Bab III, Filter Pasif Hal: 8 4

BAB III FILTER PASIF

Filter adalah suatu rangkaian yang dipergunakan untuk membuang tegangan output pada frekuensi tertentu. Untuk merancang filter dapat digunakan komponen pasif (R,L,C) dan komponen aktif (op-amp, transistor). Dengan demikian filter dapat dikelompokkan menjadi filter pasif dan filter aktif. Dalam bab ini hanya dibahas filter pasif saja.

Pada dasarnya filter dapat dikelompokkan berdasarkan response (tanggapan) frekuensinya menjadi 4 jenis, yaitu:

1. filter lolos rendah/ Low Pass Filter (LPF), 2. filter lolos tinggi/ High Pass Filter (HPF), 3. filter lolos rentang/ Band Pass Filter (BPF),

4. filter tolak rentang/ Band Stop Filter atau Notch Filter

Untuk membuat filter sering kali dihindari penggunaan induktor, terutama karena ukurannya yang besar. Sehingga umumnya filter pasif hanya memanfaatkan komponen R dan C saja.

Bab III, Filter Pasif Hal: 8 5

Gambar 1, Tipe filter dan responsenya.

LPF (Low Pass Filter) = Filter Lolos Rendah

Filter lolos rendah adalah filter yang hanya melewatkan frekuensi yang lebih rendah dari frekuensi cut-off (fc). Diatas frekuensi tsb ouputnya mengecil (idealnya tidak ada). Rangkaian RC LPF dan tanggapan frekuensinya ditunjukkan pada Gambar 2 berikut.

C R

vin vout

log f f_c

pass band stop band

G _{-3 dB}

Gambar 2, LPF pasif dan tanggapannya

Rangkaian seri RC mirip dengan rangkaian pembagi tegangan dari dua buah hambatan seri, sehingga tegangan outputnya adalah:

1

out 1 in

v j C v

j C R ω

= ω

+

Penguatan tegangan didefinisikan sebagai Gain ^out

in

G V

= V . Namun untuk filter seringkali menggunakan penguatan daya, sehingga kalau dinyatakan dalam satuan dB penguatan dayanya adalah

20 log ^out

in

G V

= V

Sehingga penguatan filter RC seperti ditunjukkan pada Gambar 2 adalah

out

in

Gain V

= V = ¹

1

1

( ) 1

j C

j C

I

R I j RC

ω

ω ⁼ ω

+ + , atau ^{out out}

in in

V V Gain V V

∗

= =

2 2 2

1

1+ω C R atau dalam satuan dB,

2 2 2

20log 1 G 1

ω C R

= +

Dengan mengambil 1

ω = RC atau 1

c 2

f ⁼ πRC , diperoleh penguatannya

Bab III, Filter Pasif Hal: 8 7

Untuk filter lolos rendah:

• frekuensi rendah (f << ) Gain = 1 G = 0 dB

• frekuensi tinggi ( f >> ) Gain = _ωRC¹ , atau G = -20 log ωRC, dari persamaan ini menunjukkan bahwa kurva G vs. log f berupa kurva linear dengan slopenya adalah -6 dB/oktaf (-20 dB/dekade).

Æ Jadi Filter lolos rendah (LPF) ⇒ hanya meloloskan frekuensi rendah saja.

Pada frekuensi cut-off daya outputnya tinggal setengah (1/2) nya dari daya input.

Contoh:

Andaikan suatu sistem diinginkan hanya memiliki frekuensi < 1 kHz, namun ternyata sistem itu memiliki noise pada frekuensi di sekitar 1 MHz. Rancanglah filter lolos rendah(LPF) yang dapat mengatenuasi noise hingga 1%. Efek apa saja yang terjadi pada sinyal tsb pada frekuensi 1 kHz.

Jawab:

Penguatan LPF adalah:

( )

2 2 2 2

1 1

1 1

out

in C

G V

V ω C R f f

= = =

+ + ,

dan diketahui pada frekuensi 1 MHz terjadi attenuasi sebesar 1%, sehingga

( )

²

1 0.01

1 1MHz

out

in C

V

V = f =

+

artinya

( )

^{2 4}

1 10

1 1MHz f_C

= −

+ Æ

1MHz 2

9999 fC

⎛ ⎞

⎜ ⎟ =

⎝ ⎠

Diperoleh frekuensi cut-off sebesar f_C = 10 kHz

Untuk merancang filter ini, bisa dipilih sembarang nilai C dan R, asalkan memenuhi syarat 1

c 2

f ⁼ πRC ^.

