Minggu 7 MA2151 SIMULASI & KOMPUTASI MATEMATIKA

(1)

Minggu 7

(2)

Pertumbuhan Terbatas

Populasi, secara teori, memiliki potensi untuk mengalami pertumbuhan

secara eskponensial. Populasi biasanya bertambah secara cepat pada

awalnya, namun pada saatnya akan mengalami reaksi dari lingkungan:

persaingan, pemangsa, sumber makanan yang terbatas, dan penyakit.

Lingkungan cenderung untuk membatasi pertumbuhan populasi,

sehingga populasi hanya dapat bertumbuh sampai ambang batas

tertentu dan kemudian tidak akan bertambah atau berkurang secara

drastic tanpa ada perubahan dalam lingkungan.

Ukuran populasi maksimum yang dapat didukung oleh lingkungan

disebut

kapasitas lingkungan

.

(3)

Kapasitas Lingkungan

dan Model Pertumbuhan

Dalam pertumbuhan tak terbatas, diperoleh model:

𝑑𝑃

𝑑𝑡

= 𝑟𝑃

Dengan solusi analitik 𝑃 = 𝑃

₀

𝑒

𝑟𝑡

, di mana 𝑃

₀

adalah populasi awal.

(4)

Model Baru

Dalam model baru, untuk populasi awal yang jauh lebih kecil dari kapasitas lingkungan, populasi akan bertambah serupa dengan model tak terbatas.

Namun, seiring dengan mendekatnya ukuran populasi dengan kapasitas lingkungan, pertumbuhan akan semakin berkurang.

Dekat dengan kapasitas lingkungan, banyaknya kematian harus serupa dengan banyaknya kelahiran, agar populasi cenderung konstan.

Untuk memperoleh pertumbuhan yang diperlambat, kita dapat mengukur banyaknya kematian sebagai rasio dari banyaknya kelahiran yang dimodelkan sebagai 𝑟𝑃.

Ketika populasi sangat kecil, rasio tersebut harusnya mendekati nol, karena hanya sedikit individu yang mati.

Jika 𝐷 menyatakan banyaknya kematian dan 𝑀 menyatakan kapasitas lingkungan, maka kita dapat memodelkan laju perubahan kematian sebagai:

𝑑𝐷 𝑑𝑡 =

𝑟𝑃

(5)

Model Baru (2)

Akibatnya, atau

Dalam simulasi diskrit, jika 𝑃(𝑡) adalah estimasi populasi pada saat 𝑡,

maka banyaknya kematian dari saat 𝑡 − 1 ke saat 𝑡 adalah

(6)

Model Baru (3)

Dengan demikian, perubahan populasi dari saat 𝑡 − ∆𝑡 ke saat 𝑡 adalah

atau

Model persamaan diferensial dan persamaan beda yang diperoleh

disebut

persamaan logistik

.

(7)

(8)

Ekuilibrium dan Stabilitas

Solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial

adalah solusi yang

turunannya selalu 0.

Solusi ekuilibrium untuk persamaan beda

adalah solusi yang bedanya selalu

0. Misalkan q adalah solusi ekuilibrium untuk persamaan diferensial dP/dt atau

persamaan beda ΔP. Solusi q dikatakan

stabil

jika terdapat selang (a, b) yang

memuat q, sehingga jika populasi awal P(0) termuat dalam selang tersebut,

maka

1. P(t) hingga untuk semua t > 0;

2. Seiiring pertambahan t, P(t) menghampiri q.

(9)

Contoh

Exercise 2

Exercise 3

Exercise 5

Exercise 6

(10)

Fatalitas Karena Kesalahan Pengobatan

Kesalahan dalam pemberian obat seringkali terjadi. Sebagian besar tidak berakibat

fatal, namun beberapa di antaranya ternyata.

Beberapa contoh kasus:

• Apotik di Florida memberikan 10 kali lipat dosis seharusnya dari pengencer darah

pada seorang ibu, yang mengakibatkan pendarahan otak (Patel dan Ross 2010).

• Seorang bayi berusia 10 bulan meninggal akibat menerima 10 kali lipat overdosis

dari Cisplatin (agen kemoterapi) (Fitzgerald and Wilson 1998)

• Heath Ledger meninggal karena mengalami overdosis peresapan kombinasi

Xycodone, Hydrocodone, Diazepam, Temazepam, Alprazolam, dan Doxylamine.

