PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL - ITS Repository

(1)

TUGAS AKHIR - SM 091332

PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN

ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI

DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039

Dosen Pembimbing

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

(2)

FINAL PROJECT - SM 091332

FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND

LATERAL STREAM TOWARDS SEDIMENTATION

PROFILE AT THE CONFLUENCE OF TWO RIVERS

SINUSOID MODEL

YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039

Dosen Pembimbing

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

(3)

(4)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

HALAMAN PENGESAHAN ... v

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI ... xvii

BAB I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Batasan Masalah ... 3

1.4 Tujuan ... 3

1.5 Manfaat ... 4

1.6 Sistematika Penulisan ... 4

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Aliran Saluran Terbuka ... 7

2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu ... 7

2.1.2 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Ruang ... 7

2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya-gaya Inersia dengan Kekentalan ... 8

2.2 Sedimentasi ... 9

2.3 Konsep Volume Hingga ... 11

2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit (ADI) ... 12

2.4.1 Metode Beda Hingga ... 12

2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method ... 16

BAB III. METODE PENELITIAN 3.1 Tahapan Penelitian ... 17

(5)

xiv

4.1.1 Persamaan Kekekalan massa ... 22

4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum ... 26

4.2 Morfologi Sungai ... 35

4.3 Diskritisasi Model Dua Dimensi... 36

4.3.1 Persamaan Kekekalan Massa Sungai Utama ... 37

4.3.2 Persamaan Kekekalan Momentum Sungai Utama ... 38

4.3.3 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Sungai Utama ... 43

4.3.4 Persamaan Kekekalan Massa Pertemuan Sungai ... 44

4.3.5 Persamaan Kekekalan Momentum Pertemuan Sungai ... 46

4.3.6 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Pertemuan Sungai ... 51

4.4 Proses Simulasi ... 52

4.4.1 Simulasi I ... 52

4.4.2 Simulasi II ... 55

4.4.3 Simulasi III ... 57

4.4.4 Simulasi IV ... 59

BAB V. PENUTUP 5.1 Kesimpulan ... 63

5.2 Saran ... 64

DAFTAR PUSTAKA ... 65

(6)

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan

dan ... 13

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur ... 14

Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang ... 15

Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian ... 19

Gambar 4.1 Penampang Sungai ... 21

Gambar 4.2 Volume Kendali ... 22

Gambar 4.3 Sungai Utama ... 33

Gambar 4.4 Anak Sungai ... 33

Gambar 4.5 Pertemuan Sungai ... 34

Gambar 4.6 Pola Diskritisasi untuk u, v, dan h ... 37

Gambar 4.7 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I 53 Gambar 4.8 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I ... 54

Gambar 4.9 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I ... 54

Gambar 4.10 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II 55 Gambar 4.11 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II ... 56

Gambar 4.12 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II ... 56

(7)

xvi

Gambar 4.15 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada

Simulasi III ... 58 Gambar 4.16 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV ... 59 Gambar 4.17 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,

Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada

Simulasi IV ... 60 Gambar 4.18 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,

Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada

(8)

KATA PENGANTAR

Dengan Rahmat Allah SWT, syukur Alhamdulillah, penulis dapat menyelesaikan penyusunan Laporan Tugas Akhir yang berjudul “Pengaruh Laju Aliran Sungai Utama Dan Anak Sungai Terhadap Profil Sedimentasi Di Pertemuan Dua Sungai Model Sinusoidal”.

Dalam penyusunan Laporan Tugas Akhir ini, penulis banyak menerima bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, sehingga dalam kesempatan ini penulis ingin berterima kasih kepada:

1. Ibu Dr. Erna Apriliani, M.Si. sebagai Ketua Jurusan Matematika FMIPA ITS.

2. Bapak Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. sebagai dosen pembimbing Tugas Akhir yang telah memberikan motivasi dan pengarahan dalam penyelesaian Tugas Akhir ini. 3. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. sebagai koordinator

Tugas Akhir.

4. Ibu Dra. Farida Agustini Widjajati, MS. Sebagai dosen wali selama penulis kuliah di Jurusan Matematika FMIPA-ITS.

5. Bapak Subchan, M.Sc., PhD, Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp., dan Ibu Sholeha, S.Si, M.Si. sebagai dosen penguji Tugas Akhir yang telah memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

6. Semua pihak yang telah memberikan dukungan dan ilmu kepada penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

(9)

xii

perbaikan di masa yang akan datang. Semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak.

Surabaya, 2014

Penulis

Special thank’s to:

1. Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah – Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan lancar.

2. Kedua orang tua, Bapak Muslimin dan Ibu Siamah, yang telah memberikan doa dan motivasi lahir batin sampai kelulusan kuliah S-1 ini.

3. Saudara kandung, Veri Irawan, yang telah memberikan dukungan selama penulis menempuh pendidikan sampai mendapatkan gelar sarjana.

4. Kakek dan Nenek, Bapak Dakelan dan Ibu Latikah serta keluarga besar yang telah banyak memberikan dukungan dan doa selama penulis kuliah di Matematika FMIPA-ITS. 5. Teman-teman angkatan 2010 Matematika ITS, Dyah Ayu

Erniasanti, Mita Sani Untari, Amilia Khoiro Masruri, Ari Serawati, Ike Miftahul Jannah, Ema Enggar Wati, Belgis Ainatul Izza, dan lainnya yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

6. Teman satu kos, Ria Aniza (Teknik Lingkungan 2011) yang telah banyak memberikan dukungan dan bantuan selama peulis menyelesaiakan Tugas Akhir ini.

(10)

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI

𝑕 : kedalaman sungai (m)

𝑡 : waktu (s)

𝑢 : kecepatan aliran sungai arah x (m/s)

𝑣 : kecepatan aliran sungai arah y (m/s)

𝑤 : kecepatan aliran sungai arah z (m/s)

𝑞𝑏 : banyaknya sedimen bed load

𝑐𝑚 : koefisien Chezy (𝑐𝑚 = 8.0)

𝑠 : rasio massa jenis sedimen dengan massa jenis air

𝑔 : percepatan gravitasi (𝑔= 9.8 𝑚/𝑠2)

𝑑50 : rata-rata diameter sedimen (m) 𝜏𝑏 : tegangan geser (𝑁/𝑚2)

𝜌 : massa jenis air (𝑘𝑔/𝑚3)

𝑈 : kecepatan aliran sungai (m/s)

𝜌𝑠 : massa jenis sedimen (kg/m3)

𝑧𝑏 : ketinggian dasar sungai (sedimen) (m)

𝑝 : porositas tanah

𝐹𝑠 : surface force (N)

𝐹𝑏 : body force (N)

𝛾 : berat jenis air (𝑘𝑔/𝑚3)

𝑏 : lebar sungai (m)

𝐶𝑓 : koefisien gesek (N)

𝐴 : luas volume kendali (𝑚2)

