KESULITAN SISWA DALAM MENYELESAIKAN SOAL-SOAL LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN
ALTERNATIF PEMECAHANNYA
MAKALAH
Disusun guna memenuhi Ujian Tengah Semester Mata Kuliah Problematika Pendidikan Matematika Pascasarjana Tahun Ajar 2022
Disusun oleh:
Faradina Nilam Zulfa NIM. S852202003
Dosen pengampu:
Dr. Budi Usodo, M.Pd.
NIP. 196805171993031002
PROGRAM STUDI S-2 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PASCASARJANA FKIP UNS
2022
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG
Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan memajukan daya pikir manusia (Keller, Hart, & Martin, 2001). Lebih lanjut perkembangan pesat di bidang teknologi informasi dan komunikasi dilandasi oleh perkembangan matematika di bidang teori bilangan, aljabar, analisis, teori peluang, dan matematika diskrit. Analisis dalam matematika masih terikat dengan kalkulus.
Jika diperhatikan, inti dari pelajaran kalkulus tak lain dan tak bukan adalah limit suatu fungsi (Wahyuni, 2017).
Limit merupakan pelajaran ilmu matematika yang mengkaji tentang sebuah konsep pendekatan atau istilah “batas”. Materi limit merupakan salah satu materi pelajaran matematika wajib kelas Xl semester genap pada kurikulum 2013 revisi 2017. Namun pada kenyataannya penyelesaian persoalan limit bagi siswa SMA kelas XI masih terbilang sulit. Hasil penelitian Yuliati (2016) menyimpulkan bahwa, hasil pre tes siswa pada materi limit menunjukkan 0% ketuntasan klasikal dengan rata-rata prestasi belajar 24%. Hal tersebut menunjukkan bahwa hasil belajar materi limit rendah. Diperkuat dengan hasil penelitian oleh Winarni, dkk (2013) yang mengatakan bahwa sebagian besar peserta didik sulit dalam memahami soal-soal pada materi limit fungsi serta peserta didik sulit dalam menentukan nilai suatu limit. Padahal materi limit fungsi aljabar penting dipahami peserta didik karena materi ini merupakan materi prasyarat turunan fungsi (Sukma, Supriyono, 2019). Maka dari itu makalah ini ada untuk membantu melihat kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar.
B. RUMUSAN MASALAH Rumusan masalah pada makalah ini sebagai berikut:
1. Apa saja kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar?
2. Bagaimana alternatif untuk kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar?
C. TUJUAN Tujuan pada makalah ini adalah sebagai berikut:
1. Mengetahui kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar.
2. Mencari solusi alternatif untuk kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar.
D. MANFAAT
Adanya makalah ini diharapkan mampu membantu guru:
1. Untuk mengetahui kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar.
2. Mencari solusi alternatif untuk kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar.
BAB II PEMBAHASAN A. INSTRUMEN
Data yang digunakan pada makalah ini merupakan data sekunder dengan mengambil jawaban siswa dalam mengerjakan soal harian materi limit fungsi aljabar. Pada ulangan terdapat delapan soal, namun pada makalah ini hanya akan mengambil tiga soal dengan kriteria banyak dijawab namun tidak tuntas, soal yang memiliki salah terbanyak pada jawaban siswa, serta soal yang menjadi tanda tanya mengapa terdapat beberapa siswa yang menjawab benar namun sisanya menjawab salah dan tidak dijawab. Soal tersebut akan dilampirkan pada table 1 beserta kuncinya.
