LAMPIRAN A OSILATOR HARMONIK

LAMPIRAN A

OSILATOR HARMONIK

Persamaan Schrodinger untuk Osilator Harmonik dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝑑𝑑2𝛹𝛹 𝑑𝑑𝑦𝑦2

+ (α – y

2

)Ψ = 0

(A.1) Dengan y =

(

1_ħ

√𝑘𝑘𝑚𝑚)

1/2

α

= 2𝐸𝐸 ħ

�

𝑚𝑚 𝑘𝑘

=

2𝐸𝐸 ℎ𝑣𝑣 dimana v = 1 2𝜋𝜋� 𝑘𝑘

𝑚𝑚 Merupakan frekuensi Osilator harmonik.

Bentuk Asimtotik 𝜳𝜳_∞ dari fungsi gelombang.

Kita mulai dengan mencari bentuk asimtotik yang harus dimiliki Ψ ketika y → ±∞. Jika fungsi Ψ menyatakan partikel sebenarnya yang terlokalisasi dalam ruang, harganya harus mendekati nol ketika y mendekati tak terhingga agar ∫ I_−∞∞ ΨI2

dy menjadi terhingga, bukan nol.

Kita tuliskan kembali persamaan (A.1) sebagai berikut:

𝑑𝑑2𝛹𝛹 𝑑𝑑𝑦𝑦2

- (y

2

-

α) Ψ = 0

𝑑𝑑2𝛹𝛹 𝑑𝑑𝑦𝑦2

= (y

2

-

α) Ψ

𝑑𝑑2𝛹𝛹/𝑑𝑑𝑦𝑦2 (y2 −α) Ψ

= 1

Ketika y → ∞, y2≫ 𝛼𝛼, sehingga:

lim

_{y →∞}𝑑𝑑2𝛹𝛹/𝑑𝑑𝑦𝑦_{𝑦𝑦2𝛹𝛹} 2

= 1

(A.2)

Fungsi Ψ∞ yang memenuhi persamaan (A.2) adalah: Ψ∞ = 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2 Karena:

lim

_{y →∞}𝑑𝑑2𝛹𝛹∞ 𝑑𝑑𝑦𝑦2

=

_{y →∞}

lim

(

y2 - 1

)

𝑒𝑒

−𝑦𝑦 2_/2

=

y2

𝑒𝑒

−𝑦𝑦2/2(A.3)

Persamaan (A.3) merupakan bentuk Asimtotik Ψ yang diperlukan.

Persamaan Diferensial untuk fungsi f(y)

Kita dapat menuliskan fungsi gelombang osilator harmonik sebagai berikut:

Ψ = f(y) 𝛹𝛹

∞

= f(y)

𝑒𝑒

−𝑦𝑦2/2(A.4)

Dengan f(y) fungsi dari y yang harus dicari. Dengan memasukkan persamaan (A.4) dan (A.1) maka kita peroleh:

𝑑𝑑2𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑦𝑦2

– 2y

𝑑𝑑𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦

+(α-1) f = 0

(A.5)

Ini merupakan persamaan diferensial yang harus di penuhi oleh f.

Pengembangan deret pangkat f(y)

Prosedur yang di gunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial (A.5) ialah menganggap bahwa f(y) dapat diuraikan dalam deret pangkat y, yaitu:

f(y) =

A

₀

+ A

₁

y + A

₂

y

2

+ 𝐴𝐴

₃

𝑦𝑦

3

+ ⋯ = ∑

∞_𝑛𝑛=1

𝐴𝐴

_𝑛𝑛

𝑦𝑦

𝑛𝑛 (A.6) kemudian menentukan harga koefisien An. Diferensial f menghasilkan

:

𝑑𝑑𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦

= A

1

+ 2A

2

y + 3A

3

y

2

+ … =

�

∞_𝑛𝑛=1

𝑛𝑛𝐴𝐴

_𝑛𝑛

𝑦𝑦

𝑛𝑛−1

y

𝑑𝑑𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑦𝑦

= A

1

y+ 2A

2

y

2

+ 3A

3

y

3

+ … =

∑

∞_𝑛𝑛=1

𝑛𝑛𝐴𝐴

_𝑛𝑛

𝑦𝑦

𝑛𝑛(A.7)

Turunan kedua dari f terhadap y adalah:

𝑑𝑑2𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦2

= 1.2 A

2

+ 2.3A

3

y + 3.4A

4

y

2

+ … =

�

∞_𝑛𝑛=2

n(n − 1)𝐴𝐴

_𝑛𝑛

𝑦𝑦

𝑛𝑛−2

Yang sama dengan:

𝑑𝑑2_𝑓𝑓

𝑑𝑑𝑦𝑦2

=

�

(n + 2)(n + 1)𝐴𝐴

𝑛𝑛+2

𝑦𝑦

𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=0 (A.8)

Rumus rekursi untuk koefisien An

Dengan mensubstitusikan persamaan (A.6) dan persamaan (A.8) kedalam persamaan (A.5), maka kita peroleh:

�

∞_𝑛𝑛=0

[(n + 2)(n + 1)𝐴𝐴

_𝑛𝑛+2

− (2𝑛𝑛 + 1 − 𝛼𝛼)

A

n

]y

n

= 0

(A.9)

Supaya persamaan ini berlaku untuk setiap y, kuantitas dalam tanda kurung harus 0 untuk setiap harga n, sehingga kita dapatkan persyaratan:

(n+2)(n+1)A

n+2

= (2n+1-

α)A

n

Rumus rekursi:

A

_{n+2 =} 2𝑛𝑛+1−∝

(𝑛𝑛+2)(𝑛𝑛+1)

A

n(A.10)

Rumus rekursi ini memungkinkan kita untuk mencari koefisien A2, A3, A4, ……...

dinyatakan dalam A0 dan A1. Karena persamaan (1.5) merupakan persamaan

diferensial orde kedua, maka penyelesaiannya memiliki dua konstanta sembarang, disini konstanta itu adalah A0 dan A1. Mulai dari A0 kita dapatkan deret koefisien

