УДК515.12
О ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПОЛНОТЕ ПРОСТРАНСТВА СЛАБО АДДИТИВНЫХ σ-ГЛАДКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Р. Е. Жиемуратов, А. А. Заитов
В работе устанавливается, что пространство σ-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок,
нормированных функционалов является вещественно полным.
Ключевые слова:функтор, слабо аддитивный, сохраняющий порядок, функционал, вещественная полнота.
Систематическое исследование пространств вероятностных τ-гладких и радоновых мер на тихоновских пространствах было начато в работе [1]. Пространство слабо ад-дитивных функционалов является более широким объектом, чем пространство вероят-ностных мер. Пространства слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормированных τ-гладких и радоновых функционалов впервые рассматривались в [2]. Наши интересы в настоящей работе затрагивает, в основном, вещественная полнота пространств слабо ад-дитивных, сохраняющих порядок, нормированных функционалов. Это связано с тем, что вещественно полные пространства обладают многими свойствами, которыми обладают компакты (≡бикомпактные хаусдорфовы пространства).
Начало исследований ковариантных нормальных функторов, действующих на катего-рииCompкомпактов, и их непрерывных отображений и на других различных категори-ях, восходит к фундаментальной работе [3] Е. В. Щепина, где он выделил ряд элементар-ных свойств ковариантэлементар-ных функторов в категории компактов и ввел понятие нормально-го функтора. Т. Н. Радул показал, что введенный им в [4] функторO : Comp→Compне удовлетворяет некоторым условиям нормальности. ФункторOможно продолжить на ка-тегориюT ychтихоновских пространств и их непрерывных отображений по конструкции А. Ч. Чигогидзе [5] до функтораOβ :T ych→T ychили до функтораO◦β: T ych→Comp аналогично конструкции В. В. Федорчука [6], рассмотренной для функтора P вероят-ностных мер, где было отмечено, что функтор P ◦β : T ych → Comp, ставящий в со-ответствии тихоновскому пространству X компакт P(βX), тоже продолжает функтор P : Comp → Comp, где через βX обозначено компактное расширение Стоуна — Чеха тихоновского пространстваX.
Пространство Oβ(X) слабо аддитивных функционалов с компактными носителями, рассмотренное в [7], слишком узко, а пространство O(βX) = O ◦β(X) всех слабо ад-дитивных функционалов, категорные свойства которого были изучены в [8], слишком широко, и в результате функторO◦β: T ych→Compне сохраняет многих специфиче-ских свойств пространстваX, переводя тихоновское пространство X в компакт O(βX). Поэтому естественно рассматривать пространства функционалов, заключенных меж-ду пространствами Oβ(X) и O(βX). В связи с этим в [9] были изучены простран-ства OR(X) слабо аддитивных радоновых функционалов и Oτ(X) слабо аддитивных
c
τ-гладких функционалов. Но эти пространства не всегда являются вещественно полны-ми. Естественно возникает вопрос о том, какая часть компакта O(βX) является веще-ственно полной для всякого тихоновского пространстваX. В настоящей работе покажем, что пространствоOσ(X)σ-гладких слабо аддитивных, сохраняющих порядок, нормиро-ванных функционалов является вещественно полным.
ПустьX — компакт,C(X) — алгебра непрерывных функцийϕ: X→Rс обычными алгебраическими операциями и sup-нормой. Для каждого c ∈ R через cX обозначим постоянную функцию, определяемую по формуле cX(x) = c для всех x ∈ X. Пусть ϕ, ψ∈C(X). Мы говорим, чтоϕ6ψ тогда и только тогда, когда ϕ(x)6ψ(x) для всех x∈X.
Функционалµ: C(X)→R называется [4]:
1) слабо аддитивным, еслиµ(ϕ+cX) =µ(ϕ) +c для любыхϕ∈C(X) иc∈R; 2) сохраняющим порядок, если для любой пары функций ϕ, ψ ∈ C(X) неравенство ϕ6ψ влечетµ(ϕ)6µ(ψ);
3) нормированным, если µ(1X) = 1.
Для компактаX черезO(X) обозначается пространство всех слабо аддитивных, со-храняющих порядок, нормированных функционалов µ : C(X) → R. Множество функ-ционалов, удовлетворяющих первым двум условиям этого определения, обозначим через W(X). В протяжении этой работы слабо аддитивный, сохраняющий порядок, нормиро-ванный функционал для краткости просто будем называть функционалом. Множество W(X) снабжается топологией поточечной сходимости. Рассмотрим O(X) как подпро-странствоW(X).
Пусть X — тихоновское пространство, Cb(X) — алгебра ограниченных непрерыв-ных функций ϕ : X → R с поточечными алгебраическими операциями. Для функции ϕ ∈ Cb(X) положим kϕk = sup{|ϕ(x)| : x ∈ X}. Cb(X) с введенной нормой является банаховой алгеброй. Для каждой ϕ ∈ Cb(X), сопоставив ее непрерывное продолжение
e
ϕ∈C(βX),получим изоморфизм между алгебрамиCb(X)иC(βX),причем имеет место
kϕek=kϕk,поэтому указанный изоморфизм является изометрией соответствующих нор-мированных алгебр. Тем самым их топологические свойства совпадают. Поэтому всякую функцию изCb(X)можно считать элементом C(βX).
Будем говорить, что последовательность {ϕn} ⊂ Cb(X) естьмонотонно убывающая
последовательность, поточечно сходящейся к нулю наX, если для каждой точкиx∈X имеемϕn(x)>ϕm(x) приn6mи limϕn(x) = 0.
Определение 1. Функционал µ∈ W(βX) назовем σ-гладким, если µ(ϕn) → 0 для любой монотонно убывающей последовательности{ϕn} ⊂Cb(X), поточечно сходящейся к нулю наX.
