BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan diuraikan mengenai metode-metode ilmiah dari teori-teori yang digunakan dalam penyelesaian persoalan untuk menentukan model program linier dalam produksi Teh pada PT.Perkebunan Nusantara IV Medan.

2.1 Pengertian Luas Produksi

Pada umumnya produksi suatu perusahaan ada berbagai jenis. Ada perusahaan yang produksinya hanya sejenis barang dan ada pula yang menghasilkan dua jenis barang atau lebih. Sehingga luas produksi perusahaan perlu direncanakan agar tidak terjadi pemborosan.

Luas produksi adalah suatu ukuran berapa banyak jumlah dan jenis barang yang akan diproduksi oleh suatu perusahaan. Makin banyak barang yang diproduksi termasuk jumlah dan jenisnya, semakin besar luas produksi yang diterapkan. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa luas produksi merupakan standar atau ukuran jumlah barang yang harus diproduksi oleh suatu perusahaan agar laba maksimal sementara pengeluaran atau biaya dapat ditekan atau diminimumkan.

Laba adalah kelebihan total penghasilan atas biaya, sedangkan maksimal diartikan batas yang paling tinggi yang harus dicapai. Biaya merupakan pengeluaran yang dilakukan perusahaan untuk memperoleh faktor-faktor produksi yang digunakan dalam proses produksi. Minimal artinya batas tertinggi dari biaya yang harus dikeluarkan.

2.2 Faktor-faktor yang Menentukan Luas Produksi

Suatu perusahaan tertentu memerlukan sumber daya yang dapat menghasilkan barang yang mendatangkan keuntungan yang lebih besar. Jenis dan jumlah sumber daya

inilah yang menentukan jumlah barang yang akan diproduksikan suatu perusahaan dimana jenis dan jumlah sumber daya tersebut sangat terbatas.

Dalam kondisi yang demikian pimpinan perusahaan perlu dan harus mengambil sikap dalam menentukan jenis dan jumlah produk yang akan diproduksi dengan sumber daya yang sangat terbatas agar laba yang diperoleh maksimal.

Lebih lanjut faktor-faktor yang menentukan luas produksi suatu perusahaan antara lain adalah sebagai berikut :

1. Tersedianya bahan dasar

2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki 3. Tersedianya tenaga kerja

4. Batasan permintaan

5. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain

Dengan tersedianya kelima factor produksi diatas maka luas produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan program linier.

2.3 Diagram aliran untuk pengolahan teh

X1 Mesin 1 X2 Mesin 2 X4 Mesin 3 X5 Mesin 4

( X6 ) Grade 1 Air ( X3 ) ( X7 ) Grade 2 ( X8 ) Grade 3

Keterangan :

Mesin 1 ( X9 ) : Pelayuan

Mesin 2 ( X10) : Penggulungan + Fermentase Mesin 3 ( X11) : pengeringan

Mesin 4 (X12) : Sortase

X6 : Jenis Teh Grade 1 X7 : Jenis Teh Grade 2 X8 : Jenis Teh Grade 3

X1 : Jumlah input bahan yang diolah

X2 : Jumlah recovery yang masuk ke mesin 2

X3 : Jumlah air yang digunakan untuk proses pada mesin 2 X4 : Jumlah recovery yang masuk ke mesin 3

X5 : Jumlah recovery yang masuk ke mesin 4

Dalam gambar 2.3 dapat dilihat urutan proses pengolahan Teh. Daun teh basah merupakan bahan baku ditunjukkan oleh X1, selama proses sebagai bahan pembantu dibutuhkan sejumlah air yang digunakan pada mesin 2.

Input X1 yaitu bahan mentah yang dimodifikasi oleh recovery ratetiap mesin, jadi sejumlah input X1 diproses pada mesin 1. Kemudian masuk mesin 2, yang masuk ke mesin 2 dinyatakan persen dari X1, sisanya ( yang tidak masuk mesin 2 ) dibuang, demikian seterusnya sampai diperoleh produk akhir. Masing-masing mesin mempunyai kapasitas tertentu dan diukur dalam satuan kg.

2.4. Program linier secara umum

Program linier merupakan bagian dari program matematik, yang dimaksud dengan program linier adalah teknik-teknik yang meliputi suatu klasifikasi persoalan-persoalan optimisasi dalam hal dimana terdapat interaksi antara banyak variable-variabel, tetapi terbatas dalam kondisi-kondisi pembatasnya. Kondisi pembatas ini dapat timbul dari berbagai sumber, misalnya keadaan pasar, kapasitas mesin, persediaan bahan baku, penyimpanan dan sebagainya.

