PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

KONTEN DIGITAL MATEMATIKA SMA

TAHUN 2011

PENULIS :

Sigit Tri Guntoro Muh. Tamimuddin H

PENILAI :

Julan Hernadi Wiworo

PENGEMBANG :

Deni Saputra Muh. Tamimuddin H

PERSAMAAN DAN

PERTIDAKSAMAAN

IRASIONAL

DAFTAR ISI

Tujuan Pembelajaran

1.

Persamaan Irasional

1.1 Pengertian 1.2 Landasan Teori 1.3 Metoda Penyelesaian

2.

Pertidaksamaan Irasional

2.1 Pengertian 2.2 Landasan Teori 2.3 Metoda Penyelesaian

3.

Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari

4.

Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN IRASIONAL

Tujuan Pembelajaran

1.

Persamaan Irasional

1.1 Pengertian

Persamaan irasional ialah persamaan yang memuat variabel atau peubahnya berada dalam tanda akar. Contoh: 1. 2 4 2 + = − x x 2. (x−5) =2x−11 3. 1+x 5 = 5−x

Berikut ini bukan persamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar

1. 2 11 √5

2. 1 √3 √2

Hal ini karena tidak ada variable di dalam tanda akar. Secara umum persamaan irasional berbentuk

atau dengan dan suatu polinomial.

Setiap bilangan real yang jika disubstitusikan ke dalam persamaan irasional memberikan pernyataan yang benar disebut penyelesaian atau akar persamaan irasional.

Contoh:

Perhatikan persamaan √1 2

Tujuan dari konten pembelajaran ini adalah pembaca dapat memahami tentang pengertian persamaan dan pertidaksamaan irasional, landasan teori serta memahami langkah penyelesaian soal persamaan dan pertidaksamaan irasional.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₂

Bila disubstitusikan 3 maka persamaan ini memberika hasil

1 3 2 ⟷ √4 2 ⟷ 2 2, suatu pernyataan yang benar. Jadi 3 adalah penyelesaiannya. Coba ambil x=1, disubstitusikan ke persamaan diperoleh

√1 2 ⟷ √1 1 2 ⟷ 0 2, suatu pernyataan yang salah. Jadi 1 bukan penyelesaian.

Berkaitan dengan penjelasan ini, persamaan irasional mungkin mempunyai penyelesaian atau mungkin juga tidak mempunyai penyelesaian. Bila ia mempunyai penyelesaian maka penyelesaiannya dapat tunggal atau dapat juga lebih dari satu.

1.2 Landasan Teori

Secara umum untuk menyelesaikan persamaan irasional dilakukan dengan menghilangkan tanda akar pada kedua ruas, yaitu dengan mengkuadratkan masing-masing ruas. Proses ini dapat dilakukan beberapa kali sampai tanda akar hilang dan diperoleh persamaan aljabar biasa yang ekuivalen. Hati-hati dengan cara ini jangan sampai salah konsep. Berikut ini diberikan aturan main atau dalil pendukungnya

→

Tetapi belum tentu berlaku sebaliknya → . Yang benar adalah sebagai berikut

_{↔ 0 ↔ 0 → atau}

Berkaitan dengan persamaan irasional, yaitu dalam bentuk atau

haruslah dipenuhi , ≥ 0.

1.3 Metoda

Berikut adalah beberapa aturan yang harus diperhatikan ketika menyelesaikan persamaan irasional.

• _{Akar dari suatu bilangan tidak boleh negatif. Tidaklah benar jika mengatakan}

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₃ • _{Bilangan di dalam tanda akar tidak boleh negatif karena akar bilangan negatif}

menghasilkan bilangan imajiner, bukan bilangan real.

