Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:

Dr. Putu Harry Gunawan

phgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3

Week 4: Separasi Variabel untuk Persamaan Panas Orde Satu

1 Persamaan Panas 1D 2 Separasi Variabel 3 Contoh

4 Latihan 5 Perhatian!

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi

dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0⁰C (lihat Gambar di bawah ini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi

dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0⁰C (lihat Gambar di bawah ini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya.

Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan api di bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besi

dipertahankan dalam suhu dingin yakni 0⁰C (lihat Gambar di bawah ini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur di daerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerah lainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhir pengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan dengan mengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selama proses pendinginan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3)

dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur,

Q(x) sumber dalam (internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source),

f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source), f (x) distribusi awal panas,

g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary),

µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi,

x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, maka formulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domain Ω = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x, t)

∂t = µ∂²u(x, t)

∂x² +Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x, ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x, t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ {0, 1} (1.3) dengan u(x, t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam

(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas (boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang dan waktu berurutan.

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q(x) = 0), maka kita dapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi:

∂u

∂t = µ∂²u

∂x², x ∈ (0, 1), t > 0 (1.4) u(x, 0) = f (x), x ∈ [0, 1] (1.5) u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (1.6)

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk u(x, t) = X (x)T (t). (2.1) Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecil sedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalah mencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x, t) = X (x)T (t). (2.2) ke dalam

∂u

∂t = µ∂²u

∂x² (2.3)

didapat

X (x)T⁰(t) = µX⁰⁰(x)T (t),

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x, t) = X (x)T (t). (2.2) ke dalam

∂u

∂t = µ∂²u

∂x² (2.3)

didapat

X (x)T⁰(t) = µX⁰⁰(x)T (t),

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat T⁰(t)

µT (t) = X⁰⁰(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x. Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial? Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat T⁰(t)

µT (t) = X⁰⁰(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x.

Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial? Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat T⁰(t)

µT (t) = X⁰⁰(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x. Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?

Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat T⁰(t)

µT (t) = X⁰⁰(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanya bergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semua bergantung pada x. Bagaimana mungkin fungsi yang bergantung pada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?

Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T⁰(t)

µT (t) = −λ = X⁰⁰(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant).

Tanda negatif diberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akan bahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4) haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T⁰(t)

µT (t) = −λ = X⁰⁰(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengan konstanta separasi (the separation constant). Tanda negatif diberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akan bahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa (PDB):

X⁰⁰(x) + λX (x) = 0, (2.6) T⁰(t) + λµT (t) = 0. (2.7) Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β², dengan β > 0 sehingga

X⁰⁰(x) + λX (x) = 0, (2.8) memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β², dengan β > 0 sehingga

X⁰⁰(x) + λX (x) = 0, (2.8) memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL). Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadi dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ, untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λ_k = β² =

kπ L

₂

, dan X_k(x) = sin

kπx L



. (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadi dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ, untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λ_k = β² =

kπ L

₂

, dan X_k(x) = sin

kπx L



. (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0.

dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,Jadi untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λ_k = β² =

kπ L

₂

, dan X_k(x) = sin

kπx L



. (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10) Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0) ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidak akan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadi dapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ, untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λ_k = β² =

kπ L

₂

, dan X_k(x) = sin

kπx L



. (2.11)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.6) cara II

Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus pada λpada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi dan

menetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positif λ >0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi

−X⁰⁰(x) = λX (x), LX = λX .

Sehingga fungsi X (x) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi

λ_k =

kπ L

₂

, dan X_k(x) = sin

kπx L



. (2.12) (Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliah PDB/PDA)

Separasi Variabel

Masalah Nilai Eigen (Review)

Lema 1.1

Lema

Nilai dan fungsi eigen dari masalah

−u⁰⁰(x) = f (x), x ∈ (0, L), u(0) = u(L) = 0 (2.13) diberikan sebagai berikut

λ_k =

kπ L

₂

dan u_k(x) = sin

kπx L



∀k = 1, 2, · · · , (2.14) Proof.

Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuk lebih lengkapnya.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,

T⁰(t) + λµT (t) = 0, berupa

T (t) = Ae^−λµt, dan dapat dibentuk menjadi

T_k(t) = A_ke^−λkµt =A_ke⁻(^kπ_L)^2µt for k = 1, 2, · · · , (2.15) dengan A_k adalah sembarang konstan.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,

T⁰(t) + λµT (t) = 0, berupa

T (t) = Ae^−λµt, dan dapat dibentuk menjadi

T_k(t) = A_ke^−λkµt =A_ke⁻(^kπ_L)^2µt for k = 1, 2, · · · , (2.15) dengan A_k adalah sembarang konstan.

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5),

u_k(x, t) = A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasi untuk persamaan panas (1.4-1.5),

u_k(x, t) = A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni,

u(x, t) =X^N

k=1

A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



, (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
},

f (x) =X^N

k=1

A_ksin

kπx L



. (2.18)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni,

u(x, t) =X^N

k=1

A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



, (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
},

f (x) =X^N

k=1

A_ksin

kπx L



. (2.18)

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N juga merupakan sebuah solusi yakni,

u(x, t) =X^N

k=1

A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



, (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
},

f (x) =X^N

k=1

A_ksin

kπx L



. (2.18)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t = µ∂²u

∂x², x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1) u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2) u(x, 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3) maka solusinya adalah

u(x, t) = 3e^−π2tsin(πx) + 5e^−16π2tsin(4πx). (3.4)

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t = µ∂²u

∂x², x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1) u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2) u(x, 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3) maka solusinya adalah

u(x, t) = 3e^−π2tsin(πx) + 5e^−16π2tsin(4πx). (3.4)

Contoh

Contoh separasi variabel

Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi x pada gambar di bawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1.

Figure : Solusi dari persamaan panas dengan

f (x) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1.

Latihan

Latihan separasi variabel

Latihan

Selesaikan masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t = µ∂²u

∂x², x ∈ (0, L), t > 0 (4.1) u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (4.2) u(x, 0) = f (x), x ∈ [0, L] (4.3)

1. f (x) = 6 sin ^π_L^x

2. f (x) = 12 sin ^9πx_L
−7 sin ^4πx_L

Perhatian!

Perhatian!

Solusi umum PDP panas

Solusi umum persamaan panas,

u(x, t) =X^N

k=1

A_ke⁻(^kπ_L)^2µtsin

kπx L



, (5.1)

hanya untuk fungsi awal f , merupakan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
},

f (x) =X^N

k=1

A_ksin

kπx L



. (5.2)

Perhatian!

Perhatian!

Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
}?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Perhatian!

Perhatian!

Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linear berhingga dari fungsi eigen {sin ^kπx_L
}?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Perhatian!

Perhatian!

Solusi umum PDP panas

Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasi linier dari kondisi awal, yakni

f (x) =

∞

X

k=1

A_ksin

kπx L



=1 (5.4)

dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusi umumnya

u(x, t) =

∞

X

k=1

A_ke^{−(kπxL )2t}sin

kπx L



. (5.5)

Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari A_k (yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x), yakni fungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.

End of presentation!