Dalam program linier, fungsi-fungsi yang digunakan adalah fungsi linier, sedangkan fungsi-fungsi pembatas digunakan persamaan dan atau ketidaksamaan linier. Variable-variabel yang digunakan juga harus variabel non-negatif.

Pada umumnya program linier dapat digunakan untuk mengoptimisasikan persoalan-persoalan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut:

1. Fungsi tujuan dapat didefenisikan dengan jelas 2. Adanya alternative tindakan

3. Fungsi tujuan dan fungsi-fungsi pembatas harus dapat dinyatakan dalam bentuk matematis dan bersifat linier.

4. Variabel-variabel harus saling berhubungan

5. Sumber-sumber harus dalam kondisi terbatas, misalnya kapasitas mesin, jam kerja yang tersedia dan sebagainya.

Tipe-tipe masalah yang dapat dipecahkan dengan mempergunakan program linier adalah sangat banyak, diantaranya dapat disebutkan sebagai berikut :

1. Masalah alokasi produk pada mesin-mesin 2. Masalah distribusi dan pengiriman

3. Masalah penentuan lokasi gudang 4. Masalah perencanaan produksi

5. Masalah pencampuran bahan baku untuk memperoleh pencampuran yang optimal.

Ada dua buah program linier yang banyak dipergunakan, yaitu : 1. Model program linier dengan metode simpleks 2. Model transportasi

Dalam bab ini hanya diuraikan teori program linier dengan metode simpleks, sedangkan model transportasi tidak akan diuraikan lebih lanjut.

2.4.1. Formulasi Matematika Program Linier

Secara umum persoalan program linier dapat diuraikan sebagai berikut : ” Terdapat m buah persamaan dari masing-masing r buah variable, diinginkan untuk menentukan kombinasi r buah variabel non-negatif yang memenuhi batasan-batasan yang

ditentukan oleh m buah persamaan atau ketidaksamaan linier tersebut, dan memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan yang linier pula”.

Secara matematik, persoalan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Memaksimumkan/meminimumkan fungsi tujuan :

r rX C X C X C Z = _{1 1} + _{2 2} +... +

2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :

m i untuk b X a X a X a_{i i ir r i} , ... , 3 , 2 , 1 ... 2 2 1 1 = ≥ = ≤ + + +

3. Dengan pembatas non-negatif

m i B r j X i j , ... , 3 , 2 , 1 , 0 , ... , 3 , 2 , 1 , 0 = ≥ = ≥

4. a_ij,b_i dan C_j adalah konstanta yang diketahui harganya.

Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks A

(

m×r

)

dengan matriks kolom X

(

r ×l

)

yang hasilnya adalah suatu kolom B

(

m×l

)

.             ≥ = ≤             ×             m r mr m m r r b b b X X X a a a a a a a a a M M M M K K 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang digunakan.

Secara umum, kelinieran dapat digolongkan kedalam dua sifat, yaitu : 1. Sifat menambahkan

Bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan waktu t1 jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu t2 jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu ( t1 + t2 ) jam.

2. Sifat Mengalikan

Bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam, maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.

Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas yang dapat berbentuk = atau ≥ , maka perlu diadakan pengenalan terhadap sifat-sifat dari bentuk-bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya. Untuk tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk, yaitu :

1. Bentuk Kanonik

Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan teori dualitas. Karakteristik bentuk ini adalah :

a. Semua variable adalah non-negatif b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤

c. Fungsi tujuan adalah maksimasi

Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan sebagai berikut : r j X m I X a Pembatas Fungsi X C Z Maksimasi j j ij r j j j , ... , 2 , 1 , 0 , ... , 2 , 1 , 0 : : 1 = ≥ = ≤ =

∑

= 2. Bentuk Standard

Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah :

a. Semua variable adalah non-negatif

b. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non-negatif bertanda ≥ 0

c. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi

Setiap variasi bentuk persoalan program linier dapat diubah kedalam bentuk kanonik dengan mempergunakan satu atau beberapa transformasi dasar dari 5 buah transformasi dasar yang akan diuraikan dibawah ini :

1. Minimasi suatu fungsi f

( )

x secara sistematis adalah ekivalen dengan maksimisasi daripada negative fungsi tersebut − f

( )

x .

r r r r X C X C Z Y i Maksimisas dengan ekivalen adalah X C X C Z Minimasi Contoh − − − = − = + + = ... ... : 1 1 1 1

2. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk ketidaksamaan dengan arah berlawanan (c) dengan mengalikan -1

b X a X a dengan ekivalen b X a X a Contoh − ≥ − − = + 2 2 1 1 2 2 1 1 , :

3. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan arah yang berlawanan.

b X a X a dan b X a X a atau b X a X a dan b X a X a dengan ekivalen b X a X a Contoh − ≤ − − ≤ + − ≤ + ≤ + = + 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , , :

4. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolut, dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan.

q X p X p dan q X p X p dengan ekivalen q q X p X p dan b X a X a dan b X a X a dengan ekivalen b b X a X a Contoh i i + ≥ + ≤− ≥ ≥ + ≤ + − ≥ + ≥ ≤ + 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , 0 , , , 0 , :

5. Suatu variable yang tidak diketahui tandanya ( bias positif, nol atau negative ) adalah ekivalent dengan selisih antara 2 variabel non-negatif.

X

Contoh : tidak diketahui tandanya, maka X dapat dinyatakan sebagai

(

X+.X−

)

, dimana 0_X+ _{dan X}− _adalah ≥ _.

Didalam penyelesaian persoalan program linier dengan mempergunakan metode simpleks, bentuk dasar yang dipergunakan adalah bentuk standard. Karena itu setiap persoalan program linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard. Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, disamping kelima bentuk transformasi dasar yang telah diuraikan terlebih dahulu diperlukan pula pengertian variable ” Slack dan

Surplus ”, dimana variabel-variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan ( bentuk standart ) tanpa mempengaruhi fungsi tujuannya.

2.4.2. Variabel Slack dan Surplus

Constrain dalam bentuk ≤ dapat dirubah ke dalam persamaan dengan menambahkan variable baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian hingga variable baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan dan ruas kiri pertidaksamaan.

Misalnya diketahui pada persoalan program linier bahwa salah satu fungsi pembatas

ke

∑

= ≤ r j h j hjX b a adalah h 1

. Selanjutnya akan ditentukan suatu variabel X_r+h ≥ 0,

dimana memenuhi hubungan r _{r h}

j j hj h h r b a X X X ₊ = + = −

∑

≥0. 1

ini disebut variable

slack karena b_h dapat dianggap sebagai batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan

∑

= r j j hjX a 1

adalah pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang tersedia dan yang dipakai ini adalah slack ( misalnya slack jam operasi mesin ), persamaan tersebut dapat ditulis :

. 1 r h h r j hj j b X X a + ₊ = =

∑

Jadi dengan menambahkan variable slack X_r+h , maka bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk persamaan.

Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda ≥ . Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi pembatas ke k adalah

∑

= ≥ r j k j kj X b a 1

. Kemudian tentukan suatu variabel tertentu

0

≥

+h r

X , dimana memenuhi hubungan X_r+h =

∑

= − r j k j kj X b a 1 . X_r+h ini disebut variable surplus, karena b_k dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk yang harus dibuat dan

∑

= r j j kj X a 1

adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat. Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang seharusnya dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis :

∑

= + = − r j kj j r h k b X X a 1 . 2.4.3. Variabel Artificial

Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1variable-variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan tanda ≤, maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variable slack . Tetapi bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda ≥ , maka variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.

Misalnya :

b x a x

a_{1 1} + _{2 2} ≥ diubah menjadi bentuk persamaan :

b S x a x a_{1 1} + _{2 2} − ₁ = .

Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat diperoleh variable basis.

Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variable artifical . Variabel artifical

ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Dimana harga ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau minimisasi.

Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan adalah :

M

C_a =− , untuk maksimisasi

M

C_a =+ , untuk minimisasi

M adalah bilangan positif sangat besar, dan C_a adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical X_b .

2.4.4. Metode Simpleks

Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar ietratif yang dikembangkan oleh George B. Dantizg pada tahun 1947 untuk memecahkan persoalan-persoalan program linier. Dalam menguraikan metode simpleks ini untuk selanjutnya akan dipakai pengertian persoalan maksimasi, karena minimisasi fungsi tujuan adalah sama dengan maksimisasi negative fungsi tujuan tersebut.

Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artifical . Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut Fungsi Tujuan : Maksimisasi/minimisasi :

∑

= = r j j jX C Z 1 Fungsi Pembatas :

Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikan/dijelaskan dalam bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah :

          =           ×           + + + + + m m r m r m r r m mr m m r r b b X X a a a a a a a a a a M M K K M K K 1 1 , 1 , 1 1 , 2 1 1 , 1 1 12 11 Dimana : j

C = Koefisien fungsi tujuan untuk variable ke-j

ij

a = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variable ke-j

m = Jumlah fungsi pembatas

r = Jumlah variable asli

b_i= Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan

satuan matriks I a a a a m m r m r m m r r = =           + + + + , 1 , , 1 1 , 1 K M K

Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini, maka digunakan table iterasi simpleks

Table 2.1 Iterasi Simpleks j C C_{1 L} C_r C_{r+1 L} C_r+m i N

_Cb

_i X_{1 L} X_r X_{r+1 L} X_r+m b₁ φ₁ m r r r + ⋅ ⋅ ⋅ + + 2 1 m r r C C + +1 a11 L a1r a1,r+1 L a1,r+m m r m r mr m a a a a _{1 L 1, +1 L , +} 1 b m b 1 φ m φ j Z j j C Z − i

N = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i i

Cb

= Koefisien fungsi tujuan variabel ke Ni

r X X_1K = Variabel-variabel asli m r r X

X _{+1K +} = Variabel-variabel basis awal

∑

= × = m i ij i j Cb a Z 1

Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu :

2. Mencari variabel basis yang lama Xq yang akan diganti

3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga a_ij dan b_iyang baru. Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut :

1. Mencari variabel Xk yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga Z_j −C_juntuk j = 1, 2 , … , r + m

b. Jika ada satu atau lebih harga Z_j−C_j≤ 0, maka variabel dengan harga

j

j C

Z − negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru.

c. Bila semua harga Z_j−C_j≥ 0, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini.

d. Bila Zk – Ck adalah negatif terbesar, dan a_ik ≤ 0 untuk setiap 1 = 1, … , m maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila a_ik ≥ 0 untuk paling sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( Xk ).

2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru ( Xk) a. Hitung harga φ_i =b_i/a_ik,i =1,2,...,m

b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga

terkecil positif

i

φ ( misalkan φ_i =1).

3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan Xk adalah variabel basis baru yang menggantikan Xk. Transformasi yang akan dilakukan adalah :

a. N_i=k

b. Cb_i =C_k

c. a_ij=a

Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga Zj - Cj semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.

Contoh Soal : 1. Minimum Z = 3X1 + 5X2 Kendala : 2X1 = 8 3X2 ≤ 15 6X1 + 5X2 ≥ 30 X1 > 0, X2 ≥ 0 Penyelesaian :

Ubah kedalam bentuk Standar :

Minimum : Z = 3X1 + 5X2 + 0X3 + MX4 + 0X5 + MX6 Kendala 2X1 + X4 = 8 3X2 + X5 = 15 6X1 + 5X2 – X3 + X6 = 30 Xj ≥ 0, ( j = 1,2,...6) Iterasi 0 3 5 0 M 0 M Basis C X1 X2 X3 X4 X5 X6 B X4 M 2 0 0 1 0 0 8 X5 0 0 3 0 0 1 0 15 X6 M 6 5 -1 0 0 1 30 Zj - Cj 8M-3 5M-5 -M 0 0 0 38M

8M-3 merupakan positif terbesar, karena Ө minimal {

6 30 , 0 15 , 2 8 };sehingga variabel X4 keluar basis dan X1 masuk basis.

X1 = 1, 0, 0, 2 1 , 0, 0, 4 X5 : 0 - 0 (1) = 0 3 - 0 (0) = 3 0 - 0 (0) = 0 0 - 0 ( 2 1 ) = 0 1 - 0 (0) = 1 0 - 0 (0) = 0 15 – 0 (4) = 15 X6 : 6 – 6(1) = 0 5 - 6 (0) = 5 -1 – 6 (0) = -1 0 – 6 ( 2 1 ) = -3 0 – 6 (0) = 0 1 – 6 (0) = 1 30 – 6 (4) = 6

Iterasi 1 3 5 0 M 0 M Basis C X1 X2 X3 X4 X5 X6 B X1 3 1 0 0 2 1 0 0 4 X5 0 0 3 0 0 1 0 15 X6 M 0 5 -1 -3 0 1 6 Zj - Cj M 5M-5 -M 2 3 4 + − M 0 0 6M+12

5M-5 merupakan positif terbesar,karena Ө minimal {

5 6 , 3 15 , 0 4 }sehingga variabel X6 keluar basis dan X2 masuk basis.