Tabel 1. Butir soal dan kunci jawaban
No Butir Soal Kunci Jawaban Keterangan
1. Tentukan nilai dari : lim
𝑥→1
3𝑥3−2𝑥2−4𝑥+3 𝑥2+𝑥−2
lim𝑥→1
3𝑥3−2𝑥2−4𝑥+3 𝑥2+𝑥−2 =0
0 (tak terdefinisi)
Sehingga dilakukan proses pemfaktoran untuk langkah selanjutnya
𝑥→1lim
(𝑥 − 1)(3𝑥2+ 𝑥 − 3) (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)
= lim
𝑥→1
(3𝑥2+ 𝑥 − 3) (𝑥 + 2) Substitusi x=1 ke dalam fungsi
= 3(1)2+ 1 − 3 1 + 2
=3 + 1 − 3 1 + 2 = 1
3 Didapat hasil akhir yaitu 1
3
Terbanyak siswa menjawab tidak tuntas
2. Tentukan nilai dari:
lim𝑦→2 1
𝑦−2{ 1
2𝑦2−𝑦−3− 2
𝑦2+𝑦} =0
0 (tak
terdefinisi)
Terbanyak siswa
𝑦→2lim
1
𝑦−2{ 1
2𝑦2−𝑦−3−
2
𝑦2+𝑦} Sehingga dilakukan proses pemfaktoran
untuk langkah selanjutnya
𝑦→2lim 1
𝑦 − 2{ 1
2𝑦2− 𝑦 − 3− 2 𝑦2+ 𝑦}
= lim
𝑦→2
1
𝑦 − 2{1(𝑦2+ 𝑦) − 2(2𝑦2− 𝑦 − 3) (2𝑦2− 𝑦 − 3)(𝑦2+ 𝑦) }
= lim
𝑦→2
1
𝑦 − 2{𝑦2+ 𝑦 − 4𝑦2+ 2𝑦 + 6 (2𝑦2− 𝑦 − 3)(𝑦2+ 𝑦)}
= lim
𝑦→2
1
𝑦 − 2{ −3𝑦2+ 3𝑦 + 6 (2𝑦2− 𝑦 − 3)(𝑦2+ 𝑦)}
= lim
𝑦→2
1
𝑦 − 2{ (−3𝑦 − 3)(𝑦 − 2) (2𝑦2− 𝑦 − 3)(𝑦2+ 𝑦)}
= lim
𝑦→2
−3𝑦 − 3
(2𝑦2− 𝑦 − 3)(𝑦2+ 𝑦) Substitusi y=2 ke dalam persamaan
= −3(2) − 3
(2(2)2− 2 − 3)(22+ 2)
= −6 − 3
(8 − 2 − 3)(4 + 2)
= −9
(3)(6)= −1 2
menjawab salah
3. Tentukan nilai dari:
𝑥 → 1lim
√𝑥2+ 1 − √4𝑥 − 2 𝑥2 + 𝑥 − 2
𝑥 → 1lim
√𝑥2+ 1 − √4𝑥 − 2 𝑥2 + 𝑥 − 2 =0
0 (tak terdefinisi)
Sehingga dilakukan proses perkalian akar sekawan
𝑥 → 1lim
√𝑥2+ 1− √4𝑥 − 2
𝑥2 + 𝑥 − 2 × √𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2
√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2
= lim
𝑥 → 1
(√𝑥2+ 1−√4𝑥 − 2)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2) (𝑥2 + 𝑥 − 2)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2)
= lim
𝑥 → 1
𝑥2+1−4𝑥+2
(𝑥2 + 𝑥 − 2)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2)
= lim
𝑥 → 1
𝑥2−4𝑥+3
(𝑥2 + 𝑥 − 2)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2)
= lim
𝑥 → 1
(𝑥−3)(𝑥−1)
(𝑥+2)(𝑥−1)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2)
4 siswa menjawab benar, 8 siswa menjawab salah dan 5 siswa tidak menjawab
= lim
𝑥 → 1
𝑥−3
(𝑥+2)×(√𝑥2+ 1+√4𝑥 − 2) Substitusi x=1 ke dalam persamaan
= 1 − 3
(1 + 2) × (√12+ 1 +√4(1) − 2)
= −2
(3) × (√2+√2)
= −2
(3) × (2√2)
= −1 3√2
B. PENENTUAN SUBYEK
Penentuan sampel dalam penelitian ini mengunakan teknik nonprobability sampling dengan jenis purposive sampling. Sugiyono (2017:82) menyatakan bahwa nonprobability sampling adalah teknik pengambilan sampel yang tidak memberikan peluang atau kesempatan yang sama bagi setiap unsur atau anggota populasi untuk dipilih menjadi sampel, dan purposive sampling merupakan penentuan sampel dengan pertimbangan tertentu Sehingga dalam penelitian ini populasi yang ada adalah siswa kelas XI-MIPA4 SMA Negeri 1 Pati, dan sampel yang diambil merupakan beberapa siswa dari kelas XI-MIPA4 SMA Negeri 1 Pati.
Pengambilan sampel ini berdasarkan alasan antara lain: merupakan siswa dari empat siswa yang menjawab benar nomor lima dan/atau siswa dengan kriteria yang menjawab dua nomor instrumen tes benar serta siswa yang menjawab salah ketiga butir instrumen.
C. JAWABAN TERTULIS DAN ANALISISNYA
Kesulitan-kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal limit antara lain sebagai berikut:
1. Siswa menganggap bahwa 0/0 merupakan hasil akhir
Dalam menyelesaikan persoalan pada materi limit, hasil awal dari metode substitusi adalah 0/0 yang bukan merupakan nilai limit. 0/0 merupakan nilai tak terdefinisi dalam limit, sehingga nilai tersebut bukan nilai akhir yang diinginkan dari soal.
Kesulitan siswa adalah siswa menganggap bahwa 0/0 merupakan hasil akhir, sehingga dalam penyelesaian soalnya siswa berhenti di situ.
Padahal ketika hasil awal substitusi menghasilkan jawaban 0/0 (tak terdefinisi), maka langkah yang harus diambil siswa selanjutnya adalah pemfaktoran. Hal ini berguna untuk mencari nilai limit yang mendekati fungsi apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tak terdefinisi.
