FINITE FIELD (LAPANGAN BERHINGGA)

FINITE FIELD

(LAPANGAN BERHINGGA)

Muhamad Zaki Riyanto NIM: 02/156792/PA/08944 E-mail: zaki@mail.ugm.ac.id

http://zaki.math.web.id

Dosen Pembimbing: Drs. Al. Sutjiana, M.Sc.

Jika suatu lapangan (field) memuat elemen yang banyaknya berhingga, maka lapangan ini disebut dengan lapangan berhingga (finite field). Berikut ini dibahas beberapa konsep mengenai lapangan berhingga.

1.1. Lapangan Berhingga

Definisi 1.1.1. Suatu lapangan yang memuat elemen sebanyak berhingga disebut dengan finite field (lapangan berhingga).

Teorema 1.1.2. Himpunan _{ℤ merupakan lapangan berhingga jika dan hanya n} jika n adalah bilangan prima.

Bukti:

⇒ Andaikan n bukan bilangan prima, maka n=a b. dengan 1<a b, < −n 1. Karena _{ℤ merupakan lapangan, maka setiap elemen tak nolnya pasti mempunyai n} invers. Misalkan c adalah invers dari b, berarti b c. ≡1 mod

(

n

)

dan

(

)

. . mod

a b c≡a n . Karena n =a b. maka a b. ≡0 mod

(

n

)

, akibatnya

(

)

0≡a modn . Timbul kontradiksi dengan pengandaian di atas. Jadi n merupakan bilangan prima.

⇐ Diketahui n adalah bilangan prima. Karena _{ℤ merupakan gelanggang, maka n} akan dibuktikan bahwa setiap elemen tak nol mempunyai invers. Karena n adalah bilangan prima, maka gcd( , )n a =1, untuk 0< <a n. Akibatnya terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian hingga x n. +y a. =1 yang berarti y a. ≡1 mod

(

n

)

, diperoleh y≡a−1

(

modn

)

. Jadi terbukti bahwa setiap elemen tak nolnya mempunyai invers. Dengan kata lain, ℤ adalah lapangan berhingga n 

Definisi 1.1.3. Diberikan suatu lapangan F. Karakteristik dari F adalah bilangan

bulat positif terkecil m sedemikian hingga

1 1 1 1 ... 1 0 m F F F F F i= = + + + =

∑

dengan

1_F ∈F merupakan elemen identitas terdapat pergandaan dan 0_F ∈F merupakan elemen identitas terhadap operasi pemjumlahan. Jika tidak ada m yang memenuhi, maka karakteristik dari F adalah 0.

Teorema 1.1.4. Jika karakteristik dari lapangan F tidak nol, yaitu m≠0, maka m merupakan bilangan prima.

Bukti:

Andaikan m bukan bilangan prima dan m≠0, maka m=a b. dengan a>1 dan 1

b> . Diketahui m adalah karakteristik dari F. Jika ,s t∈F dengan

1 1 b F t s = =

_∑

dan 1 1 a F t t = =

_∑

, maka maka 1 1 . 1 . 1 a b F F i i t s = =     =    

∑

 

∑

 . 1 1 1 1 0 a b m F F F i= i= =

_∑

=

_∑

= . Diperoleh ,

s t∈F keduanya tak nol, tetapi .t s=0_F. Karena t≠0_F maka terdapat t−1∈F sedemikian hingga t−1. .t s=t−10_F =0_F, padahal t−1. .t s=1 ._Fs. Jadi diperoleh 1 .F s= =s 0F. Kontradiksi dengan pengandaian bahwa

1 1 b F t s = =

∑

dengan b>1. Dengan demikian m adalah bilangan prima. _

Teorema 1.1.5. Jika F merupakan lapangan berhingga dengan karakteristik p, maka F memuat p elemen untuk suatu bilangan bulat positif n. n

Bukti:

Karena F mempunyai karakteristik p, maka berlaku

1 1 1 1 ... 1 0 p F F F F F i= = + + + =

∑

.

Diketahui F merupakan ruang vektor atas ℤ . Karena F lapangan berhingga, p maka dimensi F berhingga. Misalkan dimensi F adalah n, maka terdapat n vektor yang bebas linear dan membangun F. Misalkan

{

x x₁, ₂,...,x_n

}

basis dari F, akibatnya setiap anggota dari F dapat disajikan secara tunggal sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis, yaitu

{

1. 1 2. 2 ... n. n: i p

}

F = α x +α x + +α x α ∈_ℤ .