𝐿𝑖 : panjang domain kendali pertemuan sungai (m)

𝐿 : panjang domain kendali sungai utama (m)

𝐿1 : panjang domain kendali anak sungai (m) 𝑆𝑥,𝑆𝑦 : kemiringan dasar sungai

𝐹𝑏𝑙 : body force pada sungai utama (N)

𝐹𝑏𝑝 : body force pada pertemuan sungai (N)

𝐶∗ _{: koefisien Chezy}

𝑄1 : debit pada sungai utama (𝑚3/𝑠) 𝑄2 : debit pada anak sungai (𝑚3/𝑠)

(11)

xviii

𝑆 : gaya geser pada pertemuan sungai (N)

(12)

PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI

PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

Nama : Yuyun Indah Trisnawati NRP : 1210 100 039

Jurusan : Matematika

Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc

ABSTRAK

Sungai merupakan aliran air permukaan yang

mengalir

ke tempat yang lebih rendah, jumlahnya salah satunya bergantung dari daerah tangkapan air (catchment area) yang terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut dengan confluence. Aliran air pada sungai selain mengalirkan air dari hulu ke hilir yang akhirnya ke laut juga mengalirkan material sedimen sebagai hasil dari proses erosi pada dinding ataupun dasar sungai. Proses terjadinya sedimentasi pada pertemuan sungai dapat dimodelkan secara matematis dan disimulasikan secara numerik. Pada Tugas Akhir ini, dikembangkan model sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan pendekatan volume hingga. Model ini selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode beda

(13)

viii

berpengaruh terhadap kedalaman sungai, kecepatan aliran sungai dan ketinggian sedimen.

Kata Kunci—Sedimentasi, Metode Beda Hingga, Alternating

(14)

FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND LATERAL STREAM TOWARDS SEDIMENTATION PROFILE AT THE

CONFLUENCE OF TWO RIVERS SINUSOID MODEL

Name of Student : Yuyun Indah Trisnawati

NRP : 1210 100 039

Department : Mathematics

Supervisor : Prof. Dr. Basuki widodo, M.Sc

ABSTRACT

(15)

x

(16)

BAB I

PENDAHULUAN

Bab ini membahas latar belakang yang mendasari penulisan Tugas Akhir ini. Di dalamnya mencakup identifikasi permasalahan pada topik Tugas Akhir ini. Uraian ini bersifat umum yang menjelaskan secara ringkas hal-hal yang akan dilakukan pada penyelesaian Tugas Akhir. Informasi yang telah diperoleh tersebut kemudian dirumuskan permasalahan yang akan dibahas, tujuan, dan manfaat dari Tugas Akhir. Selain itu juga diberikan batasan-batasan untuk membatasi pembahasan pada tugas Akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Sungai merupakan aliran air permukaan yang mengalir ke tempat yang lebih rendah, jumlahnya bergantung dari tinggi muka air, luas daerah tangkapan air (catchment area), perkolasi, infiltrasi dan besarnya curah hujan. Pada suatu catchment area terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut dengan confluence. Pertemuan antara sungai utama dan anak sungai dapat mempengaruhi morfologi dan hidrolika bagian hulu dan hilir.

(17)

dapat dimanfaatkan untuk memprediksi perubahan morfologi dasar sungai.

Bentuk morfologi pertemuan dua sungai merupakan suatu fenomena alam yang menarik untuk dikaji karena akan dijumpai beraneka ragam bentuk model pertemuan dua sungai. Salah satunya adalah sungai dengan profil berbentuk sinusoidal.

Sebelumnya sudah terdapat penelitian oleh Febriyan Eka Priangga mengenai Profil Kontur Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Model Sinusoidal (2012). Dalam Tugas akhir tersebut dibahas mengenai model dan profil kontur sedimentasi pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan metode Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) sebagai solusi penyelesaian metode volume hingga.

Dalam Tugas Akhir ini dikembangkan suatu model matematika dari proses sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan pendekatan konsep volume hingga dan diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Metode ADI ini mempunyai keunggulan dalam akurasi/ketepatan hasil dan kecepatan penyelesaian dibandingkan dengan metode eksplisit dan metode implisit [6]. Selain itu, pada metode ADI ini tidak mempunyai syarat stabilitas sehingga program akan selalu stabil dalam semua keadaan. Kemudian setelah modelnya dibangun dan diselesaikan, akan disimulasikan untuk mempelajari pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi.

1.2 Rumusan Masalah

(18)

3

1. Bagaimana pengembangan model sedimentasi di pertemuan dua sungai dengan menggunakan pendekatan volume hingga.

2. Bagaimana menyelesaikan model sedimentasi ini dengan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Bagaimana pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang digunakan pada Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Model sedimentasi yang dibangun adalah dalam 2 dimensi.

2. Aliran air tak mampu mampat (incompressible ) dan rapat jenis air (𝜌) konstan.

3. Aliran sungai seragam pada hulu dan hilir.

4. Pengangkutan sedimen adalah bed-load dan butiran sedimen seragam dengan diameter 0.0625 mm, yaitu pasir yang sangat halus.

5. Permukaan sungai horizontal dan dinding sungai berkarakteristik halus (smooth).

6. Pengaruh angin sangat kecil sehingga friksi di permukaan diasumsikan nol.

1.4 Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dalam Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

(19)

2. Menyusun metode penyelesaian dari model sedimentasi ini dengan menggunakan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Menganalisa pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

1.5 Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah memberikan pengetahuan kepada pihak terkait dalam pencegahan dan penanggulangan dini atas dampak yang ditimbulkan akibat adanya sedimentasi, serta dapat juga digunakan sebagai acuan dalam penelitian sejenis.

1.6 Sistematika Penulisan

Penulisan laporan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab. Adapun sistematika penulisan dalam laporan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan laporan Tugas Akhir.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aliran saluran terbuka, sedimentasi beserta karakteristiknya, dasar-dasar mengenai konsep volume hingga serta metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. BAB III METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan tentang tahap-tahap yang dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

(20)

5

Bab ini menjelaskan tentang bagaimana membangun model sedimentasi dengan pendekatan konsep volume hingga yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Di samping itu, pada bab ini juga dilakukan analisis terhadap hasil penelitian berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan.

5. BAB V PENUTUP

(21)

(22)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Aliran Saluran Terbuka

Aliran pada saluran terbuka merupakan aliran yang memiliki permukaan bebas yang dipengaruhi oleh tekanan udara bebas. Aliran saluran terbuka banyak sekali dijumpai, misalkan pada selokan, kali, sungai kecil dan sungai besar sampai ke muara sungai, saluran pelayaran, saluran pembangkit listrik, saluran irigasi dan talang. Aliran saluran terbuka dapat digolongkan menjadi berbagai jenis dan diuraikan dengan berbagai cara.

