Darmawijoyo
Persamaan Diferensial Biasa
Suatu Pengantar
anak-anakku tersayang, Yaya, Haris,
dan Oji.
Buku Persamaan Diferensial Suatu Pengantar ini ditujukan untuk ma-hasiswa yang baru berkenalan dengan Persamaan Diferensial. Karena sifatnya pengantar maka beberapa teorema dan pernyataan dalam bu-ku ini tidak diberikan buktinya. Akan tetapi bagi pembaca yang ingin mendalaminya lebih jauh, dapat mempelajarinya dalam buku yang ada pada daftar pustaka.
Buku ini bukanlah sebuah novel yang dapat dibaca sepintas lalu ke-mudian pembaca dapat mengingat mengerti cerita di dalamnya bahk-an dapat menceritakbahk-an ulbahk-ang kejadibahk-an-kejadibahk-an dalam buku. Pemba-ca buku ini harus menyiapkan suasana sehingga dapat belajar sePemba-cara bermakna dengan keseriusan dan konsentrasi. Bacalah definisi, teo-rema, dan pernyataan secara detail dengan memperhatikan contoh-contoh soal yang mengiringinya. Biasakan memunculkan pertanyaan-pertanyaan seperti apa, bagaimana, dan mengapa setiap langkah pe-nyelesaian, atau setiap pernyataan yang ada. Cobahlah untuk menja-wab soal-soal yang ada diakhir setiap bab. Jika muncul rasa malas atau stagnasi dalam mengkaji buku ini, cobalah untuk belajar kelom-pok sebagai wahanah berdiskusi sekaligus untuk menghilangkan rasa jenuh.
Prasyarat untuk mempelajari buku ini, pembaca sudah mengenal dengan baik pelajaran kalkulus, dan kalkulus lanjut khususnya untuk bab 6 dan bab 7. Buku ini sangat baik bagi mereka yang akan menda-lami masalah-masalah sistem dinamik. Olehkarenanya, buku ini dapat digunakan atau dimanfaatkan bagi mahasiswa MIPA, teknik,
ter, pertanian, ekonomi, atau mahasiswa yang akan menggeluti kajian laju perubahan.
Struktur buku ini disusun berjenjang yang diusahkan tidak ba-nyak menggunakan prasyarat, misalkan dalam sistem persamaan di-ferensial dihindarkan penggunaan matriks. Pada bab 1 diperkenalkan masalah-masalah yang dapat disusun kedalam masalah persamaan di-ferensial. Pada bab ini pula diperkenalkan pengertian persamaan dife-rensial, pengertian penyelesaian. Pada bab 2 dibahas jenis-jenis per-samaan diferensial orde satu serta teknik penyelesaiannya.Pada Bab 3 dibahas aplikasi-aplikasi persamaan diferensial orde satu, khususnya aplikasi pada bidang geometri bidang. Pada Bab 3 ini pemahaman-pemahaman kalkulus akan banyak membantu dalam mengkaji penye-lesaian. Kajian-kajian persamaan diferensial orde dua dan sistem per-samaan diferensial terdapat pada bab 4 dan 5. Bagi pembaca yang merupakan calon sarjana dalam ilmu-ilmu rekayasa, bab 6 akan sa-ngat membantu mendalami keilmuannya dengan menggunakan alat transformasi Laplace. Bab 7 akan memberikan ruang yang lebih lebar untuk menggunakan aplikasi komputer dengan pendekatan numerik.
Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih ke-pada beberapa orang yang berperan besar dalam penyelesaian bu-ku ini. Pertama-tama, ucapan terima kasih kepada mahasiswa pendi-dikan matematika FKIP Unsri yang telah memberikan masukan ten-tang beberapa pernyataan atau soal-soal yang sukar dimengerti. Ke-pada kolega-kolega, Dr. Yusuf Hartono yang telah memberi masukan tentang aspek pembelajaran, Jaidan Jauhari, M.T. dan Elly Susanti, M.Pd.yang telah menguji cobahkan buku ini.
Penulis ingin menyatakan ucapan khusus kepada istriku tercinta Nelly Efrina, anakku tersayang, Yaya, Haris, dan Oji yang sering kehi-langan momen untuk bersedahgurau selama proses penyusunan draf. Penulis persembahkan buku ini khususnya untuk kalian semua. Teri-ma kasih atas segala pengorbanannya.
Palembang, Darmawijoyo
1 Konsep Dasar Persamaan Diferensial . . . 1
1.1 Definisi dari suatu persamaan diferensial dan order dari persamaan diferensial. . . 1
1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan Penyelesaian ekplisit. . . 2
1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial. . . 4
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan diferensial. . . 7
Soal-soal latihan . . . 11
2 Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu . . . 15
2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah. . . 15
2.2 Persamaan Diferensial Dengan Koefesien Homogen . . . 18
2.3 Persamaan Diferensial Homogen . . . 19
2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier . . . 22
2.5 Persamaan Diferensial Eksak. . . 27
2.6 Faktor integrasi. . . 32
2.7 Menentukan Faktor Integrasi . . . 34
2.7.1 h fungsi hanya dari x . . . . 35
2.7.2 h fungsi hanya dari y . . . . 36
2.7.3 h fungsi dari xy . . . . 38
2.7.4 h fungsi dari x/y . . . . 39
2.7.5 h fungsi dari y/x . . . . 41
2.7.6 Bentuk Khusus dari P dan Q. . . 42
2.8 Persamaan Diferensial Linier Order Satu. . . 43
2.8.1 Jastifikasi Faktor Integrasi eRP(x)dx. . . 47
2.8.2 Persamaan Bernoulli. . . 48
2.8.3 Persamaan Riccati. . . 50
Soal-soal latihan . . . 52
3 Masalah-masalah Yang Membentuk Persamaan Diferensial Order Satu. . . 57
3.1 Masalah-masalah dari Geometri. . . 57
3.2 Trayektori. . . 62
3.2.1 Trayektori Isogonal. . . 62
3.2.2 Trayektori Ortogonal. . . 65
3.2.3 Formula Trayektori Ortogonal dalam Koordinat Polar. . . 66
Soal-soal latihan . . . 68
4 Persamaan Diferensial Linier Order Dua. . . 73
4.1 Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Homogen Order 2 dengan Koefisien Konstan. . . 73
4.2 Persamaan Diferensial Tak Homogen . . . 77
4.2.1 Koefisien Taktentu . . . 78
4.3 Pengunaan Varibel Kompleks untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Order Dua. . . 83
4.4 Variasi Parameter . . . 85
4.5 Persamaan Diferensial Linier dengan Koefisien Tak-konstan Menggunakan Reduksi Order. . . 89
Soal-soal latihan . . . 93
5 Sistem Persamaan Diferensial. . . 97
5.1 Definisi Dasar . . . 97
5.2 Sistem Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan. . . 106
5.3 Sistem Persamaan Diferensial Order Satu Takhomogen dengan Koefisien Konstan. . . 114
Soal-soal latihan . . . 118
6 Transformasi Laplace. . . 123
6.1 Definisi Dasar . . . 123
6.2 Fungsi Periodik . . . 125
6.4 Invers Laplace . . . 127
6.5 Fungsi Tangga. . . 131
6.6 Persamaan Diferensial dengan Suku Takhomogen Diskontinu. . . 135
Soal latihan . . . 138
7 Penyelesaian Persamaan Deferinsial dengan Metode Deret. . . 145
7.1 Deret Pangkat . . . 146
7.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial Koefisien Variabel 148 7.3 Singularity . . . 156
7.4 Metode Frobenius. . . 159
7.4.1 Akar-akar berbeda dengan selisih bukan bilangan bulat. . . 161
7.4.2 Akar-akar berbeda dengan selisih bilangan bulat. 163 7.4.3 Akar-akar sama. . . 166
Soal-soal latihan . . . 167
Pustaka . . . 171
Bab 1
Konsep Dasar Persamaan Diferensial
1.1 Definisi dari suatu persamaan diferensial dan order
dari persamaan diferensial.
Dalam pelajaran , kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai contoh fungsi y = log(x) berturut-turut diberikan oleh
y0=1 x, y 00= −1 x2, y000= 2 x3, dsb, (1.1) dimana y0= dy dx, y00= d 2y
dx2, dan seterusnya. Juga kita telah
diperkenalk-an dengdiperkenalk-an aturdiperkenalk-an ddiperkenalk-an metode mendiferensialkdiperkenalk-an fungsi dari dua va-riabel atau lebih. Derivatifnya di sebut dan persamaan yang memu-at derivmemu-atife partial disebut persamaan diferensial parsial. Misalkan
u = x2+ 3xy − e2x+3y, derivatifnya terhadap x dan y berturut-turut di-berikan oleh ∂u ∂x = 2x + 3y − 2e 2x+3y ∂u ∂x = 3x − 3e 2x+3y. (1.2)
Definisi 1.1.1 Misalkan f(x) mendefinisikan sebuah fungsi dari x pa-da suatu interval I : a ≤ x ≤ b. Persamaan diferensial apa-dalah suatu persamaan yang memuat derivatif dari f(x).