Jadi, banyaknya elemen dari F adalah

{

₁. _{1 2}. ₂ ... .

}

n n n

F = α x +α x + +α x = p _{. }

Teorema di atas mengatakan bahwa setiap lapangan berhingga mempunyai elemen sebanyak bilangan prima atau pangkat dari bilangan prima. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan p dan bilangan bulat positif n terdapat lapangan berhingga dengan elemen sebanyak p . n

Untuk n=1, maka himpunan bilangan bulat modulo p membentuk suatu lapangan berhingga dengan p elemen. Untuk n≥2, dapat ditunjukkan bahwa terdapat suatu lapangan berhingga yaitu dengan memandang _ℤp

[ ]

x sebagai himpunan semua polinomial dalam x atas lapangan _{ℤ , dan setiap polinomial p} mempunyai derajad yang berhingga. Sebagai contoh, untuk p=2,

[ ]

{

2 2 2 2

}

2 x = 0,1, ,1x +x x, ,1+x x, +x ,1+ +x x ,...

ℤ merupakan himpunan semua

polinomial dalam x dengan derajad berhingga dan koefisiennya merupakan elemen _{ℤ . Himpunan polinomial dalam 2 ℤp}

[ ]

x membentuk suatu lapangan berhingga terhadap operasi penjumlahan dan pergandaan.

Dari _ℤp

[ ]

x ditentukan suatu polinomial irreducible (tak tereduksi) f x ( ) dengan derajad n. Polinomial tak tereduksi adalah suatu polinomial yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil pergandaan dari dua buah polinomial dengan derajad yang lebih kecil dari derajad f x dalam ( ) _ℤp

[ ]

x . Dengan polinomial tersebut dapat dibangun suatu lapangan dengan p elemen. n

Diberikan lapangan F x

[ ]

dan ( )f x , ( )g x , ( )h x ∈F x

[ ]

.

Definisi 1.1.6. Polinomial ( )h x dikatakan kongruen dengan ( )g x modulo f x ( ) jika dan hanya jika terdapat suatu polinomial l x( )∈F x

[ ]

sedemikian hingga

( ) ( ) ( ) ( ) h x −g x =l x f x . Ditulis h x( )≡g x( ) mod ( )

(

f x

)

.

Dari Definisi 1.1.6 di atas, dapat dilihat bahwa ( )h x dan g x disebut ( ) kongruen jika ( )f x membagi selisihnya. Artinya ( )h x dan ( )g x mempunyai sisa yang sama apabila dibagi dengan f x . Dapat ditunjukkan bahwa kongruensi ini ( ) merupakan suatu relasi ekuivalensi pada F x

[ ]

, akibatnya terdapat partisi – partisi yaitu himpunan yang didefinisikan ke dalam subset – subset saling asing yaitu klas – klas ekuivalensi.

Definisi 1.1.7. Untuk suatu polinomial f x( )∈F x

[ ]

, klas ekuivalensi yang memuat g x( )∈F x

[ ]

adalah

[

g x( )

]

=

{

h x( )∈F x h x

[ ]

: ( )≡g x( ) mod ( )

(

f x

)

}

,

yaitu himpunan semua polinomial yang apabila dibagi dengan f x ( ) menghasilkan sisa yang sama dengan ( )g x .

Operasi penjumlahan dan pergandaan dalam klas – klas ekuivalensi tersebut didefinisikan sebagai berikut. Untuk ( )g x , ( )h x ∈_ℤp

[ ]

x ,

[

g x( )

] [

+ f x( )

] [

= g x( )+ f x( )

]

dan

[

g x( ) .

] [

f x( )

] [

= g x f x( ). ( )

]

.

Diberikan _ℤp

[ ]

x / ( )f x yaitu himpunan semua klas – klas ekuivalensi dalam ℤp

[ ]

x yang kongruen modulo f x , dengan ( ) f x adalah polinomial tak ( ) tereduksi. Menggunakan definisi operasi penjumlahan dan pergandaan klas – klas ekuivelensi di atas, maka _ℤp

[ ]

x / ( )f x membentuk suatu lapangan berhingga. Untuk menunjukkan bahwa setiap elemen tak nolnya mempunyai invers, diambil

[

g x( )

]

∈_ℤp

[ ]

x / ( )f x dengan

[

g x( )≠0

]

. Karena

[ ]

1 merupakan elemen identitas terhadap operasi pergandaan, maka akan ditujukkan bahwa terdapat

[

h x( )

]

∈ℤp

[ ]

x / ( )f x sedemikian hingga

[

g x( ) .

