PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Oleh: Aulia Siti Aisjah

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

D EP AR TEMEN TEKNIK FISI KA - FT IR S

Seri: Matematika Rekayasa 1

Bentuk PD LEGENDRE

Materi

2

(1 − x ² )y” − 2xy’ + n(n + 1)y = 0

(n konstan)

Penyelesaian PD Legendre dikatakan sebagai fungsi Legendre Fungsi Legendre: Pn(x).

Perhatikan bahwa n = parameter dari PD akan menentukan Pn(x)

Materi

2

Penyelesaian PD Legendre, dengan menggunakan bentuk deret pangkat

atau

0

( )

_m ^m

m

y x a x



=

= 

  

− −

= = =

−

²

 −

²

− 

¹

+  =

2 1 0

(1 ) ( 1)

_m ^m

2

_m ^m _m ^m

0.

m m m

x m m a x x ma x k a x

   

−

= = = =

− − − − + =



²

  

2 2 1 0

( 1)

_m ^m

( 1)

_m ^m

2

_m ^m _m ^m

0.

m m m m

m m a x m m a x ma x ka x

Materi

2

Di set

m − 2 = s (atau m = 2 + s)

   

= + = = =

+ + − − − + =



²

  

0 2 1 0

( 2)( 1)

_s ^s

( 1)

_s ^s

2

_s ^s _s ^s

0.

s s s s

s s a x s s a x sa x ka x

diperoleh

Koefisien

₂

^{( )( 1)} _{( 0,1, ).}

( 2)( 1)

s s

n s n s

a a s

s s

+

− + +

= − =

+ +

Penyelesaian PD Legendre

Materi

2

y(x) = a ₀ y ₁ (x) + a ₁ y ₂ (x)

dengan

Deret konvergen untuk |x| < 1.

2 4

1

( 1) ( 2) ( 1)( 3)

( ) 1

2! 4!

n n n n n n

y x = − − x + − + + x − +

3 5

2

( 1)( 2) ( 3)( 1)( 2)( 4)

( ) 3! 5!

n n n n n n

y x x − + x − − + + x

= − + − +

Materi

2

Koefisien

(n integer positif) a

_n

= 1 jika n = 0).

Untuk a

_s

dalam suku a

_s+2

,

(s ≤ n − 2).

p

_n

(1) = 1 untuk setiap n

Penyelesaian PD Legendre: Polynomial Legendre P

_n

(x)

2

(2 )! 1 3 5 (2 1) 2 ( !) !

n n

n n

a n n

  −

= =

2

( 2)( 1)

( )( 1)

s s

s s

a a

n s n s

⁺

+ +

= − − + +

Kita periksa solusi PD Legendre

Lihat Kembali PD legendre

Diasumsikan

Dengan Ck konstanta

Iterasi pers (1)

Dst, dan untuk Dihasilkan dua bentuk deret, yaitu y1 dan y2

Untuk n bilangan bulat, maka y1 akan berbentuk berhingga, Deret tak terhingga Contoh untuk

Dengan cara yang sama untuk n = bilangan ganjil, maka bentuk y1(x) adalah deret tak terhingga dan y2(x) berbentuk berhingga

Utk dipilih dan

Untuk dipilih dan

Sebagai contoh

Polinomial Legendre Pn(x)

Materi

2

Untuk P

_n

(x).

dimana M = n/2 atau (n − 1)/2, dimana n = integer

2 0

2 2

(2 2 )!

( ) ( 1)

2 !( )( 2 )!

(2 )! (2 2)!

2 ( !) 2 1!( 1)( 2)!

M m n m

n n

m

n n

n n

n m

P x x

m n m n m

n n

x x

n n n

−

=

−

= − −

− −

= − − + −

− −



Persamaan Legendre diberi notasi Pn(x)

Polinomial Legendre

Materi

2

P

_n

(x) adalah orthogonal dalam interval −1 ≤ x ≤ 1.

0 1

2 3

2 3

4 2 5 3

4 5

( ) 1, ( )

1 1

( ) (3 1), ( ) (5 3 )

2 2

1 1

( ) (35 30 3), ( ) (63 70 15 )

8 8

P x P x x

P x x P x x x

P x x x P x x x x

= =

= − = −

= − + = − +

Beberapa bentuk persamaan diferensial Legendre

Persamaan Rodrigues untuk penyelesaian polynomial Legendre

Dengan bantuan koefisien ekspansi

Dengan deret Binomial

Dan juga berlaku untuk Pn(x)

Persamaan (1) dan (2)

Menunjukkan Polinnomial Legendre Pn(x)

Persamaan rekurensi

Diferensiasi dari (1) terhadap t

Perkalian dengan

Dengan penyederhanaan dan Menyusun ulang persamaan di atas

Bentuk persamaan di atas dapat dikalikan dengan (-1) dan Menyusun ulang

Fungsi Legendre

Materi

2

Latihan

Materi

2

NRP Ganjil Tentukan:

P6(x), P8(x), P10(x)

NRP Genap Tentukan

P7(x), P9(x), P11(x)

Catat semua

penjelasan saat

kuliah sinkron

Terimakasih