BAB 3
PRODUK SILANG PADA ALJABAR-
C*Pada bab ini terdapat beberapa konsep aljabar yang terkait dengan produk
silang pada aljabar- ∗ dengan aksi automorfisma dan beberapa contoh dari
konsep tersebut. Pada bab ini juga dijabarkan konsep produk silang penuh dan
tereduksi dari suatu sistem dinamik yang diberikan.
3.1 Sistem Dinamik
Pada subbab ini akan dijelaskan konsep sistem dinamik. Sistem dinamik
memuat suatu aksi, oleh karena itu sebelumnya akan dijelaskan definisi dari aksi.
Definisi 3.1.1: Aksi dari Grup pada Suatu Himpunan
Misalkan grup abelian dan � suatu himpunan. Aksi dari pada X adalah
pemetaan �: × � → �, , ⟼ yang memenuhi:
(i) � � = , ∀ ∈ � dimana � � unsur identitas dari ,
(ii) = , ∀ , ∈ , ∈ �.
Jika adalah grup topologi dan � adalah ruang topologi, maka aksi tersebut
dikatakan kontinu jika , ⟼ adalah kontinu.
Contoh 3.1.2:
Misal grup dan himpunan � = dengan topologi diskrit adalah semua fungsi
kontinu : → . Misal ⊆ himpunan buka, perhatikan bahwa ada dua
kondisi untuk − yaitu
(i) − = ∅ ∈ � ,
Misal × � → � diberikan oleh , ⟼ . Akan ditunjukkan bahwa
pemetaan tersebut adalah sebuah aksi kontinu.
(i) Akan ditunjukkan = ∀ ∈ �.
Ambil sembarang himpunan buka di yaitu dimana ⊆ . Perhatikan
bahwa perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − , yaitu − =
∅ dan − ≠ ∅. Untuk kasus − = ∅, karena ∅ ∈ � maka
− ∈ � . Untuk − ≠ ∅, karena − = ′ ⊆ maka
− ∈ � . Karena prapeta dari himpunan buka adalah buka maka
⟼ kontinu.
Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)
Misal adalah grup, adalah aljabar-C* dan didefinisikan Aut ≔
{�: → |� isomorfisma −∗}. Grup dikatakan beraksi pada bila terdapat homomorfisma grup �: → Aut . Selanjutnya sistem , , � dikatakan
sebagai sistem dinamik dalam hal ini dua himpunan yang berbeda strukturnya,
yaitu dan dihubungkan oleh aksi yang homomorfisma �.
Perhatikan jika → ∞ maka −� → ∞.
(iii) Akan ditunjukkan � pemetaan
Ambil , ∈ ℝ dengan = . Maka
= ⇔ −� = −�
⇔ −� = −� ∀ ∈ ℝ
⇔ �� = �� ∀ ∈ ℝ
∴ � pemetaan.
(iv) Akan ditunjukkan � homomorfisma grup.
Ambil , ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka
�� +� = � +�
= ( − � +� )
= −� −�
= −� −�
= �� �
= �� (�� )
∴ � homomorfisma grup.
(v) Akan ditunjukkan �� homomorfisma.
Ambil �� , �� ∈ ℝ dan ∈ ℝ
�� + = + �
= + −�
= −� + −�
= �� + ��
= �� + ��
(vi) Akan ditunjukkan �� = �� �� .
Ambil �� , �� ∈ ℝ dan ∈ ℝ
�� = �
= −�
= −� −�
= �� ��
= (�� �� )
∴ �� = �� �� .
(vii) Akan ditunjukkan �� � = ��� .
Ambil �� ∈ ℝ , ∈ ℝ dan � ∈ ℂ
�� � = � �
= � −�
= ���
∴ �� � = ��� .
(viii)Akan ditunjukkan �� ∗ = (�� )∗ .
Ambil �� ∈ ℝ dan ∈ ℝ
�� ∗ = ∗ �
= ∗ −�
= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� (karena adjoin dapat dipandang sebagai konjugasi)
= �̅̅̅̅̅̅̅̅̅�
∴ �� ∗ = (�� )∗ .
Berdasarkan (v), (vi), (vii) dan (viii) maka �� adalah homomorfisma-*.
(ix) Akan ditunjukkan �� injektif.
Ambil , ∈ ℝ sedemikian sehingga �� = ��
Maka
�� = ��
−� = −� .
Perhatikan bahwa −� ∈ ℝ maka
� −� = � −�
= .
∴ �� injektif.
(x) Akan ditunjukkan �� onto.
Ambil fungsi ∈ ℝ akan ditunjukkan untuk suatu ∈ ℝ
sedemikian sehingga = �� untuk setiap ∈ ℝ berlaku
�� = � = −� = ∀ ∈ ℝ
Pilih ∈ ℝ sedemikian sehingga
= −� ∀ ∈ ℝ.
Diperoleh
�� = �
= −�
= −� �
∴ �� onto.
Berdasarkan (i) sampai (x) diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui
automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik.
Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)
Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup
dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi
kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah
representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi:
�(� � ) = � � ∗ , ∀ ∈ , � ∈ .
Contoh 3.2.6:
Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi
ℎ ≔ − ���
dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi
�� = ( − ��� ).
Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → ( Τ ) yang memenuhi
ℎ ≔ ℎ
dan suatu representasi uniter : ℤ → ( Τ ) yang memenuhi
�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).
Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian
� �∗ℎ = �∗ℎ( − ��� )
= ( − ��� )
�∗ℎ( − ��� )
= �� ℎ
Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .
3.2 Produk Silang
Pada subbab ini akan dijelaskan perbedaan produk silang penuh dengan
produk silang tereduksi.
Definisi 3.2.1: Produk Silang (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)
Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup
dan aksi yang homomorfisma �: → Aut . Produk silang dari , , � adalah
sistem , � , �� yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan
⋊� ), homomorfisma unital � : → ⋊� dan homomorfisma ��: →
⋊� yang memenuhi:
(i) Pasangan � , �� adalah kovarian,
(ii)Untuk setiap representasi kovarian �, dari , , � terdapat
representasi unital � × dari sedemikian sehingga � × °� = � dan
� × °�� = ,
(iii) Aljabar-C* ⋊� dibangun oleh {� � |� ∈ } ∪ {�� | ∈ }.
3.2.1 Produk Silang Penuh dan Produk Silang Tereduksi (Sierakowski,
2009:6)
Diberikan suatu sistem dinamik , , � yang terdiri dari aljabar-C* ,
grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut A . Misal didefinisikan
representasi kovarian �, yang terdiri dari representasi uniter : → dan
representasi unital �: → sedemikian sehingga
�(� � ) = � � ∗
untuk setiap � ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan
Himpunan fungsi � , dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈
∗ = ∑ � ( − )
∈�
untuk setiap ∈ dan operasi involusi
∑
dengan representasi kovarian �̅, , yang diberikan oleh
