Sistem Persamaan Diferensial Homogen dengan

Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana menyelesaikan per-samaan diferensial homogen dengan koefisien konstan yang berben-tuk

x⁰= ax + by (5.60)

y⁰= cx + dy. (5.61)

Pada bagian awal bab ini kita melihat bahwa sistem persamaan dife-rensial (5.60)-(5.61) dapat dikonversikan juga menjadi persamaan di-ferensial order dua. Berdasarkan pengalaman mengerjakan persamaan diferensial order dua homogen bahwa solusi persamaan ini berbentuk

ert dengan r parameter. Berdasarkan itu pula kita akan mengsumsik-an bahwa solusi sistem persamamengsumsik-an diferensial (5.60)-(5.61) berbentuk (pe^rt, qe^rt) dengan r parameter yang akan ditentukan nilainya.

Contoh 5.2.1 Anggaplah bahwa solusi persamaan diferensial (5.60)-(5.61) berbentuk pasangan fungsi (x, y) = (pe^rt, qe^rt). Tentukanlah

solusi bebas linier dari sistem persamaan diferensial

x⁰= y (5.62)

y⁰= 16x (5.63)

Substitusikanlah pasangan fungsi(x, y) = (pert, qert) kesistem (5.62)-(5.63) dan bagilah dengan e^rt untuk mendapatkan sistem persamaan

rp − q = 0 (5.64)

rq − 16p = 0. (5.65)

Perhatikanlah bahwa (p, q) = (0, 0) memenuhi sistem persamaan (5.64)-(5.65). Akan tetapi solusi ini hanya memberikan solusi trivial (x, y) = (0, 0) untuk sistem. Karena solusi yang dicari adalah solusi-solusi yang bebas linier maka p = q = 0 bukan solusi-solusi yang diinginkan. Kalau kita selesaikan persamaan (5.64) untuk p atau q dan dengan mengunakan persamaan (5.65) diperoleh persamaan kuadrat untuk r yaitu r²− 16 = 0. Akar-akar persamaan kuadrat ini adalah 4 dan -4.

Untuk r = 4 diperoleh sistem persamaan berikut

−4p − q = 0 (5.66)

−16p − 4q = 0. (5.67)

Persamaan (5.66) dan persamaan (5.67) ekuivalen yaitu sama-sama menyatakan q = −4p. Kita bebas memilih nilai p ini kecuali 0. Ka-rena kita akan menentukan solusi-solusi bebas linier maka kita dapat memilih koefisien e^rt sama dengan satu(p = 1). Dengan pemilihan ini didapatkan salah satu sistem persamaan diferensial (5.62)-(5.63) yaitu (x₁, y₁) = (e^4t, 4e^4t).

Untuk r = −4, dengan cara yang sama seperti untuk r = 4 kita dapat solusi nontrivial sistem persamaan diferensia lainnya, yaitu (x₂, y₂) = (e^−4t, −4e^−4t). Pembaca dapat menunjukkan bahwa kedua solusi ini saling bebas linier. Solusi umum sistem persamaan diferensial (5.62)-(5.62) diberikan oleh (x, y) = C1 ¡ e^4t, 4e^4t¢+C2 ¡ e^−4t, −4e^−4t¢. (5.68)

Bandingkanlah solusi (5.68) ini dengan solusi sistem persamaan dife-rensial pada 5.1.7 yang berhubungan dengan solusi homogen.

Pernyataan 5.2 Perlu diperhatikan bahwa persamaan kuadrat r²−

16 = 0 di atas merupakan persamaan karakteristik dari persamaan

diferensial order dua homogen y⁰⁰− 16y = 0. Persamaan diferensial order dua ini dapat diperoleh dari menderivatifkan persamaan (5.62) sekali kemudian menggunakan hasil ini kepersamaan (5.63)

Contoh 5.2.2 Gunakanlah asumsi bahwa bentuk solusi umum sistem persamaan diferensial homogen dengan koefisien konstan (x, y) =

(pe^rt, qe^rt) untuk menyelesaikan solusi bebas linier dari sistem

per-samaan diferensial

x⁰= −y (5.69)

y⁰= 16x (5.70)

Mengikuti cara-cara yang dilakukan pada contoh 5.2.1 bahwa bentuk (x, y) = (pe^rt, qe^rt) memenuhi sistem persamaan (5.69)-(5.70). Men-substitusikan bentuk ini ke sistem kemudian membaginya dengan ert

rp − q = 0 (5.71)

rq − 16p = 0. (5.72)

Dengan menyelesaikan persamaan (5.71) kemudian menggunakan persamaan (5.72) dengan mengisyaratkan p 6= 0 akan diperoleh persa-maan kuadrat dalam r, yaitu r²+16 = 0. Akar-akar persamaan kuadrat ini adalah 4i dan −4i.