Mengingat persamaan irasional umumnya dalam bentuk atau

dimana dan maka untuk menyelesaikannya dicari terlebih dahulu nilai yang memenuhi:

(i) ≥ 0 (ii) ≥ 0

Penyelesaian dari kedua ketentuan ini biasa disebut syarat awal atau prasyarat. Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan, dalam hal ini menentukan nilai yang memenuhi

(iii) atau

Akhirnya, nilai yang memenuhi (i), (ii) dan (iii) adalah penyelesaian dari persamaan irasional yang dimaksud.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi (x−3) =x−5

Penyelesaian:

Agar berlaku (x−3) = x−5 , harus dipenuhi

Prasyarat:

(i) (x – 3) ≥ 0 , diperoleh x ≥ 3. (ii) x−5≥0, diperoleh x≥5

Kedua syarat ini dapat digabung menjadi x≥5

Selanjutnya diselesaikan persamaan,

(iii) (x−3) =x−5 ⇒ (x−3)=(x−5)2⇔

x

−

3

=

x

2

−

10

x

+

25

⇔

x

−

3

=

x

2

−

10

x

+

25

⇔

(

x

−

7

)(

x

+

3

)

=

0

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₄

Jadi diperoleh x = 7 atau x = 3. Karena harus memenuhi x ≥ 5 (ingat (2))maka nilai yang memenuhi adalah x = 7. Ini merupakan contoh persamaan irasional yang mempunyai penyelesaian tunggal

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari 2 16 4

+ = − x x Penyelesaian: Prayarat:

(i) x2− _{16≥ 0} → x

≤

−_{4 atau} x ≥ 4 , dan

(ii) x + 4≥ 0 → x ≥ − 4

Kedua syarat ini digabungkan sehingga didapat 4 atau ≥ 4

(iii)Kemudian kedua ruas x2−16 = x+4 dikuadratkan diperoleh

x2 –16 = x + 4

↔ x2 – x – 20 = 0

↔ (x −₅₎₍x +4) = 0

↔ x = 5 atau x = − ₄

Dengan memperhatikan prasyarat maka himpunan penyelesaian dari persamaan di atas adalah { − _{4, 5 }. Ini merupakan persamaan irasional yang mempnyai penyelesaian tidak}

tunggal.

Contoh 3

Tentukan nilai x yang memenuhi x+5+ 2x+1=6

Penyelesaian: Prasyarat:

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₅

(ii) _{2 +1≥0⇒ ≥−2}1

x x

Syarat (i) dan (ii) dapat digabung menjadi 2 1

− ≥

x

(iii)

x

+

5

+

2

x

+

1

=

6

↔

x

+

5

=

6

−

2

x

+

1

_{. Sesuai dengan penjelasan}

sebelumnya maka

6

−

2

x

+

1

≥

0

⇔

₆

≥

₂

x

+

₁

. Dari sini diperoleh

x x+ ≤ ⇒ ≥ 2 1 17 36 3 2

Dari prasyarat (i), (ii) dan (iii) diperoleh interval prasyarat: ₂1 2

1 _{≤ ≤17}

− x

Selanjutnya persamaan diselesaikan.

6 1 2 5+ + = + x x ⇔ x+5 =6− 2x+1 ⇒x + 5 = 36 − ₁₂

₂

x

+

₁

+ (2x + 1) ⇔ 12

2

x

+

1

= x + 32 ⇒ ₁₄₄₍₂x + 1) = x2 + 64x + 1024 ⇔_x2− _{224 x + 880 = 0} ⇔₍x− ₄₎₍x− _{220) = 0} ⇔x = 4 atau x = 220

Mengacu prasyarat, diperoleh himpunan penyelesaiannya: {4}

Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa tidak semua persamaan irasional memiliki penyelesaian.

Contoh 4

Tentukan penyelesaian dari √2 3 Jawab:

Prasyarat:

(i) 3 ≥ 0 ↔ ≥ 3 (ii) 2 ≥ 0 ↔ ≤ 2

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₆

Perhatikan bahwa tidak ada nilai yang memenuhi ≥ 3 sekaligus ≤ 2 Jadi tidak ada nilai yang memenuhi √2 3

2. Pertidaksamaan Irasional

2.1 Pengertian

Pertidaksamaan irasional ialah pertidaksamaan yang memuat variabel atau peubahnya berada dalam tanda akar.

Contoh: 1. 2 4 2 + ≤ − x x 2. (x−5) >2x−11

Berikut ini bukan pertidaksamaan irasional 3.

1

+

x

5

<

5

bukan pertidaksamaan irasional meskipun ia mengandung tanda akar 4. x+x2 5< 5x

2.2 Landasan teori

Untuk menyelesaikan pertidaksaman irasional dilakukan dengan mengubahnya menjadi pertidaksamaan ekuivalen yang tidak memuat tanda akar lagi. Umumnya, dengan mengkuadratkan kedua ruas. Prosedur ini dapat dilakukan dengan menggunakan dalil atau aturanberikut.