Berikut ini adalah contoh-contoh dari persamaan diferensial:
Contoh 1.1.1
dy dx+ y = 0, y 0− xy = 0, (1.3) d2y dx2+ y + x2+ 5 = 0, y00− xy0+ ex= 0, (1.4) xd 3y dx3+ x 2+ 5 = xy, y000− x(y0)2+ ln(x) = 0. (1.5)
Definisi 1.1.2 dari suatu persamaan diferensial adalah order terting-gi derivatif yang termuat dalam persamaan itu.
Sebagai contoh kita verifikasi order persamaan diferensial untuk persamaan-persamaan (1.3) - (1.5). Persamaan (1.3), (1.4), dan (1.5) berturut-turut adalah persamaan diferensial order satu, order dua, dan order tiga.
1.2 Penyelesaian Persamaan Diferensial dan
Penyelesaian ekplisit.
Marilah kita perhatikan persamaan aljabar berikut ini
x2− 2x − 3 = 0. (1.6)
Kita mengatakan x = 3 adalah penyelesaian dari persamaan aljabar (1.6) karena jika kita gantikan x = 3 kepersamaan (1.6) persamaan itu menjadi benar atau dengan kata lain x = 3 memenuhi persamaan (1.6). Begitu juga dengan x = −1. Kita juga akan mengatakan fungsi
y = f (x) = x2− e2xadalah dari persamaan diferensial
y0− 2(y − x2+ x) = 0. (1.7)
Sebab jika disubsitusikan fungsi y = f (x) ke persamaan diferensial (1.7) maka persamaan itu akan benar.
Definisi 1.2.1 Misalkan y=f(x) mendefinisikan y sebagai fungsi da-ri x pada interval I:a<x<b. Kita katakan bahwa fungsi f(x) adalah atau disebut penyelesaian saja dari persamaan diferensial jika f(x) memenuhi persamaan untuk setiap x dalam interval I, yakni, jika ki-ta substitusikan y dengan f(x), y’ dengan f’(x), y” dengan f”(x), dan seterusnya, persamaan yang didapat adalah suatu identitas dalam x.
Dalam simbol matematika definisi di atas mengatakan bahwa f (x) merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial
F(x, y, y0, · · · , yn) = 0, (1.8)
jika
F(x, f (x), f0(x), · · · , fn(x)) = 0 (1.9)
untuk setiap x dalam I.
Contoh 1.2.1 Ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh
y = f (x) = x2, −∞ < x < ∞, (1.10) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
(y00)3+ y(0)2− y − 3x2− 8 = 0. (1.11)
Kita diferensialkan fungsi f untuk memperoleh f0(x) = 2x, f00(x) = 2.
Dengan mensubstitusikan fungsi y = f (x), y0= f0(x), dan y00= f00(x) ke (1.11) akan diperoleh persamaan
8 + 4x2− x2− 3x2− 8 = 0. (1.12)
Karena sebelah kiri dari persamaan (1.12) adalah nol berarti persama-an itu merupakpersama-an persamapersama-an identitas untuk semua x dalam (−∞, ∞). Menurut definisi fungsi f (x) adalah penyelesaian persamaan diferen-sial (1.11).
Contoh 1.2.2 ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh
f (x) = ln(x) + c, x > 0 (1.13) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
y0= 1
x. (1.14)
Catatlah bahwa persamaan (1.14) terdefinisi untuk x > 0. Jelaslah dengan mendiferensialkan (1.13) dan mensubstitusikannya ke (1.14) bahwa persamaan yang diperoleh adalah persamaan identitas untuk semua x > 0.
Contoh 1.2.3 ujilah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh f (x) = tan(x) − x, x 6= (2n + 1)π
2, n = 0, ±1, ±2, · · · , (1.15)
adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
y0= (x + y)2. (1.16)
Catatlah bahwa fungsi (1.15) terdefinisi dimana cos(x) 6= 0 atau x 6= (2n + 1)π2, n = 0, ±1, ±2, · · ·. Derivatif dari (1.15) diberikan oleh f0(x) = sec2(x) − 1 = tan2(x). Jelaslah dengan mensubstitusikannya (1.15) dan derivatifnya ke (1.16) bahwa persamaan yang diperoleh adalah persamaan identitas untuk semua x 6= (2n + 1)π2, n = 0, ±1,
±2, · · ·.
1.3 Penyelesaian Implisit Persamaan Diferensial.
Dalam banyak hal, kita menemukan atau dihadapkan dengan g(x, y) = 0 yang biasanya tidak mudah bahkan tidak mungkin untuk menyata-kannya dalam bentuk eksplisit y = f (x). Jika fungsi implisit g(x, y) = 0 memenuhi suatu persamaan diferensial pada interval I : a < x < b, maka relasi g(x, y) = 0 dinamakan dari persamaan diferensial itu.
Definisi 1.3.1 Suatu relasi g(x, y) = 0 dinamakan penyelesaian impli-sit dari persamaan diferensial
F(x, y, y0, c . . . , yn) = 0 (1.17) pada interval I : a < x < b, jika
• fungsi itu mendefinisikan fungsi implisit pada interval I, yaitu, ji-ka ada fungsi f (x) yang didefinisiji-kan pada I sedemikian hingga g(x, f (x)) = 0 untuk setiap x dalam I, dan jika
• f (x) memenuhi (1.17), yaitu, jika
F(x, f (x), f0(x), c . . . , fn(x)) = 0 (1.18) untuk setiap x dalam I.
Contoh 1.3.1 Ujilah bahwa
g(x, y) = x2+ y2− 25 = 0 (1.19) adalah penyelesaian implisit dari persamaan diferensial
F(x, y, y0) = yy0+ x = 0 (1.20) pada interval I : −5 < x < 5.
Pertama-tama kita tinjau bahwa fungsi g(x, y) mendefinisikan y =
f (x) sebagai fungsi implisit dari x pada interval I. Jika dipilih fungsi
eksplisitnya adalah
y = f (x) =p25 − x2 (1.21) maka akan kita peroleh persamaan
F(x, f (x), f0(x)) =p25 − x2 µ −√ x 25 − x2 ¶ + x = 0. (1.22)
Karena ruas sebelah kiri dari (1.22) nol berarti persamaan ini me-rupakan identitas dalam x. Oleh karenya, kedua persyaratan definisi 1.3.1. dipenuhi. Dengan ini dapat kita tarik kesimpulan bahwa fung-si g(x, y) dalam (1.19) adalah penyelesaian implifung-sit dari persamaan diferensial (1.20) pada interval I.
Contoh 1.3.2 Ujilah apakah
g(x, y) = x3+ y3− 3xy = 0, −∞ < x < ∞, (1.23) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
F(x, y, y0) = (y2− x)y0− y + x2= 0, −∞ < x < ∞. (1.24)
Perhatikanlah bahwa contoh 1.3.2. berbeda dengan contoh sebelum-nya. Kesulitan yang kita hadapi pertama-tama adalah tidak mudah un-tuk menyatakan fungsi implisit di atas sebagai fungsi y = f (x) dari x secara explisit. Karena kita tidak dapat menyatakan fungsi (1.23) seca-ra eksplisit sebagai fungsi y = f (x) maka kita tidak dapat mensubstitu-sikannya ke persamaan diferensial (1.24). Akan tetapi, dengan meng-gunakan grafik kita dapat memilih fungsi y = f (x) dari grafik fungsi
implisit (1.23). Untuk menunjukkan bahwa (1.23) memang merupak-an penyelesaimerupak-an untuk persamamerupak-an diferensial (1.24) dapat kita lalukmerupak-an dengan mendiferensialkan (1.23) secara implisit. Akhirnya dari deri-vatifnya kita peroleh persamaan diferensial (1.24). Prosedur terakhir yang kita gunakan adalah prosedur standar Kalkulus untuk mendife-rensialkan fungsi implisit.
Contoh 1.3.3 Ujilah apakah fungsi implisit
xy2− e−y− 1 = 0 (1.25) adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
(xy2+ 2xy − 1)y0+ y2= 0. (1.26)
Jika kita diferensialkan (1.25) secara langsung menggunakan meto-de pendiferensialan fungsi implisit seperti yang diajar dalam kuliah Kalkulus maka akan diperoleh persamaan
(2xy + e−y)y0+ y2= 0. (1.27)
Sepintas kita lihat bahwa (1.27) tampaknya tidak memenuhi (1.26). Akan tetapi jika substitusikan e−y dari persamaan (1.25) ke (1.27)
ak-an kita dapatkak-an persamaak-an (1.26). Sekarak-ang kita perhatikak-an daerah definisi dari fungsi implisit terhadap x dengan menyatakan (1.25) se-bagai persamaan
y = ±
r
1 + e−y
x . (1.28)
Jelaslah bahwa y akan terdefinisi jikalau x > 0. Olehkarena itu, agar (1.25) menjadi penyelesian kita harus membuang semua nilai x ≤ 0. Apakah interval x > 0 merupakan daerah penyelesaian ? hal ini tergan-tung dengan cabang mana yang kita pilih sebagai penyelesaian. Jika cabang dari grafik (1.28) yang diambil adalah cabang diatas sumbu
x maka jawabannya ya. Akan tetapi jika cabang yang diambil
seba-gai penyelesaian adalah cabang dibawah sumbu x maka jawabannya tidak. Untuk rinciannya ditinggalkan sebagai latihan (dengan meng-gambarkan grafik persamaan (1.28)).
