PERSAMAAN LEGENDRE Fungsi Real Analitik

PERSAMAAN LEGENDRE

Fungsi Real Analitik

Suatu fungsi f(x) dikatakan analitik pada x = x0 jika fungsi itu dapat dinyatakan dalam

deret pangkat x – x0 dengan radius konvergensi positif.

f(x) a (x x ) a₀ a₁(x x₀) a₂(x x₀)2 a₃(x x₀)3 ... 0

m

m 0

m − = + − + − + − +

=

∑

∞

=

(1) dalam selang konvergensinya diperoleh

f(x₀)=a₀ f'(x₀)=a₁ f"(x₀)=2.1a₂ f' ''(x₀)=3.2.1.a₃ ...

f(n)(x₀)=m×(m−1)×(m−2)×...a₀ =m!a_m dengan demikian

! m

) x ( f

a 0

) n ( m =

Sehingga

m

0 0

m

0 ) n (

) x x ( ! m

) x ( f ) x (

f =

∑

−

∞

=

(2) yang merupakan deret Taylor. Sebagai contoh, fungsi x2 + 4 analitik pada setiap titik, sedangkan fungsi

x x

1

2 − analitik pada setiap titik kecuali untuk x = 0, dan x = 3.

Titik Biasa dan Titik Singular

Misalkan ada suatu persamaan diferensial orde dua

akan diselesaikan ke dalam deret pangkat (x – x0). Penyelesaian persamaan ini sangat tergantung pada jenis x0, dengan definisi berikut:

ƒ Sebuah titik x0 adalah titik biasa dari persamaan differensial (1) jika kedua fungsi

)

analitik pada titik x0. Jika minimal salah satu fungsi ini tidak analitik

pada x0, maka titik x0 adalah titik singular dari persamaan diferensial (3).

ƒ Sebuah titik x0 disebut titik singular reguler dari persamaan diferensial (2) jika titik ini

merupakan titik singular, dan kedua fungsi

)

x0 adalah titik singular tak reguler dari persamaan diferensial (2).

Contoh 1:

Tentukan titik biasa, titik singular reguler, dan titik singuler tak reguler dari persamaan diferensial

0

Penyelesaian:

Dari persamaan diferensial di atas, diperoleh

kedua fungsi ini analitik pada x0 = -1, sehingga x0 = -1 adalah titik singular reguler persamaan diferensial.

Untuk x0 = 0

fungsi

) reguler dari persamaan diferensial.

Untuk x0 = 1

kedua fungsi analitik pada x0 = 1, sehingga x0 = 1 adalah titik singular reguler dari persamaan diferensial.

Deret Pangkat Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Biasa Dalam bahasan ini, persamaan diferensial (3):

h(x)y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

_{0 1}

jari-jari konvergensi R1 dan R2 positif. Persamaan (4) dan (5) kontinyu pada selang konvergensi x−x₀ <R, dengan R adalah bilangan terkecil diantara R1 dan R2.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial 0

Penyelesaian:

Penyelesaian umum dari persamaan diferensial ini adalah

∑

penyelesaian persamaan diferensial ini juga sama dengan ∞. Dengan menurunkan penyelesaian persamaan di atas, diperoleh

∑

substitusi y, y’, dan y” ke dalam persamaan differensial diperoleh

dengan menggunakan metode shift index diperoleh

Karena ruas kiri sama dengan nol, diperoleh a₂ =−a₀

sehingga

a₃ =0 sehingga

Persamaan Legendre

Persamaan Legendre mempunyai bentuk umum

(1−x2)y"−2xy'+n(n+1)y=0 (6) n merupakan suatu konstanta. Penyelesaian dari perasamaan (6) sangat penting dalam berbagai cabang matematika terapan, terutama dalam permasalahan nilai batas untuk koordinat bola. Penyelesaian persamaan (6) disebut fungsi Legendre.