Persyaratan yang harus dipenuhi f(y)

Ketika y → ∞; hanya jika Ψ → 0 ketika y → ∞, Ψ merupakan fungsi gelombang yang dapat diterima secara fisis. Karena f(y) dikalikan dengan 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2, Ψ memenuhi persyaratan diatas jika:

lim

y →∞f(y)

<

𝑒𝑒 −𝑦𝑦2_/2

Pengembangan deret pangkat fungsi gelombang asimtotik 𝜳𝜳_∞

Cara yang memadai untuk membandingkan perilaku asimtotik dari f(y) dan 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2 _{ialah menyatakannya dalam deret pangkat (f sudah dalam bentuk deret}

pangkat) dan memeriksa rasio antara koefisien deret yang berurutan ketika n → ∞. Dari rumus rekursi persamaan (A.10) kita dapat menyatakan bahwa:

lim

y →∞𝐴𝐴_𝐴𝐴𝑛𝑛+2_𝑛𝑛

=

_𝑛𝑛2 (A.11)

Karena

𝑒𝑒

𝑧𝑧

= 1 + z +

𝑧𝑧2 2!

+

𝑧𝑧3

3!

+ …..

Kita dapat menyatakan 𝑒𝑒𝑦𝑦2/2 dalam deret pangkat sebagai berikut:

𝑒𝑒

𝑦𝑦2/2

_{= 1 +}

𝑦𝑦2 2

+

𝑦𝑦4 22_{. 2!}

+

𝑦𝑦6 23 _.3!

+ ……

=

∑

1 2𝑛𝑛/2_{. �}𝑛𝑛 2�! ∞ 𝑛𝑛=0,2,4,…

y

n

=

∑∞_{𝑛𝑛=0,2,4,… 𝐵𝐵𝑛𝑛𝑦𝑦}𝑛𝑛 (A.12)

Rasio antara koefisien yang berurutan dari yn dalam persamaan (A.11) adalah:

𝐵𝐵𝑛𝑛 +2 𝐵𝐵𝑛𝑛

=

2𝑛𝑛/2 . �𝑛𝑛₂�! 2𝑛𝑛+22 _{. �}𝑛𝑛+2 2 �!

=

2 𝑛𝑛 /2 _{. �}𝑛𝑛 2�! 2 . 2𝑛𝑛 /2 _{. �}𝑛𝑛 2 + 1� (𝑛𝑛2)!

=

1 2 (𝑛𝑛₂+1)

=

1 𝑛𝑛+2

Dalam limit n → ∞, rasio ini menjadi:

lim

n →∞𝐵𝐵_𝐵𝐵𝑛𝑛 +2_𝑛𝑛

=

_𝑛𝑛1(A.13)

Jadi koefisien yang berurutan An dalam deret untuk f berkurang lebih lambat dari

deret pangkat 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2 alih alih lebih cepat, ini berarti f(y) 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2 tidak menuju nol ketika y → ∞.

Jika deret f berakhir pada harga n tertentu, sehingga koefisien An menjadi

nol untuk harga n yang lebih tinggi dari harga tertentu itu, maka 𝛹𝛹 akan menuju nol ketika y → ∞ karena faktor 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2. Dengan kata lain, jika f suatu polynomial dengan suku terhingga alih alih deret tak-terhingga, maka f dapat diterima.

Dari rumus rekursi:

A

n+2 = _{(𝑛𝑛+2)(𝑛𝑛+1)}2𝑛𝑛+1−∝

A

n

Jelaslah bahwa jika:

∝= 2n+1

(A.14)

Untuk setiap harga n, maka An+2 =An+4

=

An+6

= … = 0.

Persamaan (A.14) menentukan suatu deretan koefisien saja, yaitu deretan n genap mulai dengan A0 atau deretan n ganjil mulai dengan A1. Jika n genap , maka A1= 0

dan hanya pangkat y genap muncul dalam polynomial, jika n ganjil, maka A0= 0

dan hanya pangkat y ganjil muncul.

Rumus tingkat energy yang dihasilkan

Persyaratan

∝= 2n+1

merupakan syarat perlu dan cukup supaya fungsi gelombang persamaan (A.1) memiliki solusi yang memenuhi berbagai persyaratan.

Dari persamaan

α

= 2𝐸𝐸

ħ

�

𝑚𝑚

𝑘𝑘

=

2𝐸𝐸

ℎ𝑣𝑣

,

kita peroleh nilai

α

sebagai berikut:

α =

2𝐸𝐸_ℎ𝑣𝑣

= 2n+1

En

=

(n + 1₂) hv dimana n = 0,1,2,3,4,5,… (A.15)

Jadi energy sebuah osilator harmonik terkuantisasi dengan langkah hv. Kita lihat untuk n= 0

Maka:

E0 = 1₂ hv (A.16)

Yang menyatakan energy terendah yang dapat dimiliki oleh osilator tersebut. Harga ini disebut energy titik nol karena sebuah osilator harmonik dalam keadaan setimbang dengan sekelilingnya akan mendekati E=E0 dan bukan E=0.

Untuk setiap pilihan parameter

α

n terdapat fungsi gelombang yang berbeda

𝛹𝛹𝑛𝑛. Setiap fungsi terdiri dari suatu polinom 𝐻𝐻𝑛𝑛(y) disebut sebagai Polinom

hermite, yang y-nya berpangkat genap atau ganjil, faktor eksponensial 𝑒𝑒−𝑦𝑦2/2, dan sebuah koefisien numerik diperlukan untuk memenuhi syarat normalisasi:

∫ ∣_−∞∞ 𝛹𝛹𝑛𝑛 ∣2 dx = 1 dimana n = 0,1,2,3,4,5,… (A.17)

Rumus umum fungsi gelombang Osilator Harmonik ke n adalah sebagai berikut:

𝛹𝛹

_𝑛𝑛

= (

2𝑚𝑚𝑣𝑣 ħ

)

1/4

Enam polinom hermite

𝑯𝑯

_𝒏𝒏

(y)

yang pertama di daftarkan dalam table berikut:

n

𝐻𝐻

_𝑛𝑛

(y)