(CNN 2008)

• Dua pasien di Rumah Sakit Siloam Karawaci, Tangerang meninggal karena

tertukarnya isi obat anestesi Buvanest Spinal dengan asam Traneksamat. (Kompas

2015)

(11)

Klasifikasi Kesalahan Pengobatan

Kesalahan pengobatan dapat diklasifikasikan ke dalam kesalahan dalam hal:

ordering— kesalahan penentuan obat atau dosis;

transcribing— kesalahan dalam frekuensi atau terlewatnya pemberian obat;

dispensing— kesalahan pemberian obat, dosis, or waktu;

administering— kesalahan teknik pemberian obat;

monitoring— tidak mengobservasi akibat pemakaian obat.

Hal ini dapat terjadi karena komunikasi yang buruk, pelabelan yang buruk, dll

(Institute of Medicine 2007)

(12)

Dosis Efektif

Terdapat dosis yang diresepkan untuk berbagai obat, namun

bagaimana kita dapat menentukan manakah dosis yang benar/efektif?

Ada beberapa hal yang perlu dipertimbangkan, termasuk penyerapan,

distribusi, metabolisme, dan eliminasi obat. Hal tersebut merupakan

(13)

Model 1-Kotak

Model 1-kotak adalah representasi sederhana dari bagaimana tubuh manusia memprose obat. Dalam model ini, kita mengganggap tubuh merupakan suatu kotak yang homogen, di mana distribusi berlangsung seketika, konsentrasi obat (banyak obat/volume darah)

dalam tubuh sebanding dengan dosis obat, dan laju eliminasi sebanding dengan banyaknya obat dalam tubuh.

Obat memiliki konsentrasi efektif minimum (MEC), yang merupakan banyak obat terkecil yang masih dapat menolong, dan konsentrasi terapis maksimum / konsentrasi racun

minimum (MTC), yang merupakan banyak obat terbesar yang masih dapat menolong tanpa mengalami efek samping yang berbahaya. Selang terapi untuk obat merupakan konsentrasi di antara MEC dan MTC

Waktu paruh dari suatu obat, yang merupakan waktu yang dibutuhkan agar setengah obat tereliminasi dari tubuh, amat berguna dalam pemodelan.

Banyaknya darah dalam tubuh orang dewasa sekitar 5 liter, sementara banyaknya plasma (cairan yang memuat sel darah) sekitar 3 liter. Serum darah adalah cairan bening yang

terpisah dari darah pada saat darah menggumpal dan orang dewasa memiliki sekitar 3 liter serum.

(14)

Contoh Kasus: Aspirin (Acetylsalicylic Acid)

Untuk orang dewasa dan anak di atas 12 tahun, dosis untuk sakit

kepala adalah 1 atau 2 tablet 325mg setiap 4 jam dengan maksimum 12

tablet per hari.

Penghilang rasa sakit akan efektif pada level 150 sampai 300

mikrograms/milliliter (μg/mL), sementara keracunan dapat terjadi pada

konsentrasi plasma 350 μg/mL.

Waktu paruh dari dosis 300 sampai 650 mg adalah 3.1 sampai 3.2 jam,

dengan dosis yang lebih banyak memiliki waktu paruh yang lebih lama.

(15)

Variabel dalam Model

aspirin_in_plasma: massa aspirin dalam kotak,

dengan nilai awal massa dari 2 aspirin = (2)(325 mg)(1000 μg/mg).

Laju eliminasi dari aspirin_in_plasma sebanding dengan

aspirin_in_plasma.

(16)

Persamaan Beda

Untuk menghitung konsentrasi plasma dari aspirin (plasma_concentration) digunakan volume plasma dalam tubuh (plasma_volume) dengan nilai 3000 mL. Nilai awal dari plasma_concentration adalah dosis.

(17)

(18)

Model 1-Kotak dengan Dosis Berulang

Dilantin merupakan obat untuk epilepsy yang dipakai oleh pasien secara regular. Dosis orang dewasa adalah 3 x 1 kapsul 100-mg.

Level efektif dalam serum darah adalah 10 sampai 20 μg/mL, yang membutuhkan 7 sampai 10 hari.

Walaupun setiap orang memiliki reaksi berbeda, namun efek samping serius dapat terjadi pada saat level serum adalah 20 μg/mL.

Half-life dari Dilantin berkisar dari 7 sampai 42 jam, tetapi secara rata-rata 22 jam. Sebagai penyederhanaan, diasumsikan model 1-kotal dengan penyerapan instan. Variabel drug_in_system merepresentasikan massa Dilantin dalam kotak.

Variabel ingested merepresentasikan tambahan massa Dilantin pada drug_in_system.

Variabel lain adalah dosis (dosage), waktu pemberian dosis awal (start), dan selang waktu antar dosis (interval).

Dengan mengasumsikan bahwa hanya sebagian (absorption_fraction) yang akan masuk ke tubuh, kita mengalikan konstanta ini (misalkan, 0.12, berdasarkan hasil eksperimen).