(A.5)
MENENTUKAN PREMI TUNGGAL NETTO MENGGUNAKAN MODEL RANTAI MARKOV PADA ASURANSI DWIGUNA MULTIPLE DECREMENT
Gatot Riwi Setyanto
Jurusan Statistika, Universitas Padjadjaran (gatot_riwi@unpad.ac.id)
ABSTRAK
Seiring dengan semakin maraknya perkembangan industri asuransi pada dekade ini, berbagai inovasi produk asuransi banyak ditawarkan, salah satu diantaranya adalah produk asuransi jiwa yang tidak hanya menawarkan santunan bilamana peserta asuransi (insured) meninggal dunia, namun juga memberikan santunan bilamana insured tersebut sakit, kecelakaan, cacat, ataupun kejadian lainnya. Produk asuransi seperti ini, biasa dikenal dengan model asuransi multiple decrement.
Perhitungan premi netto secara praktis yang saat ini dilakukan, umumnya secara deterministik. Sedangkan perhitungan secara probabilistikpun, masih menggunakan probabilitas multiple decrement yang bersifat mutualy exclusive antara satu decrement dengan decrement lainnya. Pada hal dalam kenyataannya, terjadinya satu decrement dapat juga ditentukan oleh terjadinya decrement lain, atau dengan kata lain sangat memungkinkan terjadi perpindahan antar status/decrement. Perpindahan antar status ini akan mempengaruhi besar peluang terjadinya suatu decrement, yang pada akhirnya akan menentukan besarnya premi netto.
Dengan demikian perhitungan premi tunggal netto pada asuransi jiwa multiple decrement, sangat perlu mempertimbangkan kemungkinan terjadi perpindahan antar status/decrement, yang mana status decrement bersifat diskrit dan saat perpindahan bersifat kontinu dengan laju konstan dipartisi
I. PENDAHULUAN
Seiring dengan semakin maraknya perkembangan industri asuransi pada dekade ini, berbagai inovasi produk asuransi banyak ditawarkan, salah satu diantaranya adalah produk asuransi jiwa yang tidak hanya menawarkan santunan bilamana peserta asuransi (insured) meninggal dunia, namun juga memberikan santunan bilamana insured tersebut sakit, kecelakaan, cacat, ataupun kejadian lainnya. Produk asuransi seperti ini, biasa dikenal dengan model asuransi multiple decrement.
Produk tersebut diciptakan untuk menjawab tantangan terhadap dunia asuransi dalam memberikan pelayanan dengan cakupan penyebab kerugian yang lebih luas, karena sejalan dengan makin pesatnya pertumbuhan ekonomi dan pembangunan di segala bidang, maka jumlah tenaga kerja dengan berbagai risikonya akan meningkat. Dalam melaksanakan tugas dan tanggung jawabnya, mereka berpeluang untuk terjadinya kecelakaan yang bisa mengakibatkan cacat, baik yang bersifat sementara ataupun permanen. Dengan demikian, sangat diharapkan bahwa melalui produk asuransi multiple decrement ini dapat memberikan perlindungan secara ekonomi dikemudian hari.
Kondisi ini, tentu saja bagi perusahaan asuransi jiwa dan kecelakaan merupakan suatu peluang bisnis yang menjanjikan. Namun, perhitungan premi netto secara praktis yang saat ini dilakukan, umumnya secara deterministik. Sedangkan perhitungan dengan probabilitas
multiple decrement masih bersifat mutualy exclusive antara satu decrement dengan
decrement lainnya. Pada hal dalam kenyataannya, terjadinya satu decrement dapat juga
ditentukan oleh terjadinya decrement lain. Perpindahan antar status ini akan mempengaruhi besar peluang terjadinya suatu decrement, yang pada akhirnya akan menentukan besarnya premi netto.
Dengan pemikiran di atas, dalam makalah ini akan dikaji suatu alternatif perhitungan premi tunggal netto pada asuransi jiwa multiple decrement, dengan mempertimbangkan kemungkinan terjadi perpindahan antar status/decrement, yang mana status decrement bersifat diskrit dan saat perpindahan bersifat kontinu waktu kontinu, serta mempertimbangkan perpindahan antar status juga asumsi laju konstan dipartisi.
