Laporan Praktikum 14 Metode
Komputasi Matematika (Latihan Bab 3
dari Buku J. Leon Aljabar Linear)
Program Scilab
Syarif Abdullah (G551150381)
∗†Matematika Terapan Departemen Matematika FMIPA IPB e-mail: syarif [email protected] & [email protected]
17 Januari 2016
Deskripsi: Mengambil 1 soal latihan MATLAB Bab 3 dari buku J. Leon Aljabar Linear, tuliskan dengan LaTex dan modifikasi menjadi soal untuk diker-jakan dalamScilab. Soal yang harus dikerjakan: 2 digit terakhir NRP (modulo jumlah soal di Latihan(4))= soal no. 1.
1. (Perubahan basis). Tetapkan
U =round(20∗rand(4,4))−10,V =round(10∗rand(4,4)) dan
b=ones(4,1).
(a) Kita dapat menggunakan fungsi Scilabrankuntuk menentukan apakah vektor-vektor kolom dari suatu matriks bebas linear atau tidak. Harus berapakah rank-nya jika vektor-vektor kolom dari U bebas linear? Hitunlah rankdari U dan buktikan bahwa vektor-vektor kolomnya bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untukR4.
Hi-tunglah rank dari V dan buktikan bahwa vektor-vektor kolomnya juga membentuk basis untukR4.
(b) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis terurut E = [u1,u2,u3,u4]. [Perlihatkan bahwa
dalam Scilab notasi untuk vektor kolom ke-jyaituuj adalahU(:, j)]
Gunakan matriks transisi ini untuk menghitung vektor koordinat c
daribrelatif terhadapE. Buktikan bahwa
b=c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=Uc
(c) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisi dari basis baku ke basis F = [v1,v2,v3,v4] dan gunakan matriks transisi ini untuk
mencari vektor koordinat d dari b relatif terhadap F. Buktikan bahwa
∗http ://syarif abdullah.student.ipb.ac.id/ †File dibuat dengan LYX Program
b=d1v1+d2v2+d3v3+d4v4=Vd.
(d) Gunakan Scilab untuk menghitung matriks transisiS dariE danF
dan matriks transisi T dari F ke E. Bagaimanakah relasi antara S
danT? Buktikan bahwaSc=ddanTd=c.
Jawab:
+ Pertatama dengan menggunakan program Scilab kia definisikan ma-triksU,V dan vektorbdengan perintah sebagai berikut:
−−> U =round(20∗rand(4,4))−10 U = 5. −5. 6. 4. 9. −1. −5. 5. −6. 8. −2. −3. 2. 6. −3. 5. −−> V =round(10∗rand(4,4)) V = 5. 0. 7. 8. 1. 8. 2. 1. 10. 1. 5. 8. 2. 10. 8. 3. −−> b=ones(4,1) b= 1. 1. 1. 1.
Karena matriks U memiliki jumlah kolom 4, maka untuk menunjukkan bahwaU mempunyai kolom-kolom yang bebeas linear haruslah matriksU
memiliki rank = 4. Berikut adalah perintah pada Scilab untuk menun-jukkan bahwa matriksU memiliki kolom-kolom bebas linear.
−−> rankU =rank(U)
rankU = 4.
Dapatpula kita gunakan pencarian matriks U mempunyai kolom-kolom yang bebas linear dengan menggunakan perintah det(U) di mana untuk mencari determinant dari matriksU.
−−> determinantU=det(U)
determinantU = 1072.
Karena matriksU memilikideterminan6= 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor kolom matriks U bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untuk R4.
Karena matriks V memiliki jumlah kolom 4, maka untuk menunjukkan bahwaV mempunyai kolom-kolom yang bebeas linear haruslah matriksV
memiliki rank = 4. Berikut adalah perintah pada Scilab untuk menun-jukkan bahwa matriksV memiliki kolom-kolom bebas linear.
−−> rankV =rank(V)
rankV = 4.
Dapatpula kita gunakan pencarian matriks V mempunyai kolom-kolom yang bebas linear dengan menggunakan perintah det(V) di mana untuk mencari determinant dari matriksV.
−−> determinantV =det(V)
determinantV = 1211.