∝𝒏𝒏 Tingkat Energi ke-n (En)

0 1 1 1 2hv 1 2y 3 3 2hv 2 4y2 – 2 5 5 2hv 3 8y3 – 12y 7 7 2hv 4 16y4 – 48y2 + 12 9 9 2hv

5 32y5 – 160y3 + 120y 11 11

LAMPIRAN B

POLINOMIAL HERMITE

Dalam bahasan ini akan dibahas bagaimana mencari solusi umum polynomial Hermite yang diberikan dalam bentuk persamaan sebagai berikut:

y’’ – pxMy’ + prxM-1y = 0, (B.1)

Dimana nilai p≠ 0, dan r adalah bilangan bulat positif. Untuk M = 1, p = 2, dan r adalah sebuah bilangan bulat positif sehingga persamaan (B.1) menjadi persamaan Hermite dan memiliki solusi yang sering dikenal dengan nama Polinomial Hermite. Bagaimana jika p ≠ 0, apakah persamaan (B.1) memiliki solusi polynomial, M adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu dan r adalah bilangan bulat positif.

Terdapat sebuah solusi polynomial untuk persamaan (B.1) berderajat r jika dan hanya jika:

r = k(M+1) (B.2)

Atau

r = k(M+1) +1 (B.3)

untuk suatu k = 0,1,2,3,4,5,…

selanjutnya, ada beberapa kasus terdapat satu (hingga untuk konstanta perkalian) solusi polynomial yang selalu berderajat r yang memiliki (k+1) suku dengan selisih derajat (M+1),yakni jika satu suku berderajat b, maka satu suku tertinggi berikutnya menjadi berderajat b+M+1.

Pembuktian:

Kita substitusikan bentuk persamaan:

kepada persamaan (B.1) yang didefenisikan dengan manipulasi rumus:

a2 = a3 = … = am = 0 (B.5)

sehingga diperoleh:

an+M+1 = _{(𝑛𝑛+𝑀𝑀+1)(𝑛𝑛+𝑀𝑀)}𝑝𝑝(𝑛𝑛−𝑟𝑟)𝑎𝑎𝑛𝑛 n = 1,2,3,4,5,… (B.6)

kita turunkan persamaan (B.4) sebanyak dua kali:

y’ = ∑∞_𝑛𝑛=1𝑎𝑎_𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1 (B.7)

y’’ = ∑∞_𝑛𝑛=2𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎_𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−2 (B.8)

substitusikan persamaan (B.7) dan persamaan (B.8) kepada persamaan (B.1) sehingga kita peroleh:

∑∞𝑛𝑛=2𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−2 - p xM∑𝑛𝑛=1∞ 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + pr xM-1∑∞𝑛𝑛=0𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 = 0

Atau,

∑∞𝑛𝑛=2𝑛𝑛(𝑛𝑛 − 1)𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−2 - p ∑𝑛𝑛=1∞ 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑀𝑀−1 + pr ∑∞𝑛𝑛=0𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛+𝑀𝑀−1 = 0 (B.9)

Kita substitusikan nilai n = 0,1,2,3,…, n, n+M+1 ke persamaan (B.9) menjadi: 2.1a2 + 3.2a3x + 4.3a4 x2 + … + (n+M+1)(n+M)an+M+1 xn+M-1 + …

- pa1xM – 2pa2xM+1 – 3pa3xM+2- … - pnanxn+M-1 - …

+ pra0xM-1 + pra1xM + pra2xM+1 + … +pranxn+M-1 + … = 0

Kita pisahkan persamaan berdasarkan koefisien yang sama, sehingga diperoleh: 2a2 - pxMa1 + pra0 xM-1 = 0 Untuk koefisien x

6a3x - 2 pxMa2 + pr xM-1 a1x = 0 Untuk koefisien x (B.10)

Melalui manipulasi rumus, a2 = a3 = … = aM = 0 dengan n = 2, 3 , … maka akan

(n+M+1)(n+M) an+M+1 – pnan + pran = 0

(n+M+1)(n+M) an+M+1 = pnan - pran

(n+M+1)(n+M) an+M+1 = (pn – pr) an

an+M+1 = _{(𝑛𝑛+𝑀𝑀+1)(𝑛𝑛+𝑀𝑀)}p(n−r)a

sehingga diperoleh rumus rekursi untuk mencari solusi persamaan Polinomial Hermite sebagai berikut:

an+M+1 = _{(𝑛𝑛+𝑀𝑀+1)(𝑛𝑛+𝑀𝑀)}p(n−r)a dengan n = 0,1,2,3,4,… (B.11)

kita misalkan terdapat solusi Polinomial berderajat r. jika r = 1, maka r = 0(M+1)+1.

Jika r ≥ 2, maka r ≥ M+1 dengan persamaan (B.4) ketika ar = 0 maka ar-(M+1) = 0

juga. Jika r-(M+1) ≤ 𝑀𝑀, maka persamaan (B.4) memaksa r-(M+1) setara dengan 0 ataupun 1. Sebaliknya dapat dilanjutkan dengan mengurangkan r dengan kelipatan (M+1) hingga bilangan bulat k diperoleh sedemikian sehingga:

r – k(M+1) = 0,1 (B.12)

untuk r – (M+1) = 0, r dikurangi dengan kelipatan (M+1), (2M+2, …, (kM+2) sehingga diperoleh: r – (M+1) = 0 r – (2M+2) = 0 r – (3M+3) = 0

.

.

.

r – (kM+k) = 0 r – k(M+1) = 0 r = k(M+1).

Untuk r – (M+1) = 1, r dikurangi dengan kelipatan (M+1), (2M+2), …, (kM+k) sehingga diperoleh:

r – (M+1) = 1 r – (2M+2) = 1 r – (3M+3) = 1

.

.