Untuk r = 4i, diperoleh sistem persamaan dalam p dan q,

4ip − q = 0 (5.73)

−16p − 4iq = 0. (5.74)

Persamaan (5.73) dan persamaan (5.74) adalah ekuivalen yaitu sama-sama menyatakan q = 4ip. Perlu kita ingat bahwa tahap ini kita hanya mencari solusi-solusi yang bebas linier. Oleh karenanya kita bebas memilih nilai p, dalam hal ini kita akan memilih p = 1. Menggunak-an nilai p ini didapatkMenggunak-an salah satu solusi sistem (5.69)-(5.70) yMenggunak-ang diberikan oleh (x+, y+) =^¡e^4it, 4ie^4it¢.

Untuk r = −4i, menggunakan cara yang sama untuk r = 4i dan menetapkan nilai p = 1 diperoleh solusi kedua sistem (5.69)-(5.70) yang diberikan oleh (x−, y−) =^¡e^−4it, −4ie^−4it¢.

Perlu kita catat bahwa walaupun solusi yang kita peroleh saling be-bas linier akan tetapi masih dalam variabel kompleks. Solusi yang kita harapkan adalah solusi dalam variabel riil. Untuk keperluan terakhir ini kita akan menggunakan formula Euler e^±αit = cosαt ± i sinαt.

Dengan formula Euler maka solusi (x₁, y₁) dan (x₂, y₂) menjadi (x+, y+) = (cos 4t + i sin 4t, 4i cos 4t − 4 sin 4t). (5.75)

(x₋, y₋) = (cos 4t − i sin 4t, −4i cos 4t + 4 sin 4t). (5.76)

Sekarang kita pilih solusi pertama dan kedua sebagai berikut (x1, y1) = ^{(x+, y+) + (x−, y−)} 2 = (cos 4t, −4 sin 4t) (5.77) dan (x₂, y₂) = ^{(x+, y+) − (x−, y−)} 2i = (sin 4t, 4 cos 4t). (5.78)

Solusi (x1, y1) dan (x2, y2) saling bebas linier (ujilah). Solusi umum sistem persamaan diferensial (5.69)-(5.70) diberikan oleh

(x, y) = C₁(x₁, y₁) +C₂(x₂, y₂)

= C₁(cos 4t, −4 sin 4t) +C₂(sin 4t, 4 cos 4t). (5.79)

Dari contoh-contoh yang telah disajikan dapat kita kembangkan teknik untuk sistem persamaan diferensial yang lebih umum lagi. Pan-danglah sistem persamaan diferensial (5.60)-(5.61). Mengikuti teknik yang digunakan dalam contoh-contoh sebelumnya secara umum dapat kita buat garis besarnya sebagai berikut:

1. Anggaplah bahwa solusi dalam bentuk (x, y) = (pe^rt, qe^rt), dengan

p, q, dan r konstanta. Substitusikan solusi ini ke sistem

(5.60)-(5.61) kemudian dengan membagi hasil yang diperoleh dengan ert

kita sampai pada sistem persamaan dalam p dan q berikut

(a − r)p + bq = 0 (5.80)

cp + (d − r)q = 0. (5.81) 2. Sistem persamaan (5.80)-(5.81) mempunyai solusi non trivial un-tuk p dan q jika determinan koefisien p dan q sama dengan nol, yaitu

r²− (a + d)r + ad − bc = 0. (5.82)

Penyelesaian persamaan (5.82) dinamakan persamaan karakteris-tik sistem persamaan diferensial (5.58)-(5.60). Menyelesaikan per-samaan (5.82) akan memberikan nilai r₁dan r₂.

3. Anggaplah r = r₁akar persamaan (5.82), maka sistem persamaan diferensial (5.58)-(5.60) akan direduksi menjadi persamaan

bq = (r₁− a)p. (5.83)

Setelah dipilih nilai (p1, q1) akan diperoleh salah satu solusi sis-tem persamaan diferensial (5.58)-(5.60) dalam bentuk (x₁, y₁) = (p₁e^r1t, q₁e^r1t). Selanjutnya kita akan memperhatikan hal-hal ber-ikut:

• jika r₁6= r₂ lanjutkan mencari solusi sistem yang berpadanan dengan r₂.

• jika r1= r2carilah solusi kedua dalam bentuk ¡

(P₁+ P₂t)e^r1t, (Q₁+ Q₂t)e^r1t¢

. (5.84)

4. Solusi bebas linier diperoleh dengan memperhatikan hal-hal beri-kut

• Akar-akar r₁, r₂riil dan berbeda.