] [

h x( )

] [ ]

= 1 atau

(

)

( ). ( ) 1 mod ( )

g x h x ≡ f x . Karena f x merupakan polinomial tak tereduksi dan ( ) ( )

f x tidak membagi g x , maka ( ) gcd

(

g x( ), ( )f x

)

=1. Akibatnya terdapat polinomial s x dan ( )( ) t x sedemikian hingga s x g x( ). ( )+t x f x( ). ( )=1 atau

(

)

( ). ( ) 1 mod ( )

s x g x ≡ f x . Jadi diperoleh bahwa

[ ] [

s x( ) . g x( )

] [ ]

= 1 , sehingga

[

] [ ]

1

( ) ( )

g x − = s x . Untuk menunjukkan ℤp

[ ]

x / ( )f x berhingga, diasumsikan

[ ]

/ ( )

p x f x

ℤ mempunyai elemen sebanyak p , dengan mengambil sebarang klas n ekuivalensi dalam ℤp

[ ]

x / ( )f x , misal

[

g x( )

]

. Selanjutnya, menggunakan

algoritma pembagian dalam polinomial diperoleh ( )g x =q x f x( ). ( )+r x( ) dengan ( ) 0

r x = atau derajad r x lebih kecil dari derajad ( ) f x , untuk suatu ( )

[ ]

( ), ( ) _p / ( )

q x r x ∈_ℤ x f x . Jadi

[

g x( )

] [ ]

= r x( ) , dengan ( )r x merupakan sisa jika ( )

g x dibagi dengan f x . Karena ( )( ) r x =0 atau derajad ( )r x lebih kecil dari derajad f x maka tidak ada dua polinomial sisa yang berbeda dan berada pada ( ) klas yang sama. Karena

1 0 ( ) . n i i i r x a x − = =

∑

, dengan a_i∈_{ℤ p}

maka terdapat sebanyak p pilihan untuk setiap a , dengan 0_i ≤ ≤ −i n 1, yang berarti terdapat sebanyak p klas-klas sisa yang berbeda. Hal ini menunjukkan n bahwa _ℤp

[ ]

x / ( )f x memuat sebanyak p elemen, dengan p adalah bilangan n prima.

Contoh 1.1.8.

Akan dikonstruksi suatu lapangan dengan empat elemen menggunakan polinomial tak tereduksi f x( )=x2+ + ∈x 1 _ℤ2

[ ]

x . ℤ2

[ ]

x / ( )f x =

{

[

g x( ) : ( )

]

g x ∈ℤ2

[ ]

x

}

(

)

{

h x( ) : ( )g x h x( ) mod ( )f x

}

= ≡

[ ]

{

h x( ) l x f x( ). ( ) g x( ) : ( )l x 2 x

}

= = + ∈ℤ

Polinomial f x membentuk lapangan ( ) _ℤ2

[ ]

x / ( )f x =

{

[ ] [ ] [ ] [

0 , 1 , x , 1+x

]

}

. Elemen–elemen dari _ℤ2

[ ]

x / ( )f x merupakan himpunan dalam _ℤ2

[ ]

x yang berderajad kurang dari dua. Operasi penjumlahannya sama dengan operasi penjumlahan polinomial biasa pada _ℤ2

[ ]

x . Sebagai contohnya,

[

1+ +x

] [ ] [

x = +1 2x

] [ ]

= 1 , karena 2≡0 mod 2

(

)

, diperoleh bahwa lapangan tersebut mempunyai karakteristik 2. Sedangkan untuk operasi pergandaannya sama dengan operasi pergandaan polinomial biasa pada _ℤ2

[ ]

x kemudian mereduksikan hasilnya dengan menghitung sisanya setelah dibagi dengan f x . ( ) Untuk mereduksinya dapat dikerjakan menggunakan pembagian biasa atau menggunakan hubungan x2 ≡ +x 1 yang digunakan untuk mereduksi hasil pergandaan yang berderajad 2. Sebagai contohnya,

[

] [

]

2

[

] [ ]

Lapangan berhingga F yang memuat q elemen sering dinotasikan dengan

( )

GF q yang disebut Galois field (lapangan Galois). Perhatikan bahwa q mempunyai bentuk p , yaitu q merupakan suatu bilangan prima p atau hasil n pemangkatan dari p. Notasi

( )

n

GF p adalah suatu lapangan dengan karakteristik p. Lapangan ℤ dapat dinotasikan dengan p GF p

( )

. Selanjutnya,

[

g x( )

]

∈_ℤp

[ ]

x / ( )f x cukup ditulis dengan ( )g x saja.