II. TINJAUAN PUSTAKA II.1 Multiple Decrement
Dalam multiple decrement ada 2 jenis variabel acak yaitu Tx yang menyatakan
lamanya hidup yang akan datang dari seseorang yang berusia x tahun sampai ia mengalami suatu decrement, dan Jx yang menyatakan variabel acak penyebab populasinya berkurang
(cause ofdecrement). Fungsi marginal untuk masing-masing fTx(t) dan fJx(j) adalah fTx(t) =
∑
j TxJx t j f ( , ) (2.1.1) fJx(j) = f t j dt x TxJx∫
∞ ) , ( . (2.1.2)Fungsi densitas bersama dari Tx dan Jx dapat dituliskan dengan fT Jx x( , )t j . Fungsi ini
menyatakan peluang seseorang yang berusia x tahun akan mengalami decrement karena sebab j di antara tahun t sampai dengan tahun t + dt. Rumusan dari fungsi densitas bersama tersebut dapat dituliskan sebagai berikut :
{
( ) ( )}
) , (t j P t T t dt J j fTxJx = < ≤ + ∩ = (2.1.3)Sedangkan peluang seseorang yang berusia x tahun mengalami decrement karena sebab j dalam waktu t tahun yang akan datang dapat dituliskan sebagai berikut :
{
}
( ) , 0 ( , ) (0 ) ( ) t j Tx Jx t x f s j ds P= <T ≤t ∩ J = j = q∫
t ≥ 0 (2.1.4) ( ) ( ) 1 j j t px = −t qx (2.1.5)Dalam Multipel decrement semua penyebab terjadinya decrement digunakan simbol
supercript (τ). Maka peluang seseorang yang berusia x tahun mengalami decrement karena
semua sebab dalam jangka waktu t tahun adalah :
( ) 0 ( ) x t tqx fT s ds τ =
∫
( ) 1 m j t x j q = =∑
(2.1.6)II.2 Premi Tunggal Netto Asuransi Multiple Decrement Dwiguna
Asuransi ini adalah asuransi yang memberikan proteksi bagi insured terhadap beberapa hal yang penyebab terjadinya decrement, namun pembayaran/perhitungan benefit (uang pertanggungan) bisa dilakukan pada akhir tahun terjadinya decrement (diskrit) ataupun tepat pada saat terjadinya decrement (kontinu).
Besarnya premi tunggal netto yang harus dibayarkan insured di awal ikut asuransi
dwiguna berbentuk diskrit multiple decrement, dapat dihitung dengan menggunakan rumusan
berikut : 1 ( ) 1 ( ) ( ) : 0 1 ( ) n w j k j n k x x k n x x n k j A E Z B v p qτ Bv p − + + = = = =
∑∑
+ (2.2.1)Besarnya premi tunggal netto yang harus dibayarkan insured pada saat awal ikut asuransi dwiguna bentuk kontinu untuk multiple decrement, dapat dihitung menggunakan rumusan berikut : t n n w j n x x t t j n x E Z B v p t dt Bv p A = =
∑∫
+ =1 0 ) ( | : ( ) µ ( ) (2.2.2)Rumusan-rumusan premi pada asuransi dwiguna di atas hanya memperhitungkan sifat mutually exclusive diantara decrement-decrementnya. Sedangkan dalam realitanya, sangat mungkin sekali bahwa terjadinya satu decrement disebabkan oleh telah terjadinya decrement lainnya. Sehingga pada kondisi adanya kemungkinkan terjadinya perpindahan antar status, persamaan di atas tidak lagi tepat untuk menghitung premi tunggal netto pada asuransi multiple decrement.
