Kita dapat memberikan catatan terhadap definisi faktor integrasi. Me-tode standar untuk mencari faktor integrasi yang kita bahas sebelum-nya adalah untuk persamaan diferensial tipe-tipe khusus saja. Berikut ini kita akan membahas faktor integrasi untuk berbagaimanacam tipe persamaan diferensial yang lebih umum.
Kita mulai pembahasan kita dengan meninjau persmaan diferensial berbentuk
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (2.109)
yang mana persamaan ini secara umum tidak eksak. Kita asumsik-an bahwa faktor integrasi dari persamaasumsik-an diferensial (2.109) adalah fungsi dari h(x, y). Tujuan dari pembahasan kita kali ini adalah un-tuk menenun-tukan fungsi dari h sedemikian hingga persamaan (2.109) menjadi eksak. Perdefinisi persamaan diferensial
h(x, y)P(x, y)dx + h(x, y)Q(x, y)dy = 0 (2.110)
adalah persamaan diferensial eksak. Olehkarenanya dengan teoremaa kita dapatkan
∂
∂yh(x, y)P(x, y) =
∂
∂xh(x, y)Q(x, y). (2.111)
2.7.1 h fungsi hanya dari x
Untuk kasus ini h(x, y) = h(x). Dengan menyelesaiankan diferensial (2.111) kita dapatkan h(x) ∂ ∂yP(x, y) = h(x) ∂ ∂xQ(x, y) + Q(x, y) dh dx(x). (2.112)
persamaan terakhir ini dapat kita tulis dalam bentuk
dh(x) d(x) =
∂
∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y)
Q(x, y) dx. (2.113)
Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.113) ini. Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari x saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari x saja. Sekarang misalkan koefisien dari dx adalah F(x), yaitu
F(x) =
∂
∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y)
Q(x, y) . (2.114)
Dengan meninjau persamaan (2.113) kita ketahui dh(x)d(x) = F(x) yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari
h(x) = eRF(x)dx. (2.115)
Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dari integrasi ruas kanan (2.115).
Contoh 2.7.1 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(ex− sin y)dx + cos ydy = 0 (2.116) bukan persamaan diferensial eksak dan kemudian tentukankanlah faktor integrasinya.
Pertama-tama kita nyatakan koefisien dari dx dan dy dengan fungsi
P(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.116) diperoleh bahwa P(x, y) = ex− sin y
dan Q(x, y) = cos y. Olehkarenanya
∂P(x, y)
∂y = − cos y dan
∂Q(x, y)
Dalam hal ini persamaan diferensial (2.116) tidak eksak dan
F(x) = − cos y
cos y = −1. (2.118)
Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.116) yaitu
h(x) = eR−dx= e−x. (2.119) Contoh 2.7.2 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(1 − xy)dx + (xy − x2)dy = 0 (2.120) bukan persamaan diferensial eksak dan kemudian tentukankanlah faktor integrasinya.
Langkah pertamana kita nyatakan koefisien dari dx dan dy dengan fungsi P(x, y) dan Q(x, y). Dari (2.120) diperoleh bahwa P(x, y) = 1 −
xy dan Q(x, y) = xy − x2. Olehkarenanya
∂P(x, y)
∂y = −x dan
∂Q(x, y)
∂x = y − 2x. (2.121)
Dalam hal ini persamaan diferensial (2.120) tidak eksak dan
F(x) = −x − y + 2x xy − x2 = −1
x. (2.122)
Menggunakan (2.115) kita peroleh faktor integrasi dari persamaan di-ferensial (2.120) yaitu
h(x) = eR−1xdx= e− ln x= 1
x. (2.123)
2.7.2 h fungsi hanya dari y
Dalam kasus ini, dengan mengalikan persamaan diferensial (2.109) dengan faktor integrasinya h (fungsi hanya dari y) kemudian dengan menggunakan kondisi keeksakan persamaan diferensial yang dipero-leh
h(y) ∂ ∂yP(x, y) + P(x, y) dh(y) dy = h(y) ∂ ∂xQ(x, y). (2.124)
Persamaan (2.124) dinyatakan dalam bentuk
dh(y) d(y) =
∂
∂ xQ(x, y) −∂ y∂ P(x, y)
P(x, y) dy. (2.125)
Sekarang kita perhatikan dengan seksama arti persamaan (2.125) ini. Karena ruas sebelah kiri adalah fungsi dari y saja maka ruas kanan-nya harus pula fungsi dari y saja. Sekarang misalkan koefisien dari dy adalah G(y), yaitu
G(y) =
∂
∂ xQ(x, y) −∂ y∂ P(x, y)
P(x, y) . (2.126)
Dengan meninjau persamaan (2.125) kita ketahui dh(y)d(y) = G(y) yang dapat diintegralkan dengan hasil integrasinya adalah fungsi dari
h(y) = eRF(y)dy. (2.127)
Faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.110) adalah hasil dari integrasi ruas kanan (2.127).