1.2. Polinomial Tak Tereduksi

Definisi 1.2.1. Monic polynomial (polinomial monik) adalah suatu polinomial yang koefisien tak nol pada pangkat tertinggi dari x adalah 1.

Dalam mengkonstruksi suatu lapangan berhingga dengan n

p elemen, digunakan suatu polinomial tak tereduksi dengan derajad n dalam GF p x( )

[ ]

. Untuk menunjukkan bahwa selalu dapat ditemukan suatu polinomial tak terduksi untuk setiap bilangan bulat positif n, akan dibahas untuk n=2, yaitu terdapat polinomial monik tak tereduksi dalam GF p x( )

[ ]

. Dalam GF p x( )

[ ]

terdapat sebanyak 2

p polinomial monik dengan derajad 2. Jika salah satunya tereduksi berarti merupakan pergandaan dari dua buah polinomial monik berderajat satu. Terdapat sebanyak p polinomial monik berderajad 1. Jadi terdapat sebanyak

2 p p   +  

  polinomial monik tak tereduksi. Sehingga jumlah polinomial monik tak tereduksi berderajad 2 adalah

2 2 0 2 2 p p I = p −  − =p   >     , p≥2.

Hal tersebut menunjukkan keberadaan polinomial tak tereduksi yang berderajad 2 dalam GF p x( )

[ ]

. Dengan cara yang sama dapat dihitung banyaknya polinomial tak tereduksi berderajad 3. Jadi secara umum dapat disimpulkan bahwa selalu

dapat ditemukan suatu polinomial tak tereduksi untuk setiap bilangan bulat positif n.

1.3. Sifat-sifat Lapangan Berhingga

Definisi 1.3.1. Diberikan lapangan berhingga F dan didefinisikan F* yaitu himpunan elemen-elemen dari F yang tidak nol, F*=F\ {0}. Elemen α∈F disebut generator (pembangun) dari F , atau disebut primitive element (elemen * primitif) dari F jika

{

αi:i≥0

}

=F*.

Yaitu jika

α

membangun semua elemen tak nol dalam lapangan F.

Contoh 1.3.2.

Akan dibentuk suatu lapangan dengan sembilan elemen dengan mengambil polinomial tak tereduksi f x( ) 1= + ∈x2 ℤ3

[ ]

x . Lapangan tersebut adalah

{

0,1, 2, , 2 ,1 ,1 2 , 2 , 2 2

}

F = x x +x + x +x + x . Jika diambil

α

=x, maka ternyata

α

tidak membangun seua elemen tak nol dalam F. Jadi

α

=x bukan elemen primitif. Tetapi jika diambil α = +1 x, dapat ditunjukkan bahwa α = +1 x membangun semua elemen tak nol dalam lapangan F. Dengan menggunakan reduksi x2 ≡ −1 mod ( )

(

f x

) (

≡2 mod 3

)

diperoleh

(

)

0 1+x =1

(

1+x

)

4 =2

(

) (

1

)

1+x = +1 x

(

1+x

)

5 = +2 2x

(

)

2 1+x =2x

(

1 x+

)

6 =x

(

)

3 1+x = +1 2x

(

1+x

)

7 = +2 x. Jadi α = +1 x merupakan pembangun dari F =GF(9) *.

Lemma 1.3.3. Untuk setiap elemen tak nol α∈GF q( ), αq−1=1. Selanjutnya, suatu elemen ( m)

GF q

Bukti:

Misalkan a a₁, ₂,...,a_q−1 elemen tak nol dalam GF q yang berbeda. Untuk suatu ( ) ( )

GF q

α

∈ , α αa₁, a₂,...,αa_q−1 juga berbeda, karena jika tidak maka untuk suatu i≠ j berakibat αa_i =αa_j, sehingga jika digandakan dengan a−1 diperoleh

i j

a =a . Jadi

{

α αa₁, a₂,...,αa_q−1

} {

= a a₁, ₂,...,a_q−1

}

. Hal tersebut mengakibatkan

( )( )

αa₁ αa₂ ...

(

αa_q−1

)

= a a_{1 2}...a_q−1 1

(

1 2... 1

)

q q a a a α − − = a a1 2...aq−1 αq−1 = 1.