Misalnya pilih C= 0,47 μF, diperoleh R = 33,9 Ω Æ R terlalu kecil dan ganti pilihan lainnya, misalnya pilih C = 0,01 μF, diperoleh R = 1591 Ω. Pilihan ini cukup memamdai!, sehingga pilih nilai R yang tersedia, misalnya R = 1,5 kΩ.

Efek-efek yang terjadi adalah:

o Akibatnya frekuensi cut-offnya menjadi ¹

c 2

f ⁼ πRC = 10610 Hz Æ ada penyimpangan sebesar 6%.

o Noise pada frekuensi 1 MHz menjadi

(

⁶

)

²

1 0,0099995

1 10 10610

out in

V

V ⁼ ₊ ⁼ , tidak sama seperti yang

diminta design rancangan (0,01).

o Efek filter ini pada sinyal 1 kHz adalah

(

³

)

²

1 0,996

1 10 10610

out in

V

V = =

+ , yaitu ada reduksi tegangan

output sebesar 0,4%

High Pass Filter (HPF) = Filter lolos tinggi

Filter lolos tinggi adalah filter yang outputnya hanya melewatkan

Bab III, Filter Pasif Hal: 8 9

idealnya tidak ada. Rangkaian RC HPF dan tanggapan frekuensinya ditunjukkan pada Gambar 3 berikut.

C

vin R vout

f_c log f

G(dB)

Gambar 3, HPF pasif dan tanggapan frequencynya

Dengan memanfaatkan rangkaian pembagi tegangan, diperoleh tegangan outputnya adalah

out 1 in

v R v

j C Rω

= + , dengan demikian penguatannya adalah :

2 2 2

2 2 2

( 1 ) 1 1

out in j C

V RI j RC R C j RC

G V R _ω I j RC R C

ω ω ω

ω ω

= = = = +

+ + +

Untuk menghitung besarnya dilakukan sbb:

( )( )

^{2 2}

G = X + jY = X + jY X − jY = X +Y dengan Y : komponen imajiner,

X : komponen real.

Sehingga diperoleh:

( ) ( )

( )

2 4

2 2 2 2

2 2 2 1

1

RC RC RC

G C R C R

ω ω ω

ω ω

= + =

+ +

atau dalam satuan dB,

2 2 2

20log 1 G RC

C R ω

= ω

+

dengan 1

C 2

f ⁼ πRC Æ frequency cut-off Untuk filter lolos tinggi:

• frekuensi tinggi (f >> ) Gain = 1 G = 0 dB

• frekuensi rendah ( f << ) Gain =ωRC , atau G = -20 log ωRC

• slopenya (untuk f << ) adalah -6 dB/oktaf ( - 20 dB/dekade)

Contoh:

Sinyal pulsa yang diberikan ke motor stepper adalah sebesar 2000 Hz.

Rancanglah sebuah filter yang mereduksi noise 50 Hz, namun sinyal pulsa itu tidak boleh direduksi lebih besar dari 3 dB.

Jawab:

Agar reduksi dayanya tidak lebih besar dari 3 dB, maka ( ) 20log ^out

P

in

A dB V

V

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ = - 3dB, sehingga ^out 10 ^{3 / 20} 0,707

in

V V

⎛ ⎞ −

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Dari informasi yang menyatakan bahwa sinyal pulsa direduksi sebesar 3 dB, menunjukkan bahwa frekuensi itu adalah frekuensi cut-off, sehingga f_C = 2kHz. Efek noise pada frekuensi 50 Hz diperoleh dari:

2 2 2 2 2

( ) (50 / 2000)

1 1 ( ) 1 (50 / 2000)

out C

in

V RC f f

G V C R f f

ω

= = ω = =

+ + + = 0,025

Bab III, Filter Pasif Hal: 9 1

Hasil ini menunjukkan bahwa hanya tinggal 2,5% noise 50Hz yang masih ada dalam sistem itu.

Perubahan Fasa

Beda fasa antara arus dengan tegangan dapat dicari dari impedansi kompleks. Sudut pada bidang kompleks menunjukkan beda fasanya, yaitu:

( )

²

tan Y RC 1

X RC RC

φ ω

ω ω

= = =

atau ¹ 1

tan RC

φ ω

= −

Seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

2 2

X +Y

( )

( )

2

1 2

X RC

RC ω

= ω +

( )

²

1 Y RC

RC ω

= ω + φ

Beda fasa antara arus dan tegangan bergantung pada frekuensi, Untuk frekuensi rendah (f << ), φ →90

frekuensi cut-off (ω_c =1 RC), 45φ = frekuensi tinggi (f >> ), 0φ →

Untuk C= 1 μF dan R = 1 kΩ, Bode plot diperoleh sbb:

Bab III, Filter Pasif Hal: 9 3

Pembebanan

R₁

R2 RL

Gambar 4, Pembebanan pada rangkaian hambatan

Untuk melihat pengaruh penguatan (Gain) akibat adanya beban RL

perhatikan gambar di atas. Perubahan penguatan akibat pembebanan diberikan berikut ini.