.

r – (kM+k) = 1 r – k(M+1) = 1 r = k(M+1)+1

maka persamaan (B.4) memiliki r – (M+1) sama untuk 0 atau 1

r – k(M+1) = 0 atau 1 (B.13)

dengan demikian ditentukan persamaan (B.2) dan persamaan (B.3), sebaliknya, jika

r = k(M+1) untuk semua k, maka dapat dinyatakan dari persamaan (B.5) bahwa ketika n = r = k(M+1), diperoleh an+M+1 = 0.

Oleh sebab itu al(M+1) = 0 untuk semua l ≥ 𝑘𝑘 + 1. selanjutnya, dengan

menggunakan persamaan (B.4) disertai dengan persamaan (B.5) diperoleh ai+l(M+1)

= 0, untuk semua 2 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑀𝑀 dan 𝑙𝑙 ≥ 𝑘𝑘.

Kemudian dapat disimpulkan bahwa jika ai+l(M+1) = 0, untuk semua l ≥ 𝑘𝑘, harus

ditetapkan nilai a = 0 dan kita gunakan persamaan (B.5). Jika a≠ 0, persamaan (B.5) kembali mengimplikasikan bahwa ar = ak(M+1) dan karena itu y(x)

merupakan sebuah polynomial berderajat r.

Kemudian dapat disimpulkan bahwa jika a ≠ 0, maka y(x) bukan sebuah polynomial. Dengan demikian didapat a0 sedemikian sehingga ar = 1, dan disini

dapat dilihat bahwa solusi polynomial adalah tunggal hingga konstanta perkalian a0. Pertimbangan yang sama dapat diterapkan pada kasus r = k(M+1)+1. Solusi

polinomialnya tunggal hingga konstanta perkaliannya a1.

r = k(M+1) maka derajat terendah dari solusinya adalah a0, jika r = k(M+1)+1

maka derajat terendah dari solusinya adalah: a1x. catatan jika r = k(M+1), maka

pilihannya adalah a1 = 0. Jika r = k(M+1)+1, maka pilihannya adalah a0 = 0.

Pembuktiannya:

Analisa dari r = k(M+1) dalam rumus rekursi persamaan (B.6) diikuti pengurangan rumus (k-1).

k dikurangi dengan kelipatan (k-1), (k-2), … , (k-k) sehingga diperoleh: arxxr = ak(M+1) xk(M+1) a(k-1) (M+1)x(k-1) (M+1)

.

.

.

a(M+1) x(M+1) a0.

Jika r = k(M+1) maka derajat terendah dari solusi polynomial adalah a0 sama, jika

r = k(M+1)+1 maka derajat terendahnya adalah a1x.

Catatan: jika r = k(M+1), maka pilihannya adalah a1 = 0. Jika r = k(M+1)+1, maka

LAMPIRAN C

DERET PANGKAT

Bentuk umum deret pangkat.

Deret pangkat merupakan perkembangan dari deret kompleks biasa. Secara prinsip, deret pangkat adalah deret kompleks yang memiliki bentuk pangkat dari (z – z0).

Suatu deret takhingga dengan bentuk:

∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 = ∑∞𝑛𝑛=0𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1𝑧𝑧 + 𝑎𝑎2𝑧𝑧2 + 𝑎𝑎3𝑧𝑧3 + … + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 + …

(C.1)

Dimana 𝑐𝑐_𝑛𝑛 konstan disebut deret pangkat dalam x. sesuai itu, maka diperoleh deret takhingga dengan bentuk:

∑ 𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0)𝑛𝑛 = 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0) + 𝑎𝑎2(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0)2 + 𝑎𝑎3(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0)3 + … + 𝑎𝑎𝑛𝑛(𝑧𝑧 −

𝑧𝑧0)𝑛𝑛 + … (C.2)

Bentuk umum deret pangkat adalah sebagai berikut:

∑∞𝑛𝑛=0𝑎𝑎𝑛𝑛 . (z-z0)n (C.3)

Dengan z adalah peubah kompleks (complex variable) dan koefisien an. deret ini

memiliki titik pusat z0 dan jari jari konvergensi dengan symbol 𝜌𝜌. kedua hal ini

adalah parameter dalam deret pangkat.

Ada 2 cara untuk mencari 𝜌𝜌 adalah sebagai berikut: 1. Formula Cauchy-Hadamard, yaitu: lim_{𝑛𝑛→∞} ∣𝑎𝑎𝑛𝑛∣

∣𝑎𝑎𝑛𝑛+1∣ = 𝜌𝜌 2. lim_{𝑛𝑛→∞} ∣𝑎𝑎𝑛𝑛∣ ∣𝑎𝑎𝑛𝑛∣ 1 𝑛𝑛 = 𝜌𝜌

Setelah kita memperoleh nilai 𝜌𝜌, maka ada 3 sifat dari deret pangkat tersebut berdasarkan nilai 𝜌𝜌 yang dimiliki, yaitu:

1. Jika 𝜌𝜌 = 0, maka deret diatas konvergen hanya pada titik z0, dan divergen

pada titik yang lain.

2. Jika 0 < 𝜌𝜌 < ∞, maka deret diatas pasti konvergen mutlak untuk semua nilai z dengan ∣ 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧₀ ∣< 𝜌𝜌 dan divergen untuk semua nilai z dengan ∣ 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 ∣> 𝜌𝜌. Lalu bagaimana dengan ∣ 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 ∣= 𝜌𝜌? itu bisa konvergen,

bisa juga divergen.

3. Jika 𝜌𝜌= ∞, maka deret diatas konvergen mutlak untuk semua nilai z. artinya deret tersebut tidak pernah divergen.

Latihan soal.

Soal 1.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut: ∑∞ _(1+𝑖𝑖)1 _𝑛𝑛

𝑛𝑛=0 (𝑧𝑧 + 2 − 𝑖𝑖)𝑛𝑛, tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan

periksa juga apakah deretnya merupakan konvergen atau divergen pada jari- jari konvergensinya.