Contoh 2.7.3 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
xydx + (1 + x2)dy = 0 (2.128) bukan persamaan diferensial eksak kemudian tentukanlah faktor inte-grasinya.
Dengan memperhatikan koefisien dx dan dy persmaan (2.128) kita peroleh
∂P(x, y)
∂y = x, dan
∂Q(x, y)
∂x = 2x. (2.129)
Dari persamaan (2.129) itu juga mengikuti bahwa
G(y) = 2x − x xy =
1
y. (2.130)
Persamaan (2.130) membuktikan bahwa persmaan diferensial (2.128) tidak eksak. Selanjutnya mengunakan (2.127) kita peroleh faktor in-tegrasi dari persamaan diferensial (2.128) diberikan oleh
2.7.3 h fungsi dari xy
Anggaplah faktor integrasi persamaan diferensial (2.109) adalah h(xy). Misalkan u(x, y) = xy. Dengan menggunakan aturan rantai persmaan (2.111) h(u) ∂ ∂yP(x, y) + P(x, y ∂h(u) ∂y = h(u) ∂ ∂yQ(x, y) + Q(x, y) ∂h(u) ∂x , (2.132) dimana ∂ ∂xh(u) = h 0(u)∂u ∂x = dh(u) du ∂u ∂x (2.133) dan ∂ ∂yh(u) = h 0(u)∂u ∂y = dh(u) du ∂u ∂y. (2.134)
Mengingat u = xy akibatnya ∂ u∂ x = y dan∂ u∂ y= x dan persamaan (2.134) menjadi ∂ ∂xh(u) = yh 0(u) = ydh(u) du , (2.135) dan ∂ ∂yh(u) = xh 0(u) = xdh(u) du . (2.136)
Mensubstitusikan persamaan (2.134), (2.135) dan (2.136) ke dalam (2.132) kita peroleh dh(u) h(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) du. (2.137)
Lagi mengingat ruas kiri persamaan (2.137) adalah fungsi dari u maka koefisien dari du juga fungsi dari u juga. Sekarang misalkan
F(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) , (2.138) maka dh(u) h(u) = F(u)du. (2.139)
Penyelesaian dari persamaan diferensial (2.139) diberikan oleh
Contoh 2.7.4 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
(y3+ xy2+ y)dx + (x3+ x2y + x)dy = 0 (2.141) bukan persamaan diferensial eksak dan carilah faktor integrasinya.
Pada contoh ini kita ketahui bahwa P(x, y) = y3+xy2+y dan Q(x, y) =
x3+ x2y + x. Dengan mendiferensialkan P terhadap y dan Q terhadap x diperoleh ∂P(x, y) ∂y = 3y 2+2xy+1) dan ∂P(x, y) ∂x = 3x 2+2xy+1. (2.142)
Dari persamaan (2.142) kita peroleh
∂P(x, y)
∂y −
∂P(x, y)
∂x = 3(y
2− x2). (2.143)
Hal ini menunjukkan bahwa persamaan diferensial (2.141) tidak ek-sak. Selanjutnya akan kita tentukan faktor integrasinya. Menggunakan (2.138) itu mengikuti bahwa
F(u) = ∂ ∂ yP(x, y) −∂ x∂ Q(x, y) yQ(x, y) − xP(x, y) = −3(x2− y2) xy(x2− y2) = − 3 u. (2.144)
Kemudian menggunakan (2.139) kita peroleh faktor integrasinya, ya-itu
h(u) = e−R3udu= e−3 ln u= (xy)−3. (2.145)
Ujilah bahwa persamaan differensial (2.141) akan menjadi eksak jika persamaan itu dikalikan dengan (xy)−3.
2.7.4 h fungsi dari x/y
Misalkan u = x/y dan h = h(u) maka, dengan menggunakan aturan rantai, akan diperoleh
∂ ∂yh(u) = h 0(u)∂u ∂y = − x y2 d duh(u) (2.146)
dan ∂ ∂xh(u) = h 0(u)∂u ∂x = 1 y d duh(u). (2.147)
menggunakan (2.146) dan (2.147) kedalam (2.132), setelah penyeder-hanaan, akan diperoleh persamaan berikut
dh(u) h(u) =
y2(∂ P∂ y(x, y) −∂ Q∂ x(x, y))
xP(x, y) + yQ(x, y) du. (2.148)
Dengan memperhatikan ruas kiri dari (2.148) yaitu fungsi hanya dari u maka ruas kanan haruslah fungsi hanya dari u juga. Sekarang misalkan
G(u) = y
2(∂ P∂ y(x, y) −∂ Q∂ x(x, y))
xP + yQ (2.149)
maka memperhatikan (2.148) dan (2.149) diperoleh
dh(u)
h(u) = G(u). (2.150)
Mengintegralkan (2.150) terhadap u diperoleh
h(u) = eG(u)du. (2.151)
Persamaan (2.151) ini adalah faktor integrasi.
Contoh 2.7.5 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
3ydx − xdy = 0 (2.152)
bukan persamaan diferensial eksak. Kemudian tentukanlah faktor in-tegrasinya.
