikarenakan nilai MAPE dari model ini berada di bawah 10%.

Hasil MAPE dan MAD di atas dilakukan berdasarkan uji coba yang dilakukan beberapa kali terhadap hasil peramalan.

Evaluasi hasil peramalan menghasilkan eror yang kecil.

IV. KESIMPULAN

Beberapa hal yang dapat disimpulkan berkaitan dengan metode peramalan VARMA adalah sebagai berikut:

1. Pengujian stasioneritas data dapat digunakan dengan dua metode yaitu plot dan correlogram. Hasil dari uji stasioneritas data ,karena ketiga variabel yang diuji belum stasioner maka dibutuhkan differencing untuk menstasioneritaskan data.

2. Dalam penentuan orde, dapat dilakukan dengan tes statistik Canonical Correlation. Hasil dari tes canonical correlation ini dapat dilihat pada criterion tabel 1

menunjukkan bahwa model yang paling mungkin adalah var(p) karena memiliki angka yang kurang dari 1.

3. Estimasi matriks koefisien menghasilkan model 16 yang merupakan model dari var(p).

4. Pengujian kelayakan model dapat menggunakan metode tes Li-McLeod Portmanteau (LMP) dan grafik ACF residual.

Hasil dari tes Li-McLeod Portmanteau (LMP) dijelaskan pada bagain (5.4.1) yang menunjukkan bahwa model 16 dapat merepresentasikan data dengan baik. Sedangkan hasil grafik ACF residual menunjukkan bahwa nilai lag lebih banyak berada pada di bawah batas kepercayaan, sehingga model dapat dinyatakan merepresentasikan data dengan baik.

5. Peramalan dilakukan dengan model 16 dan hasil peramalan akan dievaluasi menggunakan MAPE dan MAD.

6. Evaluasi hasil peramalan menunjukkan bahwa MAPE berada dibawah 10%, membuktikan bahwa kinerja model sangat baik.

UCAPANTERIMAKASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Tuhan Yang Maha Esa, orangtua dan keluarga penulis, dosen pembimbing, dosen dan kepala jurusan Sistem Informasi, teman-teman pennulis, serta semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anggraeni, W., & Leivina, K. D. (2008). Peramalan Menggunakan Metode Vector Autoregressive Moving Average (VARMA).

[2] Kurniawati, D. (2010). Peramalan Jumlah Perawat untuk Meningkatkan Pelayanan Pasien di IRD Dr. Soetomo Surabaya dengan Model Vector Autoregression. Surabaya:

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

[3] Anggono, D. N. (2011). Analisis Data Runtut Waktu Multi Variabel Menggunakan Model Vector Autoregression (VAR) untuk Peramalan Permintaan Kamar Hotel. Surabaya: Institut Teknologi Sepuluh Nopember

[4] Makridakis, S, Wheelwright, S. C and McGee, V.E 1983.

Forecasting : methods and application , 2nd edition. Canada:

John Wiley & Sonss

[5] Athanasopoulos, G., Vahid, F.: A Complete VARMA Modelling Methodology Based on Scalar Components.

Department of Econometrics and Business Statistics, Monash University, Australia (2006)

[6] Athanasopoulos, G.: A Complete VARMA Modelling Procedure based on SCMs. PhD thesis, Monash University, Melbourne, Australia (2006)]

[7] Arranz, M.A, 2005. Portmanteau Test Statistics in Time Series. Time Oriented Language Project

(7)