METODE ELEMEN HINGGA. Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

(1)

METODE ELEMEN HINGGA

(2)

PENGANTAR

M t d El

Hi

d l h

t d

• Metode Elemen Hingga adalah metode

numeris untuk penyelesaian masalah

teknik dan fisika matematis.

• Masalah tersebut meliputi:

p

– Analisa struktur

– Heat transfer

Heat transfer

– Aliran fluida

Perpindahan massa

– Perpindahan massa

– Elektromagnetik

(3)

PENGANTAR (lanjt )

PENGANTAR (lanjt.)

U t k

l h

k

l k d i

t i

• Untuk permasalahan kompleks dari geometri,

pembebanan, dan sifat material, umumnya

susah untuk menyelesaikannya secara

matematis.

• Penyelesaian matematis adalah menggunakan

persamaan matematis yang menghasilkan

persamaan untuk mendapatkan

informasi/penyelesaian dari nilai yang tidak

diketahui disetiap lokasi dibagian struktur/objek.

p

g

j

Penyelesaiannya umumnya menggunakan ODE

& PDE.

(4)

PENGANTAR (Lanjt )

PENGANTAR (Lanjt.)

• Penyelesaian Metode Elemen Hingga

menghasilkan persamaan dari masalah yang

dianalisa dalam sistem persamaan serentak

yang harus diselesaikan.

• Penyelesaian ini memberikan hasil/penyelesaian

pendekatan dari nilai yang tidak diketahui pada

titik tertentu dalam sistem yang kontinyu.

• Sistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisi

Sistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisi

struktur/objek yang sebenarnya.

(5)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Dikritisasi (discretization) adalah proses

pemodelan dari struktur/ objek dengan

membaginya dalam elemen-2 kecil (finite

elemen atau elemen hingga) yang terhubung

oleh titik-2 (nodes) yang digunakan oleh

elemen-2 tersebut dan sebagai batas dari

struktur/ objek.

• Dalam metode elemen hingga persamaan dari

seluruh sistem dibentuk dari penggabungan

persamaan elemen-2nya.

(6)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

U t k

l h t kt

l

i

• Untuk masalah struktur: penyelesaian yang

didapat adalah deformasi (displacement) pada

setiap titik (nodes) yang selanjutnya digunakan

untuk mendapatkan besaran-2 regangan (strain)

dan tegangan (stress)

dan tegangan (stress).

• Untuk masalah bukan struktur:

– Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur – Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur. – Fluid flow: tekanan fluida akibat flux fluida.

• Metode elemen hingga (finite elemen method)

telah berkembang selama 35 tahun bersamaan

dengan perkembangan teknologi komputer.

(7)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

P

l

i

d i

t d

l

hi

(MEH)

• Penyelesaian dari metode elemen hingga (MEH)

umumnya menggunakan metode matriks.

• Penyelesaian MEH memerlukan perhitungan

yang sangat banyak dan berulang-ulang dari

persaamaan yang sama, sehingga diperlukan

y g

gg

sarana komputer dan bahasa pemrogramannya.

• Penyelesaian dari seluruh sistem umumnya

merupakan penyelesaian persamaan serentak

yang dinyatakan dalam bentuk matriks dan

diselesaian menggunakan penyelesaian

persamaan serentak (Cholesky, Eliminasi

Gauss, Iterasi Gauss-Seidel).

(8)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

S j

h i k t

• Sejarah singkat:

– Elemen satu dimensi dikembangkan oleh

Hrennikoff (1941) dan McHenry (1943)

sebagai elemen rangka (truss) dan balok

(b

)

(beam).

– Courant (1943) mengembangkan definisi

t

d l

b t k f

i (

i ti

l

tegangan dalam bentuk fungsi (variational

form), shg. Sebagai awal penggunaan fungsi

bentuk (shape function) yang diterapkan

(9)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

L

(1947)

b

k

t d

• Levy (1947) mengembangkan metode

fleksibilitas (flexibility method) atau

metode gaya (force method). Pada tahun

1953, dia mengembangkan metode

deformasi (displacement method) atau

metode kekakuan (stiffness method).

Pada masa itu usulannya sangat susah

diterima oleh umum karena memerlukan

banyak perhitungan sehingga diperlukan

komputer sebagai sarana pendukung.

p

g

p

g

(10)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

A

i d

K l

(1954)

b

k

• Argyris dan Kelsey (1954) mengembangkan

analisa struktur metode matriks menggunakan

metode energi. Pengembangan ini menunjukkan

pentingnya pendekatan prinsip energi dalam

penyelesaian persamaan-2 metode elemen

hingga

hingga.