• Akar-akar r₁, r₂kompleks konjugate.

• Akar-akar r1, r2riil dan sama.

Contoh 5.2.3 Carilah solusi bebas linier dari sistem persamaan di-ferensial x⁰= −¹ 2^{x +} 3 2^{y (5.85)} y⁰= ³ 2^{x −} 1 2^{y. (5.86)}

Langkah pertama yang kita lakukan adalah membuat asumsi bahwa solusi umum sistem di atas berbentuk (pe^rt, qe^rt). Selanjutnya, dengan mensubstitusikan asumsi ini ke sistem akan diperoleh sistem (5.85)-(5.86) persamaan dalam p dan q berikut

µ −¹ 2^{− r} ¶ p +³ 2^{q = 0 (5.87)} 3 2^{p +} µ −¹ 2^{− r} ¶ q = 0. (5.88)

Sistem (5.87)-(5.88) mempunyai solusi nontrivial jika determinan ko-efisien p dan q sama dengan nol yang menghasilkan persamaan karak-teristik (r − 1)(r − 2) = 0. Akar-akar persamaan karakkarak-teristik adalah

r = 1 dan r = 2.

Untuk r = 1, sistem (5.87)-(5.88) menjadi

−³ 2^{p +} 3 2 ^{= 0 (5.89)} 3 2^{p −} 3 2^{q = 0. (5.90)}

Seperti yang telah diuraikan pada petunjuk umum penyelesaian sis-tem persamaan diferensial (5.58)-(5.60) bahwa Persamaan (5.89) dan (5.90) ekuivalen yaitu menyatakan persamaan yang sama. Selanjutnya dengan menetapkan nilai p = 1 akan diperoleh salah satu solusi yaitu (x₁, y₁) = (et, et).

Untuk r = 2, mengikuti cara yang sama dengan cara yang dilakkan di atas dan dengan menetapkan nilai p = 1 akan diperoleh solusi kedua dari sistem (5.85)-(5.86) yaitu (x2, y2) =^¡e^−2t, −e^−2t¢.

Pembaca sebaiknya menguji bahwa solusi (x₁, y₁) dan x₂, y₂saling bebas linier. Solusi umum sistem persamaan diferensial (5.85)-(5.86) diberkan oleh

(x, y) = C₁(x₁, y₁) +C₂(x₂, y₂) (5.91)

= C₁^¡e^t, e^t¢+C₂^¡e^2t, −e^2t¢. (5.92)

Misalkan kita syaratkan bahwa solusi ini harus memenuhi nilai awal (x(0), y(0)) = (3, −1) maka

(x(0), y(0)) = C₁^¡e⁰, e^0¢+C₂^¡e⁰, −e^0¢

(3, −1) = C₁(1, 1) +C₂(1, −1). (5.93)

Persamaan (5.93) ekuivalen dengan sistem persamaan

C1+C2= 3 (5.94)

C1−C2= −1. (5.95)

Pemecahan sistem persamaan (5.94)-(5.95) adalah C₁ = 1 dan C₂ = 2. Jadi solusi sistem persamaan diferensial (5.85)-(5.86) dengan nilai awal (x(0), y(0)) = (3, −1) adalah

(x, y) =^¡e^t+ 2e^−2t, e^t− 2e^−2t¢. (5.96) Contoh 5.2.4 Carilah solusi umum sistem persamaan diferensial

x⁰= x + 3y (5.97)

y⁰= −2y (5.98)

Langkah pertama, asumsikan solusi sistem (5.97)-(5.98) berbentuk (pe^rt, qe^rt). Mensubstitusikan asumsi ini ke sistem persamaan dalam

soal kemudian membaginya dengan e^rt akan diperoleh sistem persa-maan dalam p dan q. Agar sistem persapersa-maan dalam p dan q ini mem-punyai solusi nontrivail maka harus disyaratkan determinan koefisien dari p dan q sama dengan nol. langkah terakhir ini akan memberik-an persamamemberik-an karakteristik dari sistem (5.97)-(5.98) yaitu persamamemberik-an kuadrat dalam r. Akar-akar persamaan kuadrat adalah r = 1 dan r = 2.

Untuk r = 1, sistem persamaan

3q = 0 (5.99)

−3q = 0. (5.100)

Solusi sistem ini hanya dipenuhi oleh q = 0. Akan tetapi kita bebas menentukan nilai p, dalam hal ini kita akan menetapkan p = 1. De-ngan nilai p ini salah satu solusi yang diperoleh untuk sistem (5.97)-(5.98) adalah (x₁, y₁) = (et, 0).

