PERMUTASI

(1)

MODUL PERKULIAHAN

Matematika

Diskrit

Permutasi

Fakultas

Fakultas ProgramProgram

Studi Studi Tatap Tatap Muka Muka KKoode de MKMK DDiissuussuu  OOllee!! I Illmmu Ku Koommppuutteerr TTeekknniikk Informatika Informatika

"#

MK

MK Harni Kusniyati, ST.,MKom.Harni Kusniyati, ST.,MKom.

A

A$

$s

sttrra

a%

%tt

K

Ko

om

mp

pe

ette

e

s

sii

Permutasi merupakan penyusunan

Permutasi merupakan penyusunan angka/objke dalam berbagai angka/objke dalam berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada urutan yang berbeda tanpa ada

pengulangan. Dalam permutasi urutan pengulangan. Dalam permutasi urutan diperhatikan.

diperhatikan.

Setelah membaca modul ini, mahasiswa Setelah membaca modul ini, mahasiswa diharapkan mampu memahami tentang diharapkan mampu memahami tentang permutasi biasa, permutasi dengan permutasi biasa, permutasi dengan unsur yang sama, permutasi siklis dan unsur yang sama, permutasi siklis dan permutasi berulang.

(2)

Isi

PERMUTASI

9.1. PERMUTASI BIASA

Permutasiadalah susunan berurutan dari semua atau

sebagian elemen yang diketahui. ( Urutan diperhatikan .

Contoh :

- Permutasi ! elemen dari " # $ adalah "$ # $" ( permutasi ! dari !

elemen ( !P!  ada ! susunan.

- Permutasi % elemen dari % elemen ", $ # & ( %P% adalah'

"$& $"& &"$ ada  Susunan

"&$ $&" &$"

- Permutasi ! elemen dari % elemen ", $, & ( %P! adalah'

"$ $" &" ada  susunan

"& $& &$

)adi %P%(permutasi % dari % dapat dijabarkan seperti berikut '

$ * & ++++"$& " & * $ ++++"&$ A – C …………BAC $ & * " ++++$&" &"'

( 2 Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

(3)

" * $ ++++&"$

&

$ * " ++++&$"

Sehingga rumus %P% adalah % 0 ! 0 1 2  2 %3 ( % 4aktorial 

5umus %P!( Permutasi ! dari %  2+.. 6

$ ++++"$ " & ++++"& " ++++$" $ & ++++$& " ++++&" & $ ++++&$ % 0 ! 2  2

(

3 2

)

! ! 3 ! 1 ! 3 1 1 2 3 − = = x x

Dengan cara yang sama

++++..(1

..++++(!

&"'

arni usniyati, S.,om http'//www.mercubuana.ac.id

n

P

n

= n !

n

P

r

=

(

)

! ! r n n −

(4)

Contoh : 7P! 2

(

)

2 1 12 1 2 3 4 ! 2 ! 4 ! 2 4 ! 4 = = = − x x x x P% 2

(

)

3 2 1 120 1 2 3 4 5 6 ! 3 6 ! 6 = = − x x x x x x x Contoh soal :

1 $erapa cara untuk memilih seorang ketua dan seorang bendahara dari suatu kelas terdiri !8 orang 6 Jawab : Permutasi ! dari !8 ' !8P! 2 2

(

)

18! ! 18 19 20 ! 2 20 ! 20 x x = − 2 !8 . 19 2 %:8 cara

Dengan cara lain '

- emilih ketua ' !8 cara

- emilih $endahara ' 19 cara !8.19 2 %:8 cara

! $erapa cara untuk membuat nomor kode dengan % huru4 berbeda dan diikuti 7 angka berbeda 6 Jawab : !P% ; 18P72

(

) (

10 4

)

! ! 10 ! 3 26 ! 26 − − x 2 !.!<.!7 ; 18.9.:.= 2 1<88 ; <878 &"'

(5)

2 =:!7888 cara contoh ' SD:<17, "$&1!%<

9. PEMUTASI !A"# MEMUAT BEBERAPA U"SUR SAMA

$anyaknya permutasi n unsur yang memuat k unsur sama ( k ≤ n

... (%a

! $anyaknya permutasi n unsur yag memuat k unsur sama, l unsur sama dan m unsur sama'

... (%b

Contoh :

1. Permutasi ! huru4 " dan " adalah hanya satu yaitu ' ""

"tau P 2 1 ! 2 ! 2 =

(Permutasi ! unsur dengan ! unsur sama.

!. Permutasi % huru4 ", " dan $ yaitu' ""$, "$", $"".

atau P 2 3 ! 2 ! 3 =

(Permutasi % unsur dengan ! unsur sama.

%. $erapa banyak susunan huru4 yang dibentuk dari huru4-huru4 '

a S, >, ?, > b P, ", 5, @, 5, " c &, ", , ", , ", A

&"'

! ! k n ! ! ! ! m l k n

(6)

d , @, 5, &, @, &, @, 5 Jawab: a P 2 12 3 . 4 ! 2 ! 4 ! ! = = = k n b P 2 180 1 . 2 3 4 5 6 ! 2 ! 2 ! 6 ! ! ! = = = x x x l k n c P 2 420 1 . 2 4 5 6 7 ! 3 ! 2 ! 7 ! ! ! = = = x x x l k n d P 2 680 . 1 5 . 6 . 7 . 8 ! 3 ! 2 ! 2 ! 8 ! ! ! ! = = = m l k n

9.$ PERMUTASI SI%&IS ' SIR%U&ER

isalnya ada % orang " ("ni, $ ($oy, &(&arli menempati % kursi yang mengelilingi meja bundar' maka ada ! cara '

"• "•

&• •$ •$ •&

(a (b

&"'

(  Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

(7)

dari gambar pada (a ' "$&, $&", &"$ adalah sama

pada (b ' "&$, &$", $"& adalah sama

Padahal P% 2 % 3 2 , maka P% (siklis 2 !