2.3 Rantai Markov dan Peluang Transisi
Pada tahun 1906, A.A. Markov seorang ahli matematika dari Rusia mengemukakan teori ketergantungan variabel acak dalm proses acak yang dikenal dengan proses Markov. Proses Markov adalah proses stokastik yang mana masa lalu tidak mempunyai pengaruh pada masa yang akan datang bila masa sekarang diketahui, atau secara formal :
∀ = = = = = = − + + | ,..., , } { | } ; {X 1 j X0 i0 X 1 X i P X 1 j X i
(2.3.1)
Peluang transisi satu langkah bahwa Xn+1 berada pada status j jika diketahui Xn berada dalam status i, dinyatakan dengan Pijn,n+1, yaitu :
} | { 1 1 , i X j X P P n n n n ij = + = = + (2.3.2)
Apabila peluang transisi satu-langkah independen dari variabel waktu, maka dikatakan rantai markov mempunyai peluang transisi stasioner, sehingga dalam hal ini :
ij n n
ij P
P , +1 =
Matriks peluang transisi n langkah disimbolkan dengan P(n) = Pij(n). Elemen dari Pij(n) menyatakan peluang bahwa proses berpindah dari status i ke status j dalam n langkah, ditulis sebagai } | { ) ( i X j X P P n m m n ij = + = = (2.3.3)
Teorema : peluang transisi n langkah dari suatu Markov adalah
) 1 ( 0 ) ( ∞ − =
∑
= ik kjn k n ij P P P (2.3.4)2.4 Model Markov dengan Status Diskrit dan Waktu Kontinu
Transisi yang terjadi diantara dua state apabila diukur antara waktu n dan n + i, dengan i = 1,2,3, ... yang biasanya dinyatakan dalam bilangan bulat, seperti yang telah dibahas pada bagian terdahulu, disebut transisi dengan waktu diskrit. Salah satu konsep dasar dalam pengukuran dengan waktu kontinu seperti ini adalah proses Poisson. Proses ini mengukur titik-titik kejadian secara tunggal dalam satuan waktu tertentu, peluang banyaknya kejadian dalam selang (0,t] adalah i
Pi(t) = P(N(t)=i) = e-λt (λt)i / i! (2.4.1)
2.5 Laju Transisi
Jika X(t) menyatakan status yang ditempati pada waktu t, maka suatru proses Markov dengan himpunan status diskrit dan waktu yang kontinu akan mempunyai suatu himpunan fungsi peluang transisi rantai Markov yang jika dituliskan :
Pij(t) = P(X(t+u) = j | X(u) = i) (2.5.1)
Jika nilai-nilai peluang tersebut mengabaikan waktu u, atau waktunya homogen, fungsi tersebut harus memenuhi
0 ≤ Pij ≤ 1 dan P Pij(v)Pjk(t v) j ik =
∑
− ∞ (t>v) (2.5.2)Dikatakan sebagai persamaan Chapman Kolmogorov untuk proses Markov dengan waktu homogen.
Untuk tingkat transisi dengan selang waktu yang sangat pendek atau ∆t → 0, maka Pij(∆t) = µij (∆t) + o (∆t) (i≠j)
Pii(∆t) = 1+ µii (∆t) + o (∆t) Atau dapat ditulis
t t P P dt d ij t ij ij ∆ = = → ∆ ) ( lim ) 0 ( 0 µ (2.5.3) t t P P dt d ii t ii ii ∆ − = − = → ∆ ) ( 1 lim ) 0 ( 0 µ (2.5.4)
Jika diketahui status i ditempati pada waktu t dan status lainnya akan ditempati pada waktu t+∆t, maka : +
∑
=0 ≠ ij j i ii µ µ (2.5.5)III. PREMI TUNGGAL NETTO ASURANSI DWIGUNA MULTIPLE DECREMENT MENGGUNAKAN MODEL RANTAI MARKOV
Misalkan X = {X(t), t ≥ 0} merupakan proses stokastik, X(t) menyatakan state yang ditempati pada waktu t. dengan banyaknya state diasumsikan berhingga. Karena X(t) terdiri dari banyak state, maka akan terjadi jalur-jalur lintasan yang menggambarkan perpindahan antar state, yang dalam kurun waktu tertentu diperoleh laju transisi (force of transition).