Pada gambar di atas, jika tanpa beban RL, diperoleh ²

1 2

Gain R

R R

= +

Vi Vi

(RL/R1+RL) Vi

R1 R1//RL

RL

C RL C C

R1

Gambar 5, Pembebanan pada filter LPF

Sebaliknya jika ada beban RL maka hambatan R2 diganti dengan R2//RL

sehingga

2 2

1 2 1 2 1 2

Gain //

//

L L

L L L

R R R R

R R R R R R R R R

= =

+ + +

Sebaliknya untuk filter, misalnya untuk filter lolos rendah, jika ada beban, maka :

( )

1

2 2 2

1

L 1

L L

L

out

R R R

R R in

R R

V

V ω C

+ +

= + atau

( )

'

2 2 2

Gain 1

1 _L^L

out L

in L R R

R R

V R

V R R ω C ₊

= =

+ +

( )

²

2 2

G' 20log 20log 1

1 ^L

L

L L R R

R R

R

R R ω C ₊

= +

+ +

Frekuensi cut-off menjadi ' 1 2 _L^L

C R R

R R

f ⁼ π ₊ C

Dengan adanya beban terlihat bahwa : 1. penguatan berkurang (G < 0 dB)

2. frekuensi cut-offnya bergeser ke kanan (membesar).

Band Pass Filter (BPF) = Filter Lolos Rentang

Untuk membuat filter lolos rentang dapat dilakukan dengan menggabungkan LPF + HPF atau HPF + LPF. Diharapkan rangkaian berikutnya memiliki beban yang lebih besar, artinya :

• bila dipilih LPF + HPF maka beban (impedansi) HPF harus lebih besar dibandingkan dengan LPF,

• bila dipilih HPF + LPF maka beban (impedansi) LPF harus lebih besar dibandingkan dengan HPF.

Contoh

Bab III, Filter Pasif Hal: 9 5

Misalnya kita hendak mengkaskade dua buah filter yaitu filter LP dengan filter HP dengan frekuensi cut-offnya sebesar ω_cLP = 10 rad/s dan ω_cHP = 1 rad/s, seperti ditunjukkan pada gambar. Dengan kaskade ini akan menghasilkan filter BP dengan rentang ω_low = 1 rad/s dan ω_up = 10 rad/s.

R1 = 1 Ω; C₁ = 0,1 F; C2 = 1 F dan R2 = 1Ω.

Jawab:

Dari loop 1: V1 + i1 R1 + i1 1/jωC₁ – i2 1/jωC₁ = 0 loop 2: i2 1/jωC₁ + i2 1/jωC₂ + i2 R2 - i1 1/jωC₁ = 0 Kedua pers. di atas dapat disederhanakan sebagai:

0 1 )

( 1 1

) 1 ( 1

2 2 1

2 1

1

1 2 2 1

1 1

= +

+ +

−

=

− +

C i j C R j

C i j

V C i

i j C R j

ω ω

ω

ω ω

Dengan eliminasi dari sistem persamaan ini diperoleh

1 1

1 1

2 1

2 1

2 2

1 1

1 1

1 1

C V j

C R j

C j C R j

C j C i j

ω ω

ω ω

ω

ω _⎭^{⎬= − ×}

⎫

⎩⎨

⎧ ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟×

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

−

× atau:

1 1 2

1 1

2 1 1

2 2 1 2

1

C j V C

R C

R j R R C

R

i ω ω ω _⎪⎭⁼ ω

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− +

Sehingga Gain filter ini diperoleh dari ^{4 2 2}

1 1

V i R G = V = V Diperoleh : xxxxxxxxxxxx

G = xxxxx

Jika diperhatikan bahwa gain ini lebih kecil dibandingkan kalau dihitung berupa perkalian gain Æ G ≠ (Gain_lowpass * Gainhighpass).

