03-Pemecahan Persamaan Linier (2)

03-Pemecahan Persamaan Linier (2)

Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012

Anny2011 1

Agenda

• Bagian 1: Matriks Invers

• Bagian 2: Eliminasi = Faktorisasi: A = LU

• Bagian 3: Transpos dan Permutasi

MATRIKS INVERS

Bagian 1

Anny2011 3

Pendahuluan

• Matriks invers dari sebuah matriks persegi A dinotasikan dengan A^-1.

– A^-1A = I – A^-1Ax = x

• Sebuah matriks A mungkin juga tidak memiliki inversnya (A^-1 tidak eksis)

• Perkalian A^-1 dengan Ax = b menghasilkan

A^-1Ax = A^-1b x = A^-1b

Definisi

• Sebuah matriks dikatakan invertible jika terdapat sebuah matriks A^-1 sedemikian hingga A^-1A = I dan AA^-1 = I.

• Tidak semua matriks memiliki invers

• Invers akan ada jika dan hanya jika eliminasi

menghasilkan n pivot (pertukaran baris dibolehkan).

• Eliminasi dapat menghasilkan solusi Ax = b tanpa secara eksplisit menghitung A^-1.

Anny2011 5

Definisi (2)

• Sebuah matriks tidak mungkin memiliki dua

matriks invers yang berbeda. Misal BA = I, AC = I, maka B = C

B(AC) = (BA)C  BI = IC  B = C

• Jika A memiliki invers (invertible), maka satu- satunya solusi Ax = b adalah x = A^-1b.

• Misal terdapat vektor bukan nol x sedemikian hingga Ax = 0, maka A tidak memiliki invers.

– Jika A invertible, maka Ax = 0 hanya memiliki solusi x = A^-10 = 0 (zero vector)

Definisi (3)

• Sebuah matriks 2x2 mempunyai invers

(invertible) jika dan hanya jika ad – bc tidak sama dengan nol

– Nilai ad – bc adalah determinan matriks A.

• Sebuah matriks diagonal memiliki invers jika tidak terdapat nilai nol pada diagonalnya.

Anny2011 7

Contoh 1

• Apakah matriks A berikut memiliki invers? Sebutkan tiga alasannya.

• Tidak

1. Determinan A = 0

2. Jumlah pivot yang tidak sama dengan 0 hanya 1 (bukan 2)

3. A

x

= 0 untuk

x

= (2, -1)

2 1

2 A 1

Invers Perkalian Matriks AB

• Hasil perkalian matriks AB memiliki invers jika dan hanya jika matriks A dan B masing- masing memiliki invers dan ukurannya sama.

• Invers matriks AB: AB

^-1

= B

^-1

A

^-1

– AA^-1 = I

– (AB) B^-1A^-1 =A(BB^-1)A^-1 = AIA^-1 =AA^-1 = I

• Aturan reverse order :

Anny2011 9

Contoh 2

• Jika matriks eliminasi E mengurangi 5 kali

baris pertama dari baris kedua, invers matriks E^-1 menambahkan 5 kali baris pertama ke baris kedua.

• Matriks persegi memiliki karakteristik jika AB = I maka BA = I

Eliminasi Gauss-Jordan

• Meski persamaan Ax = b dapat dipecahkan dengan x = A^-1b, menghitung A^-1 kemudian mengalikannya dengan b kadang kurang efisien.

• Dengan eliminasi solusi x dapat langsung dicari.

• Dengan eliminasi juga, matriks invers A^-1 juga dapat dihasilkan

• Ide dasar Gauss-Jordan adalah mencari solusi AA^-1 = I, yakni dengan menentukan setiap kolom matriks A^-1.

Anny2011 11

Eliminasi Gauss-Jordan (2)

• Matriks A dikalikan kolom pertama matriks A

^-1

(sebut kolom ini x

₁

) menghasilkan kolom pertama matriks I (sebut kolom ini e

₁

)

• Persamaannya:

Ax₁ = e₁ = (1, 0, 0)

• Dua persamaan yang lain:

Ax₂ = e₂ = (0, 1, 0) Ax₃ = e₃ = (0, 0, 1)

Eliminasi Gauss-Jordan (3)

• Metode Gauss-Jordan menghitung A^-1 dengan mencari solusi ketiga persamaan tsb (jika matriksnya 3x3), atau n ^persamaan jika matriksnya nxn.

