BAB II TINJAUAN PUSTAKA

4 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dibahas beberapa konsep dan teori yang berkaitan dengan graf, determinan, matriks blok, dan invers matriks. Berikut ini merupakan penjelasan dari beberapa konsep dan teori tersebut.

2.1 Konsep Dasar Graf

Graf pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler pada tahun 1736. Saat itu, graf digunakan untuk memecahkan permasalahan pada jembatan Konigsberg. Definisi graf dikemukakan sebagai berikut.

Definisi 2.1.1 Graf 𝐺 adalah pasangan himpunan (𝑉, 𝐸), ditulis dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸), dengan 𝑉 adalah himpunan yang tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik (vertex), sedangkan 𝐸 adalah himpunan (yang mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik yang berbeda di 𝐺 yang disebut sebagai sisi (edge). Himpunan titik di 𝐺 dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi dinotasikan dengan 𝐸(𝐺) [2].

Contoh 2.1.2

Gambar 2.1 memperlihatkan graf 𝐺₁ dengan 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} dan 𝐸 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄}.

5

Berikut merupakan terminologi dasar graf yang sering dipakai dan berkaitan dengan graf.

Definisi 2.1.3 Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) sebuah graf. Jika sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣), maka titik 𝑢 dan sisi 𝑒 (juga titik 𝑣 dan sisi 𝑒) dikatakan bersisian (incident) [5].

Contoh 2.1.4

Berdasarkan Gambar 2.1, sisi 𝑒₁ dan 𝑒₃ bersisian dengan titik 𝑣₁, sedangkan sisi 𝑒₂, 𝑒₃ dan 𝑒₄ bersisian dengan titik 𝑣₃.

Definisi 2.1.3 menjelaskan hubungan antara titik dengan sisi pada suatu graf. Sedangkan hubungan antara titik dengan titik pada suatu graf dijelaskan sebagai berikut.

Definisi 2.1.5 Dua buah titik pada graf tak-berarah G dikatakan bertetangga jika

keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, 𝑢 bertetangga dengan 𝑣 jika (𝑢, 𝑣) adalah sebuah sisi pada graf 𝐺 [3].

Contoh 2.1.6

Gambar 2.2 memperlihatkan graf 𝐺₂ dengan 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄}.

Gambar 2.2 Graf 𝐺₂

Titik 𝑣₁ bertetangga dengan titik 𝑣₂ dan 𝑣₂, sedangkan titik 𝑣₁ tidak bertetangga dengan titik 𝑣3 .

6

Telah dijelaskan sebelumnya bahwa himpunan sisi dari suatu graf dapat berupa himpunan kosong. Berikut diberikan definisi untuk graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.

Definisi 2.1.7 Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph) adalah graf yang

himpunan sisinya merupakan himpunan kosong dan ditulis sebagai 𝑁_𝑛, dalam hal ini 𝑛 menyatakan jumlah simpul pada graf [3].

Contoh 2.1.8

Gambar 2.3 memperlihatkan graf kosong 𝑁₅.

Gambar 2.3 Graf 𝑁₅

Berikut ini diberikan definisi dan contoh dari derajat (degree).

Definisi 2.1.9 Derajat (degree) dari titik 𝑣 di graf 𝐺 adalah jumlah sisi yang bersisian dengan 𝑣. Derajat titik 𝑣 dinotasikan dengan 𝑑(𝑣) [5].

Contoh 2.1.10

Berdasarkan Gambar 2.1 pada graf 𝐺₁, 𝑑(𝑣₁) = 2, 𝑑(𝑣₂) = 2, 𝑑(𝑣₃) = 3, dan 𝑑(𝑣₄) = 1.

Berdasarkan Gambar 2.2 pada graf 𝐺2, 𝑑(𝑣1) = 2, 𝑑(𝑣2) = 3, 𝑑(𝑣3) = 2, dan 𝑑(𝑣4)

7 2.2 Graf Sikel

Bagian ini membahas definisi dan contoh dari graf sikel 𝐶_𝑛. Namun sebelum membahas definisi dan contoh dari graf sikel 𝐶_𝑛, terlebih dahulu akan diberikan definisi dan contoh dari graf sederhana. Graf sederhana didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.2.1 Suatu graf yang tidak memiliki loop dan tidak memiliki sisi ganda

disebut graf sederhana (simple graph) [5].

Contoh 2.2.2

Gambar 2.4 memperlihatkan graf sederhana dengan 𝑉 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, 𝑣₄} dan 𝐸 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄, 𝑒₅}.