1.4 Multiplicity dari penyelesaian suatu persamaan
diferensial.
Sebelumnya kita telah mempelajari apa yang dimaksud dengan penye-lesaian, interval penyelesaian dari suatu persamaan diferensial. Selan-jutnya dalam bagian ini kita akan mengasumsikan semua fungsi yang dibicarakan adalah terdefinisi dalam suatu interval tertentu. Dalam mempelajari Kalkulus kita telah berkenalan dengan apa yang dise-but anti-derivatif yaitu kita mencari dari suatu derivatif. Dalam hal ini kita menyelesaiakn persamaan diferensial yang berbentuk y0= f (x).
Sebagai contoh jika kita ingin mencari primitif dari suatu fungsi per-samaan
y0= sin(x), (1.29)
berarti kita mencari penyelesaian dari persamaan diferensial (1.29). Orang dapat mengujinya bahwa penyelesaian dari persamaan diferen-sial itu diberikan oleh
y = − cos(x) + c, (1.30)
dimana c adalah konstanta sebarang. Penyelesaian (1.30) diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (1.29), yakni,
y =
Z
sin(x)dx = − cos(x) + c, (1.31)
Jika kita mencari primitif dari persamaan
y00= ex, (1.32)
maka kita mengintegralakan persamaan tersebut, yakni,
y =
Z Z
exdxdx = ex+ c1x + c2, (1.33) dengan c1dan c2sebagai konstanta. Tentunya jika kita mencari primi-tif dari suatu persamaan diferensial yang berorder tiga maka kita akan mengintegralkan persamaan itu sebanyak tiga kali. Perlu kita ketahui bahwa primitif dari persamaan diferensial berorder n memuat n buah konstanta sebarang c1, c2, · · · , cn. Biasanya dalam buku-buku standar
persamaan diferensial primitif yang memuat n buah konstanta disebut keluarga penyelesaian dari n parameter
Definisi 1.4.1 fungsi yang didefinisikan oleh
y = f (x, c1, c2, · · · , cn) (1.34) dari n+1 variabel x,c1, c2, · · · , cnakan dinamakan dari persamaan di-fernsial berorder n
F(x, y, y0, · · · , yn) = 0, (1.35) jika untuk setiap pemilihan nilai c1, c2, · · · , cn fungsi f (x) memenuhi (1.35).
Contoh 1.4.1 Tunjukkanlah bahwa fungsi yang didefinisikan oleh y = f (x, c1, c2) = 2x + 3 + c1ex+ c2e2x (1.36)
adalah keluarga penyelesaian 2 parameter dari persamaan diferensi-al
F(x, y, y0, y00) = y00− 3y0+ 2y − 4x = 0. (1.37)
Misalkan a, b nilai kita pilih untuh c1dan c2berturut-turut, maka kita peroleh
y = 2x + 3 + aex+ be2x,
y0= 2 + aex+ 2be2x, (1.38) y00 = aex+ 4be2x.
Dengan mensubstitusikan (1.39) ke dalam (1.37) maka persamaan yang diperoleh adalah
F(x, y, y0, y00) = aex+ 4be2x− 6 − 3aex− 6be2x+ 4x + 6 +2aex+ 2be2x− 4x = 0. (1.39)
Kita dapat memeriksa bahwa (1.39) merupakan identitas. Maka kita simpulkan bahwa fungsi (1.36) adalah keluarga penyelesaian 2 para-meter.
Sekarang kita dapat memunculkan sebuah pertanyaan, bagaima-na menentukan persamaan difernsial dari keluarga penyelesaian n-parameter? seperti kita ketahui walaupun penyelesaian persamaan di-ferensial beroder n memuat n buah konstanta akan tetapi persamaan
diferensialnya sendiri tidak memuat konstanta-konstanta ini. Karena-nya untuk menentukan persamaan diferensial order n dari keluarga pe-nyelesaian n-parameter kita harus mengeliminasi konstanta-konstanta yg termuat dalam penyelesaian dengan mendiferensialkannya. Karena tidak ada metode standar untuk menyelesaiakn masalah ini, maka me-mecahkan masalah ini sangat bergantung dengan kreatifitas atau skill untuk menciptakan trik-trik penyelesaian, dan biasanya makin sering kita memecahkan masalah ini makin tinggi skil kita menciptakan trik.
Contoh 1.4.2 Tentukanlah persamaan diferensial yang memiliki ke-luarga penyelesaian 1-parameter
y = c cos(x) + x. (1.40)
Dalam hal ini telah diasumsikan bahwa order persamaan diferensial yang dicari adalah beroder satu. Derivatif dari (1.40) diberikan oleh
y0= −c sin(x) + 1. (1.41)
Karena persamaan difernsial yang kita cari harus bebas dari konstan-ta sebarang maka konskonstan-tankonstan-ta yang terdapat pada y dan y0 harus dieli-minasi. Eliminasikanlah konstanta c di (1.40) kedalam (1.41) untuk mendapatkan
y0= (x − y) tan(x) + 1. (1.42)
Perlu dicatat bahwa walaupun kita telah mendapatkan persamaan di-ferensial yang dicari, akan tetapi kita harus menentukan di interval mana (1.42) terdefinisi. Jelasah bahwa interval yang dicari adalah
I := {x ∈ R; x 6= ±π2, ±3π2, · · ·}.
Contoh 1.4.3 Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga penyelesaian 2 parameter
y = c1ex+ c2e−x. (1.43) Jelas disini telah diasumsikan bahwa yang dicari adalah persamaan diferensial beroder dua. Diferensialkanlah fungsi (1.43) dua kali untuk mendapatkan
Dengan mengurangkan direvatif kedua dengan fungsinya sendiri di-peroleh
y00− y = 0. (1.45)
Persamaan diferensial (1.45) adalah persamaan diferensial order dua dan bebas dari konstanta sebarang oleh karenanya persamaan (1.45) inilah yang kita cari.
Contoh 1.4.4 Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga penyelesaian 2-parameter
y = c1sin x + c2cos x + x2. (1.46) Sekali lagi kita mengasumsikan persamaan diferensial yang dicari berorder dua. Diferensialkanla (1.46) dua kali untuk mendapatkan
y0= c1cos x − c2sin x + 2x, y00= −c1sin x − c2cos x + 2. (1.47) Disini kita dapat mengeliminasi c1 dan c2 dengan cara biasa untuk mendapatkan persamaan diferensial order dua
y00+ y − x2− 2 = 0. (1.48)
Contoh 1.4.5 Tentukanlah persamaan diferensial yang mepunyai pri-mitif keluarga penyelsaian 1 - parameter yang merupakan keluarga lingkaran yang berpusat di titik awal.
Walaupun keluarga penyelesaian tidak diberikan dalam bentuk persa-maan simbolik, akan tetapi kita mengetahui bahwa keluarga lingkaran yang berpusat di titi awal dengan koordinat (x, y) dapat dinyatakan dengan simbolik
x2+ y2= r2, r > 0, (1.49)
dengan r sebagai parameternya. Dengan mendiferensialkan (1.49) di-peroleh persamaan diferensial yang diinginkan
Soal-soal latihan
1.1.Tentukanlah order dari persamaan diperensial berikut ini. (a) dy + (xy − sin(x))dx = 0.
(b) y00+ xy00+ 2y(y0)2+ xy = 0. (c) µ d2y dx2 ¶ − (y000)4+ xy = 0. (d) ey0+ xy00+ y = 0.
1.2.Buktikanlah bahwa fungsi-fungsi yang berada disebelah kanan persamaan diferensial merupakan penyelesaian dari persamaan dife-rensial yang diberikan. Periksalah diinterval mana mereka terdefenisi dan interval penyelesaian.
a). y0+ y = 0, y = e−x b). y0= ex, y = ex c). y0= ex, y = ex. d). ddx2y2 = √1−x1 2, y = x arcsin(x) + √ 1 − x2. e). f0(x) = f00(x), f (x) = ex+ 10. f). xy0= 2y, y = x2. g). dydx = y − x2, y = ex+ x2+ 2x + 2. h). ddx2y2 − 3dydx+ 2y = x2, y = 2e2x+ ex+14(2x2+ 6x + 7).
i). cos(x)dydx− 2y sin x = 0, y = a sec2(x). j). y00− y = 0, y = ex+ 3e−x.
k). x + yy0= 0, y =√16 − x2.
1.3.Tentukanlah fungsi v(x) sedemikian hingga fungsi y = v(x)emx adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
dy
dx = my + x
2. (1.51)
1.4.Tentukanlah m sedemikian hingga fungsi y = emx adalah
penye-lesaian dari persamaan diferensial 2d 3y dx3+ d2y dx2− 5 dy dx+ 2y = 0. (1.52)
1.5.Tentukanlah apakah persamaan disebelah kanan mendefinisikan fungsi implisit dari x. Kemudian tentukanlah apakah fungsi implisit itu merupakan penyelesaian implisit dari persamaan diferensial di se-belah kanan.
a). y2− 1 − (2y + xy)y0= 0, y2− 1 = (x + 2)2.
b). ex−y+ ey−x dydx = 0, e2y+ e2x= 1. c). dydx = −yx, x2+ y2= 1.
