SPML-01-CU-SUM

(1)

BAGAN KENDALI

(2)

REVIEW

• Bagan kendali Shewhart biasanya diaplikasikan pada

tahap I dari SPC.

• Shewhart mengidentifikasi terkontrol atau tidaknya

suatu proses secara statistik pada batas ± 3σ, sehingga

untuk pergeseran proses yg kecil (katakan 1,5σ)

terkadang diabaikan.

• Hal ini menjadikan bagan kendali shewhart kurang

digunakan untuk tahap II dari SPC --> Kurang sensitif

terhadap pergeseran proses yang kecil.

(3)

• Dua bagan kendali alternatif yg dapat

digunakan untuk tahap II dari SPC yg

mengakomodir identifikasi adanya pergeseran

proses yg kecil:

1. Bagan kendali Cumulative Sum (Cu-Sum)

2. Bagan kendali Exponentially Weighted Moving

Average (EWMA)

(4)

CUMULATIVE SUM

• Misal, 30 Sampel diambil dr 2 proses produksi yg berbeda di

mana 20 sampel acak pertama diambil dari proses produksi

dg μ = 10 dan σ = 1, sedangkan 10 sisanya dari μ = 11 dan σ =

1.

(5)

• Bagan kendali Shewhart efektif untuk

mendeteksi pergeseran proses ≥ 2σ, namun

untuk pergeseran yg lebih kecil menjadi tidak

efektif lagi.

• Bagan kendali

Cumulative Sum (Cu-Sum)

efektif untuk mendeteksi adanya pergeseran

proses yang kecil. (Diusulkan o/ Page, 1954).

(6)

• Bagan Cusum dapat digunakan untuk observasi tunggal

ataupun rasional subgrup.

• Misal, diambil sampel

n

≥ 1, x-bar

_j

adl rata-rata dari sampel

ke-j. Jika μ

₀

adl target rata-rata proses, maka bagan kendali

Cu-Sum dibentuk dg menempatkan nilai

• Jika proses tetap dlm keadaan terkontrol maka Ci

mendekati 0, Jika bergeser ke atas dg nilai μ

₁

> μ

₀

, nilai Ci

akan positif. Jika bergeser ke bawah dg nilai μ

₁

< μ

₀

, nilai Ci

negatif.



0



1 i

i

j

C

x









(7)

• Misal; dg μ

₀

= 10, maka Cu-Sum menjadi:

















1

10

10 i

i

j

i

j

i

C

x

C





























(8)

• Misal:

sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

1 9,45

-0,55

16 9,37

-0,63

-0,37

2 7,99

-2,01

-2,56

17 10,62

0,62

0,25

3 9,29

-0,71

-3,27

18 10,31

0,31

0,56

4 11,66

1,66

-1,61

19 8,52

-1,48

-0,92

5 12,16

2,16

0,55

20 10,84

0,84

-0,08

6 10,18

0,18

0,73

21 10,9

0,9

0,82

7 8,04

-1,96

-1,23

22 9,33

-0,67

0,15

8 11,46

1,46

0,23

23 12,29

2,29

2,44

9 9,2

-0,8

-0,57

24 11,5

1,5

3,94

10 10,34

0,34

-0,23

25 10,6

0,6

4,54

11 9,03

-0,97

-1,2

26 11,08

1,08

5,62

12 11,47

1,47

0,27

27 10,38

0,38

6

13 10,51

0,51

0,78

28 11,62

1,62

7,62

14 9,4

-0,6

0,18

29 11,31

1,31

8,93

15 10,08

0,08

0,26

30 10,52

0,52

9,45

(9)

(10)

• Model bagan kendali Cu-Sum, dibatasi oleh dua

statistik,

C

+

dan

C

-

yang kemudian disebut

U-Cusum

dan

L-Cusum.

ALGORITMA TABULAR CU-SUM









0 1 0 1 0 0

0,

di mana

0

i i i i i i

C

maks

x

K

C

maks

K

x

C



       







_





_







_



 

_



(11)

• K

disebut sebagai

nilai acuan (

reference value

)

dan

nilainya adl setengah dari selisih μ

₀

dan μ

₁

di mana :

• Jika

C

+

_dan

_C

-

_melebihi

_H

_{, maka proses dikatakan}

tidak terkontrol.

H = 5σ

.