Gambar 2.4 Graf Sederhana

Setelah membahas definisi dan contoh graf sederhana, selanjutnya diberikan definisi dan contoh dari Graf sikel 𝐶_𝑛 sebagai berikut.

Definisi 2.2.3 Graf sikel 𝐶_𝑛 adalah graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua. Graf sikel dengan 𝑛 titik dinotasikan dengan 𝐶_𝑛. Jika titik pada 𝐶_𝑛 adalah 𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, … , 𝑣_𝑛 maka sisinya adalah (𝑣₁, 𝑣₂), (𝑣₂, 𝑣₃), ..., (𝑣_𝑛−1, 𝑣_𝑛), dan (𝑣_𝑛, 𝑣₁). Dengan kata lain, ada sisi dari titik terakhir 𝑣_𝑛 ke titik pertama 𝑣₁ [3].

8 Contoh 2.2.4

𝑪_𝟑 𝑪_𝟒 𝑪_𝟓

Gambar 2.5 Graf Sikel 𝐶_𝑛

Setelah membahas definisi dan contoh dari graf sikel 𝐶_𝑛, selanjutnya akan diberikan definisi dan contoh dari graf yang berhubungan dengan sikel. Definisi dan contoh yang pertama yaitu graf roda (wheel graph) sebagai berikut.

Definisi 2.2.5 Graf roda 𝑊_𝑛 adalah graf yang memuat sikel dan setiap titik pada sikel terhubung langsung dengan titik pusat [6].

Contoh 2.2.6

𝑾_𝟑 𝑾_𝟒 𝑾_𝟓 Gambar 2.6 Graf Roda 𝑊_𝑛

𝑊₃ merupakan graf roda yang memuat sikel 𝐶₃ dan setiap titik pada sikel luar terhubung langsung dengan titik pusat.

𝑊₄ merupakan graf roda yang memuat sikel 𝐶₄ dan setiap titik pada sikel luar terhubung langsung dengan titik pusat.

𝑊₅ merupakan graf roda yang memuat sikel 𝐶₅ dan setiap titik pada sikel luar terhubung langsung dengan titik pusat.

9 Teorema 1

Banyak titik pada graf roda 𝑊_𝑛 adalah 𝑛 + 1 sedangkan banyak sisinya adalah 2𝑛.

Bukti:

Karena graf roda 𝑊_𝑛 memiliki 𝑛 buah titik pada sikel luar dan 1 buah titik pada titik pusat maka |𝑉| = 𝑛 + 1.

Karena graf roda 𝑊_𝑛 memiliki 𝑛 buah titik pada sikel luar, maka banyaknya sisi pada sikel luar adalah 𝑛 dan karena semua titik pada sikel luar terhubung langsung dengan titik pusat maka ada n buah sisi lagi sehingga |𝐸| = 𝑛 + 𝑛 = 2𝑛.

Selanjutnya diberikan definisi dan contoh dari graf helm 𝐻_𝑛 yang menjadi bahasan utama dalam penelitian ini.

Definisi 2.2.7 Graf helm 𝐻_𝑛 adalah graf yang didapatkan dari sebuah graf roda 𝑊_𝑛 dengan menambahkan sisi anting-anting pada setiap titik di sikel luar [7].

Contoh 2.2.8

𝐻₃ 𝐻₄ 𝐻₅ Gambar 2.7 Graf Helm 𝐻_𝑛

𝐻₃ merupakan graf helm yang memuat graf roda 𝑊₃ dengan menambahkan sisi anting-anting pada setiap titik di sikel luar.

𝐻4 merupakan graf helm yang memuat graf roda 𝑊4 dengan menambahkan sisi

anting-anting pada setiap titik di sikel luar.

𝐻₅ merupakan graf helm yang memuat graf roda 𝑊₅ dengan menambahkan sisi anting-anting pada setiap titik di sikel luar.

10

Setelah membahas definisi dan contoh dari graf helm selanjutnya diberikan teorema beserta bukti untuk membantu memahami definisi dan contoh dari graf helm.

Teorema 2

Banyak titik pada graf helm 𝐻_𝑛 adalah 2𝑛 + 1 sedangkan banyak sisinya adalah 3𝑛.

Bukti:

Karena graf helm 𝐻_𝑛 memiliki 𝑛 buah titik pada sikel luar dan 𝑛 buah titik anting-anting serta 1 buah titik pada titik pusat maka |𝑉| = 2𝑛 + 1.