Penyelesaian:

∑∞ _(1+𝑖𝑖)1 _𝑛𝑛

𝑛𝑛=0 (𝑧𝑧 + 2 − 𝑖𝑖)𝑛𝑛 ; dari bentuk deret disamping kita bisa melihat bahwa:

z0 = -2 + i. dengan demikian maka an = _(1+𝑖𝑖)1 _𝑛𝑛 maka jari – jari konvergensinya:

lim𝑛𝑛 → ∞ 1 (1+𝑖𝑖)𝑛𝑛 1 (1+𝑖𝑖)𝑛𝑛+1 � = lim 𝑛𝑛 → ∞ (1+𝑖𝑖)𝑛𝑛+1 (1+𝑖𝑖)𝑛𝑛 = lim 𝑛𝑛 → ∞ (1+i) = 1 + i

Jari jari konvergensi 𝜌𝜌 = ∣1+i∣ = �(1)2+ (1)2 = √2 Kesimpulan sementara yang dapat diambil adalah: Deret ∑ 1

(1+𝑖𝑖)𝑛𝑛

∞

𝑛𝑛=0 (𝑧𝑧 + 2 − 𝑖𝑖)𝑛𝑛, pasti konvergen pada semua z dengan

∣z + 2 - i∣< √2, atau dapat dinyatakan bahwa deret diatas pasti konvergen pada cakram terbuka dengan pusat z0 = -2 + I dan jari jari √2.

Dan deret tersebut pasti juga divergen pada semua z di ∣z + 2 - i∣> √2. Lalu bagaimana dengan lingkaran tepat pada jari jari √2?? Kita harus melakukan test lagi dengan cara melakukan substitusi (z + 2 - i) = √2 ke dalam deret diatas. Sehingga deret diatas menjadi:

∑∞ _(1+𝑖𝑖)1 _𝑛𝑛 (√2)𝑛𝑛

𝑛𝑛=0 atau dapat dituliskan:

∑ 2

𝑛𝑛 2

(1+𝑖𝑖)𝑛𝑛 .

Sekarang kita anggap deret diatas menjadi sebuah deret baru. Lalu kita periksa apakah deret itu konvergen atau tidak. Jika konvergen, maka deret semula dalam soal 1 ini konvergen pada lingkaran (z + 2 - i) = √2 .

Untuk memeriksa deret ∑ 2

𝑛𝑛 2

(1+𝑖𝑖)𝑛𝑛 apakah konvergen atau tidak;

∑ 2

𝑛𝑛 2

(1+𝑖𝑖)𝑛𝑛dapat ditulis menjadi ∑(

√2

1+𝑖𝑖)𝑛𝑛 → tampak, jika n → ∞ maka deret ini makin

besar: berarti deret ini Divergen.

Dengan demikian, kesimpulannya ialah deret dalam soal 1 ini, ∑∞ _(1+𝑖𝑖)1 _𝑛𝑛

𝑛𝑛=0 (𝑧𝑧 + 2 − 𝑖𝑖)𝑛𝑛konvergen pada cakram terbuka ∣z + 2 - i∣< √2.

Soal 2.Jika diketahui deret pangkat sebagai berikut: ∑∞ 2𝑛𝑛 . (𝑧𝑧+1)_{(2𝑛𝑛−1)}𝑛𝑛

𝑛𝑛=1 , tentukanlah pusat dan jari jari konvergensi.Dan periksa juga

apakah deretnya merupakan konvergen atau divergen pada jari- jari konvergensinya.

Penyelesaian:

�2𝑛𝑛 . (𝑧𝑧 + 1)_{(2𝑛𝑛 − 1)} 𝑛𝑛

∞ 𝑛𝑛=1

Dari bentuk diatas, maka pusatnya z0 = -1. Dan an= _{(2𝑛𝑛−1)}2𝑛𝑛 .

Maka jari jari konvergensi:

Maka deret diatas pasti konvergen untuk semua z pada cakram terbuka ∣z+1∣< 1. Untuk mengetahui sifat deret tersebut, pada lingkaran ∣z+1∣ = 1, kita substitusi nilai ini ke dalam deret diatas, sehingga terbentuk sebuah deret baru:

∑2𝑛𝑛 .(1)_{(2𝑛𝑛−1)}𝑛𝑛 = ∑ 2𝑛𝑛

2𝑛𝑛−1

TIPS:

Kita perhatikan pangkat tertinggi dari n untuk pembilang dan penyebut. Ternyata sama, yaitu 1. Maka, bila kita memakai uji rasio untuk deret ini, kita akan mendapat bahwa harga limitnya sama dengan 1.

Itu artinya, kita tetap tidak dapat menentukan apakah konvergen atau divergen.Maka kita jangan memakai uji rasio.

Kita periksa deret tersebut dengan cara sebagai berikut: lim𝑛𝑛 → ∞_{(2𝑛𝑛−1)}2𝑛𝑛 = 2₂ = 1 →≠ 0.

Maka deret ∑ 2𝑛𝑛

2𝑛𝑛−1 bersifat divergen.

Dengan demikian deret semula dalam soal ini hanya konvergen pada cakram terbuka ∣z+1∣ < 1.

LAMPIRAN D

OSILATOR ANHARMONIK

Persamaan Schrodinger digunakan untuk menggambarkan berbagai macam sistem mekanika kuantum, walaupun sebenarnya tidak dapat diselesaikan kecuali untuk beberapa model sederhana. Persamaan Schrodinger ini biasanya menggunakan persamaan linear dua variable yang diselesaikan dengan menggunakan metode ekspansi deret pangkat persamaan diferensial, atau menggunakan operator tangga dalam mekanika kuantum. Pada osilator anharmonik, persamaan fungsi gelombang schrodinger yang digunakan adalah sebagai berikut:

−_{𝟐𝟐𝟐𝟐}ħ𝟐𝟐Ψ’’(x) + Ax4_{Ψ(x) = E Ψ(x) (D.1)}

Untuk memecahkan persamaan ini dalam satu dimensi, pertama kita menggunakan persamaan diferensial orde dua, kemuadian dilanjutkan dengan metode deret pangkat.