Misalkan , ≥ 0, maka berlaku ≤ ↔ ≤ ↔ √ ≤ √ Kesamaan berlaku jika , yaitu ↔ ↔ √ √

2.3 Metoda

Jika diberikan pertidaksamaan irasional yang berbentuk

≤

Maka penyelesaiannya harus memenuhi syarat berikut

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₇

ii ≥ 0, sebab akar suatu bilangan tidak boleh negatif.

iii ≤

Syarat (i) dan (ii) biasanya disebut syarat awal atau prasyarat.

Contoh 1

Tentukan nilai x yang memenuhi 3 < 5 Penyelesaian: Prasyarat: (i) (x – 3) ≥ 0 , sehingga x ≥ 3.

0

)

5

(

−

x

≥

, sehingga x≤₅ (ii) (x−3) < (5−x)⇔

(

x

−

3

)

<

(

5

−

x

)

⇔ x< ₄

Mengingat prasyarat (i) diperoleh penyelesaian 3≤ x< 4

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari √ 7 < 3 Jawab:

Prasyarat:

(i) x2− 7≥ 0 ↔ √7 √7 ≥ 0 ↔ ≤ √7 atau ≥ √7

Dengan menguadratken kedua ruas x2−7 <3, akan diperoleh

_{7 < 9}

↔ _{16 < 0}

↔ 4 4 < 0

Dari sini diperoleh 4 < < 4. Mengingat prasyarat (i) maka diperoleh penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₈

Seperti pada persamaan irasional, pertidaksamaan irasional juga belum tentu mempunyai penyelesaian.

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari √ 4 < 0 Jawab:

Prasyarat:

(i) 4 ≥ 0 ↔ 2 2 ≥ 0 menghasilkan ≤ 2 atau ≥ 2 Selanjutnya dengan menguadratkan kedua ruas dari √ 4 < 0 diperoleh

_{4 < 0 ↔ 2 2 < 0 yang menghasilkan 2 < < 2. Jelas bahwa tidak}

mungkin berlaku ≤ 2 tetapi 2 < < 2. Demikian pula tidak mungkin berlaku

≥ 2 tetapi2 < < 2.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₉

3. Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Pak Jabar ingin membuat kuda-kuda atap rumah dari kayu dengan menetapkan lebarnya 10 meter seperti gambar berikut.

Karena bahan yang tersedia untuk satu kuda-kuda ditetapkan hanya 26 meter, dia kebingungan menentukan tinggi kuda-kuda. Dapatkah Anda membantu Pak Jabar? Penyelesaian:

Permasalahan ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Dari sini diperoleh persamaan yang menggambarkan permasalahan Pak Jabar di atas yaitu menentukan nilai yang memenuhi 5 5 √5 √5 26.

Kemudian disederhanakan didapatkan 2√25 16 . Bentuk terakhir ini adalah persamaan irasional. Penyelesaiannya dengan menggunakan metoda yang telah dibahas sebelumnya, yaitu:

225 ₁₆

Prasyarat:

(1) 25 ≥ 0 atau ≥ 25. Karena ≥ 0 untuk setiap ∈ & , maka setiap ∈ & memenuhi syarat pertama ini.

(2) 16 ≥ 0. Dari sini diperoleh syarat ≤ 16.

A

B

C

D

5 ₅ 5 5 '()( ? 5 5

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₀

(3) Prasyarat tambahan yang perlu dimunculkan adalah ≥ 0 karena panjang kayu tidak mungkin negatif

Ketiga syarat di atas dapt digabung menjadi 0 ≤ ≤ 16 Selanjutnya dengan menggunakan metoda sebelumnya didapatkan

225 ₁₆ ⟺ 425 _{16 32} ⟺ 100 4 _{256 32} ⟺ 3 _{32 156 0} Menghasilkan penyelesaian ,-. √,/, . ≈ 14,3 atau ,-. √,/, . ≈ 3,64.