1.6.Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan ke-luarga penyelesaian 2 - parameter dari persamaan diferensial disebe-lah kanannya.
a). y = c1+ c2e−x+13x3, y00+ y0− x2− 2x = 0. b). y = c1e−2x+ c2e−x+ 2ex, y00+ 3y0+ 2y − 12ex= 0. c). y = c1x + c2x−1+12x ln x, x2y00+ xy0− y − x = 0.
1.7.Ujilah bahwa masing-masing fungsi disebelah kiri merupakan ke-luarga penyelesaian 3 - parameter dari persamaan diferensial disebe-lah kanannya.
a). y = ex¡c1+ c2x + c3x2+16x3 ¢
, y000− 3y00+ 3y0− y − ex= 0. b). y = c1+ c2ex+ c3e−x
+¡121 +9 cos 2x−7 sin 2x520 ¢e2x, y000− y0− e2xsin2x = 0.
c). y = c1+ c2ex+ c3e−x
+¡121 +9 cos 2x−7 sin 2x520 ¢e2x, y000− y0− e2xsin2x = 0.
1.8.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif ke-luarga penyelesaian n-parameter berikut.
a). y = cx + c3, b).x2− cy + c2= 0.
c). y = x tan x + c, d).y = c1cos 3x + c2sin 3x. e). y = cx + 3c2− 4c, f).y =pc1x2+ c2.
g). y = c1ec2x, h).y = x3+1xc. i). y = c1e2x+ c2e−2x, j).(y − c)2= cx. k). y = a(1 − cos(x)), l). ln y = c1x2+ c2.
1.9.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif ke-luarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan melalui titik asal.
1.10.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran berjari-jari variabel, berpusat di sumbu x, dan me-lalui titik asal.
1.11.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran berpusat di titk (h, k), berjari-jari tetap.
1.12.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga lingkaran x2+ y2− 2c1x − 2c2y + 2c3= 0.
1.13.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan vertek pada titik awal dan fokus pada sumbu
x.
1.14.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan fokus pada titik awal dan vertek pada sumbu
x.
1.15.Tentukanlah persamaan diferensial yang mempunyai primitif keluarga parabola dengan fokus dan vertek pada sumbu x.
Bab 2
Jenis-Jenis Persamaan Diferensial Order Satu
Persamaan diferensial yang akan kita pelajari dalam bagian ini adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk
Q(x, y)dy
dx+ P(x, y) = 0. (2.1)
Seperti biasanya variabel y akan dinamakan variabel terikat dan vari-avel x dinamakan variabel bebas. Persamaan (2.1) dalam bentuk lain dengan mengalikannya dengan dx di kedua ruas persamaan, mengha-silkan
Q(x, y)dy + P(x, y)dx = 0. (2.2)
Dalam banyak buku teks suku dy dan dx sering dinamakan diferensi-al. Contoh-contoh persamaan diferensial yang dapat dijadikan keben-tuk (2.1) atau (2.2)
1. dydx = 2xy + sin x,
2. y0= ln 2xy + tan x,
3. (x − cos x + y)dx + (2xy + sin x)dy = 0,
4. excos ydx + 2x sin xdy = 0.
Selanjutnya dalam pembahasan selanjutnya kita akan sebut keluarga penyelesian n-parameter atau primitif dengan penyelesaian saja.
2.1 Persamaan Diferensial Dengan Variabel Terpisah.
Jika persamaan (2.2) dapat direduksi ke bentukf (x)dx + g(y)dy = 0, (2.3)
maka variabel-variabel dari persamaan (2.2) dinamakan terpisah dan persamaan diferensialnya disebut persamaan diferensial dengan . Keluarga penyelesaian 1-parameter dari persamaan diferensialnya
di-berikan oleh Z
f (x)dx +
Z
g(y)dy = C, (2.4)
dimana C sebagai parameter (konstanta).
Contoh 2.1.1 Tentukanlah penyelesaian dari
2xdx − 9y2dy = 0. (2.5)
Dengan mudah kita lihat bahwa persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial terpisah. Oleh karenanya, mengintegralkan suku pertama dengan x dan suku kedua dengan y diperoleh penyelesaian persamaan diferensial (2.5)
x2− 3y3= C. (2.6)
Contoh 2.1.2 Tentukanlah penyelesaian dari
p
1 − x2dx +p5 + ydy = 0, (2.7)
dengan −1 ≤ x ≤ 1, y > −5.
Tinjaulah bahwa persamaan (2.7) adalah persamaan dalam bentuk (2.3). Penyelesaian dari persamaan diferensial ini diberikan oleh
1 2 p 1 − x2+1 2arcsin x + 2 3(5 + y) 3/2= C, (2.8) dengan −1 ≤ x ≤ 1, y > −5.
Pernyataan 2.1 Selayaknya kita catat bahwa pada penyelesaian (2.8) muncul arcsin atau invers sin. Secara implisit suku ini mendefinisik-an fungsi bernilai bmendefinisik-anyak, sedmendefinisik-angkmendefinisik-an tinjaumendefinisik-an kita dalam buku ini adalah fungsi bernilai tunggal, yaitu untuk masing -masing nilai x menentukan satu dan hanya satu nilai y. Untuk alasan ini, kita harus menentukan salah satu cabang dari grafik fungsi arcsin dan dalam hal ini akan kita pilih cabang utama yaitu cabang yang terletak an-tara −π/2 dan π/2. Dengan pemilihan ini maka fungsi arcsin akan bernilai tunggal. Dari sekarang dan seterusnya jika muncul fungsi ini akan kita artikan fungsi bernilai tunggal.
Contoh 2.1.3 Tentukanlah penyelesaian dari
xp1 − ydx −p1 − x2dy = 0, (2.9)
dengan −1 ≤ x ≤ 1, y ≤ 1.
Sekarang kita dalam posisi untuk mendapat bentuk (2.3) dari persa-maan (2.9) dengan cara membagi persapersa-maan dengan suku
p
1 − yp1 − x2. (2.10)
Akan tetapi kita perlu sedikit hati-hati dengan pembagian ini. Karena interval definisi dari √1 − y dan√1 − x2 berturut-turut adalah y ≤ 1 dan −1 ≤ x, ≤ 1 maka pembaginya akan menjadi nol saat y bernilai 1 dan x bernilai ±1, dan nilai ini harus dibuang dalam pembagian. Setelah (2.9) dibagi persamaan berikut akan diperoleh
x √ 1 − x2dx − 1 √ 1 − ydy = 0, (2.11)
dengan −1 < x < 1, y < 1. Persamaan (2.11) adalah persamaan dalam bentuk (2.3) dan karenanya penyelesaianya diberikan oleh
p
1 − x2− 2p1 − y = C, (2.12) dengan −1 < x < 1, y < 1.
Pernyataan 2.2 Perhatikanlah baik-baik bahwa y = 1 dengan dy = 0 untuk −1 ≤ x ≤ 1 juga penyelesian dari persamaan (2.9) (ujilah). Ak-an tetapi, penyelesaiAk-an ini tidak akAk-an diperoleh dari (2.12). Hal khu-sus lagi dari penyelesaian ini adalah tidak memuat parameter atau konstanta sebarang. Penyelesaian persaman diferensial yang tidak memuat parameter dinamakan .
Contoh 2.1.4 Tentukanlah penyelesaian khusus dari
xy2dx + (1 − x)dy = 0, (2.13) dengan y(2) = 1.
Memperhatikan (2.13) dengan seksama jika y 6= 0 dan x 6= 1 maka akan diperoleh x 1 − xdx + 1 y2dy = 0, x 6= 1, y 6= 0, (2.14) yang mana persamaan (2.14) dapat ditulis
µ 1 1 − x+ 1 ¶ dx + 1 y2dy = 0, (2.15) dengan x 6= 1, y 6= 0. Mengintegralkan suku pertama terhadap x dan suku kedua terhadap y diperoleh penyelesaian (2.13), yaitu,
ln | 1 − x | +x +1
y = C, x 6= 1, y 6= 0. (2.16)
Untuk memperoleh penyelesaian khusus dengan y(2) = 1, kita subs-titusikan nilai ini ke persamaan (2.16) untuk mendapatkan
ln | 1 − x | +x +1
y = 3, x 6= 1, y 6= 0. (2.17)
2.2 Persamaan Diferensial Dengan Koefesien Homogen
Definisi 2.2.1 Misalkan z = f (x, y) mendefinisikan z sebagai fungsi dari x dan y dalam daerah I ⊂ R2. Fungsi f (x, y) dikatakan berorder n jika fungsi itu dapat ditulis dalam bentuk
f (x, y) = xng(u) (2.18) dimana u = y/x dan g(u) fungsi dari u.
Perlu kita catat baik-baik bahwa definisi diatas tidak bersifat kaku, yakni, kita bisa menggunakan alternatif untuk mendefinisikan g(u) yaitu dengan memisalkan v = x/y dan kita cari bentuk f (x, y) =
yng(v). Jadi perlu dilahirkan fleksibelitas berpikiran dalam melihat
Contoh 2.2.1 Tentukan apakah fungsi f (x, y) = (x2+ y2) lny
x, (2.19)
dengan I = {(x, y) ∈ R2; x > 0, y > 0}, homogen? jika ya tentukanlah
ordernya.