• Awal penggunaan elemen dua dimensi

dilakukan oleh Turner Clough Martin dan Top

dilakukan oleh Turner, Clough, Martin, dan Top

(1956) dengan menurunkan persamaan untuk

elemen rangka, balok, elemen segitiga dan

persegi, pada pengembangan direct stiffness

method untuk mendapatkan kekakuan sistem.

(11)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh • Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh

Clough pada th. 1960 saat menggunakan elemen

segitiga dan segi empat dalam analisa tegangan bidang ( l t l i )

(plane stress analysis).

• Melosh (1961) mengembangkan elemen pelat lentur (plate bending).

(p g)

• Grafton dan Strome (1963) mengembangkan elemen shell dan axisymmetric shell untuk pemodelan pressure vessel

vessel.

• Martin (1961), Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962), Melosh (1963), dan Argyris (1964) mengembangkan

l ti di i t t h d l elemen tiga dimensi tetrahedral.

• Clough, Rashid, dan Wilson (1965) mengembangkan elemen axisymmetric solid.y

(12)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

K b k d k t d t k il • Kebanyakan pendekatan regangan dan tegangan kecil

dipakai dalam penyelesaian MEH ditahun 60-an.

• Turner Dill Martin dan Melosh (1960) mengembangkanTurner, Dill, Martin, dan Melosh (1960) mengembangkan penyelesaian dari Large deformation and thermal

analysis.

• Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962) mengembangkan penyelesaian kasus material tidak linier (non-linear

material) material).

• Gallagher dan Padlog (1963) mengembangkan penyelesaian dari masalah tekuk (buckling).

p y ( g)

• Zienkiewicz, Watson, dan King (1968) mengembangkan penyelesaian dari kasus visco-elasticity.

(13)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

A h

(1965)

b

k

l

i

• Archer (1965) mengembangkan penyelesaian

dari kasus analisa dinamis dalam

pengembangan consistent mass matriks pada

rangka dan balok.

• Melosh (1963) mengembangkan pendekatan

(

)

g

persamaan variational (vaiational formulation)

dalam permulaan dari penyelesaian masalah

bukan struktur

bukan struktur.

• Zienkiewicz, dan Cheung (1965), Martin (1968),

dan Wilson dan Nickel (1966) mengembangkan

penyelesaian dari masalah torsi dari poros,

(14)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

P

l

i

k

i hi

• Penyelesaian menggunakan weighing

residual method dikembangkan oleh

Szabo dan Lee (1969), dan diterapkan

dalam penyelesaian masalah transient

field problems oleh Zienkiewicz dan

Parekh (1970). Studi tersebut memberikan

alternatif penyelesaian bila kasus-2 yang

tidak bisa diselesaiakan dengan

g

pendekatan direct formulation dan

variational formulation.

(15)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Belytscho (1976) mengembangkan

penyelesaian yang efisien dari perilaku large

displacement non-linear dynamic dengan

memperbaiki penyelesaian numerisnya.

• Penerapan dari metode elemen hingga telah

digunakan dalam bidang bioengineering.

Kasus-2 dalam bidang ini masih banyak masalah

dimaterial pada non-linear material, non-linear

geometry, dan banyak hal lain yang masih

(16)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Notasi matriks:

_ _F _ _ _d _

matriks gaya

dinyatakan

_               y x y x d d d F F F 1 1 1 1

dinyatakan

dalam {F} = F

dan matriks

               x z x z d d d F F F 2 1 2 1

dan matriks

displacement

dalam {d} = d

                  y y d d F F } _. ; { } _. { 2 2

dalam {d} = d

atau

                . . . .                 ny nx ny nx d d F F    

(17)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Matriks kekakuan elemen dinyatakan dalam [k] dan matriks kekakuan global sistem struktur dinyatakan dalam [K] dinyatakan dalam [K].    k₁₁ k₁₂ k₁ K₁₁ K₁₂ K₁                     n n n n K K K K K K K K k k k k k k k k ... ... ] [ ; ... ... ] [ 21 22 2 1 12 11 2 22 21 1 12 11            kn kn knn Kn Kn ... Knn ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1

• Persamaan dari kesetimbangan sistem struktur dinyatakan dalam:

F = K d F = K d

(18)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

P

K

t

d l

MEH

• Peran Komputer dalam MEH

• Hingga th.1950-an, metode matriks dan metode l hi tid k i di k d l

elemen hingga tidak siap digunakan dalam penyelesaian-2 masalah kompleks karena

besarnya persamaan yang harus diselesaikan, y p y g , sehingga tidak praktis.