Untuk r = −2, dengan mensubstitusikan nilai ini ke sistem persa-maan dalam p dan q yang diperoleh diawal tadi akan diperoleh sistem persamaan

3p + 3q = 0 (5.101)

0 = 0. (5.102)

Dengan menetapkan nilai p = 1 akan diperoleh solusi kedua untuk sis-tem persamaan diferensial (5.97)-(5.98) yaitu (x2, y2) =^¡e^−2t, −e^−2t¢. Pembaca sebaiknya menguji bahwa kedua solusi ini saling bebas lini-er. Solusi umum diberikan oleh

(x, y) = C1(x1, y1) +C2(x2, y2)

= C₁(e^t, 0) +C₂(e^−2t, −e^−2t) (5.103) Contoh 5.2.5 Carilah solusi umum sistem persamaan diferensial

x⁰= y (5.104)

y⁰= −9x + 6y. (5.105)

Langkah pertama, asumsikan solusi sistem (5.104)-(5.105) berbentuk (pe^rt, qe^rt). Mensubstitusikan asumsi ini ke sistem persamaan dalam soal kemudian membaginya dengan e^rt akan diperoleh sistem persa-maan dalam p dan q. Agar sistem persapersa-maan dalam p dan q ini mem-punyai solusi nontrivail maka harus disyaratkan determinan koefisien

dari p dan q sama dengan nol. langkah terakhir ini akan memberikan persamaan karakteristik dari sistem (5.104)-(5.105) yaitu persamaan kuadrat dalam r. Akar-akar persamaan kuadrat adalah akar kembar

r = 3.

Langkah kedua, dengan mensubstitusikan r = 3 ke sistem persama-an dalam p dpersama-an q kemudipersama-an dengpersama-an menetapkpersama-an p = 1 akpersama-an diperoleh salah satu solusi sistem persamaan (5.104)-(5.105) yaitu (x1, y1) = ¡

e^3t, e^3t¢. Mengikuti prosedur umum untuk kasus akar kembar yai-tu bahwa solusi kedua berbenyai-tuk^¡(P1+ P2t)e^3t, (Q1+ Q2t)e^3t¢. Men-substitusikan bentuk solusi ini ke sistem persamaan diferensial (5.104)-(5.105) akan diperoleh nilai P₁, P₂, Q₁, dan Q₂.

Setelah kita substitusikan bentuk solusi kedua ini dan kemudian membaginya dengan e3t diperoleh sistem persamaan dalam P₁, P₂, Q₁,

dan Q₂berikut

3P1− Q1+ P2 = (−3P2+ Q2)t (5.106)

9P1− 3Q1+ Q2= (−9P2+ 3Q2)t. (5.107)

Catatlah bahwa sistem persamaan (5.106)-(5.107) berlaku untuk se-mua nilai t. Oleh karenanya haruslah koefisien t ruas kanan persamaan (5.106) dan (5.107) sama dengan nol. Hal ini juga menyatakan bahwa ruas kiri persamaan (5.106) dan (5.107) sama dengan nol. Jadi kita ak-an mendapatkak-an sistem persamaak-an yak-ang terdiri dari 4 buah persamaak-an yaitu

−3P₂+ Q₂= 0 (5.108) −9P₂+ 3Q₂= 0 (5.109)

3P₁− Q₁= −P₂ (5.110)

9P₁− 3Q₁= −Q₂. (5.111)

Sistem persamaan (5.108)-(5.111) sebenarnya hanya terdiri dari dua persamaan saja karena dua persamaan lainnya ekuivalen. Kedua per-samaan itu adalah

Q2= 3P2 (5.112)

Q₁= 3P₁+ P₂. (5.113)

Dengan menetgapkan P₁= 1 dan P₂= 1 diperoleh Q₁= 4 dan Q₂= 3. Menggunakan nilai P₁, P₂, Q₁, dan Q₂ ini maka diperoleh solusi

kedua sistem persamaan diferensial (5.104)-(5.105) yaitu (x2, y2) = ¡

(1 + t)e^3t, (4 + 3t)e^3t¢. Kedua solusi ini bebas linier, oleh karenaya solusi umum sistem persamaan diferensial (5.104)-(??) diberikan oleh

(x, y) = C1(x1, y1) +C2(x2, y2)

= C₁^¡e^3t, e^3t¢+C₂^¡(1 + t)e^3t, (4 + 3t)e^3t¢. (5.114)

5.3 Sistem Persamaan Diferensial Order Satu