Langkah pertama yang kita lakukan adalah mencoba mengubah ruas sebelah kanan (2.19) membentuk fungsi dengan variabel u = y/x atau
v = x/y. Memperhatikan persamaan (2.19) kita dapat menfaktorkan x2yakni,
f (x, y) = x2((1 + (y
x)
2) lny
x), (2.20)
dengan I = {(x, y) ∈ R2; x > 0, y > 0}. Dengan memilih g(u) = 1 + (yx)2lnyxkita sampai kepada kesimpulan, yaitu, fungsi (2.19) homogen dengan order 2.
Pernyataan 2.3 Kita dapat mendefinisikan fungsi homogen dengan versi lain yang tentunya akan ekivalen dengan yang pertama. Misalk-an M(x, y) fungsi dari x dMisalk-an y dalam daerah I ⊂ R2, misalakn pula
a > 0 sebarang konstanta, maka M dikatakan homogen berorder n jika
M(ax, ay) = anM(x, y). (2.21)
Kita dapat menunjukan bahwa hasil yang sama akan diperoleh untuk contoh 2.2.1. mengunakan definisi (2.21). Buktikanlah!
2.3 Persamaan Diferensial Homogen
Definisi 2.3.1 Persamaan diferensial
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (2.22) disebut persamaan jika P dan Q masing-masing homogen order n.
Misalkan y = ux maka dari kalkulus kita peroleh derivatif total dari y diberikan oleh
Jika kita substitusikan y dengan ux dan menggunakan (2.23) akan di-peroleh persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Kita nyatakan pernyataan ini dengan teorema berikut
Teorema 2.4 jika koefisien-koefisien persamaan (2.22) homogen order n, maka dengan mensubsitusikan y=ux akan menghasilkan persama-an diferensial dengpersama-an variabel terpisah.
Bukti. Dengan hipotesis P dan Q merupakan fungsi homogen bero-rder n. Perdefinisi, dengan u = y/x, masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk
P(x, y) = xng(u), Q(x, y) = xnh(u). (2.24)
Dengan substitusi (2.22) menjadi
xng(u)dx + xnh(u)(xdu + udx) = 0, (2.25)
atau secara ekivalen
(g(u) + uh(u))dx + xh(u)du = 0. (2.26)
Untuk x 6= 0 dan g(u) + uh(u) 6= 0 persamaan terakhir menjadi 1
xdx +
h(u)
g(u) + uh(u)du = 0, (2.27)
dengan x 6= 0, g(u) + uh(u) 6= 0. Persamaan (2.27) melengkapi bukti teorema di atas. ut
Contoh 2.3.1 Tentukanlah apakah persamaan diferensial
(x2− 3y2)dx + 2xydy = 0, (2.28) homogen dan tentukanlah penyelesaiannya.
Dalam hal ini P(x, y) = x2− 3y2dan Q(x, y) = 2xy. Bagilah fungsi P dengan x2dan fungsi Q dengan x untuk mendapatkan bentuk
P(x, y) = x2(1 −3y 2 x2 ) = x 2g(u) Q(x, y) = 2x2y x = x 2h(u). (2.29)
Perdefinisi kita peroleh bahwa persamaan diferensial (2.28) adalah persamaan diferensial homogen. Substitusikanlah y = ux dan (2.23) ke (2.28) untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel terpisah
x2(1 − u2)dx + 2ux3du = 0. (2.30)
Dengan memisahkan variabel dari (2.30) dan mengintegralkannya di peroleh penyelesaian
ln x − ln 1 − u2= c, (2.31)
atau ekivalen dengan
x3= ˜c(x2− y2). (2.32)
Contoh 2.3.2 Tentukanlah apakah persamaan
(px2− y2+ y)dx − xdy = 0, (2.33)
homogen dan tentukanlah penyelesaiannya.
Untuk kasus ini P(x, y) =px2− y2+ y dan Q(x, y) = x sama-sama homogen berorder satu. Perdefinisi kita katakan bahwa persamaan di-ferensial (2.33) adalah homogen. Sebelum menentukan penyelesaian persamaan diferensial kita perlu memeriksa daerah definisi dari persa-maan itu sendiri. Jelas dari persapersa-maan diferensialnya bahwa itu terde-finisi untuk | y |≤| x | atau dengan kata lain | yx |≤ 1 untuk x 6= 0. Lagi
dengan mensubstitusikan y = ux dan (2.24) kedalam (2.33) dimana
| u |=| yx|≤ 1 dengan x 6= 0 diperoleh
( q
x2− (ux)2+ ux)dx − x(xdu + udx) = 0. (2.34) Dalam kalkulus kita telah diperkenalkan dengan nilai bilangan riil ku-adrat dalam akar yaitu,√x2bernilai x jika x ≥ 0 dan bernilai −x jika
x < 0. Menggunakan aturan ini persamaan (2.34) dapat
disederhanak-an menjadi
±p1 − u2dx − xdu = 0, (2.35) dimana tanda ± diperoleh berhubungan dengan tanda ±x dari √x2. Jika u 6= ±1 dan menggunakan kenyataan x 6= 0 maka dapat membagi (2.35) dengan x√1 − u2untuk memperoleh
dx x = ±
1
√
1 − u2du, (2.36)
yang merupakan persamaan diferensial dengan variabel terpisah. Pe-nyelesaian persamaan terakhir ini diberikan oleh
ln x = arcsiny x+ c, | y x |< 1, x > 0, − ln (−x) = arcsiny x+ c, | y x |< 1, x < 0. (2.37)
Pembaca hendaklah meninjau dengan seksama proses yang telah dila-kukan untuk mendapatkan penyelesaian. Untuk melengkapi penyele-saian yang telah diperoleh marilah sedikit kita menganalisis apa yang belum kita dapatkan. Pertama kita membuang nilai | u |=| yx|= 1. Hal
ini berarti fungsi y = ±x telah dikeluarkan dalam proses untuk meng-hindari pembagian dengan nol, dimana fungsi ini tidak mungkin dida-pat dari penyelesaian (2.37). Pembaca dadida-pat mengujinya bahwa fungsi yang kita keluarkan ini juga memenuhi persamaan diferensial (2.33). Fungsi-fungsi y = ±x ini adalah penyelesaian khusus (2.33) yang ti-dak dapat diperoleh dari penyelesaian (2.37).
2.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Linier
Tinjaulah persamaan diferensial yang berbentuk(a1x + b1y + c1)dx + (a2x + b2y + c2)dy = 0. (2.38) Dalam bagian ini kita akan mengsumsikan bahwa koefisien dari dx dan dy tidak paralel dan c1, c2 tidak keduanya nol. Dengan asumsi ini maka kita akan memperoleh titik tunggal perpotong dari pasangan garis lurus
a1x + b1y + c1= 0, a2x + b2y + c2= 0. (2.39) Katakanlah titik potong dari pasangan garis (2.39) adalah (h, k). Sa-saran kita dalam hal ini adalah memindahkan titik potong ini ke titik asal yakni titik (0, 0). Untuk keperluan ini marilah kita transformasi variabel (x, y) ke variabel (X,Y ) dengan relasi
x = h + X, y = k +Y. (2.40)
Dengan variabel (X,Y ) titik potong akan menjadi (0, 0) yang mana dengan mensubstitusikan (2.40) ke (2.38) akan diperoleh
(a1X + b1Y + [a1h + b1k + c1])dX = 0, (2.41) (a2X + b2Y + [a2h + b2k + c2])dY = 0. (2.42) Perlu kita catat bahwa suku dalam [] harus sama dengan nol karena titik (h, k) merupakan titik potong kedua garis (2.39) yang mana titik ini memenuhi persamaan kedua garis. Memperhitung nilai didalam [] sama dengan nol maka persmaan (2.41) menjadi sederhana yaitu menjadi persamaan diferensial homogen
(a1X + b1Y )dX = 0, (a2X + b2Y )dY = 0. (2.43) Jadi dengan metode yang telah kita pelajari pada bagian 2.3 persama-an (2.43) dapat kita selesaipersama-an.