Memperhatikan persamaan (2.109) dan (2.152) kita da[atkan bah-wa P = 3y, Q = −x. Olehkarenanya itu mengikuti bahbah-wa ∂ P∂ y = 3y,
f rac∂Q∂x = −1. Menggunakan (2.149) diperoleh G(u) = y 2(3 + 1) 3xy − xy = 2 y x = 2 u. (2.153)
Karena G(u) 6= 0 maka persamaan diferensial (2.152) bukan persa-maan diferensial eksak. Menggunakan persapersa-maan (2.151) kedalam (2.153) itu mengikuti bahwa
h(u) = eR 2udu= eln u2 = u2= x 2
y2. (2.154)
Jadi factor integrasi dari persamaan diferensial (2.152) diberikan oleh
x2/y2.
2.7.5 h fungsi dari y/x
Dengan mengikuti langkah-langkah yang diberikan dalam bagian 2.7.4 akan kita dapatkan faktor integrasi yang dberikan oleh
h(u) = eK(u)du (2.155)
dimana u = y/x dan
K(u) = x 2³ ∂ Q ∂ x(x, y) −∂ P∂ y(x, y) ´ xP(x, y) + yQ(x, y) . (2.156)
Proses (2.155) dan (2.49) sangat bagus untuk latihan.
Contoh 2.7.6 Tunjukkanlah bahwa persamaan diferensial
ydx − 3xdy = 0 (2.157) bukan persamaan diferensial eksak. Tentukanlah faktor integrasinya.
memperhatikan (2.109) dan (2.157) kita peroleh P = y dan Q = −3x, karenanya ∂ P∂ y = 1 dan ∂ Q∂ x = −3. Menggunakan (2.156) diperoleh
K(u) = x 2(−3 − 1) xy − 3xy = 2 x y = 2 u. (2.158)
Karena K(u) 6= 0 maka dapat disimpulkan bahwa persamaan diferen-sial (2.157) tidak eksak. Menggunakan (2.158) kedalam (2.155) dipe-roleh
h(u) = eR 2udu= eln u2 = u2= y 2
x2. (2.159)
Dari persamaan (2.159) didapatkan bahwa faktor integrasi dari persa-maan diferensial (2.157) adalah yx22.
2.7.6 Bentuk Khusus dari P dan Q.
Jika persamaan diferensial dapat dijadikan ke dalam bentuk persama-an diferensial berikut
y(Axpyq+ Bxrys)dx + x(Cxpyq+ Dxrys)dy = 0 (2.160)
dimana A, B,C, dan D semuanya konstanta, maka persamaan diferen-sial (2.160) mempunyai faktor integrasi fungsi dari xaybdimana a dan
b dua konstanta yang dipilih sedemikian hingga persamaan diferensial xayb(y(Axpyq+ Bxrys)dx + x(Cxpyq+ Dxrys)dy) = 0 (2.161)
eksak. Bukti dari pernyataan di atas diluar dari tujuan buku ini dan da-pat dengan mudah untuk mendada-patkannya dalam buku-buku persama-an diferensial elementer. Untuk mendapatkpersama-an pemahampersama-an bagaima-na mendapatkan faktor integrasi dari persamaan diferensial berbentuk (2.160) kita sajikan contoh dibawah ini.
Contoh 2.7.7 Tunjukkan bahwa persamaan diferensial
y(2x2y3+ 3)dx + x(x2y3− 1)dy = 0 (2.162) bukan eksak. Tentukanlagh faktor integrasinya.
memperhatikan persamaan (2.109) dan (2.162) diperoleh
P = y(2x2y3+ 3)danQ = x(x2y3− 1). (2.163)
Berarti ∂ P∂ y = 8x2y3+ 3 dan ∂ Q∂ x = 3x2y3− 1. Mengikuti Teorema 2.5.3
dengan ∂P ∂y − ∂Q ∂x = 5x 2y3+ 4 (2.164)
dapat disimpulkan bahwa persamaan diferensial (2.162) tidak eksak. Dengan mengalikan persamaan diferensial (2.162) dengan faktor in-tegrasinya xaybdiperoleh
(2xa+2yb+4+ 3xayb+1)dx + (xa+3yb+3− xa+1yb)dy = 0. (2.165)
Karena (2.165) adalah persamaan diferensial eksak maka menurut te-orema 2.5.3 haruslah ∂ P∂ y −∂ Q∂ x = 0 untuk semua nilai x dan y dalam domain, yaitu (setelah penyederhanaan)
(2b + 8)x2y3+ 3b + 3 = (a + 3)x2y3− (a + 1). (2.166)
karena (2.166) berlaku untuk semua x dan y dalam domain, maka ha-ruslah
2b + 8 = a + 3 dan 3b + 3 = −a − 1. (2.167)
Dengan menyelesaikan system (2.167) diperoleh
a = 7
5 dan b = −
9
5. (2.168)
Jadi faktor integrasi dari persamaan diferensial (2.162) adalah x75y−95.