Dengan membagi persamaan (6) degan koefisien y”, yaitu (1 – x2), dapat dilihat bahwa koefisien -2x/(1 – x2) maupun koefisien n(n+1)/(1 – x2) analitik pada x = 0, sehingga persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk

∑

∞

=

= 0 m

m mx a

y (7) turunan dari persamaan (7) menghasilkan

∑

∞

=

= 1 m

m mx ma '

y (8)

∑

∞

=

− =

2 m

m mx ma ) 2 m ( "

y (9) subsitusi (7), (8), dan (9) ke dalam persamaan (6) menghasilkan

(1 x ) (m 2)ma x 2x ma x n(n 1) a x 0 0

m

m m 1

m

1 m m 2

m

2 m m

2 − − + + =

−

∑

∑

∑

∞

= ∞

=

− ∞

=

−

(10) dengan menggunakan metode shift index dan menggantikan n(n + 1) = k, diperoleh

∑

∑

∑

∑

∞

= ∞

=

∞

= ∞

= +

= +

− −

− +

+

0 s

s s 2

s s 1

s s s

s 0

s

s 2

s x s(s 1)a x 2sa x ka x 0

a ) 1 s )( 2 s

( (11)

kedua ruas adalah identik, maka koefien suku untuk xn harus bernilai nol. Maka Koefisien x0 diperoleh dari deret pertama dan ke empat : 2.1a2 + n(n + 1)a0 = 0 Koefisien x1 diperoleh dari deret pertama, ke-3 dan ke-4 : 3.2a3 + [-2 + n(n + 1)]a1 = 0 Koefisien x2, x3, ...dijumpai pada semua deret, sehingga secara umum dapat dituliskan (s+2)(s+1)a_s+2 +[−s(s−1)−2s+n(n+1)]a_s =0

a s 0,1,2,3,...

) 1 s )( 2 s (

) 1 s n )( s n (

a_{s 2 s} =

+ +

+ + − − =

dari formula rekursi ini diperoleh

dengan substitusi hubungan ini pada persamaan (7), diperoleh penyelesaian umum

y(x)=a₀y₁(x)+a₁y₂(x) (13) Persamaan ini memiliki penyelesaian yang bebas linier karena rasio dari y1/y2 tidak konstan. Persamaan (13) merupakan penyelesaian umum dari persamaan (7).

Polinomial Legendre Pn(x)

Persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial untuk harga n berupa bilangan bulat non negatif, dan deret tersebut konvergen. Dengan mengambil beberapa n bilangan bulat non negatif:

Dari uraian di atas terlihat bahwa jika n bilangan bulat non negatif genap, persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial pangkat genap y1(x), dan jika n bilagan bulat non negatif ganjil, persamaan legendre memiliki penyesaian dalam bentuk polinomial pangkat ganjil y2(x).

Konstanta a0 dan a1 dapat diganti dengan suatu bilanga jika untuk x = 1, y = 1. ƒ Untuk n = 0: y(1) = a0 = 1⇒a0 = 1

ƒ Untuk n = 1: y(1) = a1 = 1⇒a1 = 1 ƒ Untuk n = 2: y(1) = a0(1 – 3) = 1⇒a0 =

2 1 −

ƒ Untuk n = 3:

2 3 a 3 5 1 a ) 1 (

y ₁ ⎟⇒ ₁ =−

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

= dan seterusnya

Dengan menata ulang persamaan, maka persamaan Legendre memiliki penyelesaian dalam bentuk polinomial Legendre untuk n berupa bilangan bulat non negatif:

1 ) x (

P₀ = P₁(x)=x )

1 x 3 ( 2 1 ) x (

P2 = 2 − (5x 3x) 2

1 ) x (

P3 = 3 −

) 3 x 30 x 35 ( 8 1 ) x (

P4 = 4 − 2 + (63x 70x 15x) 8

1 ) x (

P5 = 5 − 3 +

) 5 x 105 x

315 x

231 ( 16

1 ) x (

P 6 4 2

6 = − + − (429x 693x 315x 35x)

16 1 ) x (

P 7 5 3

Untuk menentukan persamaan umum polinomial legendre Pn(x) dengan an sebagai konstanta untuk pangkat tertinggi xn, dapat diperkirakan rumus umum untuk an

nbilangan bulat positif an = 1 untuk n = 0. Kemudian dihitung koefisien lain dengan menggunakan persamaan (12), yaitu hubungan as terhadap as+2

a s n 2

dengan cara serupa diperoleh

_{n 4} a_{n 2}

dan seterusnya, sehingga untuk n – 2m ≥ 0 deperoleh

Dengan demikian, polinomial legendre derajat n, Pn(x) dituliskan dalam bentuk umum:

∑

TUGAS:

1. Polinomial legendre dapat ditulis dalam bentuk formula Rodriguez :

_n 2 n

n n

n (x 1)

dx d ! n 2

1 ) x (

P = × −

Buktikan persamaan umum Rodriguez ini dengan menggunakan teori binomial dan gunakan formula ini untuk menghitung P4(x) dan P5(x)

2. Tentukan polinomial legendre untuk persamaan legendre (1 – x2)y” – xy’ + 12 = 0!