RESONANSI

Rangkaian RLC seri

Perhatikan rangkaian RLC seri seperti gambar berikut ini:

Bab III, Filter Pasif Hal: 9 7

LC

out in

LC

v Z v

= R Z + dengan

1 1 2

LC

Z j L LC

j C j C

ω ω

ω ω

= + = −

Sehingga penguatannya adalah

2 2

1 1

out

in

v LC

G v j RC LC

ω

ω ω

= = −

+ −

Dan tanggapannya terhadap frekuensi dari rangkaian RLC seri tsb adalah:

Beda fasa antara arus dan tegangan dicari dari tan Y φ = X dengan

2 2

1 LC j j( LC 1)

jY j C j C

ω ω

ω ω

− − −

= × =

− X = R

2 2

X +Y

X = R

2LC 1

Y C

ω ω

= −

φ

Sehingga beda fasanya adalah

2

tan 1 LC RC

φ ω

ω

= −

Hal ini berarti bahwa:

o Pada frekuensi rendah ( f << ),

φ > − 90

o Pada frekuensi resonansi (

ω = LC

),

φ = 0

o Pada frekuensi tinggi (f >> ),

φ > + 90

Rangkaian RLC paralel

Perhatikan rangkaian RLC paralel seperti gambar berikut ini:

Bab III, Filter Pasif Hal: 9 9

Berdasarkan prinsip rangkaian pembagi tegangan, tegangan outputnya adalah:

LC

out in

LC

v Z v

= R Z +

dengan ₂

1 1

LC

j L j C j L

Z j C j L LC

ω ω ω

ω ω ω

= =

+ −

Sehingga penguatannya adalah :

2 2

2 2 2 2 2 2

(1 ) (1 )

out

in

v j L L

G v R LC j L R LC L

ω ω

ω ω ω ω

= = =

− + − +

Atau dalam representasi grafis, penguatannya terhadap frekuensi ditunjukkan pada gambar berikut.

Penguatan pada frekuensi resonansi (

ω = LC

) Æ G_res =1. Faktor kualitas (nilai Q) dari suatu filter adalah

o

Q BW

= ω

,

dengan

BW

: lebar frekuensi yaitu selang frekuensi pada saat daya output menjadi ½ nya

ω

_o : frekuensi tengah, pada saat rangkaian resonansi, frekuensi ini dikenal juga sebagai frekuensi resonansi

Pada saat daya outputnya menjadi ½ dari daya input, hal ini berarti

2

1

2

out in

v

v =

, artinya

2 2

2 2 2 2 2

1

2 (1 )

L

R LC L

ω

ω ω

= − + .

Hal ini berarti ¹₂ R²(1−

ω

²LC)² = ¹₂

ω

^{2 2}L

atau 1 ² L

LC R

ω ω

− =

Untuk

R

L 

, solusi dapat didekati dengan

1

2 R LC L

ω = ±

atau

2 2

o

o o o

o

R

L Q

ω ω ω ω ω

= ± ω = ±

dengan Q adalah faktor kualitas seperti yang didefinisikan di atas.

Contoh

Buatlah sebuah filter yang akan meng-atenuasi sinyal input yang memiliki ripple pada frekuensi 50 Hz.

Bab III, Filter Pasif Hal: 1 0 1

Jawab:

Untuk meng-atenuasi sinyal input yang memiliki ripple pada frekuensi 50 Hz harus dilakukan dengan memberikan komponen yang impedansinya sangat rendah pada frekuensi tsb. Contoh rangkaian sederhana untuk maksud itu adalah seperti ditunjukkan gambar.

Sehingga diperoleh:

2

2 100

1

1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

= ω π

LC = 1,0132 x 10^-5 Misalnya untuk C = 100 μF, maka L = 0,10132 H.

Pilihan lain ada banyak sekali.

Contoh

Tentukan jenis filter dari rangkaian berikut ini dan tentukan nilai komponen agar dapat beroperasi dengan frekuensi cut-off ω_o = 10⁶ rad/s dan faktor dampingnya ς =0,5.

Jawab:

Fungsi transfer (fungsi yang menggambarkan hubungan antara tegangan output terhadap tegangan input) dari rangkaian ini adalah

2 1

( ) v

G s = v = ( )

1/

G s Ls

R Ls Cs

= + + atau

2

( ) 2

/ 1/

G s s

s sR L LC

= + + ,

dengan s = jω.

Terlihat bahwa |G(∞)| = 1 Æ ciri dari filter lolos tinggi, dengan frekuensi naturalnya adalah 1

o LC

ω = dan 2ζωo = R/L,

Sehingga pemilihan komponen yang memiliki constraint seperti diminta dalam soal:

Untuk ω_o = 10⁶ rad/s Æ LC = 10^-12 Faktor damping ζ = 0,5 Æ R/L = 10⁶

Pilihannya banyak sekali, andaikan memilih C = 0,001 μF, maka L = 1 mH dan R = 1 kΩ .