Jadi, jika α∈GF q( ), maka αq =α yang berarti setiap elemen GF q adalah ( ) akar dari polinomial xq−x. Untuk membuktikan pernyataan kedua, tinggal menunjukkan bahwa jika αq =α

maka α∈GF q( ). Diketahui bahwa polinomial derajad n atas GF q mempunyai akar paling banyak q akar pada polinomial ( ) derajad q atas GF q yang berarti q elemen dalam ( ) GF q merupakan akar – akar ( ) dari polinomial xq−x. Jadi polinomial tersebut tidak mempunyai akar lain dan hal tersebut membuktikan jika αq =α, maka α∈GF q( ). _

Definisi 1.3.4. Order dari suatu elemen tak nol α∈GF q( ) adalah bilangan bulat positif terkecil t sedemikian hingga αt =1, ditulis ord( )α =t.

Lemma 1.3.5. Untuk setiap elemen tak nol α∈GF q( ), ord( )α membagi q−1. Bukti:

Misalkan ord( )α =t, untuk suatu α∈GF q( ). Menggunakan algoritma pembagian pada bilangan bulat maka q− = +1 l t. r, dengan 0≤ <r t. Sehingga diperoleh

1 . .

( ) q l t r l t r t l r

Menurut teorema sebelumnya, αq−1=1, dan diketahui αt =1. Jadi diperoleh 1

r

α = . Karena ord( )α =t dan 0≤ <r t, maka r=0 yang berarti bahwa t

membagi q – 1. _

Teorema 1.3.6. Setiap lapangan berhingga F =GF q( ) mempunyai elemen primitif.

Bukti:

Misalkan

α

elemen F =GF q( ) yang mempunyai order tertinggi yaitu t. Jika 1

t= −q , maka

α

elemen primitif dari F. Andaikan t< −q 1 dan order dari tiap elemen tak nol GF q yang lain membagi t, maka setiap elemen tak nolnya ( ) memenuhi persamaan yt− =1 0. Persamaan tersebut mempunyai paling banyak t akar dalam GF q , yang berarti kontradiksi dengan ( ) t< −q 1. Berarti terdapat elemen GF q , sebut ( ) β sedemikian hingga ord

( )

β

tidak membagi t. Misalkan

( )

(

)

gcd , ordt

β

=d, maka ord

( )

β

=db untuk suatu b>1 dan gcd

( )

b t, =1. Jadi d

β =γ adalah elemen dengan order b. Berarti elemen αγ mempunyai order bt>t. Kontradiksi dengan asumsi bahwa t adalah order terbesar dari sebarang elemen. Misalkan ord

( )

αγ

=s, berarti

( )

αγ s =1. Karena

( )

αγ bt =1 maka menurut Lemma 1.3.5, s membagi bt. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa bt membagi s. Dapat dilihat bahwa

( )

αγ sb =αsb =1 dan

( )

αγ st =γst =1, juga t membagi sb, dan b membagi st, karena ord( )α =t dan ord( )γ =b. Karena gcd( , )b t =1 maka t membagi s, dan b membagi s. Sehingga diperoleh bahwa bt membagi s. Jadi s=bt, sehingga dapat disimpulkan bahwa t= −q 1_{. }

Dari Definisi 1.3.4 diperoleh bahwa elemen primitif

α

dari suatu lapangan GF q mempunyai order ( ) q−1. Akibatnya αq−1=α0 =1, dan dapat dilihat bahwa pangkatnya dihitung menggunakan modulo q−1.

Lemma 1.3.7. Jika lapangan F mempunyai karakteristik p dan ,α β∈F, maka

(

)

p _{p p}

α β+ =α +β . Bukti:

Menggunakan teorema binomial diketahui bahwa

(

)

0 1 1 0 p p _{p i i} i p p p i i p i p i p p p i p

α β

α β

α

α β

β

− = − − =   + =           =  +   +       

∑

∑

. Karena p i    

  merupakan bilangan bulat, dan untuk 1≤ ≤ −i p 1 maka

! ( 1)...( 1) ( 1)! ! ( 1)...2.1 p p P P P i p i p i i i   _{− − +} = = =   − −   . Jadi p 0 mod

(

p

)

i   ≡  

  untuk 1≤ ≤ −i p 1 dengan p adalah bilangan prima. Sehingga pada persamaan binomial di atas, bentuk

1 1 0 p p i i i p i α β − − =   =    

∑

. Jadi, diperoleh

(

α β+

)

p =αp+βp. 

1.4. Polinomial Minimal

Definisi 1.4.1. Diberikan lapangan F dengan karakteristik p, dan misalkan *

F

α∈ adalah elemen tak nol dari F. Polinomial minimal dari

α

terhadap ( )

GF p adalah suatu polinomial monik m x dengan derajad terkecil dalam ( )

[ ]

( )

GF p x sedemikian hingga m( )α =0.