Contoh 2.4.1 Tentukanlah penyelesaian dari persamaan diferensial y0= 4x − y + 7
2x + y − 1. (2.44)
Garis 4x − y + 7 = 0 dan 2x + y − 1 = 0 berpotongan dititik (−1, 3), yang dengan menggunakan persamaan (2.43) kita peroleh
y0= 4X −Y
2X +Y. (2.45)
Seperti yang kita lakukan pada bagian sebelumnya persamaan (2.45) diselesaikan dengan memisalkan Y = uX dengan dY = udX + Xdu untuk mendapatkan µ 3 u − 1+ 2 u + 4 ¶ du + 5 XdX = 0. (2.46)
Mengintegralkan suku pertama terhadap u dan suku kedua terhadap X dan menggantikan kembali u = Y /X diperoleh
(Y − X)3(Y + 4X)2= c. (2.47)
Menggantikan kembali (X,Y ) ke (x, y) dari relasi x = X − 1 dan y =
Y + 3 kita dapatkan penyelesaian persamaan diferensial (2.44), yaitu,
Contoh 2.4.2 Carilah penyelesaian persamaan diferensial
(2x − y + 5)dx + (x + y + 3)dy = 0. (2.49)
Perpotongan kedua garis 2x − y + 5 = 0 dan x + y + 3 = 0 adalah (−8/3, −1/3). Dengan memisalkan x = −8/3 + X dan y = −1/3 +Y diperoleh persmaan diferensial homogen
(2X −Y )dx + (X +Y )dy = 0, (2.50)
yang tidak terlalu sulit dengan memisalkan Y = uX dengan dY =
udX + Xdu untuk memperoleh persamaan diferensial dengan variabel
terpisah. Pembaca dengan sedikit membolak-balik pelajaran kalkulus akan menemukan penyelesian persamaan diferensial dengan variabel terpisah yang kita peroleh tadi. Penyelesaiannya diberikan oleh
ln | X |= c −√1 2arctan u √ 2− 1 2ln | 2 + u 2|, X 6= 0. (2.51)
Menggantikan lagi (X,Y ) dengan (x, y) kita peroleh penyelesaian (2.49) untuk x 6= −13, yaitu, ln |2 µ 3x + 1 3 ¶2 + µ 3y − 1 3 ¶2 | = c −√2 arctan√3y − 1 2(3x + 1). (2.52) Cara lain yang dapat kita lakukan untuk mencari penyelesaian per-samaan diferensial dengan yang tidak paralel adalah dengan memis-lakan langsung masing - masing koefisien dengan variabel baru ke-mudian kita diferensial untuk mendapatkan relasi diferensial masing-masing. Misalkanlah
u = a1x + b1y + c1, v = a2x + b2y + c2. (2.53) Dengan mendiferensialkan masing-masing pemisalan ini akan kita peroleh relasi du dengan dx, dy, dv dengan dx, dy, yaitu,
du = a1dx + b1dy, dv = a2dx + b2dy. (2.54) Dari (2.54) itu mengikuti bahwa
dx = b2du − b1dv
a1b2− a2b1, dy =
a2du − a1dv
Kita seharusnya mencatat bahwa pembagian pada persamaan (2.55) mempunyai arti karena kedua garis tidak paralel yang berarti pula pembagi dalam persamaan (2.55) tidak sama dengan nol. Subsitusika-nlah persamaan (2.53) dan (2.55) ke dalam (2.38) untuk mendapatkan (b2u − a2v)du − (b1u − a1v)dv = 0. (2.56) Untuk memperoleh persamaan dengan variabel terpisah kita misalk-an lagi u = wv dengmisalk-an du = vdw + wdv ymisalk-ang dengmisalk-an cara ini akmisalk-an diperoleh
dv v +
−a2+ b2w
a1− (a2+ b1)w + b2w2dw = 0, (2.57) yang mana penyelesaian persamaan diferensial terakhir ini diberikan oleh
ln |v| +
Z
−a2+ b2w
a1− (a2+ b1)w + b2w2dw = c. (2.58)
Contoh 2.4.3 Tentukanlah penyelsaian dari persamaan diferensial
(2x − y + 1)dx + (x + y)dy = 0. (2.59) Mengunakan (2.58) diperoleh ln |v| + Z w − 1 2 + w2dw = c. (2.60)
Sekali lagi dengan kemahiran pembaca menggunakan kalkulus akan diperoleh
ln[v2(w2+ 2)] = ˜c +√2 arctan√w
2, v 6= 0. (2.61) Mensubstitusikan balik dari
w = u v =
2x − y + 1
x + y , x + y 6= 0, (2.62)
didapatkan penyelesaian (2.59) untuk x + y 6= 0, yaitu ln[(2x − y + 1)2+ 2(x + y)2] = ˜c +√2 arctan√2x − y + 1
Sekarang muncul pertanyaan bagaimana menangani persamaan dife-rensial dengan koefisien linier yang paralel? Tentunya kita tidak bisa lagi menggunakan metode pertama yang telah dijelaskan sebelumnya. Akan tetapi, dengan mengamati metode kedua yang kita gunakan un-tuk menangani persamaan dengan koefisien linier yang tidak paralel dapat juga dikembangkan untuk menangani persamaan dengan koe-fisien yang paralel. Pandanglah lagi persamaan (2.38) dengan meng-sumsikan kedua koefisien dari dx dan dy adalah dua buah garis yang paralel. Dalam hal ini
a1
a2 =
b1
b2 = r, r 6= 0, (2.64)
dengan r sebagai perbandingan. Mensubstitusikan (2.64) kedalam (2.38) dengan menggunakan r didapatkan
(r(a2x + b2y + c2) + c1− rc2)dx + (a2x + b2y + c2)dy = 0, r 6= 0.
(2.65)
Mengamati persamaan (2.65) pembaca diharapkan dengan mudah un-tuk menyederhanakan persamaan ini. Tentunya kita akan memisalkan
u = a2x + b2y + c2 dengan menggunakan relasi dy = du−ab22dx untuk mendapatkan persamaan yang sederhana
dx + u
(b2r − a2)u + b2(c1− rc2)du = 0, u 6= −
b2(c1− rc2)
b2r − a2 , (2.66) yang mempunyai penyelesaian
x +
Z u
(b2r − a2)u + b2(c1− rc2)du = c, u 6= −
b2(c1− rc2)
b2r − a2 . (2.67)
Contoh 2.4.4 Tentukanlah penyelesaian dari
(2x + 3y + 2)dx + (4x + 6y + 4)dy = 0, (2.68) dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari pe-nyelesaian 1-parameternya.
Dengan memasukan nilai r, a1, b1, a2, b2, c1dan c2kedalam persamaan (2.67) dengan u = 4x + 6y + 4 akan kita peroleh
x − u = c, u 6= 0, (2.69)
atau ekivalen dengan
x + 2y = ˜c, 4x + 6y + 4 6= 0. (2.70)
Pembaca dapat mengujinya bahwa garis lurus 4x + 6y + 4 = 0 juga memenuhi persamaan diferensial (2.68) yang mana garis ini tidak da-pat diperoleh dari (2.69).
Contoh 2.4.5 Tentukanlah penyelesaian dari
(2x + 3y − 1)dx + (4x + 6y + 2)dy = 0, (2.71) dan tentukan pula penyelesaian khsusus yang tidak diperoleh dari pe-nyelesaian 1-parameternya.
Disini kita ketahui bahwa r = 1/2. Mensubsitusikan nilai-nilai a1, b1,
a2, b2, c1dan c2ke persamaan (2.67) kita peroleh
x − u + 12 ln |u + 12| = c, u 6= −12, (2.72)
dimana u = 4x +6y+ 2. Persamaan (2.72) ekivalen dengan persamaan
−x − 2y − 4 + 4 ln |2x + 3y + 7| = ˜c, 2x + 3y 6= −7. (2.73)
Amatilah dengan baik bahwa garis 2x + 3y + 7 = 0 yang mungkin di-peroleh dari penyelesaian (2.73) juga memenuhi persamaan diferensi-al (2.71). Oleh karenanya garis ini juga penyelesaian dari persamaan diferensial yang tidak diperoleh dari penyelesaian -parameternya.
2.5 Persamaan Diferensial Eksak.
Kembali kepelajaran kalkulus, misalkan kita mempunyai fungsi dua variabel
z = f (x, y) = x2+ y2− 3x3y2− 3x2y3+ 6xy + 15. (2.74)
dz = ∂f (x, y) ∂x dx + ∂f (x, y) ∂y dy = (2x − 9x2y2− 6xy3+ 6y)dx +(2y − 6x3y − 9x2y2+ 6x)dy. (2.75)
Sebaliknya jika kita mulai dari ekspresi
(2x − 9x2y2− 6xy3+ 6y)dx + (2y − 6x3y − 9x2y2+ 6x)dy (2.76)
maka kita mengharapkan sebuah fungsi f (x, y) yang diferensial total-nya diberikan oleh (2.76). Ekspresi yang diberikan oleh (2.76) akan dinamakan .
Definisi 2.5.1 Ekspresi diferensial
P(x, y)dx + Q(x, y)dy (2.77) dinamakan diferensial eksak jika (2.77) menyatakan diferensial total dari fungsi dua variabel f (x, y), yaitu;
P(x, y) = ∂
∂xf (x, y) dan Q(x, y) =
∂
∂yf (x, y). (2.78)
Sekarang anggaplah kita tidak mengetahui fungsi (2.74) dan kita ingin menguji apakah diferensial (2.76) eksak atau tidak, menggunakan de-finisi (2.78) kita coba untuk mendapatkan fungsi f (x, y), yakni dengan melakukan langkah-langkah berikut; pertama kita integralkan koefisi-en dary dx terhadap x dkoefisi-engan y dianggap konstan pada langkah ini. Berarti hasil integral pada langkah pertama harus memunculkan fung-si sebarang dari y katakanlah g(y) sebagai konstanta integral. Langkah kedua hasil integral dari langkah pertama didiferensialkan terhadap y, yang mana menurut definini hasil diferensial ini harus sama dengan koefisien dari dy. Dengan bahasa matematika proses ini dilakaukan sebagai berikut;
f (x, y) =
Z
(2x − 9x2y2− 6xy3+ 6y)dx + g(y)
= x2− 3x3y2− 3x2y3+ 6xy + g(y). (2.79)
Fungsi f (x, y) memuat fungsi sebarang g(y) yang harus kita tentuk-an untuk mendapatktentuk-an informasi lengkap mengenai fungsi f (x, y).