Karena graf helm 𝐻_𝑛 memuat graf roda 𝑊_𝑛 yang mempunyai 2𝑛 sisi dan ada tambahan titik anting-anting yang terhubung langsung pada setiap titik di sikel luar maka akan ada 𝑛 sisi lagi sehingga |𝐸| = 2𝑛 + 𝑛 = 3𝑛.

Berdasarkan Definisi 2.2.7, diketahui bahwa graf helm merupakan graf yang didapatkan dari graf roda dengan menambahkan anting pada sikel luar. Jika setiap titik anting-anting tersebut dihubungkan, maka diperoleh graf baru yang dikenal sebagai graf helm tertutup.

Definisi 2.2.9 Graf helm tertutup 𝑐𝐻_𝑛 adalah graf yang diperoleh dari sebuah graf helm 𝐻_𝑛 dengan menghubungkan setiap titik anting-anting untuk membentuk sikel [7].

11 Contoh 2.2.10

𝑐𝐻₃ 𝑐𝐻₄ 𝑐𝐻₅ Gambar 2.8 Graf Helm Tertutup 𝑐𝐻_𝑛

𝑐𝐻₃ merupakan graf helm tertutup yang memuat graf helm 𝐻₃ dengan menghubungkan setiap titik anting-anting sehingga membentuk sebuah sikel luar. 𝑐𝐻₄ merupakan graf helm tertutup yang memuat graf helm 𝐻₄ dengan menghubungkan setiap titik anting-anting sehingga membentuk sebuah sikel luar. 𝑐𝐻₅ merupakan graf helm tertutup yang memuat graf helm 𝐻₅ dengan menghubungkan setiap titik anting-anting sehingga membentuk sebuah sikel luar.

Berdasarkan Definisi 2.2.9, diketahui bahwa banyak titik pada graf helm tertutup sama dengan banyak titik pada graf helm. Sedangkan banyak sisi pada graf helm tertutup berbeda dengan banyak sisi pada graf helm.

Teorema 3

Banyak titik pada graf helm tertutup 𝑐𝐻_𝑛 adalah 2𝑛 + 1 sedangkan banyak sisinya adalah 4𝑛.

Bukti:

Karena graf helm tertutup 𝑐𝐻_𝑛 memiliki n buah titik pada sikel dalam dan n buah titik pada sikel luar serta 1 buah titik pada titik pusat maka |𝑉| = 2𝑛 + 1.

Karena graf helm tertutup 𝑐𝐻_𝑛 memuat graf helm 𝐻_𝑛 yang mempunyai 3𝑛 sisi dan setiap titik anting-anting terhubung langsung sehingga membentuk sikel luar maka akan ada n sisi lagi sehingga |𝐸| = 3𝑛 + 𝑛 = 4𝑛.

12 2.3 Representasi Graf

Salah satu cara dalam menyajikan data yaitu dapat menggunakan matriks. Dalam aljabar, matriks digunakan untuk menyajikan data dari banyak nya persamaan sedangkan dalam teori graf, matriks juga dapat digunakan untuk menyajikan data dari sebuah graf.

Definisi 2.3.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan yang diatur dalam

baris dan kolom. Suatu matriks dinotasikan [𝑎_𝑖𝑗] dengan 𝑎_𝑖𝑗 merupakan suatu bilangan yang menyatakan entri matriks pada baris ke-𝑖 (𝑖 = 1,2,3, . . . , 𝑚) dan kolom ke-𝑗 (𝑗 = 1,2,3, . . . , 𝑛) [11].

Bentuk umum dari suatu matriks 𝐴 yang berukuran 𝑚 × 𝑛 adalah sebagai berikut.

𝐴 = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ … 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 ]

dengan 𝑎_𝑖𝑗 = elemen-elemen matriks pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗.

Matriks ketetanggaan merupakan matriks persegi, dikarenakan matriks ketetanggaan merupakan ekspresi untuk menunjukkan keterhubungan sebuah titik terhadap semua titik pada graf termasuk titik itu sendiri [4]. Matriks ketetanggaan didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 2.3.2 Dua buah titik pada graf dikatakan bertetangga jika kedua titik

tersebut terhubung langsung oleh satu sisi. Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana merupakan matriks bujur sangkar yang unsur-unsurnya terdiri dari dua bilangan yaitu 0 dan 1.