Sesuai dengan prasyarat 0 ≤ ≤ 16 maka diperoleh penyelesaian ≈ 3,64. Dengan demikian Pak Jabar dapat menentukan tinggi kuda-kuda kira-kira 3,64 meter

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₁

4. Pemanfaatan TIK Sebagai Alat Bantu Menemukan Penyelesaian

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional

4.1 Pemanfaatan Wolfram Alpha

Saat ini banyak tersedia perangkat bantu matematika baik software yang diinstal secara offline maupun software yang tersedia online. Wolfram Alpha merupakan salah satu perangkat bantu online yang dapat digunakan untuk berbagai keperluan dan bidang ilmu termasuk matematika,dan dalam hal ini dapat juga digunakan untuk menemukan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan irasional.

Untuk mencari penyelesaian dari persamaan atau pertidaksamaan, kita terlebih dahulu harus mengubah persamaan menjadi kode yang dimengerti oleh komputer. Beberapa simbol yang harus diubah misalnya adalah akar dan pangkat. Simbol akar harus diganti dengan kode

sqrt() dan pangkat diganti dengan tanda ^.

Sebagai contoh kita akan mencari penyelesaian persamaan:

1 1 4

Langkah untuk mencari penyelesaian persamaan ini adalah:

1. Buka situs wolframalpha.com persamaan di atas menjadi kode yang dipahami komputer, yaitu menjadi sqrt(x+1)+(x-1)=4. ke dalam textbox dan klik enter atau tanda “=”.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₂

2. Tunggu beberapa saat sampai Wolfram Alpha menyelesaikan perhitungan. Jika proses perhitungan telah selesai akan ditampilkan hasilnya yang kurang lebih seperti berikut.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₃

Dari tampilan tersebut dapat dilihat bahwa penyelesaian dari persamaan irasional di atas adalah 3.

Latihan

Ubahlah persamaan 1√3 4 2 menjadi kode yang dipahami komputer. (Petunjuk: Ubah bentuk akar menjadi pangkat pecahan terlebih dahulu).

4.1 Pemanfaatan Mathematics Add In Pada Aplikasi MS Word

Salah satu perangkat bantu yang dapat digunakan untuk membantu melakukan perhitungan matematika, dan dalam hal ini adalah persamaan irasional, adalah dengan Microsoft Mathematics Add-in. Add In ini terintegrasi dengan aplikasi MS Word, seperti halnya Microsoft Equation. Bedanya, Mathematics Add Ins secara default tidak terpasang di MS Word sehingga harus dipasang terpisah sebagai add in tambahan. File installer Mathematics add in dapat diunduh dari situs Microsoft pada alamat

http://www.microsoft.com/downloads/en/confirmation.aspx?FamilyID=ca620c50-1a56-49d2-90bd-b2e505b3bf09. Jika Anda kesulitan menuliskan alamat URL yang panjang tersebut Anda dapat mengakses alamat tersebut menggunakan alamat

http://tinyurl.com/wordmathaddin.

File installer Mathematics Add-in ini berukuran cukup ringan, yaitu sekitar 6.6 MB. Perlu diperhatikan bahwa add-in ini memerlukan beberapa persyaratan. Di antaranya adalah sudah terinstal Microsoft Word 2007 / 2010 dan Microsoft .NET Framework 3.5 SP1.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₄

Add-in ini akan menambahkan ribbon baru di MS Word, yaitu Mathematics yang berisi

Compute dan Graph yang berada di samping menu Equation.

Untuk mencari penyelesaian dari sebuah persamaan irasional dapat dilakukan dengan mengetikkan persamaan menggunakan equation. Setelah itu, dengan persamaan masih tersorot, pilih menu Mathematics – Compute – Solve for x.

Penyelesaian persamaan ini otomatis akan ditambahkan pada bagian bawah persamaan tersebut.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₅

Selain dapat dimanfaatkan untuk mencari penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan irasional, Mathematics Add In ini juga dapat digunakan untuk menggambar grafik dari persamaan tersebut. Caranya adalah tuliskan persamaan atau pertidaksamaan menggunakan equation, misalnya 1√3 4 2. Pastikan persamaan ini, tersorot lalu pilih menu Mathematics-Graph-Plot Both Sides In 2D.

Persamaan dan Pertidaksamaan Irasional – PPPPTK Matematika ₁₆

Grafik yang dihasilkan adalah seperti berikut.

Meskipun penggunaan perangkat bantu TIK ini sangat memudahkan, janganlah kemudahan ini menjadikan ketergantungan serta perlu ditekankan bahwa perangkat bantu ini hendaknya digunakan setelah adanya penanaman konsep yang benar.