Sebagai contoh pada Gambar 1 dan Gambar 2, siswa yang menggunakan metode substitusi dalam penyelesaiannya mendapatkan hasil 0/0, namun tidak melanjutkan dalam mengerjakan. Menurut peniliti siswa-siswa tersebut menduga bahwa 0/0 merupakan nilai dari suatu limit.
Gambar 1
Gambar 2
Dari Gambar 1 dan Gambar 2 terlihat
bahwa siswa
menghentikan
pengerjaan soal ketika mendapat 0/0 sebagai hasil, seharusnya dilanjutkan dengan langkah pemfaktoran
Dari Gambar 1 dan Gambar 2 dapat ditarik kesimpulan sementara bahwa ada kesulitan siswa dalam mengerjakan persoalan limit fungsi dengan menganggap bahwa 0/0 merupakan nilai dari suatu limit.
2. Siswa salah dalam penyamaan penyebut
Kesulitan siswa yang berhubungan dengan penyelesaian soal limit adalah proses penyamaan penyebut. Proses ini dapat digunakan apabila bentuk fungsi limit dalam soal berbentuk pecahan. Pada gambar 3 terlihat bahwa siswa berhenti melanjutkan penyelesaian soal ketika dihadapkan dengan menyamakan penyebut.
Gambar 3
Gambar 4 juga memperlihatkan bahwa siswa kesulitan dalam menyamakan penyebut pada persoalan limit fungsi berbentuk pecahan.
Gambar 4
Dari Gambar 3 dan Gambar 4, dapat diambil kesimpulan sementara bahwa dalam menyelesaikan persoalan limit fungsi berbentuk pecahan siswa diduga mengalami kesulitan dalam menyamakan penyebut.
3. Siswa kesulitan dalam perkalian sekawan
Bentuk limit fungsi matematika juga ada dalam bentuk akar. Pada bentuk akar, terdapat penyelesaian dengan metode “perkalian sekawan”.
Perkalian sekawan ini umumnya digunakan untuk menentukan limit fungsi berbentuk akar. Dua bentuk akar dikatakan sekawan apabila ketika kedua bentuk akar tersebut dikalikan akan menghasilkan bilangan rasional.
Kesulitan siswa selanjutnya adalah kesulitan dalam pengalian akar sekawan ketika dihadapkan persoalan limit fungsi berbentuk akar.
Hal ini terlihat pada Gambar 5, siswa tau bahwa langkah yang harus ditempuh adalah dengan pengalian akar sekawan, namun dalam langkah selanjutnya siswa diduga kesulitan mengalikan sehingga siswa hanya mengalikan penyebutnya saja tidak dengan pembilangnya.
Gambar 5
Gambar 6 memperlihatkan kesulitan siswa dalam mengerjakan soal limit fungsi bentuk akar, dan disimpulkan bahwa siswa tidak tahu langkah perkalian sekawan sehingga siswa memilih untuk memfaktorkan. Padahal hal tersebut tidak bisa digunakan.
Gambar 6
Siswa hanya mengalikan
penyebut, tidak dengan pembilang.
Seharusnya
pembilang juga dikalikan dengan sekawannya.
Seharusnya menggunakan perkalian sekawan
Dari Gambar 5 dan Gambar 6, dapat ditarik kesimpulan sementara bahwa siswa kesulitan dalam penggunaan “perkalian sekawan” pada soal limit fungsi berbentuk akar.
D. PEMBAHASAN HASIL ANALISIS
Dari penjabaran jawaban dan analisisnya, dapat diasumsikan bahwa siswa kelas XI masih merasa kesulitan dalam menyelesaikan persoalan limit fungsi ajabar. Adapun kesulitan-kesulitan siswa dalam menyelesaikan persoalan limit fungsi belajar adalah sebagai berikut:
1. Ssiswa yang menganggap bahwa 0/0 merupakan nilai dari suatu limit. Hal ini sejalan dengan jawaban siswa dari butir instrumen nomor satu ketika siswa menghentikan pengerjaannya menyelesaikan soal limit apabila siswa sudah mendapatkan hasil 0/0.
2. Siswa salah dalam penyamaan penyebut pada soal limit fungsi. Hal ini terlihat pada langkah siswa yang salah dalam menyamakan penyebut ketika mendapati soal limit fungsi berbentuk pecahan.
3. Siswa yang mengalami kesulitan dalam perkalian sekawan pada bentuk akar untuk soal limit fungsi aljabar. Hal ini diperlihatkan dengan siswa yang tidak mampu mengoperasikan perkalian sekawan dan siswa yang memfaktorkan bentuk akar pada soal limit fungsi berbentuk akar.