X1 = 3, 1, 0, 0, 2 1 ,0 ,0 ,4 X5 = 0, 0, 0, 5 3 , 5 9 , 1, 5 3 − , 5 57 X = 5, 0, 1, 5 1 − , 5 3 − , 0, 5 1 , 5 6 Iterasi 2 3 5 0 M 0 M Basis C X1 X2 X3 X4 X5 X6 B X1 3 1 0 0 2 1 0 0 4 X5 0 0 0 5 3 5 9 1 5 3 − 5 57 X2 5 0 1 5 1 − 5 3 − 0 5 1 5 6 Zj - Cj 0 0 -1 − −M 2 3 0 1 – M 18

Karena Zj – Cj ≤ 0 ( telah bernilai positif ) maka telah solusi telah optimal, dan perhitungan telah selesai.

2.5. Formulasi Fungsi Konstribusi Marginal Sebagai Fungsi Tujuan

Tujuan yang diharapkan dalam memecahkan masalah mesin ini adalah memaksimumkan keuntungan. Dengan adanya analisis metode simpleks maka terdapat kemungkinan kapasitas mesin yang tidak dipergunakan ( dalam hal ini slack

bernilai positif ). Ditinjau dari segi ongkos, maka hal ini adalah termasuk ongkos yang menganggur, dimana sulit untuk menentukan besarnya ongkos ini karena alokasi sendiri belum dilakukan. Kesulitan lain yang timbul adalah dalam menentukan ongkos persatuan produk apabila dikerjakan pada mesin tertentu. Kesulitan ini juga disebabkan oleh belum ditentukannya jumlah produk yang dibebankan pada mesin tersebut.

Kesulitan-kesulitan tersebut mengakibatkan fungsi ongkos tidaklah merupakan cara pendekatan yang baik. Karena itu diperlukanpendekatan yang lain yang lebih cepat, sehingga dapat menyatakan persoalan yang sebenarnya.

Dengan adanya kemungkinan bahwa jam operasi mesin yang tersedia tidak digunakan seluruhnya, maka tujuan yang diharapkan untuk dicapai, juga dapat diartikan sebagai meminimumkan kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur.

Besarnya kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur ini dapat juga dinyatakan sebagai pendapatan yang diperoleh dari penjualan suatu produk dikurangi dengan ongkos variabelnya ( konstribusi marginal ). Karena ongkos tetap mesin, besarnya tidak dipengaruhi oleh bentuk alokasi produk ( pembebanan mesin ) yang dilakukan, maka pemakai fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah setara dengan fungsi. Sebelum mencari fungsi tujuan dalam bentuk fungsi konstribusi marginal, terlebih dahulu akan di defenisikan beberapa notasi sebagai berikut :

P(Xn) : Keuntungan yang dihasilkan bila dilakukan n buah alokasi produk P(Xj) : Keuntungan yang dihasilkan oleh satu satuan produk pada alokasi ke j Cj : Ongkos produksi satu satuan produk pada alokasi ke j

Sj : Harga jual satu satuan produk pada alokasi ke j Fj : Ongkos tetap pada alokasi ke j

Vj : Ongkos variabel satu satuan produk pada alokasi ke j

Bila keuntungan dipakai sebagai fungsi tujuan maka dapat diformulasikan Maksimasi

( )

_∑

( )

− = n j j j n P X X X P 1 .

Dengan diketahui persamaan-persamaan sebagai berikut : Cj = Fj + Vj P(Xj) = Sj - Cj Maka :

( )

∑

( )

− = n j j j n P X X X P 1 . =

∑

(

)

− − n j j j j C X S 1 . =

∑

(

)

∑

= − − − n j n j j j j j j V X F X S 1 1 . . Sehingga :

( )

∑

∑

(

)

= − − = + n j j j j n j j j n F X S V X X P 1 1 . .

Bila Z = K (Xn) adalah fungsi konstribusi marginal, maka : Z =

( )

∑

− + n j j j n F X X P 1 . =

∑

(

)

∑

= − = − n j n j j j j j j V X K K S 1 1 . .

Jadi fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah :

Maksimasi :

( )

∑

− + = n j j j n K X X K Z 1 .

Dimana : K( Xn) : Konstribusi marginal bila dilakukan n buah alokasi produk Kj : Konstribusi marginal satuan pada alokasi ke j

Xj : Jumlah produk yang dialokasikan pada alokasi ke j

Karena fungsi konstribusi marginal ini linier maka dapat memenuhi persyaratan fungsi tujuan linier.