1

0

1

0 

 

 













1 0

2 K



 



(12)

• Contoh:

Perhatikan data yg lalu; nilai target μ

₀

= 10, ukuran subgrup

n

= 1, σ = 1. Misal ingin dideteksi jarak pergeseran proses 1.σ =

1(1) = 1. Jadi, μ

₁

= 11, shg K = 0,5 dan H = 5σ = 5.

















1 1 0 1 1 0 2 2 1 2 2 1

0;

10, 5

0;9, 45 10, 5 0

0 0;9, 5

0;9, 5 9, 45 0

0, 05

0;

10, 5

0; 7, 99 10, 5 0

0 0;9, 5

0;9, 5 7, 99 0, 05

1, 56

C

maks

x

C

maks

C

maks

x

C

maks

C

maks

x

C

maks

C

maks

x

C

maks

       







_





_





 







_

 

_





 







_





_





 







_

 

_









(13)

sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

Ci+

N+

Ci-

N-1

9,45

-0,55

0

0 -0,05

1

2 7,99

-2,01

-2,56

0

0 -1,56

2

3 9,29

-0,71

-3,27

0

0 -1,77

3

4 11,66

1,66

-1,61

1,16

1

0

5 12,16

2,16

0,55

2,82

2

0

6 10,18

0,18

0,73

2,5

3

0

7 8,04

-1,96

-1,23

0,04

4 -1,46

1

8 11,46

1,46

0,23

1

5

0

9 9,2

-0,8

-0,57

0

0 -0,3

1

10 10,34

0,34

-0,23

0

11 9,03

-0,97

-1,2

0

0 -0,47

1

12 11,47

1,47

0,27

0,97

1

0

13 10,51

0,51

0,78

0,98

2

0

(14)

sampel, i

xi

xi - 10

Ci = (xi-10)+Ci-1

Ci+

N+

Ci-

N-15

10,08

0,08

0,26

0

16 9,37

-0,63

-0,37

0

0 -0,13

1

17 10,62

0,62

0,25

0,12

1

0

18 10,31

0,31

0,56

0

19 8,52

-1,48

-0,92

0

0 -0,98

1

20 10,84

0,84

-0,08

0,34

1

0

21 10,9

0,9

0,82

0,74

2

0

22 9,33

-0,67

0,15

0

0 -0,17

1

23 12,29

2,29

2,44

1,79

1

0

24 11,5

1,5

3,94

2,79

2

0

25 10,6

0,6

4,54

2,89

3

0

26 11,08

1,08

5,62

3,47

4

0

27 10,38

0,38

6 3,35

5

0

28 11,62

1,62

7,62

4,47

6

0

29 11,31

1,31

8,93

5,28

7

0

30 10,52

0,52

9,45

5,3

8

0

0 OUT of

CONTROL

(15)

(16)

• Adanya titik yg diluar batas

H

(titik 29 dan 30)

mengindikasikan adanya sebab terduga yg terjadi, berdasar

contoh indikasi mulai adanya pergeseran proses yakni pada

titik 22 dan 23

• Untuk mengecek seberapa besar terjadinya pergeseran

proses pada titik yg tdk terkontrol, digunakan

0

0 , Jika

, Jika

i

C

K

C

H

N

C

K

C

H

N









 





 

  





(17)

• Misal: Cu-Sum periode ke -29

• Diketahui bahwa proses telah bergeser ke atas sebesar

1,25, shg perlu melakukan penyesuaian (menurunkan)

proses sebesar 1,25 units.

• Jadi, Cu-Sum dpt juga dinyatakan sbg bagan kendali

rata-rata terboboti, di mana bobotnya bersifat stokastik

29

0 ,

5, 28

10 0,5

11, 25

7 C

K

N

 



 



_







(18)

• Tabular Cusum didesain dg memilih parameter

K dan H. Kedua parameter tsb dipilih terkait

dg performa ARL yang bersesuaian.

• Didefinisikan bahwa

H

=

hσ

dan

K

=

kσ

.

• Para peneliti dan praktisi merekomendasikan

nilai h = 4 atau 5, dan k = ½ krn menghasilkan

ARL yang baik.

(19)

• Performa ARL pada Tabular Cusum dg h = 4, h

= 5 dan k = ½ .

(20)

• Nilai k berkorespondensi dg nilai h yang

menghasilkan ARL

₀

= 370 (Nilai ARL

₀

Bagan

Shewhart 3σ) (Penelitian: Hawkins, 1993).