Dengan kata lain, jika matriks ketetanggaan 𝐴 = [𝑎_𝑖𝑗], maka 𝑎_𝑖𝑗 = { 1 , jika 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 bertetangga

13 Contoh 2.3.3

Gambar 2.8 memperlihatkan graf helm 𝐻₄ sebagai berikut.

Gambar 2.8 Graf Helm 𝐻₄ Matriks ketetanggaan dari graf helm 𝐻₄ sebagai berikut.

𝑀(𝐻₄) = [ 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0]

Selanjutnya diberikan definisi dan contoh dari matriks blok.

Definisi 2.3.4 Matriks blok atau matriks partisi adalah matriks yang dipartisi

menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukkan garis horizintal dan vertikal antara baris dan kolom matriks. Matriks – matriks hasil partisi disebut sebagai submatriks [9].

14 Contoh 2.3.5

Berdasarkan Gambar 2.9, dapat dibentuk menjadi matriks ketetanggaan yang dipartisi sebagai berikut.

𝑀(𝐻4) = [ 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0] 2.4 Determinan

Definisi 2.4.1 Dalam bidang aljabar, determinan adalah nilai yang dapat dihitung

dari unsur suatu matriks persegi. Determinan dari sebuah matriks dapat dicari dengan berbagai cara. Penggunaan metodenya disesuaikan dengan kebutuhan dan jenis matriks yang ingin dicari determinannya [4]. Misalkan 𝐴 matriks persegi, maka determinan 𝐴 dapat dinotasikan sebagai det (𝐴) atau |𝐴|.

Suatu matriks dengan nilai determinan tidak sama dengan nol disebut matriks non singular, sedangkan matriks dengan nilai determinan sama dengan nol disebut sebagai matriks singular [10]. Nilai determinan dari suatu matriks dapat ditentukan melalui beberapa cara sebagai berikut.

1. Matriks ukuran 2x2

Cara menentukan determinan untuk matriks yang berukuran 2x2 sangat sederhana yaitu: det [𝑎 𝑏

𝑐 𝑑] = 𝑎𝑑 – 𝑏𝑐. 2. Matriks ukuran 3x3 Misalkan 𝐴 = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]

Determinan dari matriks 𝐴 dapat ditentukan dengan menggunakan metode berikut.

15 a. Metode Minor-Kofaktor det (𝐴) = | 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃| = 𝑎11| 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎32 𝑎33| - 𝑎12| 𝑎₂₁ 𝑎₂₃ 𝑎31 𝑎33| + 𝑎₁₃|𝑎_𝑎21 𝑎22 31 𝑎32| = 𝑎₁₁(𝑎₂₂𝑎 ₃₃− 𝑎₂₃𝑎₃₂ ) − 𝑎₁₂(𝑎₂₁𝑎₃₃ − 𝑎₂₃𝑎₃₁ ) + 𝑎₁₃(𝑎₂₁𝑎₃₂− 𝑎₂₂𝑎₃₁ ) = 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃ + 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁ + 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂ - 𝑎₁₃𝑎₂₂𝑎₃₁− 𝑎₁₂𝑎₂₁𝑎₃₃ − 𝑎₁₁𝑎₂₃𝑎₃₂ b. Metode Sarrus det (𝐴) = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃] 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ = 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₁+ 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂ − 𝑎₁₃𝑎₂₂𝑎₃₁ − 𝑎₁₁𝑎₂₃𝑎₃₂ − 𝑎12𝑎21𝑎33 3. Matriks ukuran 𝑛 × 𝑛, 𝑛 ≥ 3

a) Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka bilangan tersebut diperoleh dengan mengalikan entri dalam setiap baris atau kolom 𝐴 dengan kofaktor terkait dan menambahkan produk yang dihasilkan yang disebut determinan dari 𝐴, dan jumlahnya sendiri disebut ekspansi kofaktor 𝐴. Yaitu:

det (𝐴) = 𝑎_1𝑗𝐶_1𝑗 + 𝑎_2𝑗𝐶_2𝑗 + ... + 𝑎_𝑛𝑗𝐶_𝑛𝑗 (Ekspansi kofaktor di sepanjang kolom ke-𝑗) det (𝐴) = 𝑎_𝑖1𝐶_𝑖1 + 𝑎_𝑖2𝐶_𝑖2 + ... + 𝑎_𝑖𝑛𝐶_𝑖𝑛 (Ekspansi kofaktor di sepanjang baris ke-i

b) Eliminasi Gaus

Metode ini dilakukan dengan cara mereduksi matriks sampai membentuk matriks segitiga atas atau segitiga bawah. Nilai determinan diperoleh dengan mengalikan entri-entri pada diagonal utama dari matriks hasil reduksi [11].