"tau P% (siklis 2 (%-1 3

)adi, +++++(7

Contoh Soal:

1. isalkan ada 7 orang ' ",$,&, dan D menempati 7 kursi yang mengeliling meja bundar, maka banyak cara mereka duduk ada '

P7 (siklis 2 (7 * 1 3

2 %.!.1 2  cara

!. $ila " harus berdekatan dengan $ ada berapa cara mereka duduk 6

P! . P% (siklis 2 !.! 2 7 cara

9.( PERMUTASI BERU&A"#

$anyaknya permutasi r unsur dari n unsur yang diketahui (unsur boleh diulang

(r≤n ++++. (<

Contoh soal :

&"'

(  Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

P

n

"siklis# = "n$

(8)

1. $erapa banyak susunan nomor kendaraan bila terdiri ' dua huru4 diikuti 7 angka6

Jawab : !P!(berulang ; 18P7(berulang

2 !.! ; 18.18.18.18

2 .=8.888 Susunan

!. $erapa banyak susunan nomor kendaraan, bila diawali huru4 $ kemudian diikuti 7 angka kemudian diikuti ! huru4.

Jawab : &ontoh $ ::::"", $1!%7B5 dll

18P7(berulang ; !P!(berulang

2 18.18.18.18. ; !.!

2 .=8.888 susunan

(Perhatian33 nomor kendaraan diatas termasuk nomor $888800

$188800, $818800, $ 881800, $888100

Soal)Jawab Cam*uran

1 $ilangan terdiri % angka berbeda dibentuk dari angka-angka' !, %, <, , =, 9. a. "da berapa bilangan 6

b. "da berapa cara bila bilangan yang dibentuk C 788 6

c. "da berapa yang genap 6

d. "da berapa yang ganjil 6

e. "da berapa yang kelipatan < 6

Jawab :

&"'

( ( Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

(9)

a P% 2 .<.7 2 1!8 bilangan

b 5atusan ' ! cara (angka ! dan %

Puluhan ' < cara !.<.7 2 78 bilangan C 788

<P!

Satuan ' 7 cara

c Satuan ' ! cara (angka ! dan 

5atusan ' < cara ( angka diambil 1 buah satuan

Puluhan ' 7 cara

(<.7.! 2 78 bilangan genap

d Satuan ' 7 cara (angka %,<, =, 9

5atusan ' < cara ( angka diambil 1 buah satuan

Puluhan ' 7 cara

( <.7.7 2 :8 bilangan ganjil

e Satuan ' 1 cara (angka < 5atusan ' < cara <P!

Puluhan ' 7 cara

<.7.1 2 !8 bilangan (kelipatan <

! "da < orang terdiri % pria dan ! wanita

a. Dengan berapa cara mereka duduk dalam satu baris 6

b. Soal a. bila pria dan wanita masing-masing tidak terpisah 6

c. Soal a, bila hanya wanita yang tidak terpisah-pisah6

Jawab :

&"'

( ) Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

(10)

a P< 2 <.7.%.!.1 2 <3 2 1!8 cara

b "da ! bentuk , yaitu ' PPP dan PPP Permutasi pria 2 P%, permutasi wanita

2 P!. jadi semuanya 2 !.P%.P!

2 !.%3 . !3 2 !..! 2 !7 cara

c "da 7 bentuk , yaitu '

PPP, PPP, PPP,dan PPP

)adi semuanya 2 7.P% . P!

2 7.%3 . !3 2 7..! 2 7: cara

atau , cara lain '  dianggap Satu

jadi ada ' P7 . P! 2 73 . !3 2 !.7.! 2 7: cara

&ATI+A" S,A&

1. itunglah' 1P%, =P7, <P%, 1!P8.

!. Sebuah grup terdiri = wanita dan % pria. "da berapa cara berbaris yang mungkin dilakukan jika ketiga pria tersebut harus berdiri bersebelahan 6

% "da berapa banyak cara yang mungkin menyusun huru4-huru4 dalam kata ' ississippi6

7 $anyaknya lambang bilangan yang terdiri dari 7 angka, jika tersedia angka, 1, !, %, 7, <, , =, :, 9 adalah +6

<. Dalam berapa carakah 7 laki*laki dan 7 perempuan duduk pada meja bundar sehingga tidak ada dua laki*laki duduk berdekatan6

&"'

( %* Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig

(11)

+aftar Pustaka

$ahri, S., !88, Logika dan Himpunan, UniEersitas ataram, ataram. Simangunsong ilson, atematika dasar, ( )akarta' @rlangga, !88< http'//perpustakaancyber.blogspot.com

&"'

( %% Matematika Diskrit Pusat )a!a A*ar da eLearig