• Dengan hadirnya komputer, maka perhitungan dari l i d i i t t kt

penyelesaian persamaan dari sistem struktur

tersebut dapat diselesaikan dalam hitungan menit. • Perkembangan komputer menyebabkanPerkembangan komputer menyebabkan

perkembangan program-2 numeris untuk masalah struktur dan non-struktur.

(19)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Langkah-2 umum MEH:

– Langkah 1:Diskritisasi/meshing dan pemilihan jenis elemen

Pemilihan jenis elemen berkait dengan idealisasi i i dil k k t h d t kt

yang ingin dilakukan terhadap struktur yang

dimodelkan. Pilihan yang ada berkait dengan jenis elemen(1 dimensi 2 dimensi atau 3 dimensi) dan elemen(1 dimensi, 2 dimensi, atau 3 dimensi), dan berlanjut dengan tingkat kesulitan dari jenis elemen yang ditunjukkan oleh jumlah titik (nodes) dalam

elemen beserta jumlah derajat kebebasan (degree of freedom atau DOF) dari masing-2 titik (node).

(20)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

– Langkah 1 (Lanj.):

Penentuan jumlah elemen berkait dengan

j

g

ukuran elemen yang penentuan dan

penyebarannya berkenaan dengan

y

g

konsentrasi dari deformasi, regangan, serta

tegangan yang akan terjadi pada struktur

yang dimodelkan yang disebabkan oleh

bentuk geometri dari struktur serta

(21)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

(22)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

– Langkah 1:Jumlah elemen 20-10 19-10 18-1114-1015-11 16-10 13-10 12-10 17-10 71 195 197 227 191 192 193 194 195 196 197 205 206 207 208 226 233 X Y Z 198 201 202 232

(23)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

L

k h 2 Pilih F

i D f

i

• Langkah 2:Pilih Fungsi Deformasi

(Displacement Function)

– Penentuan fungsi deformasi adalah berkait denganPenentuan fungsi deformasi adalah berkait dengan jumlah titik dalam satu elemen serta DOF yang

dimodelkan pada tiap titik atau tingkat/derajat polinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalam polinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalam elemen tersebut.

• Langkah 3:Menentukan persamaan hubungan

antara regangan {



} dan deformasi {d} serta

antara tegangan {



} dan regangan {



}.

Regangan:  =du/dx ;  =dv/dy ;  =dw/dz – Regangan: _x =du/dx ; _Y =dv/dy ; _Z =dw/dz – Tegangan: _X = E _{x ;}_Y = E _{Y ;}_Z = E _Z

(24)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

L

k h 4 M

t k

M t ik P

d

• Langkah 4:Menentukan Matrik Persamaan dan

Kekakuan Elemen

– Ada tiga metode dalam penentuan persamaanAda tiga metode dalam penentuan persamaan kekakuan elemen:

• Metode Kesetimbangan Langsung (Direct Equilibrium Method)

Method)

• Metode Kerja atau Energi (Work or Energy Method)

• Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa (Methods of Weighted Residual)

Weighted Residual)

– Metode Kesetimbangan Langsung: Matrik persamaan elemen yang menunjukkan hubungan antara gaya, kekakuan dan deformasi pada elemen ditentukan kekakuan, dan deformasi pada elemen ditentukan berdasarkan pada prinsip kesetimbangan gaya.

(25)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah – Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah

pendekatan yang dapat mencakup hampir semua tingkat kerumitan dari suatu model yang mencakup k t i l di i b b d t

komponen material, dimensi, beban, dan syarat batas.

– Metode yang menggunakan prinsip energi/kerja y g gg p p g j lainnya: Metode Castigliano dan Metode yang berdasarkan Prinsip Energi Potensial Minimum. Keduanya hanya berlaku untuk penurunan dengan edua ya a ya be a u u u pe u u a de ga material elastis.

– Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa: Metode ini yang terkenal adalah Metode Galerkin Metode ini yang terkenal adalah Metode Galerkin.

Metode ini memberikan hasil yang sama untuk semua penyelesaian Metode Energi. Metode ini sebagai

(26)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

– (lanj.) penyelesaian saat metode energi tidak bisa digunakan.Metode ini dapat mengadopsi langsung persamaan diferensial

persamaan diferensial.

– Persamaan elemen yang dihasilkan secara umum adalah sebagai berikut:

adalah sebagai berikut:

            f k11 k12 k13 ... k1n d1 1                          n n d d k k k k k k k k f f ... ... 3 2 3 33 32 31 2 23 22 21 3 2 atau {f} = [k] {d} dimana:                       fn k k k k d ... ... ... ... ... ... ... ... {f} = matrik gaya [k] = matrik kekakuan

(27)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen • Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen

pembentuk persamaan global/ total dari sistem dan menentukan syarat batas.