Nilai peluang transisi, secara teoritis dapat ditentukan menggunakan laju transisinya. Namun dalam prakteknya sangat sulit memperoleh nilai peluang transisi untuk proses multistate. Untuk itu model markov dengan waktu homogen digunakan sebagai asumsi, yang berarti model mempunyai laju transisi yang konstan atau tingkat percepatan perpindahan antar state hanya bergantung pada selang waktu yang diamati, tidak pada kapan suatu even terjadi. Sedangkan peluang transisi dengan waktu kontinu dan state diskrit diselesaikan dengan sistem persamaan diferensial peluang transisi.
Untuk kasus rantai Markov homogeneous {X(t), t ≥ 0}, Laju transisi tidak bergantung pada waktu t, sehingga
µii(t) = µii dan µij(t) = µij (3.1.1)
Bila persamaan (3.1.1) dituliskan dalam bentuk matriks, maka diperoleh
= KK K K K K K K Q µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11
dengan µij(i=j) = -∑i≠j µij
3.2 Laju Transisi Konstan
Asumsi laju transisi konstan menyatakan secara tidak langsung bahwa waktu yang digunakan dalam masing-masing state berdistribusi eksponensial untuk fungsi pij(s,s+t) adalah sama untuk semua s ≥ 0 sehingga pij(s,s+t) = pij(t). Kemudian laju transisi dan fungsi peluang transisi dinyatakan dalam bentuk matriks. Jika dikorespondensikan dengan persamaan Chapman-Kolmogorov, maka
P(t+u) = P(t) P(u) (3.2.1)
Demikian pula bila diokorespondensikan dengan persamaan diferensial Kolmogorov Forward, maka
P’(t) = P(t) Q = Q P(t) (3.2.2)
Dengan P(0) = I, maka solusi untuk persamaan (3.2.2) adalah :
P(t) = eQt
∑
∞ = = 0 ! ) ( i i i Qt (3.2.3)Andaikan Q mempunyai nilai-nilai eigen yang berbeda yang dinotasikan dengan D = diag (d1, ..., dn) dan A menyatakan matriks eigen, maka : Q = A D A-1
Sehingga C e e diag A t P( )= ( d1t,..., dnt) Atau
∑
= = n k t d ki hk hi k e c a t P 1 ) ( (3.2.4)Menyatakan peluang transisi dari state h ke state i, dengan ahk adalah elemen matriks A dan cki menyatakan elemen matriks C = A-1.
3.3 Laju Konstan Dipartisi
Berkaitan dengan aktuaria, sering kali diperlukan laju transisi pada tingkat usia yang berbeda, untuk itu dengan melakukan partisi laju transisi berdasarkan usia merupakan solusi yang bisa dipergunakan untuk masalah ini.
Misalkan µij(t) = µij(m) jika t Є (tm-1, tm) untuk m = 1,,3,... dimana t0 = 0, juga pij(m)(t) adalah fungsi transisi dinyatakan dengan interval [u,u+t] yang termuat dalam [tm-1, tm]. Dalam bentuk matriks, laju transisi dan peluang transisi dipartisi masing-masing Q(m) dan P(m)(t). Misal mt adalah integer yang memenuhi tmt−1 ≤t<tmt , maka jika dikorespondensi dengan persamaan (3.2.4) menjadi
) ( ) ( ) ,..., ( ) (t Am diag ed1( )t ed( )t C m P = m nm Atau
∑
= = n k t d m ki m hk hi m k e c a t P 1 ) ( ) ( ( ) ) ( (3.3.2)dimana ahk(m) dan cki(m) adalah entri-entri dari matriks A(m) dan matriks Chk(m)
3.4 Penentuan Premi Tunggal Netto Asuransi Dwiguna Multiple Decrement Menggunakan Model Rantai Markov dengan Laju Konstan Dipartisi
Pada bagian ini, pembahasan difokuskan kepada penentuan besarnya premi tunggal netto dari suatu asuransi yang memiliki beberapa kemungkinan decrerment (status), namun
dengan usia x yang berada dalam status tertentu sejak dia masuk asuransi, pada waktu berikutnya akan mengalami transisi atau perubahan ke status lain, dimana waktu transisi dan status yang dialaminya bersifat random.