2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu a. Aliran Tetap (Steady Flow)

Aliran dikatakan tetap bila kedalaman aliran tidak berubah atau dianggap konstan selama suatu selang waktu tertentu. Pada aliran tetap berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑡 = 0 dan 𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 0

b. Aliran Tidak Tetap (Unsteady Flow)

Aliran dikatakan tidak tetap bila kedalamannya berubah sesuai dengan waktu. Pada aliran tidak tetap berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑡 ≠0 dan 𝜕𝑢

𝜕𝑡 ≠0

(23)

Aliran dikatakan seragam bila kedalaman aliran sama pada setiap penampang saluran. Pada aliran seragam berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑠 = 0 dan 𝜕𝑢 𝜕𝑠 = 0

b. Aliran Tidak Seragam

Aliran dikatakan tidak seragam bila kedalaman aliran berubah di sepanjang saluran. Pada aliran tidak seragam berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑠 ≠0 dan 𝜕𝑢 𝜕𝑠 ≠0

2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya-Gaya Inersia dengan Kekentalan

a. Aliran Laminar

Aliran adalah laminar bila gaya kekentalan relatif sangat besar dibandingkan dengan gaya inersia, sehingga kekentalan berpengaruh besar terhadap perilaku aliran. Dalam aliran laminar, butir-butir air seolah-olah bergerak menurut lintasan tertentu yang teratur atau lurus, dan selapis cairan yang sangat tipis seperti menggelincir di atas lapisan di sebelahnya.

b. Aliran Turbulen

(24)

9

c. Aliran Transisi

Di antara keadaan laminar dan turbulen terdapat suatu campuran atau keadaan peralihan yang dikenal sebagai aliran transisi.

2.2 Sedimentasi

Sedimentasi merupakan proses pengendapan material yang diangkut oleh media air, angin, es atau gletser di suatu cekungan. Menurut Dibyosaputra (1997) besar kecilnya sedimen di daerah sungai ditentukan melalui transportasi sungai yang disebabkan oleh adanya kekuatan aliran sungai yaitu kecepatan aliran tertentu yang mampu mengangkut sedimen dengan diameter tertentu. Dengan kata lain bahwa besarnya sedimen yang terangkat bergantung pada debit sungai, material sedimen dan kecepatan aliran [7].

Proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika dan morfologi. Hidrodinamika menjelaskan tentang aliran sungai, sedangkan morfologi menjelaskan tentang proses pengangkutan sedimen [4].

Ada lima macam angkutan sedimen yang terjadi di dalam alur sungai, yaitu:

1. Dissolved load terdiri dari material, khususnya ion hasil pelapukan kimia yang dilarutkan oleh air sungai. Sedimen jenis ini berpengaruh terhadap keseluruhan jumlah total material yang dilepaskan dari daerah tangkapan air.

2. Suspended load terutama terdiri dari pasir halus yang melayang di dalam aliran karena tersangga oleh turbulensi aliran air.

(25)

mampu menghisap dan mengangkut sedimen pasir tersebut sampai akhirnya karena gaya gravitasi yang ada mampu mengembalikan sedimen pasir tersebut ke dasar sungai.

4. Wash load terdiri dari partikel-partikel lanau dan debu yang terbawa masuk ke dalam sungai dan tetap tinggal melayang sampai mencapai laut, atau genangan air lainnya.

5. Bed load adalah angkutan dasar di mana material dengan butiran-butiran yang lebih besar akan bergerak menggelincir, menggelinding satu di atas lainnya pada dasar sungai.

Untuk menghitung banyaknya sedimen pada transportasi sedimen tipe bed load, salah satu rumus yang banyak digunakan adalah rumus Meyer-Peter & Muller, yaitu [3].

𝑞𝑏=𝑐𝑚 (𝑠 −1)𝑔 0.5𝑑501.5 𝜇𝜃 − 𝜃𝑎 1.5

dengan:

𝜃= 𝜏𝑏

𝜌𝑏−𝜌 𝑔𝑑50

𝜏𝑏=𝜌₂ 0.06

𝑙𝑜𝑔 _2.5𝑑5012𝑕 2 𝑈2

𝑠=𝜌𝑠

𝜌

𝑞𝑏= banyaknya sedimen tipe bed load 𝑐𝑚 = 8.0 koefisien Chezy

𝜇= 1.0

𝜌𝑠= massa jenis sedimen 𝜌= massa jenis air

(26)

11

𝑑50 = rata-rata diameter sedimen

𝜃𝑎 = 0.047

𝑈 = kcepatan aliran sungai

𝑕= kedalaman sungai

Perubahan morfologi sungai diasumsikan hanya terjadi pada dasar sungai yang diakibatkan adanya proses gerusan dan pengendapan. Perubahan ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kekekalan massa untuk transportasi sedimen, yaitu:

𝑑𝑧𝑏 𝑑𝑡 +

1 (1−𝑝)

𝜕𝑞𝑏 𝜕𝑥 +

𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑦 = 0

dengan:

𝑧𝑏 = ketinggian dasar sungai 𝑝= porositas

𝑞𝑏 = banyaknya sedimen bed load

2.3 Konsep Volume Hingga

Permasalahan sedimentasi pada pertemuan saluran terbuka harus memenuhi hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum.

Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan [1]:

𝑑

𝑑𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑠 +𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜𝑢𝑡𝑤𝑎𝑟𝑑𝑚𝑎𝑠𝑠𝑓𝑙𝑢𝑥 = 0 (2.1)

dengan:

Massa = 𝜌∀; dengan 𝜌 adalah massa jenis dan ∀ adalah volume, massa flux yang keluar= 𝜌𝑢𝐴; dengan 𝑢 adalah kecepatan dan 𝐴 adalah luas permukaan.

Sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk:

𝑑

(27)

dan menurut teorema pengangkutan Reynolds, persamaan (2.2) dapat dinyatakan dalam bentuk diskrit, seperti persamaan berikut ini:

𝜌𝑢𝐴= 𝜌𝑢𝐴 _𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝑢𝐴 _𝑖𝑛

𝑓𝑎𝑐𝑒

Sedangkan hukum kekekalan momentum untuk suatu volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan [1]:

𝑑

𝑑𝑡 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 +𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜𝑢𝑡𝑤𝑎𝑟𝑑𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚𝑓𝑙𝑢𝑥 =𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒

(2.3)

dengan:

Momentum= 𝜌𝐴𝑢 dimana 𝑢 adalah kecepatan Momentum flux yang keluar= 𝜌𝑢𝐴𝑢

Sehingga persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:

𝑑

𝑑𝑡 𝜌∀𝑢 + 𝑓𝑎𝑐𝑒𝜌𝑢𝐴𝑢=𝐹

Force atau gaya pada aliran fluida terdiri dari dua tipe, yaitu

surface force dan body force. Gaya pokok yang termasuk dalam kategori surface force adalah gaya tekan hidrostatis dan viskositas, sedangkan yang termasuk body force adalah gaya gravitasi, gaya berat, dan gaya gesek [5].