4.1. Persamaan Awal

Pertama kita perkenalkan persamaan linear dua variable sebagai berikut:

y’’ – 2xy’ + (2n +x2 – x4)y = 0 (D.2)

ini bukan merupakan adjoint nya, melainkan untuk mempermudah memperkenalkan serangkaian fungsi abnormal (𝜑𝜑_𝑛𝑛) sebagai berikut:

𝜑𝜑𝑛𝑛 = 𝑒𝑒−𝑥𝑥2/2. y(x) (D.3)

Dengan mensubstitusikan persamaan (D.3) ke dalam persamaan (D.2), maka akan diperoleh persamaan diferensial untuk 𝜑𝜑_𝑛𝑛 sebagai berikut:

Persamaan (D.4) ini merupakan persamaan diferensial untuk osilator anharmonik mekanika kuantum dengan energy potensial V(x) = Ax4.

4.2. Solusi Analitik

Dengan menggunakan metode deret pangkat, kita memperoleh solusi dari persamaan (D.2) sebagai berikut:

y(x) = xk (𝑎𝑎₀ + 𝑎𝑎₁𝑥𝑥 + 𝑎𝑎₂x2 + 𝑎𝑎₃x3 + …)

y(x) = ∑∞_𝑚𝑚=0𝑎𝑎_𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚 , a0≠ 0 (D.5)

dimana eksponen k dan koefisien koefisien am sudah ditentukan. Dengan

menurunkan persamaan (D.5) sebanyak dua kali, maka kita peroleh:

𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑥𝑥 = ∑∞𝑚𝑚=0𝑎𝑎𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚−1, 𝑑𝑑2𝑦𝑦

𝑑𝑑𝑥𝑥2 = ∑∞𝑚𝑚=0𝑎𝑎𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝑚𝑚)(𝑘𝑘 + 𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚−2 (D.6)

Dengan mensubstitusikan persamaan (D.6) kedalam persamaan (D.2) maka kita peroleh:

∑∞𝑚𝑚=0𝑎𝑎𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝑚𝑚)(𝑘𝑘 + 𝑚𝑚 − 1)𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚−2 – 2∑∞𝑚𝑚=0𝑎𝑎𝑚𝑚 (𝑘𝑘 + 𝑚𝑚)𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚 +

2n∑∞_𝑚𝑚=0𝑎𝑎_𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚 + ∑∞_𝑚𝑚=0𝑎𝑎_𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚+2 - ∑∞_𝑚𝑚=0𝑎𝑎_𝑚𝑚𝑥𝑥𝑘𝑘+𝑚𝑚+4 = 0 (D.7)

Pangkat x terendah pada persamaan (D.7) adalah: xk-2, untuk m=0 pada penjumlahan pertama. Keunikan dari deret pangkat memerlukan penghilangan koefisien yang menghasilkan:

𝑎𝑎0k(k-1) = 0

Dimana 𝑎𝑎₀ ≠ 0.

Jika 𝑎𝑎₀ = 1, maka kita peroleh:

persamaan (D.8) ini merupakan persamaan indisial yang menghasilkan nilai k-0 atau k-1.

Jika kita tinjau kembali persamaan (D.7) dan menetapkan m = j+2 pada penjumlaham yang pertama, kemudian m = j,m = j, m = j-2, m = j-4 berturut turut pada penjumlahan kedua, ketiga, keempat dan kelima maka kita peroleh:

aj+2 (k+j+2)(k+j+1) – 2aj (k+j-n)+aj-2 – aj-4 = 0

a

j+2

=

𝑎𝑎𝑗𝑗−4− 𝑎𝑎𝑗𝑗−2+ 2𝑎𝑎𝑗𝑗 (𝑘𝑘+𝑗𝑗 −𝑛𝑛)

(𝑘𝑘+𝑗𝑗 +2)(𝑘𝑘+𝑗𝑗 +1) (D.9)

dengan menggunakan cara yang sama pada persamaan (D.8) untuk k = 0 dan j = bilangan genap, kita peroleh:

a2 = 𝑎𝑎_2!0 2(-n)

a4 = 𝑎𝑎_4!0 [-2! + 22 (-n)(2-n)]

a6 = 𝑎𝑎_6!0 [4! – 4!_2! 2(-n) – 22 (4-n) + 23 (-n)(2-n)(4-n)]

dan untuk k = 1 dan j = bilangan genap, kita peroleh: a2 = 𝑎𝑎_3!0 2(1-n)

a4 = 𝑎𝑎_5!0 [-3! + 22 (1-n)(3-n)]

Pada kasus k = 0, semua nilai koefisiennya kita masukkan kedalam persamaan (D.5), maka kita peroleh:

ygenap = a0 [1+ _2!1 (2(-n))x2 + _4!1 (-2! + 22 (-n)(2-n))x4 + _6!1(4! – 4!_2! 2(-n) – 22 (4-n) +

23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …] (D.10)

melalui persamaan (D.10), kita tentukan Polynomial Hermite untuk n = genap dan menghasilkan beragam parameter sebagai berikut:

ygenap = a0 [1+ _2!1 (2(-n))x2 + _4!1(22(-n)(2-n))x4 + _6!1(23(-n)(2-n)(4-n))x6 + …] + a0 [−2! 4! x 4 + 1 6! (4! – 4! 2! 2(-n) – 2 2 (4-n))x6 + …] (D.11)

dengan cara yang sama kita juga dapat menetukan Polinomial Hermite untuk n = ganjil dan k = 1 sebagai berikut:

yganjil = a0 [x + _3!1(2(1-n))x3 + _5!1( 22(1-n)(3-n))x5 + _7!1(23(1-n)(3-n)(5-n))x7 + …] +

a0 [- 3!_5!x5 + _7!1(5! – 5!_3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x7 + …] (D.12)

Tanda kurung siku pertama dari ruas kanan ygenap dan yganjil hanya menunjukkan

bentuk dari polynomial hermite yang kemudian kita masukkan nilainya kedalam persamaan (D.3).