16 Contoh 2.4.2 Misalkan 𝐴 = [ −2 2 −3 −1 1 3 2 0 −1 ]

Matriks 𝐴 dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas

[

−2 2 −3

0 2 4

0 0 4,5

] sehingga det (𝐴) = (−2)( 2)(4,5) = (−18)

2.5 Determinan Matriks Blok

Berikut ini dipaparkan mengenai determinan matriks bujur sangkar dengan menggunakan matriks blok:

Teorema 4 [12] Jika 𝐴 dan 𝐵 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 maka i. det (𝐴𝐵) = det (𝐴) ∙ det (𝐵)

ii. det [𝐴 𝐵

0 𝐷] = det (𝐴) ∙ det (𝐷) jika 𝐴 dan 𝐷 merupakan matriks bujur sangkar

Teorema 5 [12] Jika 𝑃 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝑃 = [𝐴 𝐵

𝐶 𝐷] maka determinan dari 𝑃 adalah

det (𝑃) = det [𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] = {

det (𝐴). det (𝐷 − 𝐶𝐴−1𝐵), jika 𝐴 memiliki invers det (𝐷). det (𝐴 − 𝐵𝐷−1𝐶), jika 𝐷 memiliki invers

Jika submatriks 𝐴 dan 𝐷 pada matriks 𝑃 tidak memiliki invers maka dapat digunakan teorema berikut dalam mencari determinan dari matriks 𝑃.

Teorema 8 [13] Jika 𝑃 merupakan matriks 𝑛 × 𝑛 serta 𝐵 atau 𝐶 merupakan matriks 𝑝 × 𝑝 atau 𝑞 × 𝑞 maka

i. det [0 𝐵 𝐶 𝐷] = det [ 𝐴 𝐵 𝐶 0] (−1) 1 2(𝑛 2_{−2𝑛 +𝑝}2_+𝑞2₎ det (𝐵). det (𝐶)

17 ii. det[𝐴 𝐵 𝐶 𝐷] = {(−1) 1 2(𝑛 2_{−2𝑛+𝑝}2_+𝑞2₎

. det (𝐵)det (𝐶 − 𝐷𝐵−1_{𝐴), jika 𝐵 memiliki invers}

(−1)

1 2(𝑛

2_{−2𝑛+𝑝}2_+𝑞2₎

. det (𝐶)det (𝐵 − 𝐴𝐶−1_{𝐷), jika 𝐶 memiliki invers}

2.6 Invers Matriks

Definisi 2.6.1 Jika 𝐴 adalah matriks bujur sangkar dan terdapat matriks 𝐵, sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼, maka 𝐴 dikatakan dapat dibalik (invertible) dan 𝐵 dinamakan invers dari 𝐴. Jika matriks 𝐵 tidak dapat didefinisikan, maka 𝐴 dinyatakan sebagai matriks

singular. Invers dari matriks 𝐴 dapat dinyatakan sebagai 𝐴−1 _[14].

Selanjutnya diberikan definisi dan contoh dari Algoritma Inversi.

Definisi 2.6.2 Misalkan 𝐴 adalah matriks bujur sangkar berukuran 𝑛 × 𝑛. Invers matriks 𝐴 yang dapat dibalik (invertible) dapat dicari dengan mereduksi baris 𝐴 menjadi 𝐼 menggunakan operasi baris elementer (OBE). Lakukan operasi yang sama terhadap matriks identitas 𝐼 untuk memperoleh 𝐴−1 [14].

Contoh 2.6.3

Invers dari matriks 𝐴 = [

1 0 −1

1 −1 0

−6 2 3

] dapat ditentukan sebagai berikut.

Bentuk matriks diperbesar [𝐴|I]

[𝐴|I] = [ 1 0 −1 1 −1 0 −6 2 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Kemudian lakukan operasi baris terhadap matriks tersebut sampai ruas kiri direduksi menjadi matriks 𝐼. Operasi ini akan mengubah sisi kanan menjadi 𝐴−1_,

18 [𝐼|𝐴−1_{] = [}1₀ 0₁ 0₀ 0 0 1 −3 −2 −1 −3 −3 −1 −4 −2 −1 ]

Jadi, matriks 𝐴 invertible dan inversnya adalah

𝐴−1 _{= [−3}3 −2₋₃ −1₋₁

−4 −2 −1