2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit (ADI) 2.4.1 Metode Beda Hingga

(28)

13

biasa digunakan dalam diskritisasi persamaan differensial parsial, yaitu skema maju, skema mundur, dan skema tengah.

a. Skema maju

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢 𝑥𝑖+𝑕 −𝑢 𝑥_𝑖

𝑕

Pada skema maju, informasi pada titik hitung 𝑖 dihubungkan dengan titik hitung 𝑖+ 1 yang berada di depannya.

Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan 𝒉=𝒙𝒊+𝟏− 𝒙𝒊 dan ∆𝒕=𝒕𝒏+𝟏− 𝒕𝒏

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju biasa ditulis sebagai berikut:

Skema maju-ruang:

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢𝑖+1𝑛 −𝑢𝑖𝑛 𝑕 atau

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢𝑖+1𝑛+1−𝑢𝑖𝑛+1 𝑕

Skema maju-waktu:

𝜕𝑢 𝜕𝑡 =

𝑢𝑖+1𝑛+1−𝑢𝑖+1𝑛 ∆𝑡 atau

𝜕𝑢 𝜕𝑡 =

𝑢𝑖𝑛+1−𝑢𝑖𝑛 ∆𝑡

(29)

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢 𝑥𝑖 −𝑢 𝑥𝑖−𝑕 𝑕

Pada skema mundur, informasi pada titik hitung 𝑖 dihubungkan dengan titik hitung 𝑖 −1 yang berada di belakangnya.

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maa skema mundur ditulis sebagai berikut:

Skema mundur-ruang:

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢_𝑖𝑛−𝑢_𝑖−𝑛1 𝑕 atau

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢_𝑖𝑛+1_−𝑢 𝑖−𝑛+11

𝑕

Skema mundur-waktu:

𝜕𝑢 𝜕𝑡 =

𝑢_𝑖−𝑛+11−𝑢𝑖−𝑛1 ∆𝑡 atau

𝜕𝑢 𝜕𝑡 =

𝑢_𝑖𝑛+1_−𝑢 𝑖 𝑛 ∆𝑡

(30)

15

Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢_𝑖𝑛+1+1−𝑢𝑖−𝑛+11

2𝑕 atau

𝜕𝑢 𝜕𝑥 =

𝑢_𝑖𝑛+1−𝑢𝑖−𝑛1

2𝑕

Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua:

𝜕2_𝑢 𝜕𝑥2 =

𝜕 𝜕𝑢_𝜕𝑥

𝜕𝑥 =

𝑢𝑖+1−𝑢𝑖

𝑕 −𝑢𝑖−𝑢𝑖−𝑕 1

𝑕 =

𝑢𝑖+1−2𝑢_𝑖+𝑢_𝑖−1 𝑕2

Untuk 𝑡𝑛,

𝜕2_𝑢 𝜕𝑥2 =

𝑢_𝑖𝑛+1−2𝑢𝑖𝑛+𝑢𝑖−𝑛1 𝑕2

Untuk 𝑡𝑛+1,

𝜕2_𝑢 𝜕𝑥2 =

𝑢_𝑖𝑛+1+1−2𝑢𝑖𝑛+1+𝑢𝑖−𝑛+11 𝑕2

Sedangkan untuk beda hingga skema tengah terhadap waktu

𝜕𝑢 𝜕𝑥 _𝑖−1=

𝑢𝑖−1𝑛+1−𝑢𝑖−1𝑛 ∆𝑡

𝜕𝑢 𝜕𝑥 _𝑖 =

(31)

𝜕𝑢 𝜕𝑥 _𝑖+1=

𝑢𝑖+1𝑛+1−𝑢𝑖+1𝑛 ∆𝑡

2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method

Metode Alternating Direction Implicit (ADI) adalah metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial berbentuk parabolik dan eliptik. Metode ini banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah konduksi panas atau memecahkan permasalahan difusi dalam dua dimensi atau lebih.

Misal diberikan sistem persamaan differensial biasa [2]:

𝑑𝑈

𝑑𝑡 = 𝐴1+𝐴2 𝑈

𝑈 0 =𝑈0

dengan 𝑈 𝑡 adalah vektor berdimensi 𝑁:

𝑈𝑚+1 ₌_𝑈𝑚 ₊∆𝑡

2 𝐴1+𝐴2 𝑈

𝑚+1₊_𝐴

(32)

BAB III

METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Di samping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir. Beberapa tahapan penelitian yang dilakukan adalah:

3.1 Tahapan Penelitian

Guna mencapai tujuan dari penulisan ini, akan dilakukan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Studi literatur

Pada tahap ini dilakukan studi literatur mengenai teori-teori dasar yang mendukung pembahasan masalah pada Tugas Akhir ini dengan mengumpulkan berbagai referensi yang mendukung penelitian ini. Uraian mengenai konsep dasar aliran saluran terbuka, sedimentasi, metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Pembelajaran ini didapat baik melalui buku-buku literatur, Tugas Akhir atau Thesis yang berkaitan dengan permasalahan tersebut, maupun artikel dari internet.

b. Perumusan model sedimentasi

Pada tahap ini dilakukan perumusan model sedimentasi dengan konsep volume hingga dengan menerapkan hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum aliran fluida serta persamaan transportasi (angkutan) sedimen dengan mempertimbangkan batasan masalah dan kendala-kendala yang mempengaruhi.

c. Penyelesaian numerik

(33)

d. Simulasi

Pada tahap ini dilakukan simulasi hasil penyelesaian dengan menggunakan Matlab. Hal ini bertujuan agar hasil penelitian lebih mudah dipahami.

e. Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta penyusunan laporan

Pada tahap ini dilakukan analisa hasil dan kemudian diambil suatu kesimpulan dari analisa yang telah dilakukan serta disusun buku sebagai bahan dokumentasi dari pengerjaan Tugas Akhir.

3.2 Diagram Alir Metode Penelitian

(34)

19

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian Mulai

Studi literatur

Studi mengenai model sungai sinusoidal.

Perumusan model sedimentasi

Perumusan model sedimentasi dengan konsep volume hingga.

Simulasi

Simulasi menggunakan perangkat lunak Matlab.

Selesai Penyelesaian numerik

Penyelesaian menggunakan Alternating Direction Implicit (ADI)

Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta penyusunan laporan

(35)

(36)

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa model untuk proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika aliran sungai dan morfologi sungai.