(21)

• Teknik penghitungan ARL Cusum yang lain:

Formula Pendekatan Siegmund (1985)

(satu sisi, C

_i

+

_{atau C}

i

-

) :









2 1 0

exp

2

1

2 untuk

0, maka

untuk

dan

untuk

1,166

i i

b

ARL

k

C

k

C

b

h



 



    

    





 

 

 

    

 





(22)

• Untuk dua sisi (ARL

+

_{dan ARL}

-

_):

• Contoh: k = ½, h = 5. Misal δ

*

= 0, maka Δ = δ

*

- k = 0 – ½ = - ½ , b = h + 1,166 = 5 + 1,166 =

6,166, maka

1

1 ARL



ARL



ARL



 





 





 

2

1

1 exp

2 6,166

1

2

2 938, 2

1

2

2 ARL





_{ }



_{ }

_









(23)

• ARL

+

_{= ARL}

-

_{= 938,2. Maka,}

• Jika rataan bergeser sebanyak 2σ, maka δ

*

_{= 2,}

Δ

+

= 1,5 dan Δ

-

= -2,5. Sehingga ARL = 3,89

(Tabel: untuk 2σ = 4,01)

1

1 469,1

938, 2

ARL

(24)

• Banyak pengguna dari Cu-Sum menyukai

bentuk standardize (baku) dari variabel

x

_i

.

Diberikan:

• Batas kendali untuk Standardize Cu-Sum:

STANDARDIZE CU-SUM

0 i

i

x

y









1 1 0 0

0,

di mana

0

i i i i i i

C

maks

y

K

C

maks

K

y

C

       







_

 

_







_

  

_



(25)

• Prosedur alternatif untuk tabular Cu-Sum adl

V-Mask Cu-Sum. (Diusulkan o/ Barnard, 1959).

• V-Mask adl daerah berbentuk V untuk

menentukan apakah suatu proses tidak

terkontrol ataukah terkontrol. Jika rata-rata

berada di luar daerah V (baik atas/bawah),

maka dikatakan tidak terkontrol, demikian

(26)

• Prosedur V-Mask

1

0 di mana

i

j

i

j

i

C

y

C

x

y









 







(27)

• Prosedur V-Mask akan sama dengan Tabular

Cu-Sum jika dan hanya jika,

tan

k

A

dan

h

Ad

dk





(28)

• Misal: Jika k = ½ dan h = 5, maka

tan

1 (1) tan

26, 57

2 tan

1

5

10

2 k

A

dan

h

Ad

dk

d





 





 



_{ }

 

 

(29)

• Johnson dan Leone mengusulkan pola

penyusunan V-Mask:

1

2 tan

2

1 ln

,

A

dan

d

jika

kecil maka





















_

_















 

_



_



_



_

Peluang tidak

terdeteksi

pergeseran proses

pada suatu δ

Peluang kesalahan

(30)

(31)

LATIHAN

1. Berikut data observasi

berat molekul yang diambil

secara individu dari proses

kimia tiap jam. Target berat

molekul adalah 1050 dan

diasumsikan bahwa

σ

= 25.

Buat tabular Cu-Sum untuk

proses ini, dengan tingkat

deteksi pergeseran 1σ.

Bandingkan dengan Bagan

kendali Shewart.

Interpretasikan! Buat juga

(32)

2. Sebuah mesin digunakan untuk

mengisi botol. Sampel satu botol

diambil setiap jam dan diukur

beratnya (dalam ons). Karena

proses pengisian dilakukan secara

otomatis, maka proses berjalan

sangat stabil dan dalam jangka

waktu yang lama diindikasikan

bahwa σ = 0,05 ons. (a) Asumsikan

bahwa target proses adl 8,02 ons,

buat tabular Cu-Sum untuk proses

ini (h = 4,77 dan k = 0,5)! (b)

Apakah nilai σ = 0,05 ons cukup

berasalan digunakan untuk proses

ini?

(33)

3. Berikut adalah data

suhu (

o

_{C) dari proses}

kimiawi yang diambil

per dua menit. Nilai

target dari proses ini

adalah μ

₀

= 950. (a).

Estimasi standar

deviasi proses! (b).

Buat bagan kendali

tabular Cu-Sum untuk

proses ini dengan h = 5

dan k = ½.