• Misal terdapat sebuah matriks K:

• Matriks identitas I:

• Untuk mencari K^-1:

– Matriks gabungan [K I]:

– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot pertama:

– Lakukan eliminasi dengan meng-nol-kan elemen dibawah pivot kedua:

Anny2011 13

2 1 0

1 2 1

0 1 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0 2 1 0

0 1 0 1 2 1

0 0 1 0 1 2

1 0 0 2 1 0

0 1 1

0

0 0 1 0 1 2

2 1 2

3

1 0

0

0 1 1

0

0 0 1 0 1 2

3 2 3 1 3 4

2 1 2

3

Eliminasi Gauss-Jordan (4)

• Matriks diatas 3 kolom pertamanya adalah U (upper triangular), pivot pada diagonalnya adalah 2, 3/2, dan 4/3.

• Selanjutnya metode Gauss-Jordan menghasilkan bentuk reduksi (nilai nol diatas pivot:

1 0

0

0 1 1

0

0 0 1 0 1 2

3 2 3 1 3 4

2 1 2

3

0 0

0 0 1 0 1 2

4 3 2 3 4 3 2

3 0 0

1 0

0 2

4 3 2 3 4 3 2

3

2 1 2

3

Eliminasi Gauss-Jordan (5)

• Langkah terakhir metode Gauss-Jordan adalah

membagi setiap baris dengan nilai pivot pada baris yang bersangkutan, sehingga pivot yang baru adalah 1:

• Tiga kolom terakhir matriks diatas adalah K^-1 yang dicari

Anny2011 15

4 3 2 1 4 1

2 1 2

1

4 1 2 1 4 3

1 0 0

1 0

1 0

0 0 1

1 0

0

0 0

1 0

0 2

3 2 3 1 3 4

4 3 2 3 4 3 2

3

2 1 2

3

Karakteristik Matriks K dan K

^-1

3 2 1

2 4 2

1 2 3 4 1

4 3 2 1 4

1 2

1 1 2 1

4 1 2 1 4 3

2 1 0

1 2 1

0 1 2

K 1

K

• Matriks K symmetric pada diagonal utamanya, begitu pula matriks K^-1.

• Matriks K tridiagonal (hanya tiga nilai bukan nol pada diagonalnya). Matriks K^-1 adalah dense matrix tanpa ada nilai nol.

• Hasil perkalian pivot matriks U: 2*(3/2)*(4/3) = 4. Nilai 4 ini merupakan determinan dari K.

Contoh 1

• Untuk matriks A = ,

tentukan A^-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.

• [A I] =

• Langkah 1 Eliminasi:

• Langkah 2 Eliminasi:

• Dibagi dengan pivot:

• A^-1 =

Anny2011 17

7 4

3 2

1 0 7 4

0 1 3 2

1 2 1

0

0 1 3 2

1 2 1

0

3 7

0 2

1 2

1

0 2

3 2

0 7 1

1 2

2 3 2

7

Contoh 2

• Untuk matriks L = ,

tentukan L^-1 dengan eliminasi Gauss-Jordan.

• [L I] =

• Langkah 1 Eliminasi:

• Langkah 2 Eliminasi:

• Langkah 3 Eliminasi : L^-1 =

1 5 4

0 1 3

0 0 1

1 0 0 1 5 4

0 1 0 0 1 3

0 0 1 0 0 1

1 0 0 1 5 4

0 1 3 0

1 0

0 0 1 0 0 1

1 0 4 1

5 0

0 1 3 0

1 0

0 0 1 0 0 1

0 1 3 0

1 0

0 0 1

0 0 1 0

0 1

ELIMINASI =

FAKTORISASI: A = LU

Bagian 2

Anny2011 19

Faktorisasi Matriks

• Matriks A merupakan hasil perkalian dua atau tiga matriks spesial yang lain.

• Dari eliminasi, faktor matriks A adalah matriks triangular L dan U: A = LU.

– U: matriks upper triangular dengan nilai-nilai pivot pada diagonalnya.

Dengan eliminasi matriks A dapat diubah menjadi U.

– L: matriks lower triangular yang dapat digunakan untuk mengubah matriks U kembali menjadi A.

Faktorisasi Matriks (2)

• Matriks A berukuran 2x2:

• Baris kedua diatas adalah faktorisasi matriks A: LU = A

• Untuk matriks 3x3, matriks A akan dikalikan dengan E₂₁, E₃₁, dan E₃₂ untuk menjadi matriks U.