Fungsig(y) ini dapat kita tentukan dengan mendiferensialkan (2.79) terhadap y ∂ ∂yf (x, y) = −6x 3y − 9x2y2+ 6x +dg(y) dy = 2y − 6x 3y − 9x2y2+ 6x. (2.80)
Langkah terakhir mengintegralkan (2.79) terhadap y untuk mempero-leh g(y)
g(y) =
Z
2ydy = y2+ c. (2.81)
Persamaan (2.81) melengkapi informasi mengenai fungsi f (x, y), yak-ni,
f (x, y) = x2+ y2− 3x3y2− 3x2y3+ 6xy = c, (2.82)
sebagai keluarga fungsi 1-parameter.
Definisi 2.5.2 Persamaan diferensial
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.83) dinamakan eksak jika ada fungsi f (x, y) sedemikian hingga derivatif parsialnya terhadap x adalah P(x, y) dan derivatif parsialnya terha-dap y adalah Q(x, y).
Secara simbolik definisi diatas mengatakan bahwa persamaan (2.83) dinamakan eksak jika ada fungsi f (x, y) sedimikian hingga
∂f (x, y)
∂x = P(x, y),
∂f (x, y)
∂x = Q(x, y). (2.84)
Menggunakan persamaan (2.84) maka penyelesaian keluarga 1 - pa-rameter persamaan diferensial (2.83) diberikan oleh
f (x, y) = c, (2.85)
dengan c konstanta sebarang. Setelah kita mengetahui definisi persa-maan diferensial dan penyelesian 1-parameternya, selanjutnya mun-cul pertanyaan, yaitu, bagaimana kita dapat menentukan apakah se-buah persamaan diferensial itu eksak atau tidak? jawaban dapat kita formulasikan kedalam teorema berikut ini.
Teorema 2.5 Persamaan diferensial
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.86) eksak jika dan hanya jika
∂P(x, y)
∂y =
∂Q(x, y)
∂x (2.87)
dimana fungsi P(x,y), Q(x,y), ∂ P(x,y)∂ x ,∂ Q(x,y)∂ y , dan persamaan (2.87) terdefinisi dan kontinu dalam daerah terhubung sederhana D.
Persamaan (2.87) menjamin bahwa persmaan diferensial (2.86) mem-punyai penyelesaian berbentuk f (x, y) = c. Selanjutnya, jika (xo, yo)
sebuah titik terletak dalam domain D dan persegi panjang yang diben-tuk oleh segmen garis yang menghubungkan titik-titik (xo, yo), (x, yo)
dan (xo, yo), (xo, y) terletak seluruhnya dalam D maka penyelesaian
persamaan diferensial eksak itu diberikan oleh
f (x, y) = Z x xo P(x, y)dx + Z y yo Q(xo, y)dy = c, (2.88) atau f (x, y) = Z y yo Q(x, y)dy + Z x xo P(x, yo)dx = c, (2.89)
dimana kedua fungsi (2.88) dan (2.89) akan menghasilkan keluarga penyelesian 1-parameter dari persamaan diferensial eksak (2.86).
Contoh 2.5.1 Tunjukkanlah bahwa persamaan
cos(y)dx − (x sin(y) − y2)dy = 0 (2.90) adalah eksak dan tentukan keluarga 1-parameter penyelesainnya.
Menggunakan teorema 2.5.3 dengan P(x, y) = cos(y) dan Q(x, y) =
−x sin(y) + y2 dimana ∂ P(x,y)∂ y = − sin(y) dan ∂ Q(x,y)∂ x = − sin(y) ki-ta peroleh bahwa persamaan (2.90) adalah eksak. Karena P(x, y) dan
Q(x, y) terdefinisi untuk semua x, y maka kita dapat memilih xo= 0
dan yo= 0. Menggunakan pemilihan xodan yoini diperoleh Q(xo, y) = Q(0, y) = y2. Akibatnya persamaan (2.88) menjadi
Z x
0 cos(y)dx +
Z y
0 y
2dy = c. (2.91) Mengintegralkan suku pertama (2.91) terhadap x dan suku kedua (2.91) terhadap y kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameter, ya-itu
x cos(y) +y
3
3 = c. (2.92)
Contoh 2.5.2 Tunjukkanlah bahwa persamaan differensial berikut
(x − 2xy + ey)dx + (y − x2+ xey)dy = 0. (2.93) eksak dan tentukan penyelesaian khususnya dimana penyelesaian itu memenuhi syarat y(1) = 0.
Dalam hal ini P(x, y) = x − 2xy + eydan Q(x, y) = y − x2+ xey. Berarti
∂ P(x,y) ∂ y = −2x + ey dan ∂ Q(x,y) ∂ x = −2x + ey. Karena ∂ P(x,y) ∂ y = ∂ Q(x,y) ∂ x maka menurut teorema 2.5.3 persamaan (2.93) eksak. Juga dalam hal ini P dan Q terdefinisi untuk semua nilai x dan y dan olehkarenanya kita dapat memilih xo = 0 dan yo= 0. Dengan pemilihan ini
meng-akibatkan Q(xo, y) = y. Karenanya persamaan integral berikut akan
diperoleh Z
x
0 (x − 2xy + e
y)dx +Z y
0 ydy = c. (2.94) Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.94) terhadap x dan suku kedua terhadap y penyelesaian keluarga 1-parameter diperoleh
x2
2 − x
2y + xey+y2
2 = c. (2.95)
Mensubstitusikan y(1) = 0, yaitu y = 0 untuk x = 1, penyelesaian khu-sus yang diperoleh adalah
x2− 2x2y + 2xey+ y2= 3, (2.96)
yaitu c = 32.
Contoh 2.5.3 Tunjuakkanlah bahwa persamaan diferensial
(x3+ xy2sin(2x) + y2sin2(x))dx + (2xy sin2(x))dy = 0, (2.97) eksak dan tentukanlah keluarga penyelesaian 1-parameternya.
Dalam hal ini
∂P(x, y)
∂y = 2xy sin(2x) + 2y sin
2(x) (2.98) dan
∂Q(x, y)
∂x = 2xy sin(2x) + 2y sin
2(x). (2.99) Berdasarkan informasi ini kita simpulkan persamaan diferensial (2.97) eksak. Sekali lagi kita amati bahwa fungsi P dan Q terdefinisi untuk semua nilai x dan y. Untuk itu kita boleh mengambil xo= 0 dan yo= 0.
Akibatnya P(x, yo) = P(x, 0) = x3dan menggunakan persamaan (2.89)
persamaan integral berikut diperoleh
Z y 0 2xy sin 2(x)dy + Z x 0 x 3dx = c. (2.100)
Mengintegralkan suku pertama persamaan (2.100) terhadap y dan su-ku kedua terhadap x kita peroleh keluarga penyelesaian 1-parameter berikut ini
xy2sin2(x)dy +x 4
4 = c. (2.101)
2.6 Faktor integrasi.
Definisi 2.6.1 Sebuah faktor pengali yang menjadikan suatu persa-maan diferential yang tidak eksak menjadi persapersa-maan diferensial ek-sak dinamakan .
Sebagai contoh, persamaan diferensial (y2+ y)dx − xdy = 0 tidak ek-sak. Apabila persamaan itu dikalikan dengan y−2persamaan yang di-peroleh adalah (1+1y)dx−yx2dy = 0 dengan y 6= 0. Persamaan terakhir
ini adalah persamaan diferensial eksak (ujilah). Perdefinisi faktor pe-ngali y−2 ini dinamakan faktor integrasi.
Contoh 2.6.1 Selesaikanlah persamaan diferensial
Seperti kita katakan di atas bahwa persamaan diferensial ini mem-punyai faktor integrasi y−2.(pembaca diminta untuk membuktikan-nya). Persamaan diferensial yang diperoleh dari mengalikan persama-an (2.102) dengpersama-an faktor integrasinya adalah
(1 +1
y)dx − x
y2dy = 0, y 6= 0. (2.103) Sekarang kita dapat menyelesaiankan persamaan diferensial (2.103) dengan metode standar. Jika kita susun lagi persamaan diferensial (2.103) dengan cara berikut ini
dx +ydx − xdy
y2 = 0, y 6= 0, (2.104) maka suku kedua dari persamaan terakhir merupakan bentuk diferen-sial d(x/y). Karenanya dengan mengintegrasikan kedua ruas dipero-leh penyelesaian keluarga 1-parameter
x +x
y= c, atau y = x
c − x, y 6= 0. (2.105)
Perlu kita perhatikan dengan teliti bahwa garis y = 0 juga penye-lesaian persamaan diferensial (2.102) yang tidak dapat diperoleh dari persamaan (2.105). Olehkarenanya, penyelesaian ini dinamakan pe-nyelesaian khusus untuk (2.102).