Maka untuk n = genap kita peroleh:

𝜑𝜑𝑛𝑛(x) = 𝑒𝑒−𝑥𝑥2/2 {Hn(x) + 𝑎𝑎0𝑥𝑥4 [- 2!_4! + _6!1 (4! – 4!_2! 2(-n) – 22 (4-n)) x2 + …]} (D.13)

Untuk n = ganjil kita peroleh:

𝜑𝜑𝑛𝑛(x) = 𝑒𝑒−𝑥𝑥2/2 {Hn(x) + 𝑎𝑎₀𝑥𝑥5 [- 3!_5! + _7!1 (5! – 5!_3! 2(1-n) – 3!2 (5-n)) x2 +…]}(D.14)

4.3. Fungsi fungsi gelombang dan tingkat tingkat energi

Persamaan fungsi gelombang Schrodinger dengan energy potensial V(x) = Ax4, Dituliskan sebagai berikut:

−_{𝟐𝟐𝟐𝟐}ħ𝟐𝟐Ψ’’(x) + Ax4 _{Ψ(x) = E Ψ(x), dimana m = massa partikel dan E = energy}

total.

Dengan mengggunakan kuantitas tidak berdimensi sebagai berikut:

x = αz dimana ∝6 ₌ 2𝑚𝑚𝐴𝐴 ħ2 (D.15) λ = 2𝑚𝑚𝐸𝐸_ħ2𝛼𝛼2 = E(2𝑚𝑚 ħ2 ) 2/3 (A)1/3 (D.16)

nilai λ diatas merupakan periode gerak untuk partikel klasik yang sesuai dengan V(x) = Ax4, diberikan melalui persamaan (D.4) dan persamaan (D.5).

τ = 1₂�2𝜋𝜋𝑚𝑚_𝐸𝐸 ( 𝐸𝐸_𝐴𝐴 )1/4г(1/4)_г(3/4) (D.17)

Dengan [Ψ(z) = Ψ(x/α) = ѱ(x)], maka persamaan (D.1) menjadi:

𝑑𝑑2_ѱ

𝑑𝑑𝑥𝑥2 + (λ – x

4

) ѱ(x) = 0 (D.18) Persamaan (D.18) ini merupakan persamaan (D.4) dengan λ = 2n+1.

Maka untuk n = genap kita peroleh:

Ѱn(x) = K𝑒𝑒−𝑥𝑥

2_/2

{Hn(x) + a0x4 [- 2!_4! + _6!1(4! – 4!_2! 2(-n) – 22(4-n))x2 + …]} (D.19)

Untuk n = ganjil kita peroleh:

Ѱn(x) = K𝑒𝑒−𝑥𝑥

2_/2

{Hn(x) + a0x5 [- 3!_5! + _7!1(5! – 5!_3! 2(1-n) – 3!2(5-n))x2 + …]} (D.20)

Persamaan (D.19) dan persamaan (D.20) merupakan fungsi fungsi gelombang Osilator Anharmonik mekanika kuantum untuk genap Ѱ 0, Ѱ2,… dan ganjil Ѱ 1,

Ѱ3,…

Dengan menggunakan persamaan (D.16) dan persamaan (D.17) dan diketahui nilai г(1/4) = 4.(1₄)! = 4 dan г(3/4) = 𝜋𝜋√2₄ maka kita peroleh Energi:

En = (𝜆𝜆₄)3/4. г(1/4) √2𝜋𝜋 г(3/4)ħ𝝎𝝎

En = (2n+1)3/4 . 4

𝜋𝜋√2𝜋𝜋 ħ𝝎𝝎 (D.21)

Untuk Energy tingkat dasar dengan n = 0 adalah:

E0 = _{𝜋𝜋√2𝜋𝜋}4 ħ𝝎𝝎 = 0,5079ħ𝝎𝝎 ≅ 1₂ħ𝝎𝝎 (D.22)

LAMPIRAN E

FUNGSI GAMMA (г)

DEFENISI:

1. Merupakan salah satu fungsi khusus yang biasanya disajikan dalam pembahasan kalkulus tingkat lanjut

2. Dalam aplikasinya fungsi Gamma ini digunakan untuk membantu menyelesaikan integral-integral khusus yangsulit dalam pemecahannya dan banyak digunakan dalammenyelesaikan permasalahan di bidang fisika maupunteknik.

3. Pada dasarnya dapat didefinisikan pada bidang real dankompleks dengan beberapa syarat tertentu.

Fungsi gamma dinyatakan oleh г (x)yang didefenisikan sebagai berikut ini: Г(x) = ∫ 𝑟𝑟∞ 𝑥𝑥−1_𝑒𝑒−𝑟𝑟

0 𝑑𝑑𝑟𝑟 (E.1)

x dan r adalah bilangan real.

Rumus ini merupakan integral yang konvergen untuk x > 0. Rumus rekursif untuk fungsi gamma adalah:

г(x+1) = xг(x) (E.2) melalui persamaan (E.2) dapat ditentukan harga г(x) untuk semua x>0 bila nilai nilai untuk 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 2.

Jika x adalah bilangan bulat maka: г(x+1) = x!

jika di kombinasikan persamaan (E.1) dan persamaan (E.2) maka diperoleh bentuk:

Г(x) = г(x+1) _𝑥𝑥 (E.3)

Sifat dasar fungsi gamma real

a. Г(x) tidak terdefenisi untuk setiap x = 0 atau bilangan bulat negatif

Pembuktian:

Dari persamaan (E.1) dengan x = 0, diperoleh: Г(0) = ∫ 𝑟𝑟∞ −1_𝑒𝑒−𝑟𝑟

0 𝑑𝑑𝑟𝑟

Bukti tersebut merupakan integral divergen sehingga Г(0) tidak terdefinisi.

Untuk x = n bilangan bulat negatif dan dengan mensubstitusikan x kedalam persamaan (E.3), maka diperoleh:

Г(n) = _{𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)(𝑛𝑛+2)…(−2)(−1)}Г(0) (E.4)

Karena Г(0) tidak terdefinisi, maka Г(n) tidak terdefenisi pula untuk n bilangan bulat negatif.

n! ~√2𝜋𝜋𝑛𝑛𝑛𝑛. 𝑒𝑒−𝑛𝑛 (E.5)

LAMPIRAN F

PERIODE OSILATOR NONLINEAR

Sebuah partikel dengan massa m yang pada hakekatnya berosilasi secara nonlinear dibawah pengaruh fungsi energi potensial memberikan:

V(x) = Axn (F.1)

(Dimana A adalah konstanta positif dan n adalah sebuah bilangan bulat genap yang lebih besar atau sama dengan 4).