4.1 Hidrodinamika Aliran Sungai

Profil aliran sungai model sinusoidal dan volume kendali adalah sebagai berikut:

(37)

Gambar 4.2 Volume Kendali

4.1.1 Persamaan Kekekalan Massa

Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan dari isi yang tidak berubah, maka prinsip kekekalan massa untuk sebuah sistem dinyatakan dengan:

𝜕𝑀𝑠𝑦𝑠

𝜕𝑡 = 0 (4.1)

dengan 𝑀𝑠𝑦𝑠 adalah massa sistem, yang lebih umum dinyatakan dengan:

𝑀𝑠𝑦𝑠 = 𝜌𝑑∀_𝑠𝑦𝑠 (4.2)

(38)

23

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠 =𝜕𝑡𝜕 𝜌𝑑∀𝐶𝑉 + 𝜌𝑈𝐶𝑆 .𝑛𝑑𝐴 (4.3)

Integral 𝑈.𝑛 dalam integral laju aliran massa menyatakan perkalian dari komponen kecepatan 𝑈, yang tegak lurus terhadap suatu bagian terkecil permukaan kendali (CS) dan bidang differensial 𝑑𝐴. Jadi, 𝑈.𝑛𝑑𝐴 adalah laju aliran volume melalui

𝑑𝐴 dan 𝜌𝑈.𝑛𝑑𝐴 adalah laju aliran massa melalui 𝑑𝐴.

Untuk tanda perkalian titik, adalah “+” untuk aliran yang keluar dari volume kendali (CV) dan “-“ untuk aliran yang masuk ke dalam volume kendali (CV) karena 𝑛 dianggap positif apabila menunjuk keluar volume kendali (CV). Jika seluruh differensial .𝑛𝑑𝐴 dijumlahkan pada seluruh permukaan kendali (CS), maka diperoleh 𝜌𝑈_𝐶𝑆 .𝑛𝑑𝐴 dan jika hasilnya ditulis dalam bentuk diskrit menjadi laju aliran massa netto melalui permukaan kendali, yaitu:

𝜌𝑈.𝑛𝑑𝐴

𝐶𝑆 = 𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (4.4)

dengan 𝑚 adalah laju aliran massa dengan 𝑚 =𝜌𝑄 =𝜌𝑉𝐴. Dengan mengkombinasikan Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) akan menghasilkan persamaan kekekalan massa dengan volume kendali (CV) yang tetap dan tidak berdeformasi, yaitu:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑑∀𝐶𝑉 + 𝜌𝑈𝐶𝑆 .𝑛𝑑𝐴= 0 (4.5)

dengan _𝜕𝑡𝜕 𝜌𝑑∀_𝐶𝑉 = 𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀ adalah fluks massa aliran yang ada dalam volume kendali. Jika Persamaan (4.5) dijabarkan maka diperoleh:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀ + 𝜌𝑢𝐴 𝑒− 𝜌𝑢𝐴 𝑤+ 𝜌𝑣𝐴 𝑛− 𝜌𝑣𝐴 𝑠+ 𝜌𝑤𝐴 𝑏−

(39)

dengan 𝐴𝑒= permukaan kendali yang keluar sisi timur, 𝐴𝑤=

Jika Persamaan (4.7) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 maka diperoleh:

𝜕𝜌 atau tak mampu mampat, maka Persamaan (4.8) menjadi:

𝜕𝑢

Dengan mengintegralkan Persamaan (4.9) terhadap sumbu z (kedalaman, 𝑕(𝑥,𝑦,𝑡)), maka persamaan tersebut menjadi:

(40)

25

Jika Persamaan (4.14a) dan (4.14b) disubstitusikan ke Persamaan (4.11) maka diperoleh:

(41)

Persamaan (4.15) dapat disederhanakan menjadi:

𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑣 𝜕𝑦 +

𝜕 𝑧𝑕−𝑧0

𝜕𝑡 = 0 (4.16)

Dengan 𝑢=1

𝑕 𝑢𝑑𝑧 𝑧𝑕

𝑧0 , dan 𝑣= 1

𝑕 𝑣𝑑𝑧 𝑧𝑕

𝑧0

Dan karena 𝑧𝑕−𝑧0=𝑕, maka Persamaan (4.16) menjadi:

𝜕𝑕 𝜕𝑡 +

𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦 = 0 (4.17)

Persamaan (4.17) merupakan persamaan kekekalan massa untuk aliran lurus dua dimensi.

Untuk aliran pertemuan sungai maka Persamaan (4.17) menjadi:

𝜕𝑕 𝜕𝑡 +

𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦 =𝑄1+𝑄2 (4.18)

Dengan 𝑄1 adalah debit yang masuk dari sungai utama dan 𝑄2 adalah debit yang masuk dari anak sungai.

4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum

Momentum adalah massa dikalikan dengan kecepatan, maka momentum dari sebuah partikel kecil 𝜌𝑑∀ adalah 𝑈𝜌𝑑∀. Jadi momentum dari seluruh sistem adalah 𝑈𝜌𝑑∀_𝑠𝑦𝑠 , dapat ditulis menjadi:

𝜕

𝜕𝑡 𝑈𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠 = 𝐹𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚

(42)

27

𝜕

𝜕𝑡 𝑈𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠 =𝜕𝑡𝜕 𝑈𝜌𝑑∀𝐶𝑉 + 𝑈𝜌𝑈𝐶𝑠 .𝑛𝑑𝐴

Sehingga persamaan untuk kekekalan momentum dapat ditulis menjadi:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑈𝑑∀𝐶𝑉 + 𝑈𝜌𝑈𝐶𝑠 .𝑛𝑑𝐴= 𝐹𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚

⇔_𝜕𝑡𝜕 𝜌𝑈𝑑∀_𝐶𝑉 + 𝜌𝑈𝐴𝑈_𝑐𝑠 = 𝐹

⇔_𝜕𝑡𝜕 𝜌𝑈∀ + 𝜌𝑈𝐴𝑈_𝑐𝑠 = 𝐹 (4.19)

Persamaan (4.19) kemudian dijabarkan menjadi:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀U + 𝜌𝑢𝐴U 𝑒− 𝜌𝑢𝐴U 𝑤+ 𝜌𝑣𝐴U 𝑛 − 𝜌𝑣𝐴U 𝑠+

𝜌𝑤𝐴U _𝑏− 𝜌𝑤𝐴U _𝑡 = 𝐹_𝑠_𝑥𝐴

𝑒− 𝐹𝑠𝑥𝐴 _𝑤+ 𝐹𝑠𝑦𝐴 _𝑛−

𝐹𝑠𝑦𝐴 _𝑠+ 𝐹𝑏𝑥 +𝐹𝑏𝑦 ∀ (4.20)

Dengan: 𝐹𝑠= surface forces, dan 𝐹𝑏= body forces

Apabila ∀ dan 𝐴 dinyatakan dalam bentuk ∀=∆𝑥∆𝑦∆𝑧, 𝐴_𝑒 =

𝐴𝑤 =∆𝑦∆𝑧, 𝐴𝑛 =𝐴𝑠=∆𝑥∆𝑧, 𝐴𝑏 =𝐴𝑡 =∆𝑥∆𝑦, maka Persamaan (4.20) menjadi:

𝜕

𝜕𝑡 𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝑈 + 𝜌𝑢U 𝑒− 𝜌𝑢U 𝑤 ∆𝑦∆𝑧+ 𝜌𝑣U 𝑛−