E. ALTERNATIF SOLUSI YANG DITAWARKAN
Alternatif yang bisa penulis tawarkan guna menghadapi dugaan kesulitan- kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal limit fungsi aljabar sebagai berikut:
1. Penanaman lebih dalam mengenai konsep nilai limit yang selalu ada nilainya, bukan tak terdefinisi. Sehingga ketika siswa mendapat hasil 0/0 dalam mengerjakan persoalan limit, siswa akan berpikir kembali untuk mengingat bahwa tidak ada nilai limit yang tidak terdefinisi dan melanjutkan langkah berikutnya. Hal ini dapat dilakukan pada pembelajaran di kelas dengan menggunakan sebuah metode pembelajaran yang inovatif sehingga diharapkan mampu memperdalam konsep nilai limit pada siswa.
2. Pada kesulitan siswa dalam menyamakan penyebut, penulis dapat memberikan alternatif berupa pengulangan contoh soal limit yang berbentuk pecahan secara berkala. Sehingga diharapkan dengan alternatif tersebut siswa lebih memperhatikan kembali cara menyamakan penyebut
dan siswa diharapkan lebih terbiasa dengan soal yang memerlukan langkah penyamaan penyebut. Alternatif ini dapat dilakukan pada setiap pembelajaran limit dengan guru memberikan tugas rumah berisi soal-soal limit fungsi salah satunya berbentuk pecahan dan dengan arahan bahwa pada pertemuan limit berikutnya guru akan menunjuk salah satu siswa untuk mempresentasikan maka siswa akan berpikir ulang untuk tidak mengerjakan tugas tersebut.
3. Pembelajaran mengenai perkalian sekawan sebagai langkah penyelesaian pada limit fungsi akar dapat ditekankan kembali dengan mengulas secara singkat pada apersepsi di pembelajaran matematika, kemudian dengan pemberian soal-soal yang bertipe sama, yakni tipe fungsi akar, secara berkala juga mampu menjadi alternatif untuk kesulitan siswa dalam perkalian sekawan. Penjelasan singkat pada apersepsi akan mengingatkan kembali dalam ingatan siswa mengenai perkalian sekawan dan pemberian soal-soal bertipe fungsi akar akan membuat siswa lebih terbiasa dengan penyelesaian soal menggunakan perkalian sekawan.
BAB III KESIMPULAN
Limit fungsi aljabar merupakan salah satu materi dalam pembelajaran matematika di tingkat SMA. Pada penelitian ini materi limit fungsi aljabar diberikan kepada siswa kelas XI, lebih spesifik kelas di XI-MIPA4 dari SMA Negeri 1 Pati. Dalam pengerjaan soal-soal limit fungsi, siswa mengalami kendala berupa kesulitan-kesulitan sehingga siswa salah dalam menyelesaikan persoalan limit fungsi. Untuk itu penelitian ini ada untuk melihat kesulitan-kesulitan yang dihadapi siswa, dan didapat tiga kesulitan antara lain kesulitan dalam menentukan langkah selanjutnya karena menganggap 0/0 merupakan nilai dari suatu limit, kesulitan dalam menyamakan penyebut ketika soal limit fungsi berbentuk pecahan dan kesulitan siswa dalam menggunakan langkah perkalian sekawan pada soal limit fungsi berbentuk akar. Untuk itu terdapat beberapa solusi yang dapat peneliti sarankan guna meng-cover kesulitan-kesulitan siswa tersebut antara lain menekankan secara lebih bahwa 0/0 bukan merupakan sebuah nilai dari limit, pengulangan soal dengan bentuk yang sama secara berkala, pengulangan langkah perkalian sekawan untuk bentuk akar pada apersepsi di tiap pertemuan pembelajaran materi limit, serta pemberian tugas rumah dengan soal yang setipe.
DAFTAR PUSTAKA
Filsaime, D.K. 2008. Menguak Rahasia Berpikir Kritis dan Kreatif.
Jakarta: Prestasi Pustakarya.
Permendikbud. (2018). Permendikbud Nomor 36 Tahun 2018 Tentang Struktur Kurikulum 2013 SMA – MA. Jakarta. Kemendikbud.
Depdiknas, (2006). Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan.
Jakarta. Depdiknas.
Keller, B. A., Hart, E. W., & Martin, W. G. (2001). Illuminating NCTM's principles and standards for school mathematics. School Science and Mathematics, 101(6), 292-304.
Wahyuni, A. (2017). Analisis hambatan belajar mahasiswa pada mata kuliah Kalkulus Dasar. JNPM (Jurnal Nasional Pendidikan Matematika), 1(1), 10- 23.
Yuliati, Y. (2016). Pengajaran remedial tutor sebaya model kategori kelompok untuk meningkatan hasil belajar matematika pada materi LIMIT. Gammath: Jurnal Ilmiah Program Studi Pendidikan Matematika, 1(1).
LAMPIRAN