Teorema 1.4.2. Polinomial minimal dari elemen

α

adalah tunggal. Bukti:

Andaikan F =GF q( ) dan F mempunyai karakteristik p. Dari Lemma 1.3.3

dengan

α

merupakan akarnya, maka salah satunya pasti ada yang memiliki derajad terkecil. Hal tersebut menunjukkan keberadaan polinomial minimal dari

α

. Andaikan terdapat dua polinomial minimal dari

α

, yaitu m x dan ₁( ) m x ₂( ) dengan derajad terkecil dan mempunyai akar

α

. Menggunakan algoritma pembagian untuk polinomial diperoleh m x1( )=l x m x( ). 2( )+r x( ) dengan derajad

( )

r x < derajad m x atau ( )₂( ) r x =0. Karena m₁( )α =0 dan m₂( )α =0 maka diperoleh r( )α =0. Karena m x mempunyai derajad paling kecil maka ₂( )

( ) 0

r x = . Jadi, m x membagi 2( ) m x . Dengan cara yang sama diperoleh bahwa 1( ) 1( )

m x membagi m x . Karena keduanya polinomial monik, maka ₂( )

1( ) 2( )

m x =m x . _

Karena dalam hal ini yang digunakan adalah polinomial minimal dari

α

, maka polinomial minimal untuk

α

dinotasikan dengan m x_α( ).

Teorema 1.4.3. Polinomial minimal dari α∈F* yaitu m x_α( ) merupakan polinomial tak tereduksi.

Bukti:

Andaikan m x_α( ) tereduksi, maka m x_α( )=h x l x( ). ( ) untuk suatu h x , ( )

[ ]

( ) ( )

l x ∈GF p x dengan derajad ( ) 1h x ≥ dan derajad ( ) 1l x ≥ . Diperoleh ( ) ( ). ( ) 0

m x_α =hα αl =

yang berakibat paling tidak salah satu dari ( )h α atau ( )l α sama dengan nol. Jadi

α

merupakan akar salah satu dari h x atau ( )( ) l x . Hal tersebut kontradiksi dengan syarat bahwa m x_α( ) adalah polinomial minimal. Jadi m x_α( ) tak

tereduksi. _

Definisi 1.4.4. Untuk suatu α∈F dan t adalah bilangan bulat terkecil sedemikian hingga αpt =α . Himpunan konjugat dari

α

atas GF(p) adalah

{

2 3 1

}

( ) , p, p , p ,..., pt C

α

=

α α α α

α

− .

Jadi, C( )

α

=C(

α

pi) untuk suatu i dan suatu lapangan F dengan karakteristik p.

Lemma 1.4.5. Jika diberikan lapangan berhingga F dengan karakteristik p, *

F

α∈ dan ( )C α himpunan konjugat dari

α

atas GF(p), maka

(

)

( ) ( ) C m x x β∈ α

β

=

∏

−

adalah polinomial dengan koefisien dalam GF(p). Bukti: Misalkan 0 ( ) t i i i m x m x =

=

_∑

, koefisien m di dalam F. Akan ditunjukkan bahwa _i m _i tersebut dalam lapangan ground GF(p).

(

)

(

)

(

)

0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t p p p p p p ip i i C C C m x x x x m x m x β∈ α β β∈ α β β∈ α β = =

∏

− =

∏

− =

∏

− = =

∑

dengan persamaan pertama diperoleh dari Lemma 1.3.7, dan persamaan ketiga karena

{

β β: ∈C( )α

}

=

{

β βp: ∈C( )α

}

. Di lain pihak

( )

0 0 ( ) t _p t p i p ip i i i i m x m x m x = = =

∑

=

∑

.

Jadi m_i =m_ip, menggunakan Lemma 1.3.3, diperoleh m_i∈GF p( ), untuk

0≤ ≤i t. _

Teorema 1.4.6. Untuk suatu α∈F*, maka polinomial minimal dari

α

adalah

(

)

( ) ( ) C m x_α x β∈ α

β

=

∏

− . Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa m_α( )α =0 dan m_α(αp)=0.

(

)

( ) ( ) C m x_α x β α

β

∈ =

∏

− ,

(

) (

)

(

)

(

2

) (

1

)

( ) p p ... pt 0 m_α α =

∏

α β− = α α α α− − α α− α α− − = .