Contoh 2.6.2 Selesaikanlah persamaan diferensial y sec xdx + sin xdy = 0, x 6=π
2, 3π
2 , · · · . (2.106) Marilah kita perhatikan bahwa persamaan diferensial diatas bukan persamaan diferensial eksak. Akan tetapi sec x adalah sebuah faktor integrasi dari persamaan diferensial diatas. Oleh karenanya apabila persamaan diferensial (2.106) dikalikan dengan sec x akan menjadi persamaan dieferensial eksak (ujilah!). Kalikanlah persamaan (2.106) dengan sec x untuk mendapatkan persamaan deferensial eksak
y sec2xdx + tan xdy = 0, x 6= π
2, 3π
Untuk menyelesaiakan persamaan diferensial terakhir ini dengan meng-gunakan metode penyelesaian persamaan diferensial eksak yang telah kita bahas sebelumnya. Akan tetapi dalam hal ini kita akan selesaik-an persamaselesaik-an ini dengselesaik-an cara mengenali diferensial ruas sebelah kiri (2.107). Diferensial ruas sebelah kiri (2.107) tidak lain adalah deri-vatif dari fungsi y tan x. Olehkarenanya penyelesaian yang persmaan diferensial (2.106)
y tan x = c, atau y = c cot x. (2.108)
2.7 Menentukan Faktor Integrasi
Kita dapat memberikan catatan terhadap definisi faktor integrasi. Me-tode standar untuk mencari faktor integrasi yang kita bahas sebelum-nya adalah untuk persamaan diferensial tipe-tipe khusus saja. Berikut ini kita akan membahas faktor integrasi untuk berbagaimanacam tipe persamaan diferensial yang lebih umum.
Kita mulai pembahasan kita dengan meninjau persmaan diferensial berbentuk
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.109)
yang mana persamaan ini secara umum tidak eksak. Kita asumsik-an bahwa faktor integrasi dari persamaasumsik-an diferensial (2.109) adalah fungsi dari h(x, y). Tujuan dari pembahasan kita kali ini adalah un-tuk menenun-tukan fungsi dari h sedemikian hingga persamaan (2.109) menjadi eksak. Perdefinisi persamaan diferensial
h(x, y)P(x, y)dx + h(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.110)
adalah persamaan diferensial eksak. Olehkarenanya dengan teoremaa kita dapatkan
∂
∂yh(x, y)P(x, y) =
∂
∂xh(x, y)Q(x, y). (2.111)
2.7.1 h fungsi hanya dari x
Untuk kasus ini h(x, y) = h(x). Dengan menyelesaiankan diferensial (2.111) kita dapatkan h(x) ∂ ∂yP(x, y) = h(x) ∂ ∂xQ(x, y) + Q(x, y) dh dx(x). (2.112)
persamaan terakhir ini dapat kita tulis dalam bentuk
dh(x) d(x) =
∂
∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y)
Q(x, y) dx. (2.113)
Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.113) ini. Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari x saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari x saja. Sekarang misalkan koefisien dari dx adalah F(x), yaitu
F(x) =
∂
∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y)
Q(x, y) . (2.114)
Dengan meninjau persamaan (2.113) kita ketahui dh(x)d(x) = F(x) yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari
h(x) = eRF(x)dx. (2.115)
Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dari integrasi ruas kanan (2.115).
Contoh 2.7.1 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(ex− sin y)dx + cos ydy = 0 (2.116) bukan persamaan diferensial eksak dan kemudian tentukankanlah faktor integrasinya.
Pertama-tama kita nyatakan koefisien dari dx dan dy dengan fungsi
P(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.116) diperoleh bahwa P(x, y) = ex− sin y
dan Q(x, y) = cos y. Olehkarenanya
∂P(x, y)
∂y = − cos y dan
∂Q(x, y)
Dalam hal ini persamaan diferensial (2.116) tidak eksak dan
F(x) = − cos y
cos y = −1. (2.118)
Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.116) yaitu
h(x) = eR−dx= e−x. (2.119) Contoh 2.7.2 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(1 − xy)dx + (xy − x2)dy = 0 (2.120) bukan persamaan diferensial eksak dan kemudian tentukankanlah faktor integrasinya.
Langkah pertamana kita nyatakan koefisien dari dx dan dy dengan fungsi P(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.120) diperoleh bahwa P(x, y) = 1 −
xy dan Q(x, y) = xy − x2. Olehkarenanya
∂P(x, y)
∂y = −x dan
∂Q(x, y)
∂x = y − 2x. (2.121)
Dalam hal ini persamaan diferensial (2.120) tidak eksak dan
F(x) = −x − y + 2x xy − x2 = −
1
x. (2.122)
Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.120) yaitu
h(x) = eR−1xdx= e− ln x= 1
x. (2.123)
2.7.2 h fungsi hanya dari y
Dalam kasus ini, dengan mengalikan persamaan diferensial (2.109) dengan faktor integrasinya h (fungsi hanya dari y) kemudian dengan menggunakan kondisi keeksakan persamaan diferensial yang dipero-leh
h(y) ∂ ∂yP(x, y) + P(x, y) dh(y) dy = h(y) ∂ ∂xQ(x, y). (2.124)
Persamaan (2.124) dinyatakan dalam bentuk
dh(y) d(y) =
∂
∂ xQ(x, y) −∂ y∂ P(x, y)
P(x, y) dy. (2.125)
Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.125) ini. Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari y saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari y saja. Sekarang misalkan koefisien dari dy adalah G(y), yaitu
G(y) =
∂
∂ xQ(x, y) −∂ y∂ P(x, y)
P(x, y) . (2.126)
Dengan meninjau persamaan (2.125) kita ketahui dh(y)d(y) = G(y) yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari
h(y) = eRF(y)dy. (2.127)
Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dari integrasi ruas kanan (2.127).
Contoh 2.7.3 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
xydx + (1 + x2)dy = 0 (2.128) bukan persamaan diferensial eksak kemudian tentukanlah faktor inte-grasinya.
Dengan memperhatikan koefisien dx dan dy persmaan (2.128) kita peroleh
∂P(x, y)
∂y = x, dan
∂Q(x, y)
∂x = 2x. (2.129)
Dari persamaan (2.129) itu juga mengikuti bahwa
G(y) = 2x − x xy =
1
y. (2.130)
Persamaan (2.130) membuktikan bahwa persmaan diferensial (2.128) tidak eksak. Selanjutnya mengunakan (2.127) kita peroleh faktor in-tegrasi dari persamaan diferensial (2.128) diberikan oleh
2.7.3 h fungsi dari xy
Anggaplah faktor integrasi persamaan diferensial (2.109) adalah h(xy). Misalkan u(x, y) = xy. Dengan menggunakan aturan rantai persmaan (2.111) h(u) ∂ ∂yP(x, y) + P(x, y ∂h(u) ∂y = h(u) ∂ ∂yQ(x, y) + Q(x, y) ∂h(u) ∂x , (2.132) dimana ∂ ∂xh(u) = h 0(u)∂u ∂x = dh(u) du ∂u ∂x (2.133) dan ∂ ∂yh(u) = h 0(u)∂u ∂y = dh(u) du ∂u ∂y. (2.134)
Mengingat u = xy akibatnya ∂ u∂ x = y dan∂ u∂ y= x dan persamaan (2.134) menjadi ∂ ∂xh(u) = yh 0(u) = ydh(u) du , (2.135) dan ∂ ∂yh(u) = xh 0(u) = xdh(u) du . (2.136)
Mensubstitusikan persamaan (2.134), (2.135) dan (2.136) ke dalam (2.132) kita peroleh dh(u) h(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) du. (2.137)
Lagi mengingat ruas kiri persamaan (2.137) adalah fungsi dari u maka koefisien dari du juga fungsi dari u juga. Sekarang misalkan
F(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) , (2.138) maka dh(u) h(u) = F(u)du. (2.139)
Penyelesaian dari persamaan diferensial (2.139) diberikan oleh
Contoh 2.7.4 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(y3+ xy2+ y)dx + (x3+ x2y + x)dy = 0 (2.141) bukan persamaan diferensial eksak dan carilah faktor integrasinya.
Pada contoh ini kita ketahui bahwa P(x, y) = y3+xy2+y dan Q(x, y) =
x3+ x2y + x. Dengan mendiferensialkan P terhadap y dan Q terhadap
x diperoleh ∂P(x, y) ∂y = 3y 2+2xy+1) dan ∂P(x, y) ∂x = 3x 2+2xy+1. (2.142) Dari persamaan (2.142) kita peroleh
∂P(x, y)
∂y −
∂P(x, y)
∂x = 3(y
2− x2). (2.143) Hal ini menunjukkan bahwa persamaan diferensial (2.141) tidak ek-sak. Selanjutnya akan kita tentukan faktor integrasinya. Menggunakan (2.138) itu mengikuti bahwa
F(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) = −3(x2− y2) xy(x2− y2) = − 3 u. (2.144)
Kemudian menggunakan (2.139) kita peroleh faktor integrasinya, ya-itu
h(u) = e−R3udu= e−3 ln u= (xy)−3. (2.145) Ujilah bahwa persamaan differensial (2.141) akan menjadi eksak jika persamaan itu dikalikan dengan (xy)−3.
2.7.4 h fungsi dari x/y
Misalkan u = x/y dan h = h(u) maka, dengan menggunakan aturan rantai, akan diperoleh
∂ ∂yh(u) = h 0(u)∂u ∂y = − x y2 d duh(u) (2.146)