Sistem ini, tentu saja konservatif, sehingga diperoleh:

1

2𝑚𝑚ẋ2+ 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝐸𝐸 (F.2)

Dimana total Energi selalu konstan positif sehingga persamaan (K.2) dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑑𝑑𝜔𝜔 = ±(_2𝐸𝐸𝑚𝑚)12 . 𝑑𝑑𝑥𝑥

�1−𝑉𝑉(𝑥𝑥)_𝐸𝐸 (F.3)

Untuk memperoleh nilai periode osilasi maka persamaan (K.3) kita integrasikan sehingga diperoleh: T = 4(𝑚𝑚 2𝐸𝐸)1/2∫ 𝑑𝑑𝑥𝑥 �1−𝑏𝑏𝑥𝑥𝑛𝑛_/𝐸𝐸 𝐴𝐴 0 (F.4)

Dimana A adalah Amplitudo osilasi yang berhubungan dengan nilai Energi total

E= bAn lalu substitusikan nilai x = (𝐸𝐸

𝑏𝑏)

1

Sehingga persamaan (F.4) menjadi: T = 8 𝑛𝑛 . ( 𝑚𝑚 2𝐸𝐸) 1 2 . ( 𝐸𝐸 𝑏𝑏) 1 𝑛𝑛∫𝜋𝜋/2𝑆𝑆𝑖𝑖𝑛𝑛2𝑙𝑙𝑛𝑛−1 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 0 (F.6)

Setelah mengintegrasikan persamaan (K.6), maka diperoleh T dalam bentuk yang lebih ssederhana sebagai berikut ini:

T = 4

(

𝜋𝜋𝑚𝑚 2

)

1/2

. (

𝐸𝐸1−𝑛𝑛/2 𝐴𝐴

)

1/𝑛𝑛

.

г( _𝑛𝑛1+1) г( 1_𝑛𝑛+₂ 1)(F.7)

Dimana pada persamaan (K.7) ini kita menggunakan bentuk identitas dari fungsi gamma (г) sebagai berikut ini:

Г(z+1) = z г(z) (F.8) Jika kita substitusi syarat syarat dari amplitude untuk total energi, maka diperoleh bentuk periode sebagai berikut ini:

𝑇𝑇 = 2√2𝜋𝜋 . г( 1𝑛𝑛+1)

г( _𝑛𝑛1+₂ 1)

.

𝐴𝐴

1−𝑛𝑛/2

�

𝑚𝑚

𝑏𝑏(F.9)

Dengan n > 0

Persamaan (F.9) ini merupakan periode osilasi dari osilator yang terdapat dalam energy potensial pada persamaan (F.1).dalam persamaan ini, n tidak perlu harus merupakan bilangan bulat. Persamaan (F.9) menunjukkan bahwa periode dan frekuensi osilasi tidak bergantung pada amplitude dan energi total nya hanya jika n = 2 (merupakan osilator harmonik sederhana).

Dalam hal ini, dengan b = k/2 maka persamaan (F.9) mengurangi nilai periode osilasi sistem massa pegas, T = 2л �𝑚𝑚_𝑘𝑘 . meskipun setiap osilator linear memiliki sebuah periode yang tidak bergantung amplitude, namun itu tidak benar. Karena hal itu akan mengakibatkan osilator nonlinear.

LAMPIRAN G

LISTING PROGRAM MATLAB FUNGSI GELOMBANG

OSILATOR ANHARMONIK

clear; clc; disp('Plot Grafik'); disp('---'); xMin=input('masukkan x minimum = '); xMax=input('masukkan x maksimum = '); x=xMin:0.1:xMax; y1=zeros(1, length(x)); y2=zeros(1, length(x)); y3=zeros(1, length(x)); y4=zeros(1, length(x)); y5=zeros(1, length(x)); y6=zeros(1, length(x)); for i=1:length(y1) y1(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(1+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)(fakt orial(4)/faktorial(2))*2*0-2^2*(4-2))*x(i)^2)); end for i=1:length(y2)

y2(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(2*x(i)+(x(i)^5)*(faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5) (faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-1)-faktorial(3)*2*(5-1))*x(i)^2)); end for i=1:length(y3) y3(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*(((4*x(i)^2)2)+(x(i)^4)*(faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(fakt orial(4)(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-2)-2^2*(4-2))*x(i)^2)); end for i=1:length(y4) y4(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((8*x(i)^3-12*x(i))+(x(i)^5)*(- faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)-(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-3) faktorial(3)*2*(5-3))*x(i)^2)); end for i=1:length(y5) y5(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((16*x(i)^4-48*x(i)^2+12)+(x(i)^4)*(- faktorial(2)/faktorial(4)+(1/faktorial(6))*(faktorial(4)-(faktorial(4)/faktorial(2))*2*(-4)-2^2*(4-4))*x(i)^2)); end for i=1:length(y6) y6(i)=2.7^-(x(i)^2/2)*((32*x(i)^5-160*x(i)^3+120*x(i))+(x(i)^5)*(- faktorial(3)/faktorial(5)+(1/faktorial(1))*(faktorial(5)-(faktorial(5)/faktorial(3))*2*(1-5)-faktorial(3)*2*(5-5))*x(i)^2)); end subplot(3,2,1) plot(x,y1)

title('Grafik n=0') subplot(3,2,2) plot(x,y2) title('Grafik n=1') subplot(3,2,3) plot(x,y3) title('Grafik n=2') subplot(3,2,4) plot(x,y4) title('Grafik n=3') subplot(3,2,5) plot(x,y5) title('Grafik n=4') subplot(3,2,6) plot(x,y6) title('Grafik n=5')

LAMPIRAN H

LAMPIRAN I

LAMPIRAN J