Jadi

α

merupakan akar dari m x_α( ). Misalkan 0 ( ) t i i i m x m x =

=

∑

, dengan m_i∈GF p( ). Menurut Definisi berarti

α

merupakan akar, karena

( p) m_α α 0 0 i t t p pi i i i i mα mα = = =

∑

=

∑

(mip =mi karena mi∈GF p( )) 0 p t i i i m

α

=   =  

∑

 (menggunakan Lemma 1.3.7)

[

m_α( )α

]

p 0p 0 = = = .

Akibatnya semua elemen dalam ( )C α merupakan akar dari m x_α( ). _

1.5. Contoh Lapangan Berhingga

Contoh 1.5.1.

Akan dibangun lapangan berhingga F =GF(2 )3 . Pertama, dipilih polinomial tak tereduksi berorder 3 atas _{ℤ , yaitu 2} f x( )= + +x3 x 1. Elemen – elemen dari

[ ] [ ] [ ] [

]

{

2 2 2 2

}

0 , 1 , , 1 , , 1 , , 1

F = x +x   _{  }x +x _{ } x+x _{ }  + +x x _{ . Selanjutnya, untuk} menyederhanakan tanda dalam kurung yang menunjukkan kelas ekuivalensi dapat dihilangkan. Pergandaan dari elemen – elemen F adalah pergandaan modulo

( )

f x , yaitu x3+ + ≡x 1 0 mod ( )

(

f x

)

, maka diperoleh

(

)

3

1 1 mod ( )

x ≡ − − ≡ +x x f x , sebab 1≡ −1 dalam _{ℤ . Untuk suatu elemen 2} lapangan a₀+a x₁ +a x₂ 2 dapat disajikan dalam bentuk 3-tuple (a a a dengan _{0 1 2}) mengurutkan dari pangkat terkecil ke pangkat yang besar. Dengan penyajian tersebut maka elemen dari lapangan F adalah

0=(000) 1=(100) (010) x= 2 (001) x = 1+ =x (110) 2 1+x =(101) 2 (011) x+x = 2 1+ +x x =(111)

Jika diambil

α

=x, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa

α

membangun F. Dan khusus untuk lapangan ini maka dapat ditunjukkan bahwa setiap elemen yang bukan 1 merupakan pembangun. Misal diambil β =(101) dan akan dihitung m_β( )x . Menggunakan Teorema 1.4.6,

(

) (

)

(

2

)(

4

)

( ) ( ) C m_β x y y y y δ β δ β β β ∈ =

∏

− = − − − , sebab β8 =β. Sehingga diperoleh

(

)

(

2

)(

4

)

3

(

2 4

) (

2 4 2 4

)

2 4 y−β y−β y−β = y + β β+ +β y + ββ ββ+ +β β y+ββ β . Untuk mempermudah perhitungan, elemen – elemen tak nol dari F dibuat penyajiannya dalam bentuk pangkat dari pembangunnya, yaitu

α

=x.

0 (100) α = 1 (010) α = 2 (001) α = 3 (110) α = 4 (011) α = 5 (111) α = 6 (101) α = 7 0 1 α =α = Karena β α= 6 maka β2 =α12 =α5 dan β4 =α24 =α3

. Perlu diingat bahwa pangkatnya dikerjakan dengan modulo 8 – 1 = 7, yaitu order dari grup siklik yang dibangun oleh

α

. Jadi diperoleh

β β+ 2+β4 = 6 5 3 (101) (111) (110) 1 α α α+ + = + + = ββ2+ββ4+β β2 4 = β3+β5+β6 =α18+α30+α36 =α α α4+ 2+ =0 ββ β2 4 = β7 =α42 =1.

Sehingga diperoleh m_β( )y = y3+y2+1. Polinomial minimal tersebut juga merupakan polinomial minimal untuk β2 dan β4. Polinomial minimal untuk

α

dapat dihitung sebagai berikut.

(

) (

)

(

2

)(

4

)

( ) ( ) C m x_α y y y y δ∈ α δ α α α =

∏

− = − − − .

Seperti untuk β, kemudian dihitung

(

)

(

2

)(

4

)

α α α+ 2+ 4 = (010) (001) (011)+ + =0

αα αα α α2+ 4+ 2 4 = α α α3+ 5+ 6 =(110) (111) (101)+ + =1 αα α2 4 = α7 =1.

Jadi polinomial minimal untuk

α

akan sama dengan polinomial minimal untuk

2

α dan α4, yaitu m_α( )y = y3+ +y 1.

Contoh 1.5.2.