𝜌𝑣U _𝑠 ∆𝑥∆𝑧+ 𝜌𝑤U _𝑏− 𝜌𝑤U _𝑡 ∆𝑥∆𝑦= 𝐹_𝑠_𝑥 𝑒−

(43)

Jika Persamaan (4.21) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, maka persamaan terhadap sumbu x dan sumbu y:

a. Terhadap sumbu x Pada sumbu x, U =𝑢

Sehingga Persamaan (4.22) menjadi:

𝜕 mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.23) dapat dinyatakan menjadi:

𝜕𝑢

Dengan mengintegralkan Persamaan (4.24) terhadap sumbu

(44)

29

b. Terhadap sumbu y Pada sumbu y, U =𝑣

Sehingga Persamaan (4.22) menjadi:

𝜕 mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.26) dapat dinyatakan menjadi:

𝜕𝑣

Dengan mengintegralkan Persamaan (4.27) terhadap sumbu

𝑧 (kedalaman, 𝑕(𝑥,𝑦,𝑡)), maka persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y adalah:

𝜕𝑕𝑣

(45)

Diasumsikan gaya-gaya yang bekerja pada pertemuan sungai adalah gaya hidrostatis (𝑃), gaya geser pada pertemuan sungai (𝑆), gaya berat (𝑊), dan gaya gesek dinding sungai 𝐹𝑏1 dan 𝐹𝑏2 serta gaya gesek dasar sungai 𝜏 yaitu:

Gaya hidrostatis: 𝑃=1 2𝛾𝑕

2_𝑏

dengan:

𝛾 = berat jenis air

𝑕 = kedalaman sungai

𝑏 = lebar sungai

Gaya geser pada pertemuan dua sungai:

𝑆=𝐶_𝑓𝜌 𝑉1 2_−𝑉

22 2 𝑕𝐿𝑖

𝜌 = massa jenis air

𝐶𝑓 = koefisien gesek

𝑉12 = kecepatan aliran pada sungai utama

𝑉22= kecepatan aliran pada anak sungai

Gaya berat: 𝑊=𝛾𝐴𝐿_𝑖𝑆_𝑥

Dengan:

𝐴 = luas volume kendali

𝐿𝑖 = panjang domain kendali pertemuan sungai

𝑆𝑥 = kemiringan sungai

Gaya gesek dinding sungai

𝐹𝑏1 =𝜌 𝑈3_𝐶∗ 2

(46)

31

𝐹𝑏2 =𝜌 𝑈3_𝐶∗ 2

𝑏3𝜉+𝑦3 𝐿1

Gaya gesek dasar sungai: 𝜏𝑏 =𝜌𝑔𝑕𝑆𝑥

Karena diasumsikan dinding sungai berkarakteristik halus (smooth), maka diperoleh:

𝐹𝑠=−𝑃_𝐴=− 1 2𝛾𝑕

2_𝑏

𝑕𝑏 =− 1 2𝜌𝑔𝑕

𝐹𝑏𝑙 =

𝜏𝑏

𝑕

𝐹𝑏𝑝 =𝜌

𝑔𝑆𝑥 𝑕+𝐿_𝑖

𝑕 − 𝐶𝑓𝜌 𝑉12−𝑉22

2𝐴 𝑕𝐿𝑖

Dengan

𝐹𝑏𝑙 = body force pada sungai utama 𝐹𝑏𝑝 = body force pada pertemuan sungai 𝐶∗_{= koefisien Chezy}

𝑈3 = kecepatan pada pertemuan sungai

𝑦3 = kedalaman pada pertemuan sungai

𝑏3 = lebar sungai

𝜉 = rasio debit sungai utama dengan debit pertemuan sungai

𝐿 = panjang domain kendali sungai utama

𝐿1 = panjang domain kendali anak sungai

𝐿𝑖 = panjang domain kendali pertemuan sungai

(47)

𝜕𝑕𝑢 Dan Persamaan (4.28) menjadi:

𝜕𝑕𝑣 Dari (4.29) persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x pada pertemuan sungai adalah:

𝜕𝑕𝑢

Dari (4.30) persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y pada pertemuan sungai adalah:

𝜕𝑕𝑣

Setelah didapat persamaan kekekalan massa dan momentum terhadap sumbu x dan sumbu y untuk aliran lurus dua dimensi, kemudian diubah menjadi aliran sinusoidal. Untuk sungai utama dengan arah aliran ke arah sumbu (-y) (Gambar 4.3) dan anak sungai dengan arah aliran ke arah sumbu (+y) (Gambar 4.4), sehingga dapat digunakan persamaan:

𝑥= sin𝑦 → 𝜕𝑥

𝜕𝑦 = cos𝑦 (4.33)

(48)

33

Gambar 4.3 Sungai Utama

Gambar 4.4 Anak Sungai

Kemudian Persamaan (4.33) disubstitusikan ke dalam Persamaan kekekalan massa (4.17) dan Persamaan kekekalan momentum (4.29) dan (4.30), sehingga governing equation yang diperoleh untuk sungai utama dan anak sungai adalah:

(49)

𝜕𝑕 𝜕𝑡 +

𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑥 cos𝑦 = 0 (4.34)

2. Persamaan kekekalan momentum a. Terhadap sumbu x

𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑡 +

𝜕𝑕𝑢2 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥 cos𝑦=− 1 2𝑔

𝜕𝑕2 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕2

𝜕𝑥 cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥+𝑆𝑦 (4.35)

b. Terhadap sumbu y

𝜕𝑕𝑣 𝜕𝑡 +

𝜕𝑕𝑢𝑣 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑥 cos𝑦=− 1 2𝑔

𝜕𝑕2 𝜕𝑥 +

𝜕𝑕2

𝜕𝑥 cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥+𝑆𝑦 (4.36)

Untuk pertemuan sungai, arah aliran ke arah sumbu (x), sehingga dapat digunakan persamaan:

𝑦= sin𝑥 →𝜕𝑦

𝜕𝑥 = cos𝑥 (4.37)

Dengan 0≤ 𝑥 ≤2𝜋

Gambar 4.5 Pertemuan Sungai

(50)

35

momentum (4.31) dan (4.32) untuk aliran lurus pada pertemuan sungai, sehingga governing equation yang diperoleh untuk pertemuan sungai adalah:

1. Persamaan kekekalan massa

𝜕𝑕

2. Persamaan kekekalan momentum a. Terhadap sumbu x

𝜕𝑕𝑢

b. Terhadap sumbu y

𝜕𝑕𝑣

4.2 Morfologi Sungai

Persamaan kekekalan massa sedimen:

Governing equation untuk sungai utama dan anak sungai:

𝜕𝑧𝑏

Governing equation untuk pertemuan sungai:

(51)

Untuk menghitung banyaknya transportasi sedimen bed load menggunakan rumus Meyer-Peter & Muller [3]:

𝑞𝑏=𝑐𝑚 (𝑠 −1)𝑔 0.5𝑑501.5 𝜇𝜃 − 𝜃𝑎 1.5

dengan:

𝜃= 𝜏𝑏

𝜌𝑏−𝜌 𝑔𝑑50

𝜏𝑏=𝜌2

0.06

𝑙𝑜𝑔 12𝑕 2.5𝑑50

2 𝑈2

𝑠=𝜌𝑠 𝜌

𝑞𝑏= banyaknya sedimen tipe bed load

𝑐𝑚 = 8.0 koefisien Chezy

𝜇= 1.0

𝜌𝑠= massa jenis sedimen

𝜌= massa jenis air

𝑔= percepatan gravitasi

𝑑50 = rata-rata diameter sedimen

𝜃𝑎 = 0.047

𝑈= kcepatan aliran sungai

𝑕= kedalaman sungai

4.3 Diskritisasi Model Dua Dimensi

(52)

37

Gambar 4.6 Pola Diskritisasi untuk 𝒖,𝒗, dan 𝒉

4.3.1 Persamaan Kekekalan Massa Sungai Utama

Berikut adalah persamaan kekekalan massa pada Persamaan (4.34):

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi:

𝜕𝑕

Dengan menggunakan metode beda hingga didapat:

𝑕_𝑖𝑛,𝑗+1−𝑕𝑖𝑛,𝑗

Persamaan (4.43) dapat diatur menjadi:

1

(53)

𝐴𝑖𝑕𝑖𝑛,𝑗+1+𝐵𝑖𝑕𝑛𝑖+1,+1𝑗 +𝐶𝑖𝑕𝑖−𝑛+11,𝑗 =𝐷𝑖 (4.45)

Persamaan (4.45) menghasilkan sistem persamaan linear (SPL) tri-diagonal. Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

𝐴1

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑕_1,𝑛+1_𝑗 sampai dengan

𝑕𝑘𝑛,+1𝑗 .

4.3.2 Persamaan Kekekalan Momentum Sungai Utama

a. Terhadap Sumbu x

Berikut adalah persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x pada Persamaan (4.35):

(54)

39

𝑕𝜕𝑢_𝜕𝑡 +𝑢𝜕𝑕

𝑕_𝑖𝑛,𝑗

(55)

𝐴𝑖𝑢𝑖𝑛,𝑗+1+𝐵𝑖𝑢𝑛𝑖+1,+1𝑗 +𝐶𝑖𝑢𝑖−𝑛+11,𝑗 =𝐷𝑖 (4.48)

Persamaan (4.48) menghasilkan sistem persamaan linier (SPL) tridiagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

(56)

41

b. Terhadap sumbu y

Berikut adalah persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y pada Persamaan (4.36):

𝜕𝑕𝑣

𝑣𝜕𝑕_𝜕𝑡 +𝑕𝜕𝑣

𝑣𝑖𝑛,𝑗

(57)

𝑕𝑖𝑛,𝑗

𝐴𝑖𝑣𝑖𝑛,𝑗+1+𝐵𝑖𝑣𝑖𝑛+1,+1𝑗 +𝐶𝑖𝑣𝑖−𝑛+11,𝑗 =𝐷𝑖 (4.51)

(58)

43

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑣_1,𝑛_𝑗+1 sampai dengan 𝑣_𝑘𝑛_,+1_𝑗 .

4.3.1.3 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Sungai Utama Berikut adalah persamaan kekekalan massa sedimen pada Persamaan (4.41):

𝑧_{𝑏 𝑖}𝑛_,_𝑗+1_−𝑧

1

𝐴𝑖𝑧_{𝑏 𝑖}𝑛,𝑗 +1 ₌_𝐵

𝑖 (4.54)

(59)

𝐴𝑖 = _∆𝑡1 ,

Persamaan (4.54) menghasilkan sistem persamaan linear (SPL) tri-diagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑧_𝑏_1,𝑛+1_𝑗 sampai dengan 𝑧_{𝑏 𝑘}𝑛_,+1_𝑗 .

4.3.4 Persamaan Kekekalan Massa Pertemuan Sungai

Berikut ini adalah persamaan kekekalan massa pada Persamaan (4.38):

(60)

45

𝑕_𝑖𝑛,𝑗+1−𝑕𝑖𝑛,𝑗

1

𝐴𝑗𝑕𝑖𝑛,𝑗+1+𝐵𝑗𝑕𝑖𝑛,𝑗+1+1+𝐶𝑗𝑕𝑛𝑖,𝑗 −+11=𝐷𝑗 (4.57)

(61)

𝐴1

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑕_𝑖𝑛_,1+1 sampai dengan 𝑕_𝑖𝑛_,_𝑘+1.

4.3.5 Persamaan Kekekalan Momentum Pertemuan Sungai

a. Terhadap Sumbu x

Berikut ini adalah persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x pada Persamaan (4.39):

𝜕𝑕𝑢

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi: 𝑕𝜕𝑢_𝜕𝑡 +𝑢𝜕𝑕

(62)

47

𝑕𝑖𝑛,𝑗

(63)

𝐶𝑗 = −

Persamaan (4.60) menghasilkan sistem persamaan linier (SPL) tridiagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑢_𝑖𝑛_,1+1 sampai dengan 𝑢_𝑖𝑛_,_𝑘+1.

b. Terhadap Sumbu y

(64)

49

𝑣𝜕𝑕_𝜕𝑡 +𝑕𝜕𝑣

𝑣𝑖𝑛,𝑗

(65)

cos𝑥 𝑕_𝑖𝑛_,_𝑗 𝑕𝑖,𝑗+1

𝐴𝑗𝑣𝑖𝑛,𝑗+1+𝐵𝑗𝑣𝑖𝑛,𝑗+1+1+𝐶𝑗𝑣𝑖𝑛,𝑗−+11=𝐷𝑗 (4.63)

(66)

51

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑣_𝑖𝑛_,1+1 sampai dengan 𝑣_𝑖𝑛_,_𝑘+1.