– Penggabungan persamaan elemen dilakukan dengan prinsip superposisi dengan mempergunakan prinsip kontunyuitas dan kompatibilitas.

Kontin itas tiap elemen saling berh b ngan sehingga dapat – Kontinyuitas: tiap elemen saling berhubungan sehingga dapat

menyalurkan beban berupa tegangan keelemen disekitarnya. Sehingga terlihat pada bentuk deformasinya yang kontinyu. – Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan – Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan

jumlah dan sifat DOF tertentu, kesamaan DOF dari titik dalam tiap elemen yang digunakan merupakan syarat kompatibilitas dari tiap titik dalam tiap elemen dan tiap elemen menggunakan titik-2 tersebut sesuai dengan tingkat kesulitan dari tiap elemen yang digunakan.

(28)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

L k h 5 (l j ) B t k l b l d i i t

• Langkah 5 (lanj.):Bentuk persamaan global dari sistem struktur secara matrik adalah sebagai berikut:

{F} = [K] {d} {F} = [K] {d} Dimana:

{F} = adalah vektor gaya global pada titik baik yang {F} adalah vektor gaya global pada titik baik yang

diketahui maupun yang tidak diketahui [K] = adalah matrik kekakuan global dari sistem

[ ] g

struktur; sifatnya singular atau det[K] = 0 {d} = adalah vektor deformasi yang diketahui dan

(29)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Langkah 6:Penyelesaian dari DOF yang tak

diketahui, setelah syarat batas diberikan.

Persamaan dari sistem menjadi:

Dimana:

n = jumlah DOF yang

                n d d K K K K K K K K F 11 12 13 ... 1 1 1

n = jumlah DOF yang tak diketahui.

Matrik [K] bersifat

non-                         n n d d K K K K K K K K F F ... ... 3 2 3 33 32 31 2 23 22 21 3 2 [ ] singular (det[K] ≠ 0). Penyelesaiannya umumnya                      Fn K_n K_n K_n K_nn d_n ... ... ... ... ... ... ... ... 3 2 1 umumnya menggunakan antara lain: metode eliminasi Gauss Iterasi Gauss Gauss, Iterasi

(30)

Gauss-PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Langkah 7:Penyelesaian Regangan dan

Tegangan Elemen.

– Hasil regangan dan tegangan adalah output yang umum digunakan untuk menentukan kualitas dari d i t kt dil k k

desain struktur yang dilakukan.

• Langkah 8:Interpretasi Hasil

– Output yang berupa: deformasi, tegangan, dan regangan adalah sebagai acuan dalam menilai desain yang dimodelkan Dari analisis yang

desain yang dimodelkan. Dari analisis yang

dilakukan, maka dapat ditentukan perubahan-2 untuk perbaikan desain maupun kualitas model.

(31)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

A lik i d i M t d El

Hi

• Aplikasi dari Metode Elemen Hingga.

– Pada masalah struktur:

A li T d t kt k b l k d f

• Analisa Tegangan: pada struktur rangka, balok dan frame; pada struktur pelat berlubang, dst.

• Kejadian Tekuk (Buckling): pada kolom dan shell. • Analisa Getaran.

– Pada masalah non-struktur:

• Kejadian Transfer panas (Heat Transfer) • Kejadian Transfer panas (Heat Transfer).

• Aliran Fluida (Fluid Flow), termasuk aliran dalam media berpori (tanah).

• Distribusi dari potensi magnetik atau elektrik.

(32)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

K

t

d i M t d El

Hi

• Keuntungan dari Metode Elemen Hingga.

– Memodelkan bentuk yang kompleks

– Menyelesaikan kondisi pembebanan umum – Menyelesaikan kondisi pembebanan umum

– Memodelkan objek/struktur dengan jenis material yang banyak (krn. Pers. Pada tingkat elemen)

– Memodelkan banyak macam syarat batas

– Dengan mudah menggunakan bermacam ukuran elemen dalam meshing/diskritisasi

elemen dalam meshing/diskritisasi

– Menyelesaikan model dengan mudah dan murah – Dapat memodelkan efek dimanis

– Menyelesaikan kelakuan tidak linier dari geometri dan material

(33)

PENGANTAR (Lanj )

PENGANTAR (Lanj.)

• Program komersial dari MEH:

– GT STRUDL – CATIA – StruCAD – SAP2000 CATIA – ABAQUS – FLUENT – ALGOR – IDEAS – CFX – ANSYS ADINA – FEMAP – MSC NASTRAN – ADINA – MSC PATRAN – ROBOT (AUTODESK) – MSC DYTRAN – MSC MARC ROBOT (AUTODESK) – SACS – MICRO SAS