Akan dibangun suatu lapangan berhingga F =GF(2 )4 menggunakan

polinomial 4

[ ]

2

( ) 1

f x =x + + ∈x _ℤ x . Dalam hal ini

α

=x merupakan pembangun lapangan F. 0 (1000) α = 1 (0100) α = 2 (0010) α = 3 (0001) α = 4 (1100) α = 5 (0110) α = 6 (0011) α = 7 (1101) α = 8 (1010) α = 9 (0101) α = 10 (1110) α = 11 (0111) α = 12 (1111) α = 13 (1011) α = 14 (1001) α = 15 0 1 α =α =

Polinomial minimal untuk β∈F adalah ( ) m_β y

(

)

( ) C y δ β

δ

∈ =

∏

−

(

)

(

2

)(

4

)(

8

)

y β y β y β y β = − − − − , karena β16 =β

(

) (

)

(

)

4 2 4 8 3 2 4 8 2 4 2 8 4 8 2 2 4 2 8 4 8 2 4 8 2 4 8 y y y y

β β

β

β

ββ

ββ

ββ

β β

β β

β β

ββ β

ββ β

ββ β

β β β

ββ β β

= + + + + + + + + + + + + + + +

(

) (

)

(

)

4 2 4 8 3 3 5 9 6 10 12 2 7 11 13 14 15 . y y y y

β β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

= + + + + + + + + + + + + + + +

Jadi, untuk

β α

= , karena C( )

α

=

{

α α α α

, 2, 4, 8

}

, maka 1( ) m y =m y =₂( ) m y =₃( ) m y . ₄( )

β β

+ 2+

β

4+

β

8 = +

α α α α

2+ 4+ 8 (1000) (0010) (1100) (1010) 0 = + + + =

β

3+

β

5+

β

9+

β

6+

β

10 +

β

12 =

α α α α α

3+ 5+ 9 + 6+ 10+

α

12 (0001) (0110) (0101) (0011) (1110) (1111) 0 = + + + + + =

β

7 +

β

11+

β

13+

β

14 =

α α

7 + 11+

α

13+

α

14 (1101) (0111) (1011) (1001) 1 = + + + =

β

15 =

α

15 =

α

0 =1. Jadi diperoleh 4 1( ) 1 2( ) 4( ) 8( ) m y =y + + =y m y =m y =m y .

Untuk

β α

= 3, maka C(

α

3)=

{

α α α α

3, 6, 12, 24

} {

=

α α α α

3, 6, 12, 9

}

. Jadi diperoleh

3( ) 6( ) 9( ) 12( ) m y =m y =m y =m y , dan

β β

+ 2+

β

4 +

β

8 =

α α α

3+ 6+ 12+

α

9 (0001) (0011) (1111) (0101) 1 = + + + = 3 5 9 6 10 12

β

+

β

+

β

+

β

+

β

+

β

=

α α

9+ 15+

α

12 +

α α α

3+ 0+ 12 (0101) (1000) (1111) (0001) (1000) (1111) 1 = + + + + + =

β

7 +

β

11+

β

13+

β

14 ₌

α α α α

6₊ 3₊ 9₊ 12 (0011) (0001) (0101) (1111) 1 = + + + =

β

15 =

α

0 =1.

Jadi diperoleh m y₃( )= y4+y3+y2+ + =y 1 m y₆( )=m y₉( )=m₁₂( )y . Untuk

5

β α

= maka C(

α

5)=

{

α α

5, 10

}

sehingga m y5( )=m10( )y , yaitu

(

)

(

5

)(

10

)

2

(

5 10

)

5 10 5 ( ) ( ) C m y y y y y y δ β

δ

α

α

α α

α α

∈ =

∏

− = − − = + + +

dengan 5 10

(0110) (1110) 1

α α

+ = + = dan

α

15 =

α

0 =1. Sehingga diperoleh

2

5( ) 1 10( )

m y = y + + =y m y . Untuk

β α

= 7, C(

α

7)=

{

α α α α

7, 14, 13, 11

}

sehingga dengan cara yang sama diperoleh m y₇( )=y4+y3+ =1 m₁₄( )y =m₁₃( )y =m₁₁( )y . Selanjutnya, diperoleh m y₀( )= +y 1.

DAFTAR PUSTAKA

Fraleigh, John B., 2000, A First Course in Abstract Algebra, Sixth Edition, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., USA.

Vanstone, Scott A. and van Oorschot, Paul C., 1989, An Introduction to Error Correcting Codes with Applications, Kluwer Academic Publishers, Massachusetts, USA.