Karena matriksV memilikideterminan6= 0, sehingga dapat disimpulkan bahwa vektor-vektor kolom matriks U bebas linear dan dengan demikian membentuk basis untukR4.
+ Misalkan diberikan basis baku untukR4yaitu{e
1,e2,e3,e4}sebagai berikut, −−>e1 = [1; 0; 0; 0],e2 = [0; 1; 0; 0],e3 = [0; 0; 1; 0],e4 = [0; 0; 0; 1] e1 = e2 = e3 = e4 = 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1.
dan diberikan matriksE = [u1,u2,u3,u4], di mana didapatkan dari vektor
kolom ke-jyaitu denganujadalahU(:, j). Dengan perintah pada program
Scilab adalah sebagai berikut:
-−>u1 =U(:,1),u2 =U(:,2),u3 =U(:,3),u4 =U(:,4) u1 = u2 = u3 = u4 = 5. 9. −6. −1. −5. −1. 8. 6. 6. −5. −2. −3. 4. 5. −3. 5.
Sehingga dibentuk matriksE sebagai berikut:
−−> E= u1 u2 u3 u4 E= 5. −5. 6. 4. 9. −1. −5. 5. −6. 8. −2. −3. 2. 6. −3. 5.
Uutuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis
terurut E = [u1,u2,u3,u4] maka cukup digunakan inverse dari matriks
U. Sehingga didapatkan dengan menggunakan Scilab sebagai berikut:
−−> inv(U)
0.2322761 0.2807836 0.3656716 −0.2472015 0.1688433 0.1277985 0.3059701 −0.0792910 0.2220149 0.0354478 0.2089552 −0.0876866
−0.1623134 −0.2444030 −0.3880597 0.3414179
Sehingga untuk menghitung vektor koordinatcdaribrelatif terhadapE
kita dapatkan sebagai hasil perkalian antara inverse matriksU dan vektor
bsebagai berikut: −−>c=inv(U)∗b c= 0.6315299 0.5233209 0.3787313 −0.4533582
Maka didapatkan suatu kombinasi linear dari hasil perkalian entri-entri dari vektorcdengan vektoruj sebagai berikut,
−−> c(1)∗u1 +c(2)∗u2 +c(3)∗u3 +c(4)∗u4 ans= 1. 1. 1. 1.
Dari hasil perhitungan kombinasi linear di atas didapatkan hasil yang sama dengan vektorb. Begitu pula untuk perhitunganU∗c,
−−> U∗c ans= 1. 1. 1. 1.
Sehingga terbukti bahwa berlaku persamaan
b=c1u1+c2u2+c3u3+c4u4=Uc.
+ Misalkan diberikan basis baku untukR4yaitu{e1,e2,e3,e4}sebagai berikut,
−−>e1 = [1; 0; 0; 0],e2 = [0; 1; 0; 0],e3 = [0; 0; 1; 0],e4 = [0; 0; 0; 1] e1 = e2 = e3 = e4 = 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1.
dan diberikan matriksF = [v1,v2,v3,v4], di mana didapatkan dari vektor
kolom ke-jyaitu denganvjadalahV(:, j). Dengan perintah pada program
Scilab adalah sebagai berikut:
v1 = v2 = v3 = v4 = 5. 1. 10. 2. 0. 8. 1. 10. 7. 2. 5. 8. 8. 1. 8. 3.
Sehingga dibentuk matriksF sebagai berikut:
−−> F = v1 v2 v3 v4 F = 5. 0. 7. 8. 1. 8. 2. 1. 10. 1. 5. 8. 2. 10. 8. 3.
Uutuk menghitung matriks transisi dari basis baku untuk R4 ke basis
terurut F = [v1,v2,v3,v4] maka cukup digunakan inversedari matriks
V. Sehingga didapatkan dengan menggunakan Scilab sebagai berikut:
−−> inv(V) ans= −0.2312139 −0.1676301 0.2097440 0.1131296 0.0057803 0.1791908 −0.0123865 −0.0421140 −0.0751445 −0.3294798 0.0181668 0.2617671 0.3352601 0.3930636 −0.1469860 −0.2997523
Sehingga untuk menghitung vektor koordinat d dari b relatif terhadap
F kita dapatkan sebagai hasil perkalian antara inverse matriks V dan vektorbsebagai berikut:
−−>d=inv(V)∗b d= −0.0759703 0.1304707 −0.1246903 0.2815855
Maka didapatkan suatu kombinasi linear dari hasil perkalian entri-entri dari vektorddengan vektorvj sebagai berikut,
−−> d(1)∗v1 +d(2)∗v2 +d(3)∗v3 +d(4)∗v4 ans= 1. 1. 1. 1.