Berikut ini adalah contoh dari asuransi jiwa dwiguna menawarkan produknya yang mempertimbangkan 4 status, masing-masing : 1. Sehat 2. Sakit A 3. Sakit B dan 4. Meninggal
Dalam kasus 4 status tersebut, pihak insured yang pada awal ikut asuransi berada pada kondisi sehat (status 1), akan memperoleh santunan /benefit pada saat berpindah kestatus2, juga bila berpindah ke status 3, ataupun berpindah ke status 4.
Gambar 3.1 model 4 Status
Asuransi ini adalah asuransi yang memberikan proteksi bagi insured terhadap beberapa hal yang penyebab terjadinya decrement dalam jangka waktu tertentu, selain itu insured pun akan menerima sejumlah benefit diakhir tahun masa proteksi jika ia tidak terjadi salah satu decrement tersebut. Asumsi force of transition konstan tiap tahun usia yang akan digunakan untuk menghitung premi tunggal netto untuk satu kali pembayaran agar insured
1. Sehat 2. Sakit A 4. Meninggal 3. Sakit B µ12 µ21 µ µ34 µ14 µ32 µ23 µ24
mendapatkan santunan berupa benefit yang dibayarkan pada saat seseorang mengalami transisi ke status j antara usia x dan x+t bilamana saat ini dia berusia x berada di status i.
Misalkan µij(u) merupakan force of transition dari status i ke status untuk satu individu antara usia u dan u+1, yang digunakan untuk membangun matriks Q(u) sehingga diperoleh A(u), C(u) dan D(u). Sedangkan Pij(u) (y) merupakan fungsi peluang transisi dari status i ke status j yang diasosiasikan dengan interval usia dari u ke u+1, dan bila mana manfaat santunan bij satuan yang dibayarkan langsung pada saat terjadi perpindahan dari state awal i pada usia ke state j lain, maka besarnya premi tunggal netto yang merupakan present value dari benefit yang akan diterima insured bila terjadi decrement dalam masa t tahun, dengan discount factor v adalah :
x t t n u n d u nj u hn h ih t x x u x u ij x t t ij t x x x y ij t x p e b d e c a u x p e b p e b dy y x P e b A u k . 1 ) , ( . . ) , ( . 11 4 1 ) ( ) ( ) ( 4 1 1 ) ( 11 ) ( | , ) ( δ δ δ δ δ δ − = − − = − + = − − − + − − + − = + =
∑
∑
∑
∫
(3.4.1) Atau dalam bentuk matriksx t t u u d u d u t x x u x u ij x t t ij t x x x y ij t x p e b C d e d e diag A y x P e b p e b dy y x P e b A u u . 1 ,..., 1 ) , ( . ) , ( . 11 ) ( ) ( 4 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 11 ) ( | , ) ( 4 ) ( 1 δ δ δ δ δ δ δ δ − − − − + = − − − + − − + − − − − = + =
∑
∫
(3.4.2)Merupakan rumusan premi tunggal netto pada asuransi dwiguna yang mempertimbangkan terjadinya perpindahan antar status.
IV. KESIMPULAN
Berpijak kepada realita bahwa terjadinya suatu decrement dapat juga ditentukan oleh terjadinya decrement lain, atau dengan kata lain sangat memungkinkan terjadi perpindahan antar status/decrement, untuk itu pertimbangan menggunakan model Markov dalam perhitungan premi akan memberikan hasil yang lebih realistis, serta mengurangi risiko terjadinya kerugian terutama dipihak asuransi.
DAFTAR PUSTAKA
1. Bowers,N.,Gerber,H.,Hickman,J.,Jones,D.,Nesbitt,C.1997.Actuarial Mathematics, 2nd
edition. Shaumberg, IL : Society of Actuaries.
2. Bruce, L.J., Actuarial Calculating Using Markov Model, Transaction of Society of Actuaries, 1994, vol .46.
3. Cox, D.R, and Miller, H.D, 1965, The Theory of Stochastic Processes, London: Chapman and Hall.
4. Ross, S., 1996, . 1992. Stochastic Processes, 2nd Edition, John Wiley & Sons, Inc.New York.