– asumsi tidak ada pertukaran baris pada matriks A

• Jika invers dari matriks-matriks eliminasi dikalikan dengan sistem, dihasilkan A = (E₂₁^-1E₃₁^-1E₃₂^-1)U = LU.

Anny2011 21

8 6

1 2

Faktorisasi Matriks (3)

• A = LU adalah eliminasi tanpa ada pertukaran baris pada A.

• Matriks U memiliki nilai-nilai pivot pada diagonalnya.

• Matriks L memiliki nilai 1 pada diagonalnya.

• Pengali l_ij berada di bawah diagonal matriks L.

• Misal, matriks A =

• Eliminasi akan mengurangkan ½ kali baris 1 dari baris 2, l₂₁

= ½, kemudian mengurangkan 2/3 kali baris 2 dari baris 3, l₃₂ = 2/3.

• Berapa L? Berapa U?

• Perkalian LU menghasilkan A:

2 1 0

1 2 1

0 1 2

Contoh

• Sebuah matriks 4x4:

• Tentukan matriks L dan U!

• Pola spesial:

– Jika sebuah baris pada A berawal dengan nol, begitu pula baris pada L

– Jika sebuah kolom pada A berawal dengan nol, begitu pula kolom pada U

Anny2011 23

A = LDU

• Diagonal matriks L bernilai 1

• Diagonal matriks U berisi nilai pivot

• Jika matriks U dibagi dengan pivotnya, akan

dihasilkan matriks U yang diagonalnya bernilai 1

TRANSPOS DAN PERMUTASI

Bagian 3

Anny2011 25

Transpos

• Transpos matriks lower triangular adalah matriks upper triangular

• Transpos A + B = (A + B)^T = A^T + B^T

• Transpos AB = (AB)^T = B^TA^T

• Transpos A^-1 = (A^-1)^T = (A^T)^-1

Jika A = LDU, berapa A^T?

Inner Product

• Jika ada dua vektor x dan y, berapa inner product dari x dan y?

• Nilai tsb dapat juga diperoleh menggunakan perkalian matriks: x^Ty

• A^T adalah matriks yang menjadikan dua nilai inner product dari x dan y sama:

Anny2011 27

Matriks Simetrik

• Matriks simetrik: A

^T

= A

• Contoh:

• Invers matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik juga

• Contoh:

Matriks Simetrik

• Sebuah matriks berukuran m x n jika ditranspos kemudian dikalikan dengan matriks tsb

menghasilkan matriks persegi simetrik

– (m x n)^T  n x m

– (n x m)(m x n)  (n x n)

• Menggunakan karakteristik transpos perkalian matriks, berapa transpos dari R^TR?

• (R^TR)^T = R^T(R^T)^T = R^TR

Anny2011 29

Matriks Simetri pada Eliminasi

• Jika A matriks simetrik, bentuk A = LDU berubah menjadi A = LDL^T

• Perhatikan transpos dari LDL^T!

• (LDL^T)^T = (L^T)^TD^TL^T

= LDL^T

Matriks Permutasi

• Karakteristik matriks permutasi P:

– Memiliki satu nilai “1” di setiap baris dan di setiap kolom

– Jika ditranspos akan menghasilkan matriks permutasi juga

– Perkalian antar matriks permutasi menghasilkan matriks permutasi juga

– Dibentuk dari matriks identitas I, kemudian baris-barisnya ditukar

Anny2011 31

Matriks Permutasi 3x3

• Terdapat 6 matriks permutasi 3x3:

– I, P₂₁, P₃₁, P₃₂, P₃₂P₂₁, P₂₁P₃₂

• Untuk matriks dengan orde n, ada berapa matriks permutasi?

n!

• P^-1 juga matriks permutasi

• P^-1 = P^T

PA = LU

• Pada eliminasi, kadang pertukaran baris diperlukan, sehingga

P…E…P…E…A = U

A = (E^-1…P^-1…E^-1…P^-1…)U

• Jika pertukaran baris direpresentasikan

menggunakan sebuah matriks permutasi P, ada dua kemungkinan cara melakukan semua

pertukaran baris yang diperlukan:

– sebelum eliminasi, sehingga PA = LU – sesudah eliminasi, sehingga A = L₁P₁U₁

Anny2011 33

MATLAB menggunakan PA = LU

Latihan Pertemuan 3

• Chapter 2.5

– Problem 3, 4, 25, 27

• Chapter 2.6

– Problem 1, 2, 5

• Chapter 2.7

– Problem 20, 24, 31