Dari hasil perhitungan kombinasi linear di atas didapatkan hasil yang sama dengan vektorb. Begitu pula untuk perhitunganV ∗d,
−−> V ∗d ans= 1. 1. 1. 1.
Sehingga terbukti bahwa berlaku persamaan
b=d1v1+d2v2+d3v3+d4v4=Vd.
+ Berikut akan digunakan program Scilab untuk menghitung matriks tran-sisiS dariE danF dan matriks transisiT dariF keE.
Untuk menghitung matriks transisi S dariE danF dapat dihitung dari hasil perkalian matriks antara inversematriksF dan matriksE sebagai berikut, −−> S=inv(F)∗E S = −3.6969447 3.6804294 −1.3080099 −1.8265896 1.6317093 −0.5598679 −0.7101569 0.7456647 −2.926507 2.4211396 0.3748968 −0.6936416 5.4962841 −5.0437655 1.2394715 2.2485549
Untuk menghitung matriks transisi T dariF danE dapat dihitung dari hasil perkalian matriks antara inversematriksE dan matriksF sebagai berikut, −−> T =inv(E)∗F T = 4.6044776 0.1399254 2.0382463 4.3227612 3.8731343 0.5354478 2.3330224 3.6884328 3.0597015 −0.3843284 1.9682836 3.2201493 −4.2537313 1.0708955 −0.8339552 −3.6231343
Adapun untuk menunjukkan hubungan antara matriks transisi S dan T
adalah sebagai berikut,
−−> inv(S) ans= 4.6044776 0.1399254 2.0382463 4.3227612 3.8731343 0.5354478 2.3330224 3.6884328 3.0597015 −0.3843284 1.9682836 3.2201493 −4.2537313 1.0708955 −0.8339552 −3.6231343 , dan −−> inv(T) ans= −3.6969447 3.6804294 −1.3080099 −1.8265896 1.6317093 −0.5598679 −0.7101569 0.7456647 −2.926507 2.4211396 0.3748968 −0.6936416 5.4962841 −5.0437655 1.2394715 2.2485549 −−> S∗T ans= 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1.
Sehingga didapatkan hubungan bahwainversedari matriksSadalah ma-triks T, begitu pula inverse dari matriks T adalah mariks S, sehingga didapatkan notasiS−1=T danT−1=SatauS∗T =I di mana matriks
I adalah matriks identitas padaR4.
Selanjutnya akan dicari hubungan antara perkalian matriks transisiSdan vektor koordinat cdengan vektor koordinatd, begitupula hubungan an-tara perkalian matriks transisi T dan vektor koordinatd dengan vektor koordinatc. −−> S∗c ans= −0.0759703 0.1304707 −0.1246903 0.2815855 −−> T ∗d ans= 0.6315299 0.5233209 0.3787313 −0.4533582
dari perhitungan di atas didapatkan hasil bahwa perkalian matriks tran-sisiSdan vektor koordinatcmenghasilkan vektor koordinatd, begitupula hasil perkalian antara matriks transisi T dan vektor koordinat d meng-hasilkan vektor koordinatc. Sehingga terbukti bahwaSc=ddanTd=c. Sekian Pembahasan kali ini. Kurang lebihnya mohon maaf. Semoga berman-faat. Amin.
Profile:
Nama : Syarif Abdullah
Tmpt/Tgl Lahir : Gresik, 26 Januari 1986 Alamat : Leran Manyar Gresik Jawa Timur NRP : G551150381
Jurusan : Matematika Terapan Departement : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas : Institut Pertanian Bogor
Hobby : Baca buku dan utek-utek soal E-mail : syarif [email protected]