Contoh:

Tiga buah filter dengan pole tunggal (slope-nya -6 dB/oktaf)

Bab III, Filter Pasif Hal: 1 0 3

Kebutuhan filter ditabulasikan seperti tabel di bawah ini. Bode plot (grafik hubungan antara penguatan(dB) dengan log frekuensi) dari ketiga kandidat filter ditunjukkan pada gambar berikut.

a) Filter yang mana yang paling sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan.

b) Rancang filter sesuai dengan kebutuhan yang diinginkan?

Tabel kebutuhan

Karakteristik Kebutuhan Tegangan output steady state

untuk input 5 V-DC

2 hingga 7 V Rise time untuk tegangan input

step input

< 1ms,

Penguatan pada f = 5 kHz < 10 % dari penguatan pass bandnya.

Jawab:

a. Dari karakteristik Bode-plot tsb dibuat fungsi transfernya, sbb:

filter 1 : 1 ₄ ( ) 1 10 H s = ⁻ s

+ , Æ bandwidth = 10⁴ rad/s Æ terlalu lebar Æ tidak cocok

filter 3: 0,4₃ ( ) 1 10 H s = ⁻ s

+ , Æ bandwidth = 10³ rad/s Æ terlalu sempit Æ tidak cocok

filter 2: 0,6 ( ) 1 / 3000 H s = s

+ , Æ pilihan terbaik dari tuntutan design Æ bandwidth = 3000 rad/s.

b. Kalau menggunakan gambar bode-plot di atas jelas tidak mungkin

Bab III, Filter Pasif Hal: 1 0 5

Dengan menganggap pendekatan ideal seperti pada gambar bode plot dan diminta gainnya = 0,9^× Go dengan Go adalah gain pada passband, dapat dimisalkan fungsi transfer yang diminta adalah :

( ) 1 H s a

= bs +

Dengan menganggap bahwa Gain tetap untuk frekuensi < 3000 Hz sebesar misalnya a. Gain pada frekuensi di atas 3000 Hz akan mengecil ( G < a).

Dengan menggunakan fungsi transfer di atas diperoleh: Æ 1 2 5000 0,9

a a

b π ⁼

+ × × , berarti 1

9 2 5000

b⁼ × π × . Dari nilai b ini dapat dicari nilai R dan C untuk filter tsb Æ bisa banyak pilihan!

Ingat bahwa penguatan pada LPF adalah ¹ G 1

j RCω

= + .

LATIHAN

1. Sebuah beban Rl = 10 kΩ ihubungkan dengan sumber tegangan Vs

melewati rangkaian LPF (filter lolos rendah) dengan R = 10 kΩ dan C = 0,1 μF seperti ditujukkan pada gambar berikut.

RL

R

C 10 k

0,1 F

V_s

a. hitung frekuensi cut-off -3 dB dari rangkaian filter tsb tanpa beban.

b. hitung penguatan passband dan frekuensi cut-off -3 dB setelah ada beban.

c. ulangi b) dengan mengganti Rl = 10 MΩ.

2. Rancanglah filter rumble untuk audio yang dipakai untuk melewatkan frekuensi di atas 20 Hz (atur fc = 10 Hz). Anggap sumber tegangan ideal (Rin = 0 Ω) dan beban minimum 10 kΩ.

Pilihlah nilai R dan C agar tidak mempengaruhi beban.

3. Design filter bandpass (filter lolos rentang) dengan titik-titik - 3 dB adalah 10 Hz dan 10 kHz, anggap beban 100 kΩ. Pilihlah komponen-komponen agar efek pembebanan pada tingkat kedua dapat diabaikan demikian pula pembebanan tingkat kedua pada tingkat pertama.

4. Filter characteristics are sometimes specified in terms of insertion ratio, which is defined as the quotient of the average power delivered to a load without and with the filter inserted.

a. Circuit C1 shows a sinusoidal source directly connected to a load. Determine the average power delivered to the load in the sinusoidal steady state.

b. Circuit C2 shows the same source and load with an inductor inserted between them. Determine the average power delivered to the load in the sinusoidal steady state with the inductor inserted.

c. Insertion ratio is defined as the ratio of power found in (a) to the power found in (b) above. Determine the insertion ratio of this circuit.

d. Show that the insertion ratio is one at zero frequency and explain this result physically in terms of the inductor impedance. Show that the insertion ratio is infinite at infinite frequency and explain this result physically.

Bab III, Filter Pasif Hal: 1 0 7

Insertion loss (dB) = 10 log (insertion ratio)

At what frequency is the insertion loss equal to 3 dB?