4.3.6 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Pertemuan Sungai

Berikut ini adalah persamaan kekekalan massa sedimen pada Persamaan (4.42):

𝜕𝑧𝑏

𝑧_{𝑏 𝑖}𝑛,𝑗+1−𝑧𝑏 𝑖𝑛,𝑗

1

(67)

dengan:

Persamaan (4.66) menghasilkan sistem persamaan linier (SPL) tri-diagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan menggunakan software Matlab untuk mencari nilai 𝑧_{𝑏 𝑖}𝑛_,1+1 sampai dengan 𝑧_{𝑏 𝑖}𝑛_,_𝑘+1

4.4 Proses Simulasi

Berikut ini ditampilkan beberapa hasil output program dengan ketentuan:

4.4.1 Simulasi I

(68)

53

Kecepatan awal sungai utama v= 0.2 𝑚/𝑠

Kecepatan awal anak sungai va= 0.1 𝑚/𝑠

Ketinggian awal sedimen zb= 0.01 𝑚

Waktu T= 5 𝑠

Debit sungai utama Q1= 10 𝑚3/𝑠

Debit anak sungai Q2= 10 𝑚3/𝑠

Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi I untuk kedalaman sungai, kecepatan aliran dan ketinggian sedimen sebagai berikut:

Gambar 4.7 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

4.5 5 5.5 6

Waktu

K

e

d

a

la

m

a

n

S

u

n

g

a

i

(69)

Gambar 4.8 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I

Gambar 4.9 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I

Dari simulasi I terlihat bahwa kedalaman sungai mengalami penurunan sebesar 0.9425, untuk kecepatan aliran mengalami

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Kecepatan sungai utama, anak sungai dan pertemuan sungai Sungai utama

(70)

55

penurunan sebesar 0.08401 dan untuk ketinggian sedimen mengalami peningkatan sebesar 0.0110.

4.4.2 Simulasi II

Kedalaman awal h= 6.00 𝑚

Waktu T= 5 𝑠

Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi II untuk kedalaman sungai, kecepatan aliran dan ketinggian sedimen sebagai berikut:

Gambar 4.10 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

4.5 5 5.5 6

Waktu

K

e

d

a

la

m

a

n

S

u

n

g

a

i

(71)

Gambar 4.11 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II

Gambar 4.12 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II

Dari simulasi II terlihat bahwa kedalaman sungai mengalami penurunan sebesar 0.9430, untuk kecepatan aliran

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(72)

57

mengalami penurunan sebesar 0.08403 dan untuk ketinggian sedimen mengalami peningkatan sebesar 0.0130.

4.4.3 Simulasi III

Waktu T= 5 𝑠

Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi III untuk kedalaman sungai, kecepatan aliran dan ketinggian sedimen sebagai berikut:

Gambar 4.13 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

4.5 5 5.5 6

Waktu

K

e

d

a

la

m

a

n

S

u

n

g

a

i

(73)

Gambar 4.14 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III

Gambar 4.15 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(74)

59

Dari simulasi III terlihat bahwa kedalaman sungai mengalami penurunan sebesar 0.9435, untuk kecepatan aliran mengalami penurunan sebesar 0.08404 dan untuk ketinggian sedimen mengalami peningkatan sebesar 0.0300.

4.4.4 Simulasi IV

Waktu T= 5 𝑠

Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi IV untuk kedalaman sungai, kecepatan aliran dan ketinggian sedimen sebagai berikut:

Gambar 4.16 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

4.5 5 5.5 6

Waktu

K

e

d

a

la

m

a

n

S

u

n

g

a

i

(75)

Gambar 4.17 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

Gambar 4.18 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

(76)

61

(77)

(78)

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan dari analisa dan pembahasan yang telah dilakukan. Selain itu, diberikan pula saran yang dapat dilakukan sebagai kelanjutan atau pengembangan dari Tugas Akhir ini.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisa yang telah dilakukan:

1. Didapatkan model sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal.

2. Dari hasil simulasi I dan II dengan debit sungai utama sebesar 10 𝑚3/𝑠 pada simulasi I dan debit sungai utama sebesar 15 𝑚3/𝑠 pada simulasi II sedangkan untuk besarnya debit anak sungai sama besar yaitu 10 𝑚3_/_𝑠_{diperoleh hasil bahwa untuk simulasi I terjadi}

penurunan kedalaman sungai sebesar 0.9425, penurunan kecepatan aliran sungai sebesar 0.08401 dan untuk ketinggian sedimen mengalami kenaikan sebesar 0.0110, sedangkan untuk simulasi II terjadi penurunan kedalaman sungai sebesar 0.9430, penurunan kecepatan aliran sungai sebesar 0.08403 dan untuk ketinggian sedimen mengalami kenaikan sebesar 0.0130.

(79)

sebesar 0.94400, penurunan kecepatan aliran sungai sebesar 0.08405 dan untuk ketinggian sedimen mengalami kenaikan sebesar 0.0500.

4. Dari simulasi I, II, III dan IV terlihat bahwa besarnya debit yang masuk dari sungai utama dan anak sungai relatif kurang berpengaruh terhadap rata-rata perubahan kedalaman sungai, kecepatan aliran sungai dan ketinggian sedimen.

5.2 Saran

Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut: 1. Pada Tugas Akhir ini, model aliran sinusoidal yang

dibangun dalam bentuk 2 dimensi, akan lebih baik jika dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai model sedimentasi dalam 3 dimensi.

(80)

DAFTAR PUSTAKA

[1] Apsley, D. 2013. Computational Fluid Dynamic. Springer. New York

[2] Faisol. 2012. Thesis Pengaruh Hidrodinamika pada Penyebaran Polutan di Sungai. Surabaya : Matematika FMIPA-ITS.

[3] Liu, Z. 2001. Sediment Transport. Laboratoriet for Hydraulik og Havnebygning Instituttet for Vand Manual. Jord og Miljoteknik Aalborg Universitet.

[4] Ottovanger, W. 2005. Discontinuous Finite Element Modeling of River Hydraulics and Morphology with Application to the Parana River. University oo Twente : Department of Applied Mathematics.

[5] Priangga, F.E. 2012. Profil Kontur Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Model Sinusoidal. Surabaya : Matematika FMIPA-ITS.

[6] Purwadi, PK. 2001. Metode ADI dalam Penyelesaian Persoalan Perpindahan Panas Konduksi Benda Padat Dimensi Keadaan Tak Tunak. SIGMA, Vol. 4 No.1.

[7] Rizky, A. 2013. Proses Terjadinya Sedimentasi. http://adityaaaaaarizky.blogspot.com/. Diakses pada 03 maret 2014.

(81)

[9] Sholikin, M. 2012. Tugas Akhir Kajian Karakteristik Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent. Surabaya : Matematika FMIPA-ITS.

[10] Widodo, B. 2012. Pemodelan Matematika. Itspress. Hal. 91-152. Surabaya : Matematika FMIPA-ITS.

(82)

BIODATA PENULIS

Penulis lahir di Gresik, 22 Oktober 1992. Setelah menyelesaikan studinya di MI Hidayatul Ulum Kisik, penulis melanjutkan pendidikannya di MTs Assaadah Bungah dan SMA Assaadah Bungah. Melalui jalur Bidik Misi, penulis diterima di jurusan S1 Matematika FMIPA ITS pada tahun 2010 dengan NRP 1210 100 039 dan memilih Simulasi dan Pemodelan Sistem sebagai bidang keahliannya.

Semasa kuliah penulis aktif di beberapa organisasi kemahasiswaan, diantaranya aktif sebagai staff Kesejahteraan Mahasiswa (KESMA) Himatika ITS, staff Hubungan Masyarakat dan Sosial Masyarakat Swayanaka Mahasiswa-Cabang Surabaya.