Для тихоновского пространстваXчерезWσ(X)обозначим множество всехσ-гладких функционаловµ∈W(βX). Положим
Oσ(X) ={µ∈Wσ(X) : µ(1X) = 1}.
Очевидно, что имеют место следующие включения
Oβ(X)⊂OR(X)⊂Oτ(X)⊂Oσ(X)⊂O(βX)
для любого тихоновского пространстваX, и равенства
Oβ(X) =OR(X) =Oτ(X) =Oσ(X) =O(βX)
Наделим множество Oσ(X) топологией поточечной сходимости. Базу окрестностей функционалаµ∈Oσ(X) в этой топологии образуют множества вида
hµ;ϕ1, . . . , ϕk;εi={ν ∈O(βX) : |ν(ϕi)−µ(ϕi)|< ε} ∩Oσ(X),
гдеϕi ∈Cb(X), i= 1, . . . , k иε >0.
Покажем, что конструкция взятия пространства Oσ(X) порождает ковариантный функтор Oσ, действующий на категории T ych. Для этой цели рассмотрим компакты X, Y ∈ Comp и непрерывное отображение f : X → Y. Определим отображение O(f) : O(X)→O(Y) по формуле
(O(f)(µ))(ϕ) =µ(ϕ◦f), µ∈O(X), ϕ∈Cb(Y).
Пусть теперьX, Y ∈T ychиf : X→Y — непрерывное отображение. Рассмотрим его продолжениеβf : βX →βY,существующее согласно теореме 3.6.1 [10, с. 266]. Возникает отображение O(βf) : O(βX) →O(βY). Пусть µ∈Oσ(X) и {ψn} ⊂ Cb(Y) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на Y. Тогда {ψn◦f} ⊂
Cb(X) — монотонно убывающая последовательность, поточечно сходящаяся к нулю на X. Имеем
O(βf)(µ)(ψn) =µ³ψen◦βf ´
=µ(ψn◦f)−→0,
т. е. O(βf)(Oσ(X))⊂Oσ(Y).Положим Oσ(f) =O(βf)|Oσ(X).
Покажем, что конструкцияOσсохраняет композицию отображений. ПустьX, Y, Z — тихоновские пространства и f : X →Y, g: Y →Z — непрерывные отображения. Пусть µ∈Oσ(X), ϕ∈Cb(Z). Тогда
(Oσ(g◦f)(µ))(ϕ) = (O(βg◦βf)(µ))(ϕ) =e µ(ϕe◦(βg◦βf)) =µ((ϕe◦βg)◦βf) =O(βf)(µ)(ϕe◦βg) =O(βg)(O(βf)(µ))(ϕ) =e Oσ(g)(Oσ(f)(µ))(ϕ),
т. е. Oσ(g◦f) =Oσ(g)◦Oσ(f).
Наконец, установим, что конструкция Oσ сохраняет тождественные отображения. Пусть idX : X → X — тождественное отображение, т. е. idX(x) = x для любой точки x∈X. Тогда
Oσ(idX)(µ)(ϕ) =O(βidX)(µ)(ϕ) =e O(idβX)(µ)(ϕ) =e µ(ϕe◦idβX) =µ(ϕ) =e µ(ϕ),
т. е. Oσ(idX) =idOσ(X).
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. КонструкцияOσ является ковариантным функтором, действующим на категорииT ych тихоновских пространств и их непрерывных отображений, продолжаю-щим функторO : Comp→Comp.
Для компакта X через P(X) обозначим пространство вероятностных мер на X, ко-торое является подпространством O(X).Далее, для тихоновского пространства X обо-значим черезPε(X) пространство вероятностных мер с компактными носителями наX, когдаε=β, пространство вероятностных радоновых мер на X, когда ε=R, простран-ство вероятностных τ-гладких мер на X, когда ε = τ, и пространство вероятностных σ-гладких мер наX, когдаε=σ.
⊳ Пусть µ0 ∈ O(βX)\Oσ(X) — произвольный фиксированный функционал. Тогда
4. Radul T. N.On the functor of order-preserving functionals // Comment. Math. Univ. Carol.—1998.— Vol. 39, № 3.—P. 609–615.
5. Чигогидзе А. Ч.О продолжении нормальных функторов // Вестник МГУ. Сер. мат-ка, мех-ка.— 1984.—№ 6.—С. 23–26.
6. Федорчук В. В.Вероятностные меры в топологии // Успехи мат. наук.—1991.—Т. 46, вып.1.—С. 41– 80.
7. Beshimov R. B.On weakly additive functionals // Matematychni Studii.—Vol. 18, № 2.—P. 179–186. 8. Zaitov A. A.On categorical properties of the functor of order-preserving functionals // Methods of
Functional Analysis and Topology.—2003.—Vol. 9, № 4.—P. 357–364.
9. Zaitov A. A.Some categorical properties of functors Oτ and OR of weakly addidtive functionals // Math. notes.—2006.—Vol. 79, № 5.—P. 632–642.
10. Энгелькинг Р.Общая топология.—М.: Мир, 1986.—752 с.
14. Zaitov A. A. The functor of order-preserving functionals of finite degree // J. of Math. Sciences.— 2006.—Vol. 133, № 5.—P. 1602–1603.—(Translated from Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI.—2004.— Vol. 313.—P. 135–138.)
Статья поступила 27 октября 2008 г.
Жиемуратов Рзамурат Есбергенович
Институт математики АН РУз,аспирант
УЗБЕКИСТАН, 100125, г. Ташкент, Академгородок, ул. Ф. Ходжаева, 29 E-mail:[email protected]
Заитов Адилбек Атаханович
Институт математики АН РУз,ст. науч. сотр.
